Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế

Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Người thực hiện Hoàng Thị Xuân Chức vụ Giáo vi[.]

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2017

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2017

SangKienKinhNghiem.net

I MỞ ĐẦU 1

2.3.1 Ứng dụng tích phân trong bài toán chuyển động. 3 2.3.2 Ứng dụng tích phân trong bài toán tính diện tích. 7 2.3.3 Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO

SangKienKinhNghiem.net

1

I MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực

đã từng được khẳng định trong các văn kiện Đảng trước đây, đặc biệt là trong Nghị quyết sô 29 của Hội nghị Trung ương 8, khóa XI, khẳng định đây không chỉ là quốc sách hành đầu, là “ chìa khóa” mở ra con đường đưa đất nước tiến lên phía trước, mà còn là “ mệnh lênh” của cuộc sống

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục theo chủ trương của Đảng, từ năm 2015, bộ giáo dục và Đào tạo đã tổ chức kỳ thi THPT quốc gia được tổ chức theo hướng giảm áp lực, giảm tốn kém cho thí sinh, gia đình và xã hội những kết quả vẫn bảo đảm độ tin cậy để xét tootd nghiệp THPT và làm căn cứ cho các trường đại học, cao đẳng sử dụng trong tuyển sinh

Các kỳ thi năm 2015, 2016 đã được tổ chức thành công, sau mỗi năm có những điều chinh, hoàn thiện tốt hơn Tuy nhiên, việc tổ chức thi 8 môn với 4 môn theo hình thức tự luận tạo điều kiện để học sinh học tủ, học lệch…

Để từng bước khắc phục các hạn chế trên, kỳ thi THPT quốc gia năm

2017 sẽ tổ chức thi 5 nài thi: Toán, Ngữ Văn, Ngoại ngữ, Khoa học tự nhiên (KHTN) và Khoa học Xã hội (KHXH), Môn ngữ văn thi theo hình thực tự luận, các bài thi khác theo hình thức trắc nghiệm khách quan Với hình thức thi này sẽ hướng tới học sinh học tập toàn diện, khắc phục dần tình trang học tủ, học lệnh

Đối với môn Toán, năm nay là năm đầu tiên thi THPT Quốc gia theo hình thức TNKQ nên học sinh có phần lúng túng khi làm bài tập đặc biệt là một số dạng bài tập ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế Chính vì vậy, tôi mạnh

dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng tích phân trong bài toán

thực tế”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Cung cấp một số bài tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng tích phân có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học sinh

- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan

1.3 Đối tượng nghiên cứu

SangKienKinhNghiem.net

2

- Ứng dụng tích phân trong giải bài toán thực tế

- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2016-2017 tại trường THPT Nguyễn Trãi

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet, các đề thi thử của các trường THPT, các chuyên đề có liên quan

Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo trong

tổ bộ môn

SangKienKinhNghiem.net

3

II NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Tích phân là nội dung chính trong giải tích và là chuyên đề quan trọng trong toán THPT, tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về chuyển động, tính diện tích, tính thể tích…

Để giúp học sinh tích cực, chủ động trong học môn Toán - một môn Khoa học tự nhiên khô khan thì người giáo viên cần phải sáng tạo trong phương pháp giảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ đó kết quả dạy và học đạt được cao hơn

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa thực tế của tích phân Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề kiểm tra một tiết, thi học kì II ,đề thi THPT quốc gia Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :

- Không biết mối liên hệ giữa các đại lượng: quãng đường, vận tốc, gia tốc trong bài toán chuyển đông

- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay )

-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”

để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng chuyển bài toán về dạng quen Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

2.3 Các giải pháp đã sử dụng

2.3.1 Ứng dụng tích phân trong bài toán chuyển động.

a Cơ sở lý thuyết Giả sử một vât chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời

gian,v f t( ) (0  t T) Chứng minh rằng quãng đường S vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t a đến thời điểm t b (0   a b T) là

trong đó F là một nguyên hàm bất kì của f trên khoảng (0;T ).[2]

( ) ( ),

S F b F a

Bài giải

Trong mục 2.3.1.a: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 2.

SangKienKinhNghiem.net

4

Gọi s s t ( ) là quãng thời đường đi được của vật cho đến thời điểm t Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t a đến thời điểm t b

là Ss b( ) s a( )

Mặt khác, ta đã biết s t'( )  f t( ) do đó s s t ( ) là một nguyên hàm của f Thành thử, tồn tại một hằng số C sao cho s t( ) F t( ) C

Ta có: Ss b( ) s a( ) F b( ) C  F a( ) CF b( ) F a( ).

Vâỵ: ( )

b

a

S  f t dt

b Bài tập

Bài 1: Bạn Mai ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy bay là v t( ) 3  t2  5( / )m s Tính quãng đường máy bay bay được từ giây thứ 4 đến giây thứ 8?

Bài giải Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

4 4

S  t  dt t  t  m

Bài 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/ s thì người người đạp phanh Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )   30t 15( / )m s

trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ

lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Bài giải Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh

Gọi T là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc ô tô dừng hẳn

Ta có v T( ) 0   15 30  T  T 0.5

Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó ô tô di chuyển được quãng đường là :

2

0 0

15

4

S   t dt  t  t  m

Bài 3: Một vật đang chuyển động với vận tốc 15 m /s thì tăng tốc với gia tốc

Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây

( ) 3 ( / )

a t  t t m s

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

Bài giải Gọi v t( ) là vận tốc của vật Ta có v t'( ) a t( )  t2 3t

SangKienKinhNghiem.net

5

Suy ra   3 2 Vì nên suy ra

t t

v t  t  t dt  C v(0) 15  C 15

Thành thử quãng đường vật đi được là: 10 3 2

0

t t

S   dt m

Bài 4: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

là 20 /m s, gia tốc trọng trường là 9, 8 /m s2 Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi dừng lại [2]

Bài giải:

Gọi v t( ) là vận tốc của vật Ta có v t'( ) a t( )   9.8

Suy ra v t( )= - 9.8t +C , do v( )0 = 20 Þ C = 20 , v t( )= - 9.8t + 20

Tại thời điểm cao nhất thì t1 ( )1 1

0

v t = Þ t = =

Quảng đường viên đạn đi ( )

10 4.9

0

S= ò - t + dt » m

Bài 5: Vận tốc trung bình đi xe máy trong thành phố vào khoảng 35km/h đến 40km/h Khi gặp chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy phải phanh xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )    5 10( / )t m s Hỏi khi gặp chướng ngại vật, người điều khiển xe máy phải bắt đầu phanh khi cách chướng ngại vật ít nhất một khoảng bao xa để xe máy dừng hẳn trước khi đến chướng ngại vật

Bài giải:

Lấy mốc thời gian là lúc xe bắt đầu được đạp phanh

Gọi T là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe máy dừng hẳn

Ta có v T( ) 0   10 5  T  T 2

Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe dừng hẳn là:

2

0

( 5 10) 10

S    t dt m

Vậy người điều khiển xe máy phải phanh cách chướng ngại vật ít nhất 10m Bài 6: Một ô tô xuất phát với vận tốc v t1( ) 2  t 10( / )m s sau khi đi được một khoảng thời gian thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận t1

tốc Trong mục 2.3.1.b: Bài 4v t2( ) 20 4 ( / )   t m s và đi thêm một khoảng thời gian nữa thì dừng lại Biết được tham khảo từ TLTK số 2. t2

SangKienKinhNghiem.net

6

tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét [3]

Bài giải Đến lúc phanh vận tốc của xe là: v t1( ) 2  t 10( / )m s đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh; sau khi đi thêm thì vận tốc là 0 nên t2

Lại có nên ta có hệ:

2t  10 20 4   t  t 2t  5 t1 t2 4 1 2 1



Tổng quãng đường đi được là: 3  1 

S  t dt  t dt m

Bài 7: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m /s) thì người đạp phanh từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )    5t a m s( / ) trong đó

t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu a bằng bao nhiêu?[4]

Bài giải Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0: ( ) 0 5 0

5

a

Trong khoảng thời gian đó ô tô di chuyển được quãng đường là :

Theo bài ra ta có:

2

5 5

a

S t a dt  t at

10

a

a

Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là: 20 m/s

c Bài tập trắc nghiệm khách quan.

Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v t( ) 6  t 1, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là:

A. 15m B. 620m C 310m D. 260m

Câu 2: Một vật đang chuyển động với vận tốc 8m s/  thì tăng tốc với gia tốc là

một hàm phụ thuộc thời gian t được xác định a t   3t 6t2 m s/ 2 Khi đó quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

A 5600 (mét) B 2150 (mét) C 2160 (mét) D 5580 (mét)

Trong mục 2.3.1.b: Bài 6 được tham khảo từ TLTK số 3, bài 7 được tham khảo từ TLTK

số 4

SangKienKinhNghiem.net

7

Câu 3: Một vật chuyển động với gia tốc   Khi

( ) 20 1 2 ( / )

thì vận tốc của vật là 30( / )m s Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây [4]

A.106 m B.108 m C 107 m D 109 m

Câu 4: Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc v0  15 /m s thì tăng vận tốc với gia tốc a t  t2 4t m s / 2 Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.[7]

A 68, 25m B 70, 25m C. 69,75m D 67, 25m

Câu 5: Giả sử một vật đi từ trạng thái nghỉ t 0 s    chuyển động thẳng với vận tốc v t   t 6 t m / s    Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại

Câu 6: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h thì hãm pham, chuyển động chậm dần đều với phương trình vận tốc v 10 0,5  t m s /  Hỏi ô tô chuyển động được quãng đường bao nhiêu thì dừng lại?[5]

2.3.2.Ứng dụng tích phân trong bài toán tính diện tích.

A Cơ sở lý thuyết

Dạng 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục

hoành và hai đường thẳng x = a , x = b là:

  [1]

b

a

dx x f

Ghi nhớ :

* Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b]

(hay vô nghiệm trên [a ; b] ) thì ta có :

[1]



a

b

a

dx x f dx

x

f

Trong mục 2.3.1.c: Câu 3 được tham khảo từ TLTK số 4, câu 4 được tham khảo từ

TLTK số 7, câu 6 được tham khảo từ TLTK số 5.

SangKienKinhNghiem.net

8

* Nếu phương trình f(x) = 0 có k

nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , …, x k thuộc

(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x 1 ) , (x 1

; x 2 ) , …, (x k ; b) biểu thức f(x) có dấu

không đổi

Khi đó để tính tích phân

ta có thể tính như sau :



b

a

dx

x

f

S ( )

[1]







x

x

x

x

a

b

dx x f dx

x f dx x f dx

x

f

2

1 1

Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x) và

y = g(x) liên tục trên [a; b] Khi đó

diện tích của hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hai hàm số f (x), g(x) và

hai đường thẳng x = a, x = b là:

[1]

b

a

S  f x g x dx

Ghi nhớ :

Nếu phương trình f(x)-g(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , …, x k thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x 1 ) , (x 1 ; x 2 ) , …, (x k ; b) biểu thức f(x)-g(x) có dấu không đổi

b a

S  f x g x dx

1

k

S f x g x dx  f x g x dx   f x g x dx    f x g x dx

GV nhấn mạnh cho học sinh cố gắng đưa tích phân của trị tuyệt đối về trị tuyệt đối của tích phân và hạn chế vẽ hình vì thời gian làm bài TNKQ rất ít

Trong mục 2.3.2.a: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1.

SangKienKinhNghiem.net

9

B Bài tập

Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = - x2 , trục hoành Ox và hai đường

thẳng x = -1 ; x = 2

Bài giải

Diện tích S của hình phẳng trên là S  x dx





 2

1 2

y

x

f x   = -x 2

3

-4

-1 -2 A O 1

B

Hình 5

Phương trình  x2 0 vô nghiệm trên [-1;2] nên:

.

3 3

x

S x dx x dx



Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và các đường

thẳng x = -1 , x =

2 3

Bài giải

Diện tích S của hình phẳng trên là S  x dx



3

1 3

y

x

f x   = x 3

3/2

3 -1

4

-2 A O 1

B

Phương trình x3    0 x 0 do đó:

(đvdt)

3

1



Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị

(C ) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường

thẳng x = 2

Bài giải Trục tung có phương trình : x = 0

Diện tích S của hình phẳng trên là

dx x

x

S 2  

0

2

3 3 2

(C)

y

x

f x   = x  3 -3x 2  +2

3

2 -1

4

SangKienKinhNghiem.net

10

Phương trình x3 3  x2     2 0 x 1





1

2 3 1

0

2 3 2

0

2

3 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx

x

S

(đvdt)

2

5 4

5 4

5 4

5 4

5 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2

4

Bài 4: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12,5m Tính diện tích của cổng [4]

Bài giải Giả sử parabol có phương trình y ax 2 bx c a (  0)

(P) có đỉnh (0;25) và đi qua B(4;0) nên ta có hệ phương trình:

2

A

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5 10 15

x y

Vậy 25 2 25

y x 

Khi đó diện tích cần tìm là: 4 2 2

0

S   x  dx m



Bài 5: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn

hoá có dạng hình Parabol cao 8m và rộng 8m

(như hình vẽ) Người ta dự định lắp cửa kính

cường lực cho vòm cửa này, biết kinh phí lắp

cửa là 660.000/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để

lắp cửa ?

Bài giải

Giả sử parabol có phương trình y ax 2 bx c a (  0)

(P) có đỉnh A(0;8) và đi qua B(4;0)

nên ta có hệ phương trình:

Trong mục 2.3.2.b: Bài 4 được tham khảo từ TLTK số 4.

SangKienKinhNghiem.net