SKKN Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải một số bài toán đại số trong trường THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP L[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG
TRƯỜNG THPT
Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán
Trang 2MỤC LỤC
Mục lục
1.MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2 NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận
2.1.1 Các hàm số cơ bản………
2.1.2 Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá tri
2.1.3 Phép đổi biến số…………
2.2 Cơ sở thực tiễn
2.3 Nội dung nghiên cứu
2.3.1 Dạng 1
2.3.2 Dạng 2
2.3.3 Dạng 3
2.3.4 Dạng 4
2.4 Kết quả nghiên cứu của SKKN
3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………
Tài liệu kham khảo
1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 5 5 5 9 11 13 15 16 18
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Là giáo viên dạy nhiều năm ở bộ môn toán THPT, tôi đã gặp không ít những trắc trở trong việc giảng dạy ở nhiều bài toán như giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ, tích phân, số phức Vì mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải thể hiện được khái niệm toán học của nó Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học Phương pháp lượng giác hóa mang lại tính sáng tạo, ngắn gọn, dễ hiểu cho học sinh khi xử lí một số bài toán khó Chính vì vậy tôi chọn đề tài của sáng kiến kinh nghiệm là:”Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số trong trường THPT”
1.2 Mục đích nghiên cứu
Trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán bằng “ con
mắt” của lượng giác Từ những bài toán không chứa những yếu tố lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hoá Qua phương pháp này giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, tư duy logic và tổng quát hóa bài toán
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong phần giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ, số
phức Phương pháp này dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi THPT Quốc gia
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Ở đây tôi nêu ra phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết thông qua một số bài
toán cụ thể về phương trình, có hệ phương trình, số phức Trong mỗi ví dụ tôi đã cố gắng phân tích để dẫn dắt người đọc hiểu và áp dụng được phương pháp lượng giác hóa để giải Bên cạnh đó tôi còn nêu ra một số bài tập để người đọc có thể rèn luyện thêm kiến thức
Trang 42 NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng giác hoá, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận
là logic Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá
Những kiến thức liên quan:
2.1.1 Các hàm số cơ bản:
*) Hàm số: y sin x, y cos x
Miền xác định: R
Miền giá trị: 1 ; 1
Chu kì: 2
*) Hàm số: y tanx
Miền xác định: xR x k ,kZ
2 :
Miền giá trị: R
Chu kì:
*) Hàm số: y cot x
Miền xác định: xR:xk ,kZ
Miền giá trị: R
Chu kì:
2.1.2 Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giái trị:
4 sin(
2 ) 4 cos(
2 cos
4 sin(
2 ) 4 cos(
2 sin
cos
*) Nếu Csinxcosx thì ta có 2 2 C 2 2
Trang 52.1.3 Phép đổi biến số:
*) Nếu x k, (k 0 ) thì ta đặt x kcos, 0 ; hoặc
2
; 2 ,
sin k
x
*) Nếu xR thì ta đặt
2
; 2 ,
tan x
*) Nếu x, y thoả mãn điều kiện a2x2 b2y2 c2 , (a,b,c 0 ) thì ta đặt sin,
a
c
x
, 0 ; 2
cos
b
c
y
*) Nếu x ,,y z thoả mãn x yz xyz hoặc xyyzzx 1 thì ta có thể đặt x tan ,
, tan
2
; 2 ,
,
2
; 2
; 0
*) Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp:
2
2 a
(hoặc x acot)
2
; 2
(hoặc 0 ; )
2
2 x
(hoặc x acos)
2
; 2
(hoặc 0 ; )
2
2 a
cos
a
x
hoặc
sin
a
a
2
\
;
0
hoặc \ 0
2
;
2
hoặc
x
a
x
a
x a
x a
xacos 2 R
R
Trang 6) )(
(xa bx xa (ba) sin 2
hoặc
xy
y
x
y x
tan
tan
y
x
2
; 2 ,
2.2 Cơ sở thực tiễn
Trong trường THPT hiện nay có rất nhiều đối tượng học sinh, do đó công việc giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải toán không phải là công việc đơn giản của mỗi giáo viên
Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, tôi đã thực hiện nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên
cơ sở khoa học mà người thầy đã gieo Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà tôi đang trình bày và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi, nó không phải là để dạy ở một lớp có nhiều đối tượng học sinh Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết
2.3 Nội dung nghiên cứu
2.3.1 DẠNG 1: Trong bài có chứa biểu thức dạng a2 x2
Phương pháp: Ta đặt x asin , với (hoặc , với )
2
; 2
x acos 0 ;
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x3 3x 1 x2
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu a2 x2 với a 1
Giải:
Điều kiện: 1 x2 0 x 1 (*)
Với điều kiện (*) ta đặt x cos, 0 ; (**)
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
Trang 7
3 cos 1 cos cos 3 sin cos 3 sin
cos
2 cos
3
cos
4
3 cos 8
5 cos 8 cos
4 3 8 5 8
4
2 8 2
2
3
2 2
x x x
k
k k
k
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt
4
3 cos ,
8
5 cos ,
8 cos
x
Lưu ý: Ta cũng có thể đặt
2
; 2 ,
sin x
Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 1 x2 x( 1 2 1 x2 )
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu a2 x2 với a 1
Giải:
Điều kiện: 1 x2 0 x 1 (*)
Với điều kiện (*) ta đặt
2
; 2 ,
sin x
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
) cos 2 1 ( sin cos
1 ) sin 1 2 1 ( sin sin
1
1 2 2
2
cos 2
3 sin 2 2 cos 2 2
sin sin
2
cos
1 2 1 2
6 2
2 2
3 sin
0 2
cos 0
) 2
3 sin 2 1
(
2
cos
2
x
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2 1
x x
Trang 8Lưu ý: Ta cũng có thể đặt x cos, 0 ;
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 1
1
3 1
1
2
x x
Giải:
ĐK: 1 x2 0 1 x 1
Ta đặt x cost,t 0 ; (**)
Khi đó BPT được chuyển về dạng:
2 cot 0
2 cot 3 cot
1 cos 1
cos 3 cos
1
2
t t
t t
t t
2
2 1
1 5
2
sin 4 cos
2 0
4
sin
2
cos
2 2
(**)
x
x t
t
t t
t
Vậy tập nghiệm của BPT là
5
2 2
2
; 1
T
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
1 1
1 1
2
2
x y
y x
Giải:
ĐK: 1 x,y 1
sin
sin
y
x
2
; 2 ,
Khi đó hệ được đưa về dạng:
0
1 cos sin
0 ) sin(
1 cos sin
1 cos
sin
1 cos
sin
1
0 2
0
y x
y x
Trang 9Vậy hệ có 2 nghiệm ( 0 ; 0 ), ( 1 ; 1 ).
Ví dụ 5: Tìm để hệ sau có nghiệm: m (1)
m y mx
y x
5 3 3
0
Giải:
ĐK: 1 x 1
Ta đặt x cost,t 0 ;
Khi đó từ (1) có dạng:
(2)
m t m
t t
Để hệ (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn sint 0
0 4
3
0 5 cos 3
sin
) 5 ( 9
)
3
t m
t
m m
Vậy 0
4
3
m
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Giải các PT, BPT, Hệ PT sau:
1) x3 ( 1 x2 ) 3 x 2 ( 1 x2 )
2
2
x
2
1 2 2 2
x
2) 1 1 x2 ( 1 x) 3 ( 1 x) 3 2 1 x2
ĐS: PT có 1 nghiệm:
2
2
x
3
2 2 1
1
1
2
x
x
1
3 1
1
2
x x
5) x 2 x2 2
Trang 106)
2 1
2
2 1
2
2
2
x y
y x
2.3.2 DẠNG 2: Trong bài có chứa biểu thức dạng x2 a2
Phương pháp: Ta đặt , với
cos
a
2
\
;
0
sin
a
2
;
2
Ví dụ 6: Giải phương trình 2 2
1
2
x
x x
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu x2 a2 với a 1
Giải:
Điều kiện: 1 (*)
0
0 1
2
x x
x
Với điều kiện (*) ta đặt
2
; 0 , cos
1
x
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
1 cos
1 2
2 1 cos
1
cos
1 cos
1
2
Đặt u sin cos (điều kiện 1 u 2), ta có
2
1 cos
sin
2
u
Kho đó phương trình có dạng:
) ( 2 1
2 0
2 2
) 1
(
l u
u u
u u
u
2 4
2 2 4 2
) 4 sin(
2 2
cos
sin
k x
Vậy phương trình có 1 nghiệm: x 2
Trang 11Lưu ý: Ta cũng có thể đặt .
2
; 0 , sin
1
x
Ví dụ 7: Giải bất phương trình
2
5 3 1
2
x
x x
HD:
Điều kiện: (*)
1
1 0
1
2
x
x x
Với điều kiện (*) ta đặt
2
\
; 0 , cos
1 t
t x
Bất phương trình trở thành (2)
2
5 3 sin
1 cos
cos cos
t t
t t
Xét hai trường hợp:
TH1:
2
;
0
t
Phương trình (2) có dạng:
(2’)
t t t
t t
t 2 2(sin cos ) 3 5sin .cos
5 3 sin
1
cos
1
cos sin ) 2
; 2 (
cos sin
2
t t u t t u
u
BPT (2’) trở thành:
5
3 3
5
2
1
5
3
2
2
u
TH2:
;
2
t
Ví dụ 8: Giải bất phương trình
2
5 1
1
2
x x
HD: ĐK: x 1
Trang 12Ta đặt (**)
2
\
; 0 , cos
1 t
t x
Khi đó BPT có dạng:
2
5 cos
1
sin
cos
cos
1
t t
t
t
Xét hai trường hợp:
TH1:
2
;
0
t
TH2:
;
2
t
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình:
12
35 1
2
x
x x
ĐS: Phương trình có 2 nghiệm: ;
4
5
x
3
5
x
2) Giải bất phương trình:
12
35 1
2
x
x x
2.2.3 DẠNG 3: Trong bài có chứa biểu thức dạng x2 a2
Phương pháp: Ta đặt x a tant, với
2
; 2
t
(hoặc x acott , với t 0 ; )
1
2 1
2
2
x x x
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu x2 a2 với a 1
Giải:
ĐK: xR
2
; 2
t
Trang 13Phương trình đã cho trở thành:
1 tan
2 tan
1 tan
2
t t
t
2
1 sin
) ( 1 sin 0
1 sin
sin
t
l t t
t
3
1 ) 6
tan(
6 2
1 sin
x t
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm
3
1
x
1 3
2 3
1
x
x x
Giải:
ĐK: xR
x
tan
2
; 2
t
Bất phương trình đã cho trở thành:
1 tan
2 tan
1 tan
2
t t
t
luôn đúng
3
1 3
3
1 tan
1 sin 2
1 1
sin
sin
Vậy BPT có nghiệm đúng xR
Ví dụ 11: Với a 0, giải bất phương trình
2 2
2 2
a x
a x
a x
Nhận xét: Có dạng của ví dụ 10.
Giải:
ĐK: xR
Đặt x atant, với
2
; 2
t
tan
2 tan
tan
2 2 2
2 2
2
a t a
a t
a a t a
Trang 14
3 3
1 tan
1 sin 2
1 1
sin
sin
x t
t t
Vậy BPT có nghiệm đứng
3
a
x
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình: x x2 11 31
ĐS: x 5
2) Giải bất phương trình:
2 2
2 2
) (
2
a x
a a
x x
2.2.4 DẠNG 4: Nếu x,y thỏa mãn điều kiện a2x2 b2y2 c2 , (a,b,c 0 ) thì ta đặt
sin
a
c
x cos,0 ; 2
b
c y
Ví dụ 12: Cho phương trình x 1 x m (với là tham số) (1) m
a) Tìm điều kiện của để phương trình (1) có nghiệm.m
b) Giải phương trình khi m 1
Giải:
0 1
0
x x
x
Ta thấy rằng ( x) 2 ( 1 x) 2 1, nên ta đặt , với
t x
t x
sin 1
cos
2
;
0 t
Khi đó phương trình trở thành: (1’)
2
) 4 cos(
sin cost t m t m
a) Điện để (1) có nghiệm (1’) có nghiệm 1 2 2
2
1
b) Khi m 1, phương trình đã cho trot thành:
2
1 ) 4 cos(
t
0
2 4
cos )
4
cos(
t
t t
2
;
0 t
Trang 15*) Với 0 0.
2
t
*) Với t 0 x 1 x 1
Vậy khi m 1 phương trình (1) có 2 nghiệm x 0, x 1
Lưu ý: Bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp khác
Ví dụ : Giải bất phương trình 1 x 1 x x
ĐK: 1 1 (*)
0 1
0 1
x x
x
Với điều kiện (*) ta đặt x cos t, với t 0 ;
Khi đó bất phương trình được chuyển về dạng:
0 ) 4 2 cos(
cos 2 cos 2 cos 1 cos
cos 1
cos
1 2 t
t
t t
t t
t
0 1
4
2
2
t x
Vậy bất phương trình có nghiệm 1 x 0
Ví dụ 13 : Tìm để bất phương trình sau có nghiệm: a ax ax a
Giải:
a x a
a x
a
x
a
a
0 0
0 0
Với điều kiện (*) ta đặt xacost, với t 0 ; (**)
Khi đó bất phương trình được chuyển về dạng:
2
) 4 2 cos(
) 2
sin 2 (cos 2 cos
cos cost a a t a t a t t a t a
a
4 2
cos(
2
2 4
4 2
4
t t
Vậy để bất phương trình có nghiệm thì điều kiện là: 1 4
2a a
Trang 16Ví dụ 14: Cho số phức thỏa mãn z z 1 2i 3.
Tìm môđun lớn nhất của số phức z 2 i
A 26 6 17 B 26 6 17 C 26 8 17 D 26 4 17
Giải:
Gọi z x yi x ; ¡ ;y ¡ z 2i x y 2i Ta có:
2 2
1 2 9 1 2 9
z i x y
Đặt x 1 3sin ;t y 2 3cos ;t t 0; 2
2 1 3sin 4 3cos 26 6 sin 4cos 26 6 17 sin ;
¡
max
26 6 17 z 2i 26 6 17 z 2i 26 6 17
Chọn đáp án A.
Ví dụ 15:
Cho số phức thoả mãn z z 3 4i 5 Gọi M và là giá trị lớn nhất và giá trị m
nhỏ nhất của biểu thức 2 2 Tính môđun của số phức
2
P z z i
.
A w 2315. B w 1258 C w 3 137 D w 2 309.
Giải
Đặt z x yi Ta có 2 2 2 2
3 4 5 3 4 5
z i x y
Đặt x 3 5 sint, y 4 5 cost
Suy ra P 4 5 sint 2 5 cost 23
Ta có 10 4 5 sint 2 5 cost 10
Do đó 13 P 33 M 33, m 13 w 33 2 13 2 1258 Chọn B
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải bất phương trình: 1 x 1 x x
ĐS: 1 x 0
2) Tìm để BPT sau có nghiệm: a ax ax a
ĐS: a 4
Trang 173) Cho số phức thỏa mãn z z 1 2i 3 Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 1 i
ĐS: 2
2.3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Qua quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh đã giải quyết các bài toán thuộc các dạng trên một cách nhanh hơn, linh hoạt hơn bằng phương pháp lượng giác hóa Thực tế, trong nhiều năm liền tôi may mắn được giảng dạy ở các lớp nâng cao có nhiều đối tượng học sinh khá, giỏi Vào các tiết luyện tập tôi đã có việc lồng ghép phương pháp lượng giác háo để học sinh giải được các bài tập nâng cao nhằm các em thu thập thên kiến thức và kinh nghiệm để áp dụng trong các kì thi đại học, cao đẳng Năm học 2018 – 2019 tôi được phân dạy môn toán lớp 12C6, 12C7 trường THPT Hàm Rồng (là lớp chọn theo khối A1 của nhà trường) Kết quả kiểm tra 2 nhóm học sinh (có học lực từ TB khá trở lên) cuối năm lớp 12 về chủ đề: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức thu được kết quả như sau:
Nhóm Sĩ
Nhóm 1(Được dạy phương pháp lượng giác hóa): là các học sinh của lớp 12C6 Nhóm 2(không được dạy phương pháp lượng giác hóa): là học sinh của lớp
12C7
3 KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Với kết quả nghiên cứu đã đạt được, tôi đã rất thành công trong việc hướng dẫn, bồi dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi Tuy nhiên , để giải quyết các bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa thì các en học sinh cần phải nắm vững công thức LG cũng như giải phương trình, BPT lượng giác