(SKKN HAY NHẤT) một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập về số chính phương cho học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở

- Tên sáng kiến:Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập về số chính phương cho học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở -Mô tả bản chất sáng kiến + Nội dung sáng k

Mã số

- Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập

về số chính phương cho học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở”

- Lĩnh vực áp dụng: Lĩnh vực tự nhiên

- Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Nga

- Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Tân Phong

Tân phong, tháng 01/2019

- Tên sáng kiến:Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy loại bài tập

về số chính phương cho học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở

-Mô tả bản chất sáng kiến + Nội dung sáng kiến

 Thực trạng

Trong quá trình dạy học, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi nhận thấy khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh về số chính phương vẫn còn nhiều lúng túng, không định hướng được cách giải cho nên trong học tập hay thi cử khi gặp các bài toán về số chính phương các em thường mong chờ may rủi Nếu các em được giáo viên hướng dẫn có hệ thống thì các em hoàn toàn có thể chủ động giải được loại bài toán này, từ đó phát huy được tố chất toán học tiềm ẩn trong học sinh, chấm dứt sự mong chờ may rủi trong kiểm tra thi

cử của học sinh, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

 Các giải pháp thực hiện

* Giải pháp 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản về số chính phương

+ Định nghía số chính phương

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên

Mười số chính phương đầu tiên là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

+ Một số tính chất của số chính phương

1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

2- Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố, ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố số mũ chẵn

3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n  N)

4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1 Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N )

5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ

6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

7- Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào

8- Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó là số 0

* Giải pháp 2: Phân loại các dạng bài tập

1 Loại bài tập “Nhận dạng xem một số có là số chính phương không”

2 Loại bài tập “Chứng minh một số là số chính phương”

3 Loại bài tập “Chứng minh một số không là số chính phương”

4 Loại bài tập “Tìm số chính phương”

5 Loại bài tập “Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương”

* Giải pháp 3: Hướng dẫn cách giải đối với mỗi loại bài tập, đưa ra ví dụ cụ thể và lời giải chi tiết

1 Loại bài tập “Nhận dạng xem một số có là số chính phương không”

Trong dạng bài tập này nếu theo định nghĩa về số chính phương thì các số trong các bài tập đề cập đến quá nhiều chữ số, rất khó phát hiện nó là bình phương của số nào ngay cả khi sử dụng máy tính cầm tay vì số chữ số của mỗi số tràn màn hình Nếu giáo viên không phát hiện ra tính chất của số chính phương thì sẽ không thể giải được bài tập loại này Do đó để giải được loại bài tập này tôi đã hướng dẫn học

sinh phát hiện và nên sử dụng tính chất nào của số chính phương thì mới giải được

Ví dụ 1: Hãy xét xem các số sau có phải là số chính phương không?

M = 1345678910111213

N = 1234567891011121314151617

P = 1234567891011121314151617181920212223

Giáo viên hướng dẫn: Để xét xem các số cụ thể trên có là số chính phương không, ta sử dụng tính chất của số chính phương đó là “số chính phương không tận cùng bởi các chữ số 2; 3; 7; 8”

Giải

Trước tiên ta xét chữ số tận cùng của các số M, N, P

M = 1345678910111213 có chữ số tận cùng là 3

N = 1234567891011121314151617 có chữ số tận cùng là 7

P = 1234567891011121314151617181920212223 có chữ số tận cùng là 3 Vậy M, N, P đều không phải là số chính phương

Ví dụ 2: Các số sau có là số chính phương không?

Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất 3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2

Và tính chất 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1

Giải:

dư 1, còn 2

1992 chia hết cho 3 Số A là số chia cho 3 dư 2, không là số chính phương

1993 ,1995

là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1 Số B là số chia cho 4 dư 2, không là số chính phương

Các số 100 100

9 là

số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1.Số P là số chia cho 4 dư 2, không là số chính phương

Ví dụ 3: Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không?

11, 111, 1111, 11111,

Giáo viên hướng dẫn: Áp dụng tính chất3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2

Giải

Mọi số của dãy đều tận cùng bởi 11 nên là số chia cho 4 dư 3 Mặt khác, số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1

Vậy không có số nào của dãy là số chính phương

2 Loại bài tập “Chứng minh một số là số chính phương”

Với dạng bài tập này các số mà bài tập đề cập thường rất phức tạp không đơn giản để phát hiện nó là bình phương của một số Do vậy với từng số, từng biểu thức cần biến đổi để đưa chúng về các hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu Cách biến đổi như thế nào cho hiệu quả nhất thì tôi đã hướng dẫn cụ thể trong các ví dụ Sau đây là các ví dụ minh họa mà tôi đã áp dụng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương

a) A = 11 … 1

ố

-22 … 2

ố

b) B = 224 99 … 9

ố

1 00 … 0 9

ố

c) C =44 … 4

ố

88 … 8

ố

9

Giáo viên hướng dẫn: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một số chính phương tức là biến đổi chúng về bình phương của một tổng

Giải

a, A = 11 … 1

ố

-22 … 2

ố

= 11 … 1

ố

00 … 0

ố

+11 … 1

ố

- 2.11 … 1

ố

= 11 … 1

ố

10 - 11 … 1

ố

Đặt 11 … 1 =a 99 … 9

ố

= 9a  9a +1 = 10

Do đó A = a(9a + 1) – a = 2  2

9a  3a = (33 … 3

ố

)2 là một số chính phương

b, B = 224 99 … 9

ố

1 00 … 0 9

ố

= 224.10 + 99 … 9

ố

10 +10 +9 = 224.10 + (10 − 1)10 + 10 +9 = 224.10 + 10 - 10 +10 +9 = 225.10 - 9 10 + 9

= 225.10 - 90 10 + 9 = 1510n  32

Vậy B là một số chính phương

c, C =44 … 4

ố

88 … 8

ố

9 = 4.11 … 1

ố

10 + 8.11 … 1

ố

+ 1 = 4  1 

9

n

 10 +8  1 

9

n

 + 1 =

9

n n

=

2 1

3

n

2.10n   1 luôn chia hết cho 3 nên C là một số chính phương

Ví dụ 2: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) (kN)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương

Giáo viên hướng dẫn:Tính tổng S là một dãy có quy luật:

k(k + 1)(k + 2) = 1

4k (k + 1)(k + 2) 4= 1

4k(k + 1)(k + 2) (k 3) (  k 1)= 1

4k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1

4 k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

Giải :

Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1

4k (k + 1)(k + 2) 4= 1

4k(k + 1)(k + 2) (k 3) (  k 1)

= 1

4k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1

4 k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Đây là tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng

1 luôn là số chính phương (Đã chứng minh ở ví dụ 3)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương

Giáo viên hướng dẫn: Nhân thừa số đầu và thừa số thứ tư, thừa số thứ hai và thừa số thứ ba trong tích rồi đặt ẩn phụ để A là bình phươngcủa một số nguyên

Giải

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4

y

= ( x25xy4y2)(x25xy6y2)y4

Đặt x2 5xy5y2t (tZ) thì

A = (ty2)(ty2) y4 t2 y4 y4 t2 (x25xy5y2 2)

x Z xyZ y Z x  xy y Z

Vậy A là số chính phương

3 Loại bài tập “Chứng minh một số không là số chính phương”

Với loại bài tập này ngược lại với loại bài tập trước nếu theo tư duy logic thì cách làm là biến đổi các số, các biểu thức đã cho không có dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu, theo cách này thì một số bài tập trong ví dụ sau là khó khả thi Vì vậy tôi đã đưa ra giải pháp là cần xem xét kĩ các tính chất của số chính phương mà tôi đã cung cấp cho các em để phát hiện nó không thỏa mãn tính chất nào để từ đó kết luận cho bài toán

Ví dụ 1 Chứng minh rằng :

a, Tổng của ba số chính phương liên tiếp không là một số chính phương

b, Tổng S = 2 2 2 2

1  2  3  30  không phải là một số chính phương

Giáo viên hướng dẫn: Xét số dư trong phép chia số đó cho 3

Giải

a, Gọi ba số chính phương liên tiếp là  2 2  2

n n n

Tổng của chúng là  2 2  2

n n  n = 2 2 2

n  n n n  n = 2

3n 2

Tổng này chia cho 3 dư 2 nên không phải là số chính phương

b,Ta viết S thành tổng của 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số hạng

1  2  3  4  5  6  28  29  30

Mỗi nhóm chia cho 3 dư 2 nên

S = 3k1  2  3k2  2  3k10  2

S = 3k1 3k2 3  k10 18 2 

S = 3k + 2 (trong đó k = k1k2 k10 6)

S chia cho 3 dư 2 nên S không phải là số chính phương

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: A = 2 2 2 2 2

1  2  3  4  100  không là số chính phương

Giáo viên hướng dẫn: Với cách làm ở ví dụ 1 thì A chia cho 3 dư 1, ta chưa

khẳng định được điều gì Nên chuyển hướng xét số dư khi A chia cho 4

Giải

A gồm 50 số chính phương chẵn, 50 số chính phương lẻ Mỗi số chính phương chẵn chia hết cho 4 nên tổng của 50 số đó chia hết cho 4 Mỗi số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1 nên tổng của 50 số đó chia cho 4 dư 2

A là số chia cho 4 dư 2, không là số chính phương

Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương

Giáo viên hướng dẫn:Chứng minh tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp chứa số nguyên tố với số mũ lẻ

Giải

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n, n +1, n + 2 ( n  N, n >2)

Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 (n2 + 2)

Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5

=> 5.(n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương

Ví dụ 4:Cho a, b, c là các chữ số khác 0 Gọi S là tổng của tất cả các số có 3 chữ số tạo thành bởi cả 3 chữ số a, b, c Chứng minh rằng S không phải là số chính phương

viết mỗi số hạng ở dạng cấu tạo số

Giải

Ta có S = abc +acb + bca + bac + cba + cab = 100a + 10b + c + 100a + 10c + b + 100b + 10c + b + 100b + 10a + c + 100c + 10b + a + 100c + 10a + b

= 222(a + b +c) = 2.3.37(a + b +c)

Vì 0< a + b +c ≤ 27 nên a + b +c không chia hết cho 37 (6; 37) = 1 6(a + b +c) không chia hết cho 37 do đó S không phải là số chính phương

4 Loại bài tập “Tìm số chính phương”

Ở loại bài tập này giáo viên hướng dẫn: Biểu diễn số chính phương đúng theo yêu cầu của đề bài, tiếp theo viết số đó dưới dạng tổng các lũy thừa của 10

Ví dụ 1Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau

Giáo viên hướng dẫn:Biểu diễn số chính phương đúng theo yêu cầu của đề bài, viết số đó dưới dạng tổng các lũy thừa của 10

Giải

Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9

Ta có: n2 = aabb = .100 + = 1100 a + 11b =11.(100a + b) = 11.(99a + a + b)

(1) Nhận xét thấy aabb  11 99a + a + b  11(Vì aabb là số chính phương), lại có 99a 11 nên a + b  11

Mà 1  a  9; 0  b  9 nên 1  a + b  18  a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương Bằng phép thử với a = { 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9 } ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn Suy ra b = 4

Số chính phương cần tìm là: 7744

Ví dụ 2:Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương

Giáo viên hướng dẫn: Làm như ví dụ 1 nhưng chú ý đến số nguyên tố và căn bậc hai

Giải

Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1  a  9; 0  b, c, d  9

abcdchính phương  d 0 , 1 , 4 , 5 , 6 , 9 d nguyên tố  d = 5 Đặt abcd = k2< 10000  32  k < 100

k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5  k tận cùng bằng 5 Tổng các chữ số của k là một số chính phương  k = 45

 abcd = 2025 Vậy số phải tìm là: 2025

Ví dụ 3 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị

Giáo viên hướng dẫn: Làm như ví dụ 1

Giải

k abcd  ta có ab  cd  1 và k  N, 32  k < 100

 = + 1; k2 = = 1000a + 100b + = 100 + = 100(1 + ) + = 101 + 100 Suy ra : 101cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10)  k + 10  101 hoặc k – 10  101

Mà (k – 10; 101) = 1  k + 10  101

Vì 32  k < 100 nên 42  k + 10 < 110  k + 10 = 101  k = 91

5 Loại bài tập “Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương”

Ở loại bài tập này cần đặt cả biểu thức trong đề bài là bình phương của một

số tự nhiên, sau đó biến đổi theo hướng có sử dụng tính chất của số chính phương

Ví dụ 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2 + 1234 là một số chính phương

hai bình phương chính là hiệu của hai số chính phương, rồi xét số dư khi chia cho

4

Giải

Đặt n2 + 1234 =k2 (kN) hay 2 2

1234

k n  Số 1234 chia cho 4 dư 2 mà 2

k n2 là hiệu của hai số chính phương chia cho 4 không có số dư là 2

Do đó không có số tự nhiên nào để cho n2 + 1234 là số chính phương

Ví dụ 2: Tìm các số tự nhiên k để cho số 4 7

2k 2  2 là số chính phương

hiện hiệu của hai số chính phương

Giải

2k  2  2 a (aN)  2k a2 144  (a 12)(a 12)  

m

n

a a







(m, n N; m > n và m + n = k )

Thử lại ta thấy 8 4 7 2

2  2  2  400  20 Vậy k = 8

Ví dụ 3: Tìm các số tự nhiên x sao cho x 2 + 2x + 200 là một số chính phương

Giáo viên hướng dẫn: như ví dụ 2

Giải

Đặt x2 + 2x + 200 = a2 (a N; a > 14)

a

Do a + x + 1 và a - x -1 có cùng tính chẵn lẻ nên (a x 1)(a x 1)      199.1

Vì a + x + 1 > a - x -1 nên a x 1 199

a x 1 1

  





  



98  2.98 200   10000 100  là số chính phương

Vậy x = 98 thìx2 + 2x + 200 là số chính phương

Ví dụ 4: Tìm các số nguyên x sao cho A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) là một số chính phương

Giáo viên hướng dẫn: như ví dụ 3, cần lưu ý để xuất hiện hiệu hai số chính phương cần đặt ẩn phụ

Giải

A = x(x - 1)(x - 7)(x - 8) = (x2 – 8x)( x2 – 8x +7) Đặt x2 – 8x =t thì A = t(t +7) = t2 + 7t

Giả sử A là một số chính phương thì t2 + 7t = m2 (mN)

 4t2 + 28t + 49 =4m2 + 49

(2t + 7)2 - (2m)2 = 49 (2t +7 + 2m)( 2t +7 - 2m) = 49

Ta thấy 2t +7 + 2m > 2t +7 - 2m nên

(2t +7 + 2m)( 2t +7 - 2m) = 49 = 49.1 = (-1)(-49) = 7.7 =(-7)(-7) Xét các trường hợp

(I) 2 7 2 49







 t = 9

Do đó x2 – 8x =9 (x +1)(x - 9) = 0  x   1;9

(II) 2 7 2 1







 t = -16

Do đó x2 – 8x =-16 (x - 4)2 = 0 x = 4 (III) 2 7 2 7







 t = 0

Do đó x2 – 8x = 0 x(x - 8) = 0  x 0;8







 t = -7

Do đó x2 – 8x =-7 (x - 7)(x - 1) = 0  x  1; 7