SKKN Phân tích một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán trắc nghiệm và hướng khắc phục 1 A MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Năm học 2016 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới tr[.]
Trang 1A MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài.
Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong
kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận
Kỳ thi quốc gia 2018 được tổ chức với 2 mục đích xét tốt nghiệp THPT và xét vào đại học, cao đẳng Đề thi năm 2018, môn Toán thời gian làm bài 90 phút ( với 50 câu trắc nghiệm, nội dung nằm trong chương trình Toán lớp 11 chiếm 20%, lớp 12 chiếm 80%) Năm 2018 là năm thứ 2 môn Toán được thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan 100%, nên quá trình giảng dạy giáo viên phải có phải chú ý rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng làm bài trắc nghiệm môn Toán Trong các tiết giảng dạy hàng ngày cần dành thời gian để kiểm tra việc nắm kiến thức cơ bản, kỹ năng của từng bài theo yêu cầu của chương trình qua việc chuẩn bị thật nhiều các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm kiểm tra lý thuyết lẫn bài tập để khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời phân tích cho học sinh thấy những sai sót cần tránh và phân tích rõ cách làm bài trắc nghiệm sao cho hợp lý
Tài liệu tham khảo trên thị trường tràn lan, nhiều về số lượng mà không đảm bảo chất lượng Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán
từ đó tự mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả của đồng nghiệp đi trước và trong thực tế của quá trình giảng dạy, tôi
đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “ PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC”.
2 Mục đích nghiên cứu.
Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập, từ đó:
- Hình thành cho học sinh kiến thức căn bản về Toán học.
- Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán và cách khắc phục
- Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó mà thấy
Trang 2say mê môn Toán hơn Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học tập và nghiên cứu
- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề
3 Đối tượng nghiên cứu.
- Lựa chọn các ví dụ ,các bài tập cụ thể và chỉ ra những sai lầm của học
sinh khi vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán
4 Phương pháp nghiên cứu.
4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài
4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn
4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề ra
Trang 3B NỘI DUNG
1 Cơ sở lí luận.
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh
G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình" Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra
nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về mặt tư duy cho bản thân mỗi người
Các kiến thức căn bản về Toán học cấp THPT, ít nhiều học sinh cũng đã được học từ bậc THCS, những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù ở câu mức đọ nhận biết hay thông hiểu thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện
ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải
2 Thực trạng.
Năm học 2017-2018 Bộ giáo dục và đào tạo tiếp tục đổi mới thi THPT Quốc gia Để giúp học sinh đạt được kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia
2018, giáo viên cần phải tích cực đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá theo định hướng phát triển năng lực của học sinh Môn Toán thi trắc nghiệm 100% (50 câu, thời gian 90 phút ) Để làm được bài thi học sinh phải nắm thật vững kiến thức cơ bản và các kỹ năng cơ bản qui định trong chương trình Giáo viên phải có ý thức dạy kỹ và sâu kiến thức từng bài học, rèn luyện thật chắc những kỹ năng theo yêu cầu của bài học, bên cạnh đó phải
Trang 4giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, làm việc có kế hoạch và biết hệ thống hóa kiến thức từng bài học
Thực tế trong kì thi quốc gia 2017 cho thấy rất nhiều em học sinh chỉ đạt điểm từ 1,0 đến 3,0 điểm, mặc dù các câu trong đề thi không quá khó, số câu nhận biết và thông hiểu là 50%
3 Các giải pháp
Trong mỗi câu hỏi trắc nghiệm thường gặp hiện nay, có 4 phương án gồm 1 phương án đúng và 3 phương án nhiễu Phương án nhiễu thường được xây dựng dựa trên các sai lầm của học sinh Vì vậy, học sinh phải nắm chắc kiến thức mới có thể quyết định chọn phương án nào trong một thời gian rất ngắn Sau đây tôi sẽ trình bày một số sai lầm mà học sinh có thể gặp khi giải toán trắc nghiệm
3.1 Nhầm lẫn các loại điều kiện, các khái niệm:
Ví dụ 1: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm dưới đây?
A. x 3. B. x 5. C. x 4. D. x 0.
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS nhầm với giá trị cực tiểu của hàm số
Phương án B: Sai do HS nhầm với giá trị cực đại của hàm số
Phương án C: Sai do HS nhầm với điểm cực tiểu của hàm số
Lời giải đúng: Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại
0, CD 5;
đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực
tiểu) của hàm số, kí hiệu là f CD (f CT ), còn điểm M x f x 0 ; 0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang? A.
2
1
x y
2
.
x y
x y
x y
Phân tích phương án nhiễu.
Trang 5Phương án A: Sai do HS hiểu rằng lim lim 2.
2
1
x y
x
2
1
x y
x
2
1
x y x
có hai đường tiệm cận ngang
Phương án B: Sai do HS hiểu rằng lim lim 3 .
nên đồ thị hàm số
2
x y
cận ngang
Phương án C: Sai do HS hiểu rằng lim lim
Lời giải đúng: Ta có lim 24 2 lim 24 2 0 nên đường thẳng y = 0 là
x y
Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng
a, , ;b hoặc ; ) Đường thẳng y y 0 là đường tiệm cận ngang
kiện sau được thỏa mãn
x f x y x f x y
Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
0 0
1
0 0
x
2 2
ln
dx x
0
x
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS hiểu rằng 1 1
0 0
dx
x
đoạn 0;1 thì 2x 1 0 nên một nguyên hàm của 1
2x 1 là 1ln(2 1).
Phương án B: Sai do HS hiểu rằng
0 0
dx
x
x
x
) Nhưng thực chất 2 1 ' 1
2 1 '
x x
0 0
dx
x
Trang 6Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm rằng 4 4
0
cos
x
Cũng có thể học sinh chọn do nghĩ đề bài yêu cầu chọn phương án Đúng.
Lời giải đúng: Ta có 1 1
2 2
dx
x x
x phải là ln( x) Do vậy phương án sai là C
x C x dx
x C
Ví dụ 4: Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 2
3
log x 3x 5 2 là khoảng a b; Giá trị của biểu thức a2 b2 bằng
3
log x 3x 5 2 x 3x 5 9 x 3x 4 0 1 x 4
Suy ra a 1;b 4. Do đó a2 b2 17 Chọn D
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS giải đúng được a 1;b 4nhưng lại tính sai
hoặc do HS giải sai bất phương trình Cụ thể:
2 2 15
a b
3
log x 3x 5 2 x 3x 5 8
Phương án B: Sai do HS giải sai bất phương trình Cụ thể:
3
log x 3x 5 2 x 3x 5 6
Phương án C: Sai do HS giải sai bất phương trình Cụ thể:
3
log x 3x 5 2 x 3x 5 6
Trang 7Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp có đỉnh S2;3;5
và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng P : 2x y 2z 3 0, có diện tích bằng 12 Tính thể tích của khối chóp đó
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp Cụ thể:
2 2 2
2.2 3 2.5 3
3
Phương án B: Sai do HS tính đúng độ dài chiều cao nhưng thiếu trong công 1
3
thức tính thể tích của khối chóp
Phương án D: Sai do HS tính sai độ dài chiều cao của hình chóp và thiếu 1
3
trong công thức tính thể tích của khối chóp.Cụ thể:
2.2 3 2.5 3
Lời giải đúng: Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng d S P , 2.
3
Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5 n1 3 0
5
2
n x
x
A. 35 5
.
16
16
2
.
16x
Lời giải: Ta có 1 3 1 2
6
n
n n n
Do đó ta có khai triển nhị thức Niu-tơn của
7
2 1
2
x x
2
7
.
x
x Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS nhầm số hạng chứa với hệ số của số hạng chứa x5 x5
Phương án C: Sai do HS viết sai số hạng chứa Cụ thể là x5
7
.
x
x
Trang 8Phương án D: Sai do HS viết sai số hạng chứa Cụ thể là x5
4 3 2
7
.
x
x
Ví dụ 7: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
B Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng
kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau
C Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song
với nhau
D Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song
với nhau
Phân tích phương án nhiễu
Phương án B: do không nhớ điều kiện 2 đường thẳng đó phải cắt nhau Phương án C: do quên điều kiện hai mặt phẳng phải phân biệt
Phương án D: do nhớ “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau” nên nghĩ nếu là hai mặt phẳng thì cũng vậy
Lời giải đúng: Hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: song song, trùng nhau,
cắt nhau nên nếu hai mặt phẳng đó phân biệt (không trùng nhau) và không cắt nhau thì song song Chọn A
Ví dụ 8: Xét các khẳng định sau:
i) Nếu hàm số y f x( ) xác định trên R thỏa mãn f( 1) (0) 0 f thì đồ thị
ii) Nếu hàm số y f x( ) xác định trên R thỏa mãn f( 1) (0) 0 f và (0) (1) 0
chung
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A Khẳng định i) đúng và khẳng định ii) đúng.
B Khẳng định i) đúng và khẳng định ii) sai.
C Khẳng định i) sai và khẳng định ii) đúng.
D Khẳng định i) sai và khẳng định ii) sai.
Đây là một câu hỏi khó, học sinh có thể liên tưởng đến định lí về giá trị trung gian của hàm liên tục khi đọc các giả thiết ở hai khẳng định này Tuy nhiên, các giả thiết thiếu một điều kiện rất quan trọng là hàm số liên tục Ta có
thể chỉ ra những tình huống để thấy các khẳng định i) và ii) đều sai.
Trang 9Xét hàm 1 khi R \ 0 .
x
f x
x
Hàm số này không liên tục tại 0.
chung với Ox Chọn D.
3.2 Xét thiếu trường hợp hoặc quên điều kiện
Ví dụ 9: Tập hợp các số thực m để hàm số
3
2
3
mx
cực trị là
Lời giải: Ta có y' mx2 2(m 1)x 4
Xét m 0, 'y 2x 4 đổi dấu khi qua x=2 nên hàm số có cực trị
Xét m 0, ' (m 1) 2 0 m 1
Chọn A
Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Học sinh nhầm ' 0 m
Phương án C: Học sinh quên không lấy kết quả m=0
Ví dụ 10: Với giá trị của tham số m thì phương trình 9x 2m 1 3 x 6m 3 0
có hai nghiệm trái dấu?
A m 1 B 1
2
m C 1
2
2 m
Lời giải:
2 2 1 6 3 0
f t
t14444444442 4444444443m t m * Yêu cầu bài toán * có hai nghiệm t t1, 2 thỏa mãn 0 t1 1 t2
Chọn D
1 2
1 2
' 0
1
( 1)( 1) 0
t t
m
t t
t t
(hoặc có thể áp dụng (0) (1) 0 1 1)
2
Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh thiếu điều kiện phương
trình (*) có 2 nghiệm phân biệt dương
Trang 10Phương án B: Học sinh nhầm điều kiện 2 nghiệm ẩn x trái dấu thành 2
2
đối nhiều học sinh mắc phải
Phương án C: Tương tự phương án B, đồng thời nhớ sai điều kiện 2 nghiệm thành cùng dấu
Ví dụ 11: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
3 2 sin
y
x x
Mẫu số có hai nghiệm phân biệt là 0 và 1 nhưng đồ thị không có đường tiệm cận đứng vì:
2
1
2 2
4
Chọn C
Chú ý: Đối với hàm phân thức thì x=a là nghiệm của mẫu thức nhưng
không là nghiệm của tử thức, khi đó đường thẳng x=a mới là tiệm cận đứng của đồ thị
Ví dụ 12: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
3 3 2 3 2 1 3 2 1
tập hợp S là
Lời giải: Ta có 2 2
y x x m
Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm phân biệt
' 0
Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì
A m m B m m
Từ giả thiết ta có AB 30 13 2 m2 4m6 30 13 4m6 m2 2925 0
Kết hợp với điều kiện ta có S 3; 2; 1;1; 2;3
Do đó phương án đúng là C
Trang 11Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS không đối chiếu điều kiện m 0
Phương án B: Sai do HS giải sai bất phương trình m2 9 0 m 3 và không
0
m
Phương án D: Sai do HS hiểu sai điều kiện không vượt quá thành AB 30 13
Ví dụ 13 : Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng ACB một số
tiền như nhau với lãi suất 0,45%/tháng Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay đổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm Hỏi bác An cần gửi
một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng ACB để sau 3
năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?
A. T 10050000. B. T 25523000. C. T 9493000. D. T 9492000.
Lời giải: Giả sử bác An gửi số tiền tối thiểu hàng tháng là T (đồng) Đặt r =
0,45%
Hết tháng thứ nhất bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
T T T r T r
Hết tháng thứ hai bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
T T r T r r T r r
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng sau n tháng gửi
tiết kiệm thì bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là
n
T T r r r
Dễ dàng tính được T n T 1 r 1 rn 1
Suy ra số tiền lãi sau n tháng gửi tiết kiệm là
T
Theo giả thiết, ta có n 36,L36 30 000 000. Suy ra T 9 493 000. Chọn C
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính chỉ gửi 35 tháng.
Phương án B: Sai do HS sử dụng công thức của bài toán tính lãi kép và hiểu đề
bài yêu cầu số tiền thu được sau 3 năm đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu
đồng nên tìm được T = 25 523 000.
Phương án C: Sai do HS giải đúng như trên nhưng lại làm tròn T = 9 492 000.