SKKN Dùng máy tính casio fx570ES hỗ trợ giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình 0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DÙNG MÁY TÍNH CASIO FX570ES[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DÙNG MÁY TÍNH CASIO FX570ES
HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện: Nguyễn Hữu Thận Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM HỌC 2018 - 2019
Trang 2MỤC LỤC
Trang
1 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài 2
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
1.5 Những điểm mới của SKKN
2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận
2.2 Thực trạng của vấn đề
2.3 Tổ chức thực hiện
2.3.1 Các chức năng cần thiết của máy tính cầm tay Casio fx 570ES 2.3.2 Nội dung SKKN “ Dùng máy tính casio fx570ES hỗ trợ giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình ” 2.3.2.1.THAY CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC NHAU BẰNG MỘT CÁCH GIẢI 2.3.2.2 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP
DẠNG 1: LIÊN HỢP TÌM TỪNG NGHIỆM
DẠNG 2: LIÊN HỢP TÌM HAI NGHIỆM
DẠNG 3: LIÊN HỢP TÌM NGHIỆM VÔ TỈ
DẠNG 4: LIÊN HỢP NGƯỢC
2.3.2.3 ÁP DỤNG VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2.4 Bài học kinh nghiệm
3 Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo
2 2 2 2
3 3 3 3 3
3 9 9 11 11 12
12 16 16 17
Trang 31 MỞ ĐẦU.
1.1 Lí do chọn đề tài:
Thực hiện theo định hướng, chỉ đạo của BỘ GIÁO DỤC về đổi mới trong giáo dục trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Tập trung tới tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, phát huy năng lực phát hiện vấn đề, định hướng
và giải quyết vấn đề Trong việc đổi mới đó, công nghệ đóng một vai trò quan trọng trong việc hỗ trợ và định hướng lời giải
Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình là một trong những vấn đề trọng tâm của chương trình bồi dưỡng, thi HSG cũng như thi THPT Quốc Gia Đây cũng là một chủ đề chứa đựng kiến thức tổng hợp, rộng lớn Hơn nữa, trước sự thay đổi về thi THPT Quốc Gia cũng như thi HSG cấp tỉnh – Tỉnh Thanh Hóa, từ HSG lớp 12 sang HSG lớp 11 nên trong công tác bồi dưỡng HSG về chủ đề này cũng phải thay đổi theo
Bài viết của tác giả sẽ không đề cập nhiều tới những vấn đề, dạng toán cũng như phương pháp giải truyền thống mà tập trung vào phương pháp mới, có
cả sự hỗ trợ của máy tính cầm tay trong việc định hướng cách giải
1.2 Mục đích nghiên cứu:
- Nâng cao hiệu quả, chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi
- Tăng tính linh hoạt, chủ động và hiệu quả đối với học sinh khi giải toán
- Vận dụng giải quyết các bài toán vận dụng liên quan
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh THPT
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là:
“ Dùng máy tính casio fx570ES hỗ trợ giải phương trình, bất phương trình và
hệ phương trình ”
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp đặt vấn đề và giải quyết vấn đề
1.5 Những điểm mới của SKKN:
- Thay các phương pháp giải khác nhau bằng một phương pháp
- Dùng máy tính casio fx570ES hỗ trợ giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình
Trang 42 NỘI DUNG:
2.1 Cơ sở lí luận:
- Có nhiều phương pháp giải khác nhau để giải một bài phương phình, bất phương trình Hơn nữa, mỗi phương pháp chỉ phù hợp và áp dụng với từng dạng bài toán khác nhau Chính điều đó làm cho học sinh lúng túng khi giải toán Từ thực tế đó, tôi tìm tòi học hỏi, nghiên cứu và đưa ra giải pháp: Dùng máy tính hổ trợ trong việc định hướng tìm lời giải Với ý tưởng:
1 Thay tất cả các phương pháp truyền thống bằng một phương pháp: tìm nghiệm bẳng máy tính và đưa về bậc 4
2 Các bài toán không đưa về bậc 4 được thì dùng PP liên hợp
- Máy tính casio fx570ES và các máy tính khác tương đương hoặc cao hơn có chức năng tìm nghiệm bất kì, tìm nghiệm quanh một giá trị nào đó
2.2 Thực trạng của vấn đề:
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy: Đối với các bài toán về giải
phương trình, bất phương trình và hệ phương trình: Phần lớn học sinh không nhớ hết các dạng toán, không nhớ hết các phương pháp giải dẫn đến lúng túng,
bị động, mất nhiều thời gian
2.3 Tổ chức thực hiện:
2.3.1 Các chức năng cần thiết của máy tính cầm tay Casio fx 570ES
- Thay các giá trị vào biểu thức: Nhập biểu thức/ Calc/ =/ nhập giá trị cần thay
- Tính các giá trị của một (hai) hàm trên đoạn [a; b] theo bước nhảy: Mode/table/f(x)= nhập hàm/g(x)= (bấm = để bỏ qua nếu dùng 1
hàm)/start/ a/=/ end /b/ =/ Step/b a/=
n
- Tìm một nghiệm của phương trình: Nhập pt/ shifl/solve/=
- Tìmnghiệm gần m nhất của phương trình: Nhập pt/ calc/m/
shifl/solve/=
2.3.2 Nội dung SKKN “ Dùng máy tính casio fx570ES hỗ trợ giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình ” :
2.3.2.1 THAY CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC NHAU BẰNG MỘT CÁCH GIẢI :
*) MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP:
Điểm lại một số dạng toán cùng phương pháp giải truyền thống
Trang 5Bài 1: Giải phương trình 2x2 3x 2 3. x3 8 (2)
BL: (Dùng PP đưa về phương trình đẳng cấp)
ĐK xác định: x3 8 0 x 2
2 x 3x 2 3. x 8 2 x 3x 2 3. x 2 x 2x 4
Đặt
2
Khi đó ta được phương trình: 2b2 a2 3ab b 2a2b a 0 b 2a
2
(2) x 2x 4 2 x 2 x 3 13 (TM)
Vậy phương trình có nghiệm là x 3 13
Bài 2: Giải phương trình 2x2 x2 3 x 1 x 1 0 (3)
BL: (Dùng PP đổi biến không hoàn toàn)
Đặt x 1 a 0 x a2 1
Khi đó ta được phương trình:
2x x 3 a a 2 0 a x 3 a 2 2x 0
1
x
Đối với phương pháp “ đổi biến không hoàn toàn”, không phải lúc nào ta cũng áp dụng được một cách thuận lợi khi phương trình bậc hai sau đổi
phức tạp
Tôi lấy ví dụ sau:
Bài 3: Giải phương trình x2 2x 1 6 2 x 6 4x 0
Giải thử:
Đặt 6 2 x t 0 2x 6 t2 Khi đó ta được phương trình:
2 2 1 6 2 6 2 0 2 2 2 2 2 6 0
x x t t x tx t t
không có ngay dạng bình phương
/ t2 2t 6
Trang 6Giải pháp: Dùng phương pháp “Ép đổi biến không hoàn toàn” đưa
thêm tham số vào
x x x x x x x m x x mx Đặt 6 2 x t 0 2x 6 t2
Khi đó ta được phương trình: x2 2x 1t 6 m6 t2 4 2m x 0
,
x t m x mt t m / 1 m t 2 2m 1t m 2 2m 2
Ý tưởng: biến đổi để / 2 2 2
1 m t 2 m 1 t m 2m 2
+ Với m 1: / 1 thỏa mãn
+ Với m 1: Điều kiện là
2
1
3 21
2
Do đó ta chọn m = -1
Trở lại bài toán,
Bài giải:
x x x x x x x x x
Đặt 6 2 x t 0 2x 6 t2
Khi đó ta được phương trình: x2 2 t 1 x t 2 2t 0, / 1
Bài 4: Giải phương trình x2 2x 3 x 3
Cách 1: ( Đổi biến đưa về hệ đối xứng loại 2)
Đặt 3 0 ta được hệ phương trình:
1
x b
2 2
4 , 0 4
b a
a
a b
Giải tiếp ta được kết quả: 1 3 17, 2 1 13
x x
Cách 2: (Đưa về tổng, hiệu các bình phương)
x x x x x x x
Trang 72 2 1 1
3
3
2
2
x
2 3
x
Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 3 17, 2 1 13
x x
Cách 3: Giải bằng pp “ Ép đổi biến không hoàn toàn”
x x x x x x x
Đặt: x 3 a 0 ta được phương trình:
2
x x x x x a a a
3
2
2
x
2 3
x
Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 3 17, 2 1 13
x x
*) GIẢI NHIỀU DẠNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PP ĐƯA VỀ BẬC 4:
Các chức năng cần thiết của máy tính cầm tay Casio fx 570ES
- Thay các giá trị vào biểu thức: Nhập biểu thức/ Calc/ =/ nhập giá trị cần thay
- Tính các giá trị của một (hai) hàm trên đoạn [a; b] theo bước nhảy: Mode/table/f(x)= nhập hàm/g(x)= (bấm = để bỏ qua nếu dùng 1
hàm)/start/ a/=/ end /b/ =/ Step/b a/=
n
- Tìm một nghiệm của phương trình: Nhập pt/ shifl/solve/=
Trang 8- Tìm nghiệm gần m nhất của phương trình: Nhập pt/ calc/m/
shifl/solve/=
Chẳng hạn: Ta biết phương trình x2 3x 2 0 có hai nghiệm 1 và 2
- Nhập x2 3x 2/ calc/0/ shifl/solve/= ta được x =1
- Nhập x2 3x 2/ calc/3/ shifl/solve/= ta được x =2
Bài 1: Giải các phương trình
(Lấy lại tất cả các phương trình trong mục I.1)
1 2x2 3x 2 3. x3 8 2 2x2 x2 3 x 1 x 1 0
3 x2 2x 1 6 2 x 6 4x 0 4 x2 2x 3 x 3
Bài giải:
1 ĐK: x ;1 2;
* Phân tích:
- Nhập 4X4 33X3 52X2 48X 56
- Bấm: Calc/ -100/= / ta được x1 0,6055512755
- Bấm: Calc/ 100/= / ta được x2 6,6055512755
- Kiểm tra 1 2 là 2 nghiệm phương trình
1 2
6 4
x x
x x
x x1, 2
2 6 4 0
x x
Do đó khi phân tích thành nhân tử sẽ tạo ra: x2 6x 4
* Bài giải:
Bình phương hai vế, pt 4x4 33x3 52x2 48x 56 0,
(Thỏa mãn)
x2 6x 4 4 x2 9x 14 0 x 3 13
2 2x2 x2 3 x 1 x 1 0 x2 3 x 1 x 1 2 x 1,
ĐK xác định: x 1
2
1
x
(*)
2
3 (2)
x
Trang 9- Nhập X4 6X3 4X2 3X 10
- Bấm: Calc/ 100/= / ta được x 5
Do đó (*)
2
3 2
3
5
x
x
Vậy phương trình có tập nghiệm: S 1;5
3 x2 2x 1 6 2 x 6 4x 0 x2 4x 6 2x 1 6 2 x ,
ĐK: 1 x 3 (*)
- Nhập X4 12X2 8X 12
- Bấm: Calc/ 100/= / ta được x1 2,732050808
- Bấm: Calc/ -100/= / ta được x2 3,645751311
- Bấm: Calc/ 0/= / ta được x3 0,732050808
là 2 nghiệm phương trình
1 3
1 3
2 2
x x
x x
x x1, 3
2 2 2 0
x x
1 3
x
x
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm S 1 7;1 3
4 x2 2x 3 x 3 (Phân tích và giải tương tự)
Bình phương 2 vế pt, ta có:
pt x4 4x3 2x2 11x 6 0 2 2
3 17 2
1 13 2
x
x
Thử lại ta thu được 2 nghiệm: 1 3 17, 2 1 13
Bài 2: Giải bất phương trình 1 2 x 1 2 x 2 x2
Trang 10Bài giải: ĐK xác định: 1 1 2
1 2 x 1 2 x 2 x 2 2 1 4 x 4 4x x
Đặt 1 4 x2 t 0 ta được bất phương trình:
2 2
2 1
2 2 3
4
t
t t
22
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
2.3.2.2 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP:
Ngoài các phương trình và bất phương trình có thể dễ dàng đưa về bậc 4, còn có nhiều phương trình và bất phương trình khác không đưa về bậc 4 được Một trong số các PP giải trong tình huống này là PP liên hợp với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay, kiểm tra số nghiệm của phương trình trước khi chọn cách giải
DẠNG 1: LIÊN HỢP TÌM TỪNG NGHIỆM:
Bài 1: Giải phương trình x2 12 5 3 x x2 5
Bài làm:
Dùng chức năng tìm nghiệm, ta kiểm tra được pt chỉ có một nghiệm x= 2
+ Với x = 2: thỏa mãn
+ Với x 2:
3
x x x x x
3 0
Vậy pt có một nghiệm duy nhất x= 2
Bài 2: Giải phương trình 3 x x 2 x3 x2 4x 1
Trang 11Bài làm:
Dùng chức năng tìm nghiệm, ta kiểm tra được pt có hai nghiệm x= -1 và x=2
Bước 1: tìm nghiệm x = -1
3 2 2 1 3 2 4 4
Pt x x x x x
2 2
2
1
4 (2)
x
x
Bước 2: ta chứng minh (2) có nghiệm duy nhất x = 2
+ Với 2 x 3: 1 1; 1 (không thỏa mãn)
x
+ Với 2 x 2: 1 1; 1 (không thỏa mãn)
x
+ Với x = 2: thỏa mãn
Vậy (2) có nghiệm duy nhất x = 2
KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và x=2
Bài 3: Giải bất phương trình 3 2x 2. x 12 x2 16x 33
Bài làm : ĐK : x > -12
3 2 2 2 12 2 12 3 2 16 39
BPT x x x x x
12 3
x
12 3
x
x
Ta chứng minh :
13 0
12 3
x
x
13 (2)
12 3
3
x
x x
x
Ta chỉ cần chứng minh rằng: 2 x12 x 13, t x 12 (3)
Trang 122t < 3(t2 +1) 3t2 2t 3 0 đúng.
KL: x > - 3
DẠNG 2: LIÊN HỢP TÌM HAI NGHIỆM:
Bài 4: Giải phương trình 3 x x 2 x3 x2 4x 1 (là bài 2 – mục II.2)
Bài làm :
Dùng chức năng tìm nghiệm, ta kiểm tra được pt có hai nghiệm x= -1 và x=2
PT x x x x x x x
2
KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và x=2
DẠNG 3: LIÊN HỢP TÌM NGHIỆM VÔ TỈ:
Bài 5: Giải phương trìnhx2 2x 1 6 2 x 6 4x 0 (là Bài 1.3 phần I.2)
Bài làm : ĐK: 1 x 3 (*)
6 2
x x
x x
x x x
x x
Giải tiếp ta được tập nghiệm S 1 7;1 3
Bài 6: Giải phương trình 2 x x 1 2 x2 x
Bài làm : ĐK: 21 2 1 2 (*)
2 0
x
x
x x
PT x x x xx x
Với ĐK (*), 2 x x 1 0, x 1 x 0 Do đó:
2
1
2
Trang 13Kết hợp điều kiện ta được nghiệm là 1 5
2
x
DẠNG 4: LIÊN HỢP NGƯỢC:
Tác dụng: không phải xét nhiều trường hợp khi chia cho một biểu thức Bài 7: Giải pt x3 6x2 171x 40x 1 5 x 1 20 0
Bài làm : ĐK: 1
5
x
Pt x x x x x x
20 x 1 x 1 2 5x 1 x 1 2 5x 1 x 1 2 5x 1 x 8 0
1
1 2 5 1 0 ( )
5
thỏa mãn
2
1 1
x x
Vậy phương trình có nghiệm x 11 2 29
2.3.2.3 ÁP DỤNG VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
x xy y
Bài làm : ĐK 2 5 2 0 (*)
xy y
y xy
Từ (2) => y > 0
Từ hệ ta có: 3y xy 5y2 5y2 11xyx2 3xy 20y2
, Đặt ta được phương trình:
2
3 x 5 5 11x x 3x 20
x y t
3 t 5 5 11t t 3t 20 3 t 5 t 7 3 5 11t 3 t t 5t 4
2
5 4
t t
Trang 14
2 5 4 0
t t
TH1: Với x 4y: thay vào (1) ta được 2 3
2
y y
Vì y > 0 nên 3 2 3 (tm (*))
2
y x
TH2: Với x y: thay vào (1) ta được y2 1 y 1
Vì y > 0 nên y 1 x 1 (tm (*))
Vậy hệ có tập nghiệm là 2 3; 3 , 1;1
2
S
Bài 9: Giải hệ phương trình 2
3 3
Bài làm : ĐK
3
0 (*) 2
y x
Thay vào pt (2) ta được:
(1) x y x 2 y 1 0 x y y x
3 x2 1 x x3 2 3 x2 1 2 x 3 x3 2 5
2
3
3 1
2 5
x x
x
2
3
2 5
x
x
Dùng chức năng mode/table đối với hai hàm số:
trên một đoạn nào đó
2
2 5
x
Trang 15(chẳng hạn: [1.5; 10], 10 1.5 ) ta định hướng chứng minh:
18
Step
Thật vậy,
2
2 5
x
*) Ta chứng minh:
2
2
3
x
3 x2 1 1 x 3 x2 1 1 x 3t4 1 1 t t, x 1
điều này đúng
3
3
3 9
2 5
x x
x
Ta có 2 x3 2 2 x3 1 2 x 1 x2 x 1 x2 2x x 2 2x x 1 Đfcm KL: Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 9)
BÀI TẬP THỰC HÀNH:
Giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau
1 2x2 2 5. x3 1
2 x2 1 2x 3 3x2 2x
3 2x2 5x 3 x
2
x
5 2x2 3 x 5 2 2x 5 3x1
7 4x2 24x 3 5 x 1 24x3 44x2 6x 11.
x 2x(y 1) y 6y 1 0
ïï íï
ïî
9 2x22 y22 3xy 3x 2y 1 0 4x y x 4 2x y x 4y
ìï + - + - + = ïïí
ïïî
3
11
3 3 ( 1) 3 9( 1)
2.4 Bài học kinh nghiệm:
Trang 16Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy: Đối với các bài toán về giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình thì phần lớn học sinh không nhớ hết các dạng toán, không nhớ hết các phương pháp giải dẫn đến lúng túng, bị động, mất nhiều thời gian Sau khi được hướng dẫn, định hướng, giải theo hướng mới học sinh tự tin hơn, hào hứng học hơn và làm bài hiệu quả hơn trước
Kết quả thử nghiệm trong học kì 1 ở các lớp: 10A1, 10A4 năm học
2016-2017 và đội tuyển toán lớp 11 năm học 2016-2017-2018:
(thông qua bài test để đánh giá mức độ hiểu và vận dụng kiến thức bài học)
Loại
Trung bình(sl) Yếu(sl) Kém(sl)
Để nâng cao chất lượng bài giảng, giáo viên cần lưu ý:
- Yêu cầu học sinh chuẩn bị bài trước khi đến lớp, nắm vững kiến thức cơ bản
- Xây dựng hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao một cách logíc, khoa học
và hướng đến việc phát triển tư duy cho học sinh, tạo niềm tin, hứng thú, sự say mê
- Yêu cầu học sinh dành nhiều thời gian luyện tập, thực hành kĩ theo phương pháp mới
3 Kết luận và kiến nghị :
Nên tổ chức tập huấn sâu rộng tới các giáo viên toán về cách dùng máy tính Casio fx570 Các thuật toán cần thiết, quan trọng trong thực tế giảng dạy
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày tháng năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người
khác
(Ký và ghi rõ họ tên)
Nguyễn Hữu Thận