SKKN Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thậ thông tin kết hợp với Phương pháp thống kê, xử lý số liệu 1 PhÇn mét PhÇn më ®Çu 1 Lí do chọn đề tài Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn[.]
Trang 1PhÇn mét
PhÇn më ®Çu 1.Lí do chọn đề tài:
Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn Đại số và Hình học thì Hình học là bộ môn khó học hơn nhiều và là một trong những bộ môn khó học.Đặc biệt
là phần hình học không gian.Có thể nói đây là phần tổng hợp rất nhiều kiến thức về định lượng cũng như định tính của tất cả các kiến thức về hình mà các em đã được học ở các lớp dưới,nếu không nói là những kiến thức từ khi bắt đầu đi học( về hình học),ngoài những yêu cầu về học tập như những môn học khác, bộ môn này còn yêu cầu khả năng tư duy trừu tượng cao- đây là một yêu cầu mà không phải đa số học sinh đáp ứng được,nhất là những học sinh lớp đại trà.Trong thực tế 13 năm giảng dạy-chủ yếu đối tượng của tôi là học sinh những lớp đại trà, bản thân nhận thấy kết quả học tập của học sinh ở phần này không cao,với những trăn trở trên con đường giúp học sinh nâng cao chất lượng học phần này và với khả năng cho phép của bản thân tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống bài tập cũng như phương pháp giải của phần Bài toán khoảng cách trong hình học không gian.Đây chính là lí do chọn
đề tài này
2.Mục đích nghiên cứu:
Víi hệ thống bài tập và câu hỏi gợi ý,hướng dẫn trong tài liệu này, giúp cho học sinh hiểu được và nắm bài nhanh nhất, có như vậy sẽ góp phần tạo hứng thú cho học sinh trong học tập bộ môn Hình học nói riêng và môn toán nói chung
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh rất khó hình các mối quan hệ hình học,do đó việc giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian là tương đối khó khăn,nhất là đối với những lớp đại trà vì nó rất trừu tượng
Với mong muốn giúp các em phần nào đó tháo gỡ được những khó khăn của bản thân để các em có cơ hội học tốt những phần hình học ở lớp 12- một nội dung kiến thức được cho là quan trọng trong các kỳ thi
3.Đối tượng nghiên cứu:
Trang 2Trong phạm vi của bài viết này tụi đề cập đến 3 dạng bài tập:
Dạng 1:Bài toỏn tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng
Dạng 2:Bài toỏn tớnh khoảng cỏch giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song
Dạng 3:Bài toỏn xỏc định đoạn vuụng gúc chung và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau
4 Phương phỏp nghiờn cứu: Phương phỏp điều tra khảo sỏt thực tế,thu thậ thụng
tin kết hợp với Phương phỏp thống kờ, xử lý số liệu
Phần hai
nội dung của đề tài 1.Cơ sở lớ luận:
A.Hỡnh học phẳng:
1)Tỉ số gúc nhọn trong tam giỏc vuụng:
2)Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng:
BC
AB
sin
BC
Ac
cos
AC
AB
tan
AB
AC
cot 2.1.BC2 AB2AC2(Định lớ Pitago)
2.2.AB2 BH.BC, AC2 CH.BC
2.3.AH2 BH.CH , AB.AC AH.BC
2.4 1 2 12 1 2 [1]
AC AB
AH
3)Định lớ cosin:
A bc c
b
a2 2 2 2 cos b2 a2 c2 2accosB c2 b2 a2 2bacosC
C
c B
b A
sin sin
5)Định lớ Talet:
NC
AN MB
AM BC
MN AC
AN
AB
AM
BC
MN
//
6)Cỏc đường trong tam giỏc:
6.1.Đường trung tuyến:
a)Là đường thẳng nối đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện
b)Giao cuả 3 đường trung tuyến là trọng tõm G của tam giỏc
BG BN BG GN GN BN
3
1
; 2
; 3
2
6.2.Đường cao: Là đường xuất phỏt từ một đỉnh và vuụng
gúc với cạnh đối diện.Giao của 3 đường cao là trực tõm của tam giỏc
B A
N M
C B
A
N
G
C B
A
Trang 36.3.Đường trung trực: Là đường vuông góc với mỗi cạnh tại trung điểm của nó.Giao của 3 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
6.4.Đường phân giác: Là đường chia góc của tam giác thành hai góc bằng
nhau.Giao của 3 đương phân giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
7)Diện tích Trong hình phẳng:
7.1.Tam giác thường:
ah
S
a
2
1
) b)S p(pa)(pb)(pc)
(r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
pr
S
c)
(R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)[2]
R
abc
S
d
4
)
7.2.Tam giác đều cạnh a:
a)Đường cao: ; b)
2
3
a
h
4 3 2
a
S c)Đường cao cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực
7.3.Tam giác vuông:
a) S ab(a,b là hai cạnh góc vuông)
2
1
b)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
7.4.Tam giác vuông cân(nửa hình vuông):
a) 2(2 cạnh góc vuông bằng nhau) b)Cạnh huyền bằng
2
1 a
7.5.Tam giác cân:
(h:đường cao;a:cạnh đáy)
ah
S
a
2
1
)
b)Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực
7.6.Hình chữ nhật: S = ab (với a,b là các kích thước)
7.7.Hình vuông: a)S = a2 ;b)Đường chéo a 2
7.8.Hình thoi: 1 2( là các đường chéo của hình thoi )
2
1d d
S d1.d2
B Hình học không gian:
B1:Quan hệ song song:
1)Hai đường thẳng song song:
1.1 [3]
, , , /
a b c p b
a, b,c đồng quy
a, b, c đôi một song song
Trang 41.2 [3]
2)Đường thẳng song song với mặt phẳng:
2.1 a(P);a//b;b(P)a//(P)
2.2 Nếu a // (P) thì (Q)a;(Q)(P)bb//a
2.3 Nếu (P) (Q) = b ; a//(P); a//(Q) thì b//a [3]
3)Hai mặt phẳng song song:
( ), ( )
( ) / /( ) / /( ); / /( )
(P)//(Q) (R) (P)=a
B2:Quan hệ vuông góc:
1)Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1.1.a(P)ad;d(P) 1.2
P a P c
b
c a
b
a
;
; ) ( )
(
//
3
a
P
b
a
b a b
a
P b
P a
//
) (
) ( 4
) ( )
(
) //(
)
(
5
Q
a
Q
P
) //(
) ( ) ( ) (
) (
) ( 6
Q P
a Q
a
P
[3]
; )
(
)
//(
7
P
b
P
a
) //(
) (
) ( 8
b P
b a
P
a
1.9. Định lí ba đường vuông góc:
Cho a không vuông góc với (P) b(P);baba'với a’ là hình chiếu của a trên (P)[3]
2)Hai mặt phẳng vuông góc: (P) a ; a (Q) (P) (Q).[3]
3)Góc:
3.1.Góc giữa hai đường thẳng:
(a;b) = (a’;b’), với a’//a;b’//b[3]
3.2 Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng :
+d = O và A d
+Nếu thì góc giữa d và là [3]
H
//
a b
// , //a b
( )
Trang 53.3.Gúc giữa hai mặt phẳng và
Nếu
FM EM
AB EM AB FM
AB
; ,
thỡ gúc giữa và là EMF [3]
2.Thực trạng vấn đề:
1/- Chương trình tài liệu:
Đối với phân phối chương trình của Bài 5 :Khoảng cỏch theo phương án sách
giáo khoa mới chương trình nõng cao là phù hợp giữa thời lượng phân phối và yêu cầu kiến thức cần đạt được.Xong chỉ với thời lượng 2 tiết học thỡ rất khú khăn cho việc học sinh nắm vững kiến thức.Trong khi cỏc tài liệu trờn thị trường chỉ cung cấp lời giải hoặc vài gợi ý mà khụng cú hệ thống cõu hỏi dẫn dắt.Việc sử dụng những tài liệu này hiệu quả sẽ khụng cao đối với những học sinh ở mức đại trà
2/- Đối tượng học sinh:
Đối với những lớp đại trà thỡ với thời gian chỉ 2 tiết học chắc chắn sẽ rất khú
để học sinh thực hiện thành thạo được cỏc bài toỏn về khoảng cỏch, nờn với tài liệu này hy vọng sau thời gian học trờn lớp cỏc em sẽ cú thời gian sử dụng tài liệu này ở nhà để giỳp tỡm hướng dề dàng hơn cho việc giải bài tập của mỡnh
3.Cỏc giải phỏp cụ thể của nội dung đề tài:
Lưu ý: Để việc đọc tài liệu được hiệu quả học sinh nờn thực hiện theo cỏc bước
sau:
Bước1:Đọc thật kỹ để hiểu đề ,viết ra những giả thiết mà đề bài đó cho,và vấn đề cần giải quyết của bài
Bước 2:Hóy tự mỡnh suy nghĩ để tỡm ra hướng giải quyết,cố gắng xoay
quanh giả thiết và tỡm mối liờn hệ với kết luận.Nếu khụng được thỡ đến bước 3
Bước 3:Hóy xem những gợi ý bờn cột hướng dẫn để tỡm ra lời giải
Bước 4:Xem lời giải chi tiết để tham khảo cỏch trỡnh bày và đối chiếu để chỉnh sửa lập luận của mỡnh
Bước 5:Thụng qua bài này,hóy rỳt ra cho bản thõn cỏc kết luận về hai khớa cạnh:
-Kiến thức:Bản thõn cú thờm hoặc ụn lại được những kiến thức nào
-Kỹ năng:Bản thõn cú thờm được kỹ năng trỡnh bày 1 bài toỏn,củng cố kỹ năng lập luận đối với loại bài vừa giải quyết
Dạng 1:Bài toỏn tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng.
A.Phương phỏp: Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến một mặt phẳng (P)
Bước 1:(Xỏc định khoảng cỏch)Chỉ ra đoạn MH vuụng gúc với mp(P) bằng cỏch.
- Dựng mp(Q) chứa M và Q P theo giao tuyến
Trang 6- Hạ MH (H ) MH dM; P .
Bước 2:(Tính khoảng cách) dM; P MH được tính
bằng các định lí hình học sơ cấp
Bước 3:Kết luận.[5]
B.Một số ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a,SA(ABCD) và SAa 3.Tính khoảng cách :
a)Từ A đến mp(SBC)
b)Từ I đến mp(ABCD),với I là trung điểm của SC
c) Từ O đến mp(SBC),với O là tâm của hình vuông ABCD.[6]
H1:Hãy chỉ ra 1 mp
chứa A và vuông
góc với mp(SBC)
- Để chỉ ra 2 mp
vuông góc với nhau
cần làm gì?
-Chứng minh
SAB
BC
H2:Những đường
nào nằm trong
(SAB) mà vuông
góc với (SBC)
Nhắc lại nội dung
của 1 định lí liên
quan
a)+ Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):
-Ta có:BC BA (gt hình vuông) (1)
BC SA(vì SA(ABCD))(2)
Từ (1) và (2) suy ra BCSABmà
) (SBC SAB SBC
-SAB (SBC) SB
-Trong mp(SAB): Từ A kẻ
) (K SB SB
AK AK SBC
Hay AK dA;SBC
+Tính khoảng cách từ A
đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông SAB:
2 3
3
1 1
1 1
1
2 2
2 2
2
a AK
a a AB AS
AK
KL: Khoảng cách từ A đến mp(SBC) là
2
3
a
AK
Cách 1:
H1: Hãy chỉ ra 1 mp
chứa I và vuông góc
với mp(ABCD)
H2:Từ I kẻ IM AC
điểm M nằm ở đâu?
b)Cách 1:
+Xác định khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
-Vì SA(ABCD)và SA (SAC) SAC (ABCD)
- màSAC (ABCD) AC
-Trong mp(SAC): Từ I kẻ IO AC( với O là tâm của ABCD)
ABCD
IO
Hay IOdI;ABCD
H
Q M
P
j
J
H O
I
D
C
K
A
B S
Trang 7Cách 2:
-So sánh
và
S ABCD
d ;
?
I ABCD
d ;
+Tính khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
Xét SAC có IO là đường trung bình của SAC nên
2
3 2
SA
IO
Cách 2:Vì I là trung điểm của SC nên
d ;I ABCD =
2
1 d ;S ABCD
2
3 2
SA
Cách 1:
-Dựng 1 mp chứa O
và song song với
(SAB)
Cách 2:
-Chứng minh
AKC(SBC)
-Kẻ HOKC
-HOdO;SBC
c) Cách 1:
+Xác định khoảng cách từ O đến mp(SBC):
-Từ O kẻ OJ //AB, khi đó (OIJ) // (ASB) OIJ (SBC)
- OIJ (SBC) IJ
-Trong mp(OIJ): Từ O kẻ HO IJ HOSBC
Hay HOdO;SBC
+Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông OIJ:
4 3
2
1
2 3
1 1
1 1
2 2
2 2
2
a OH a
a OJ
OI
Cách 3:Vì O là trung điểm của AC nên
d ;O SBC =
2
1 d ;ASBC
4
3 2
AK
Lưu ý:Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách thì có thể bỏ qua bước 1,tức là
không cần chỉ ra cách xác định đoạn khoảng cách
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a,
Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với 3
a
AC
đáy.Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).[6]
-So sánh d ;A SBC
và dH;SBC ?
- Xác định khoảng
cách từ H đến(SBC)
+ Chỉ ra 1 mp chứa
A và vuông góc với
mp(SBC)
+Chứng minh
) (
)
(SHI SBC
*Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):
+Gọi H là trung điểm của AB
+d ;A SBC = 2dH;SBC +Vì tam giác SAB là tam giác đều nên SH AB.Mặt khác
SAB(ABC)nên SH (ABC)
(1)
BC
SH
+Kẻ HI BCtại I (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC (SHI)
theo giao tuyến SI )
( ) (SHI SBC
a 3
2a
I
K
H
C
B A
S
Trang 8-Chứng minh
˜
ABC
IBH
+Trong SHIkẻ HK SI tại K
)
(SBC
HK
dH;SBC HK
* Tính khoảng cách từ H đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông SHI: 1 2 12 12
HS HI
HK
+Tính HI:ABC˜
BC
BH AC IH IBH .
4
3
a
+Tính HS:
-Ta có AB BC2 AC2 a
- SAB đều cạnh a nên SH =
2
3
a
Do đó: HK =
10
15
a
Vậy d ;ASBC = 2dH;SBC =
5
15
a
C.Bài tập tương tự:
1) Cho hình chóp S.ABCD có SAx,tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a
a)Chứng ming tam giác SAC vuông
b)Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) [6] ĐS:
2 2
;
x a
ax ABCD
S d
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a,A Bˆ C 60 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy
(ABC) và SA tạo với đáy một góc 600 Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).[6] ĐS:
9
5 8
; SAC a
B
Dạng 2:Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
A.Phương pháp:
1) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
a // (P): d[a;(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc a
Bước 1:Tìm điểm M thuộc đường thẳng a( dựa vào giả
thiết từng bài nên chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,
trọng tâm tam giác,…để dễ tính)
Bước 2:Tính d[M;(P)] theo dạng 1.[3]
2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:(Q) // (P):
d[(Q);(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc (Q)
= d[N;(Q)] , với N là 1 điểm bất kỳ thuộc (P)
Bước 1:Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q) hoặc N là 1
a
H P
M
Trang 9điểm bất kỳ thuộc (P) ( dựa vào giả thiết từng bài nên
chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,trọng tâm tam
giác,…để dễ tính)
Bước 2:Tính d[M;(P)] hoặc d[N;(Q)] theo dạng 1.[3]
B.Một số ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD,có đáy là hình thang
vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a, SA (ABCD),SAa 2.Tính:
a)Khoảng cách giữa AB và mp(SCD)
b)Khoảng cách giữa DE và mp(SBC),với E là trung điểm của AB
H1:Nhận xét về mối
quan hệ giữa đường
thẳng AB và
mp(SCD)?Vì sao?
a)+Vì AB // CD,mà
CD (SCD) nên AB //(SCD) +d[AB;(SCD)] = d[A;(SCD)]
+Lập luận tương tự Ví
dụ 1-Dạng 1 ta được d[A;(SCD)] = AK
+
2 2
2 2
2
2
1 1
1 1
1
a a AD AS
3
6
a
AH
Vậy d[AB;(SCD)]
3
6
a
H1:Nhận xét về mối
quan hệ giữa đường
thẳng DE và (SCB)?
Gợi ý:
-Chứng minh
DE // (SCB)
-Chỉ ra trong
mp(SBE) có một
đường thẳng song
song với DE
H2: Chứng minh
(SAC) (SCB).
Gợi ý:
- Chứng minh BC
(SAC)
-Chứng minh BC
b) *Xác định khoảng cách từ DE đến mp(SBC):
+Xét tứ giác BCDE có: BCDE là hình bình
EB
DC
EB
DC //
hành
DE // BC mà BC (SBC) nên DE //(SBC)
+d[DE;(SBC)] = d[I;(SBC)],với I = AC DE.
*Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC):
+Trong SAC: kẻ AK SC tại K, kẻ IJ SC tại J. +Ta có BC AS (do AS (ABCD)) (1)
+ Tứ giác ADCE là hình vuông A Cˆ E 45 0(2)
Mặt khác: BCE vuông cân tại E nên B Cˆ E 45 0(3)
Từ (2) và (3),suy ra B Cˆ A 90 0 hay BC AC (4)
Từ (1) và (4),suy ra BC (SAC) mà BC (SBC) nên (SBC) (SAC) theo giao tuyến SC.
+Vì AK SC nên AK (SBC),do đó IJ (SBC). +Vì I là trung điểm của AC nên
Q
H P
M
H
K
J
I
C D
A S
Trang 10AC d[I;(SBC)] = d[A;(SBC)],
2 1
+ d[A;(SBC)] = AK ,với
a AK a a
AC AS
2
1 )
2 (
1 1
1 1
Vậy d[DE;(SBC)] = a
Ví dụ 2:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông canh
a.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC,A’C’,B’C’.Tính khoảng cách giữa:
a)Mp(AA’B’B) và mp(DEF)
b)B’C’ và (A’BC).[6]
H1:Nhận xét về mối
quan hệ
giữa(AA’B’B) và
(DEF)?
Gợi ý:
-Chứng minh
(AA’B’B) //(DEF)
-Để chứng minh hai
mặt phẳng song song
cần làm gì?(Chỉ ra
trong mp(DEF) có hai
đường thẳng cắt nhau
và cùng song song với
(AA’B’B))
a) *Xác định khoảng cách giữa
(AA’B’B) và (DEF):
+EF// A’B’ (AA’B’B)
EF // (AA’B’B)(1)
+ DF// BB’ (AA’B’B)
DF // (AA’B’B)(2)
Từ (1) và (2),suy ra AA’B’B) // (DEF)
+Gọi I là trung điểm của A’B’, khi đó C’I A’B’, C’I EF = I.
+Gọi d là khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF) d = IJ.
*Tính khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF):
IJ = C’J = (vì A’B’C’ là tam giác đều cạnh a)
2
1
4
3
Vậy khoảng cách giữa (AA’B’B) và (DEF) bằng
4
3
a
H1:Hãy dựng một mặt
phẳng chứa F và
vuông góc với
(A’BC)]?
Gợi ý:
-Nhận xét về quan hệ
của FD và BC;A’D và
BC?
b) *Xác định khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Vì B’C’ // BC (A’BC) nên B’C’ // (A’BC). + d[B’C’; (A’BC)] = d[F; (A’BC)]
+Ta có BC DF(3)
BC A’D(4) (vì A’D là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác cân A’BC)
Từ (3) và (4),suy ra BC (A’DF) (A’BC) (A’DF) theo giao tuyến A’D
+Kẻ FK A’D tại K FK (A’BC) hay d[F; (A’BC)] = FK
*Tính khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Xét DFA’ vuông tại F có:
I J
F E
B'
C' A'
K
D C
B A