SKKN Xây dựng công thức tính nhanh cho một số dạng toán thực tế lãi suất và tăng trưởng mũ trong đề...

SKKN Phương pháp giải một số hệ phương trình thường gặp đối với học sinh trung học phổ thông 0 MỤC LỤC Trang 1 Mở đầu 2 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu, phạm[.]

MỤC LỤC Trang

1 Mở đầu… 2

1.1 Lí do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……… 3

2.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ……… 3

2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 1………

2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại 2 ……… …………

2.1.4 Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn ………

2.1.5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai ………

2.1.6 Biểu thức liên hợp……… …………

2.1.7 Phương pháp đánh giá ……… ………

2.1.8 Phương pháp hàm số ……… ………

3 3 4 4 5 5 6 2.2 Thực trạng của vấn đề……… 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG

TRÌNH THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG

HỌC PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Nguyễn Xuân Dũng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

1.Mở đầu 1.1 Lý do chọn đề tài

Chuyên đề hệ phương trình là một phần quan trọng của chương trình Toán ở bậc THPT, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều, song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải Nguyên nhân

là vì: Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá

2.2.1 Thực trạng vấn đề……… 6

2.2.2 Kết quả của thực trạng……… 6

2.3 Giải quyết vấn đề ……… 6

2.3.1 Phương pháp chia hai vế các phương trình của hệ cho ẩn hoặc cụm ẩn………

2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số ………

2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp………

2.3.4 Phương pháp phân tích một phương trình của hệ thành nhân tử

2.3.5 Phương pháp xem một phương trình của hệ là một phương trình bậc hai………

2.3.6 Phương pháp rút thế ẩn hoặc cụm ẩn hoặc hằng số………

2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ ……… …………

2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số……… …………

2.3.9 Phương pháp đánh giá……… ………

6 8 9 11 12 13 15 16 16 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 17

3 Kết luận, kiến nghị……… 18

Tài liệu tham khảo…

Phụ lục………

nhiều chưa phân loại dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có

sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình Thứ ba,

đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán

và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà

có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em

Chính vì vậy bản thân đã chọn đề tài “Phương pháp giải một số hệ phương trình

thường gặp đối với học sinh trung học phổ thông ” để nghiên cứu.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các cách giải một bài toán về hệ phương trình trong chương trình toán bậc THPT Từ đó tổng hợp thành các phương pháp cần thiết hay được áp dụng khi giải hệ phương trình

Tìm ra và tổng hợp được các phương pháp cơ bản được áp dụng để giải hệ phương trình trong chương trình môn Toán bậc THPT, áp dụng vào giải thành thạo các bài toán về hệ trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Nghiên cứu và giải các bài toán hệ phương trình đại số, hệ phương trình mũ

và lôgarit, hệ phương trình lượng giác

Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia và quốc

tế, các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Các kỉ yếu, hội thảo chuyên đề về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, của các trường chuyên trên cả nước

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số liệu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

2.1.1.1 Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

1 1 1 (1)

2 2 2

a x b y c

a x b y c



 Trong đó x y, là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số

Nếu cặp số ( ; )x y0 0 đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ thì ( ; )x y0 0

được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1)

Giải hệ phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó

2.1.1.2 Phương pháp giải

Phương pháp rút thế

Phương pháp cộng, trừ đại số

Phương pháp dùng đồ thị

Phương pháp dùng định thức

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

2 3

3 2 1



  



2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 1

2.1.2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có

dạng

( ; ) 0 ( ; ) 0

F x y

G x y





 Trong đó F x y( ; ) 0, G x y( ; ) 0 là các đa thức đối xứng với x y,

2.1.2.2 Phương pháp giải

Đưa hệ phương trình về dạng 1

1

( ; ) 0 ( ; ) 0

F S P

G S P





 Trong đó

x y S

xy P

 



 

 Với điều kiện S2 4P

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

2 2

5 7

x y xy

  





2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại 2

2.1.3.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có

dạng

( ; ) 0 ( ; ) 0

F x y

F y x





 Trong đó F x y( ; ) 0 là các đa thức không đối xứng với x y,

2.1.3.2 Phương pháp giải

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình

( ; ) ( ; ) 0

Viết phương trình trên về dạng (x y G x y ) ( ; ) 0.

Suy ra (x y ) 0 hoặc G x y( ; ) 0

Hệ phương trình đã cho tương đương với hai hệ phương trình

0 ( ; ) 0

x y

F x y

 



 Hoặc

( ; ) 0 ( ; ) 0

G x y

F x y







Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

3

3

6

6

  





 



2.1.4 Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn

2.1.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một

phương trình bậc hai hai ẩn là hệ phương trình có dạng

2 2

ax by c

a x b y c xy dx ey f

 







2.1.4.2 Phương pháp giải

Từ phương trình bậc nhất của hệ rút một ẩn theo ẩn còn lại thế vào phương trình bậc hai

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

2 2

x y

 





2.1.5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

2.1.5.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có

dạng

2 2 2 2

a x b xy c y d

a x b xy c y d







2.1.5.2 Phương pháp giải

Cách 1 Kiểm tra với x0 có thỏa mãn hệ phương trình không, đặt y kx thế vào hệ và chia vế cho vế của hệ ta tìm được và từ đó tìm được k x y,

Cách 2 Khử hệ số hạng chứa hoặc x2 y2 ở một phương trình của hệ sau đó rút thế

Cách 3 Khử hệ số tự do các phương trình của hệ đưa về dạng

ax bxy cy 

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình







2.1.6 Biểu thức liên hợp

Hai biểu thức A B và A B gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau

Khi đó ta có (A B A B )(  ) A2 B2.

Hai biểu thức A B và A2 AB B 2 gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau Khi đó ta có (A B A )( 2  AB B 2) A3 B3

Hai biểu thức A B và A2  AB B 2 gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau Khi đó ta có (A B A )( 2 AB B 2) A3B3

Tổng quát: Hai biểu thức A B và A n1 A B n2   B n1 gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau

Khi đó (A B A )( n 1 A B n 2  B n 1) A n B n, với là số tự nhiên.n

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình

2







2.1.7 Phương pháp đánh giá

Một số bất đẳng thức thường sử dụng

 a2 0 với mọi giá trị của , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a a0

 a2 b2 c2 0 với mọi giá trị của a b c, , , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

0

a b c  

 a2 b2 2ab với mọi giá trị của a b, , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a b

 Cho a0và b0thì

2

a b

ab

  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b

 Cho a b c, , không âm thì

3 3

a b c   abc Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 

 (a2 b2)(c2 d2) ( ac bd ) ,2 với mọi giá trị của a b c d, , , , dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi ad bc

 a2 b2  c2 d2  (a c )2  (b d) ,2 với mọi giá trị của a b c d, , , , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

0

ad bc

ac bd





  



Ví dụ 7: (đề thi Đại học khối A, năm 2014) Giải hệ phương trình

2

3







2.1.8 Phương pháp hàm số

Tính chất 1 Nếu là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng f ( ; )a b

thì phương trình f x( ) 0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Tính chất 2.Nếu là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng f ( ; )a b

thì phương trình f u( ) f v( ) tương đương u v với mọi u v, thuộc ( ; ).a b

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

3

4

( 1) 2





  



2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Thực trạng của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần hệ phương trình đại số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách giải, không biết phải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến thức cơ bản các em đã biết

2.2.2 Kết quả của thực trạng

Nếu trang bị cho các em những kỹ năng ,tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em sẽ giải quyết được một các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp

Từ thực trạng và kết quả trên, để công việc giải toán hệ phương trình đại số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy

với đề tài :“ Phương pháp giải hệ một số hệ phương trình thường gặp đối với

học sinh trung học phổ thông ”.

2.3 Giải quyết vấn đề

Một bài hệ phương trình có rất nhiều hướng giải nhưng mấu chốt của bài toán là tìm hướng biến đổi ban đầu như thế nào Đó là điều quan trọng nhất và

nó quyết định công việc giải tiếp theo, giống như mở một sợ dây mà tìm được nốt thắt Do đó để giải thành công một bài hệ phương trình tác giả đã đưa ra một

số phương pháp cơ bản trong quá trình giải hệ

2.3.1 Phương pháp chia hai vế các phương trình của hệ cho ẩn hoặc cụm ẩn

Ví dụ 2.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2009) Giải hệ phương trình

1 7

1 13

  





Lời giải Với y0 thì hệ trở thành

1 0

1 0

x 



 



Hệ trên vô nghiệm

Với y0 thì hệ trở thành

2

1 7 1 13

x x

x x

   







Hệ phương trình trên tương đương với hệ sau

2

1 7 1

x x

x x

   







Đặt

(*)

1

y x b y

  





 



Hệ phương trình trên tương đương với hệ sau

2

7 13

a b

 



  



Từ phương trình thứ nhất ta có b 7 a thế vào phương trình thứ hai ta có

2 20 0

Giải phương trình trên ta có a 5 hoặc a4

Với a 5 thì b12 theo cách đặt (*) ta có

1 5

12

x y x y

   





 



Hay

1

12

y y

   





 



Hệ phương trình trên tương đương với hệ

2

12







Ta thấy hệ phương trình trên vô nghiệm

Với a4 thì b3 theo cách đặt (*) ta có

1 4

3

x y x y

  





 



Hệ trên tương đương với hệ phương trình sau

1

3

y y

  





 

 Giải hệ trên ta được x3 và y 1 hoặc x 1 và 1

3

y 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (3;1)và (1; )1

3

Nhận xét Ta thấy nhờ chia vế của mỗi phương trình cho ẩn, mà ta có thể đưa

một hệ phương trình phức tạp thành một hệ phương trình đơn giản, cho lời giải

nhanh chóng, bài toán được giải quyết So với giải bằng cách thông thường rút

thế ẩn hoặc ẩn từ phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai được y x

một phương trình bậc bốn phức tạp thậm trí không giải được

2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số

Ví dụ 2.3.2 (đề thi chuyên Lam Sơn, năm 2006) Giải hệ phương trình

4 3 2 2

3 2

1 1

x x y x y

x y x xy





   



Lời giải Trừ vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai ta được

4 2 3 2 2 2 2 0

Phương trình trên tương đương với (x2 xy)2  x2  xy 2 0

Giải phương trình trên ta được x2  xy1 hoặc x2 xy 2

Hệ đã cho tương đương với hai hệ

(I)

2

3 2

1

1

x xy

x y x xy





   



Hoặc (II)

2

3 2

2 1

x xy

x y x xy

   





   



Ta có (I) tương đương với hệ

2

3

1 0

x xy

x y









Giải hệ trên ta được x1 và y0 hoặc x  1 và y 0

Ta có (II) tương đương với hệ

3

2 3

x xy

x y

   





 



Từ phương trình thứ nhất ta có

3

3

y x

  Thế vào phương trình thứ hai ta được

2 2

3 2

x x

   Phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (1;0) và ( 1;0).

Nhận xét Nhờ trừ vế mà ta thu được mối quan hệ giữa các ẩn, nên có thể giải

quyết được bài toán một cách ngắn gọn So với cách giải thông thường rút ẩn y

từ phương trình thứ hai thế vào phương trình thứ nhất rất phức tạp, khó khăn trong quá trình biến đổi

2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp.

Ví dụ 2.3.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2014) Giải hệ phương trình

2







Lời giải Điều kiện

0 2

4 5 3

y





 



 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với phương trình

(1 y)( x y  1) (x y 1)(1 y) 0. Hay

1 1

y x y

Do

0

Nên phương trình trên trở thành y 1 hoặc y x 1

Với y1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có x3

Với y x 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có

2x2   x 3 2x (1)

Giải phương trình (1)

Điều kiện 1 x 2

Ta có phương trình (1) tương đương với phương trình

2

2(x   x 1) (x 1 2x) 0. Hay

1 2

   Suy ra x2   x 1 0

Khi đó giải phương trình trên ta có 1 5 hoặc

2





2





x

Kết hợp với điều kiện ta có 1 5, suy ra

2

2

 



y

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (3;1) và (1 5; 1 5)

Ví dụ 2.3.3.2 (đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2018)

Giải hệ phương trình

2

1 4 0







Lời giải Điều kiện

0 0

 









y x

Nhận thấy nếu y0 thì từ phương trình thứ nhất suy ra x0

Thay x y 0 vào phương trình thứ hai ta thấy không thỏa mãn

Vậy với điều kiện x0,y0,thì ta có

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với phương trình

xy x y xy   y x  y  Hay

0



Suy ra

(1)

x y



Với điều kiện đã cho phương trình thứ hai của hệ tương đương

3 4

1

 



x

Xét hàm số

3 4

1

f x

x

 



 trên nửa khoảng 0;thì ta có

3 2

2

( 1)

f x

x





Ta có f x'( ) 0, suy ra x1

Ta có bảng biến thiên sau

x 0 1  '( )

f x  0 

( )

f x 4



2

Từ bảng biến thiên ta có

3 4

2

1

x

 

 Vậy nên ta có

0



Do đó từ phương trình (1) ta có y x thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

3 2 2 3 4 0

Giải phương trình trên kết hợp với x0thì ta có x1 hoặc 1 17

2





x

Thử lại điều kiện, ta có hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt

và (1;1) (1 17 1; 17)

2.3.4 Phương pháp phân tích một phương trình của hệ thành nhân tử

Ví dụ 2.3.4 (đề thi Đại học khối A, năm 2011) Giải hệ phương trình







Lời giải Ta có phương trình thứ hai tương đương với

2 2

(xy1)(x  y 2) 0 xy1 x2 y2 2 Với xy thì từ phương trình thứ nhất ta có 1 y4 2y2  1 0

Giải phương trình này ta được y2 1 hay y1 hoặc y 1

Khi y1 thì x1, khi y  1 thì x 1

Với x2  y2 2 thì từ phương trình thứ nhất ta có

3 (y x  y ) 4 xy 2x y2(x y ) 0. Hay 6y4xy2 2x y2 2(x y ) 0.

Phân tích thành nhân tử ta được (1 xy)(2y x ) 0.

Suy ra xy1 hoặc 2y x 0

Với xy ta đã xét ở trên.1

Với 2y x 0, suy ra x2 ,y thế vào x2  y2 2 ta được

hoặc

10 5



5

 

y

Khi 10 thì

5



5

x

Khi 10 thì

5

 

5

 

x

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm phân biệt

2 10 10 2 10 10 (1;1); ( 1; 1); ( ; ); ( ; )

2.3.5 Phương pháp xem một phương trình của hệ là một phương trình bậc hai

Ví dụ 2.3.5 (đề thi Đại học khối B, năm 2013) Giải hệ phương trình

2 2

2 2







Lời giải Điều kiện

4 0

 



  



x y

Phương trình thứ nhất của hệ có thể viết thành

y2 (3x2)y2x23x 1 0 (1) Xem phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn còn ẩn là tham số y x

Giải phương trình này ta được y x 1 hoặc y2x1

Với y x 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

2

3(x x) ( x 1 3x 1) (x 2 5x4) 0.