SKKN Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán ở phân môn Đạ...

SKKN Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán ở phân môn Đại số lớp 8 tại trường THCS Xuân Cẩm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜN[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜNG XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN Ở PHÂN MÔN ĐẠI SỐ LỚP 8

TRƯỜNG THCS XUÂN CẨM

Người thực hiện: Bùi Thị Thu Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Cẩm SKKN môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

MỤC LỤC

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

Tài liệu tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa toán 8 tập 1

Nhóm tác giả: Phan Đức Chính - Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - Trần Đình Châu – Ngô Hữu Dũng – Phan Gia Đức – Nguyễn Duy Thuận

Nhà xuất bản xuất bản giáo dục, xuất bản năm 2009

2 Sách bài tập toán 8 tập 1

Nhóm tác giả: Tôn Thân – Nguyễn Huy Đoan – Lê Văn Hồng – Trần Hữu Nam – Trương Công Thành – Nguyễn Hữu thảo

Nhà xuất bản xuất bản giáo dục, xuất bản năm 2009

3 Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 tập 1

Nhóm tác giả: Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên Nhà xuất bản giáo dục; xuất bản năm 2011

4 Tài liệu chuyên toán THCS Toán 8 tập 1

Nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình – Trần Hữu Nam – Phạm Thị Bạch Ngọc – Nguyễn Tam Sơn

Nhà xuất bản xuất bản giáo dục, xuất bản năm 2012

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ

CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Bùi Thị Thu

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Xuân cẩm

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Hương dẫn học sinh học bài và làm bài tập ở nhà Phòng GD C 2013 - 2014

2

phát huy tính tích cực, sáng tạo

của học sinh từ sự tương đồng

giữa chương I “điểm Đường

thẳng” và chương II “ góc”

hình học 6

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn học hết sức quan trọng ở các trường phổ thông, học tốt

bộ môn toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác Hơn nữa chương trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau này Nhưng thực trạng hiện nay cho thấy, học sinh học tốt bộ môn toán ở trường THCS Xuân Cẩm chiếm tỉ lệ rất thấp, đa số các em rất ngại, thậm chí là

sợ học toán Vì vậy, không những chất lượng đại trà môn toán thấp mà còn kéo theo nhiều môn học khác cũng thấp, đặc biệt là các môn học thuộc ban khoa học

tự nhiên

Xuất phát từ lòng thương yêu học sinh như con em của mình và lương tâm của một nhà giáo Tôi thực sự băn khoăn, trăn trở trước những khó khăn, chán nản của học sinh khi học môn toán Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các

em học sinh học tốt môn toán và yêu thích môn toán hơn Nên tôi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải đối với từng loại toán là rất cần thiết

Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy - học tại trường THCS Xuân Cẩm Năm học 2017 – 2018 tôi mạnh dạn áp dụng chuyên đề “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán ở phân môn đại số lớp 8 tại trường THCS Xuân Cẩm” nhằm nâng cao chất lượng

học bộ môn toán lớp 8 nói chung và bậc THCS nói riêng tại đơn vị

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với những lí do trên, ở đề tài này bản thân mong muốn:

- Không những cũng cố kiến thức đã học như: những hằng đẳng thức đáng nhớ, cộng, trừ, nhân, chia đa thức, phép toán chia hết,… mà còn muốn rèn luyện kỹ năng phân tich đa thức thành nhân tử cho học sinh, bước đầu làm quen với phương pháp giải phương trình tích (các em sẽ được học ở học kỳ II), đồng thời thông qua chuyên đề này giúp học sinh phân loại một số dạng toán thường gặp ở lớp 8 và phương pháp giải, từ đó hình thành kỹ năng, rèn luyện tính chính xác, phát triển tư duy, tính tự lập, chủ động trong học tập, tự tin vào bản thân, yêu thích môn học, từ

đó nâng cao chất lượng giáo dục tại địa phương

- Thông qua việc dạy thực nghiệm đề tài này bản thân cũng tìm hiểu sâu hơn nội dung chương trình, nâng cao trình độ chuyên môn, đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy đồng thời có điều kiện trao đổi với bạn bè đồng nghiệp, từ đó rút

ra phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng

bài toán ở phân môn đại số lớp 8

Đối tượng áp dụng là học sinh khối 8 trường THCS Xuân Cẩm

1.4 Phương pháp nhiên cứu

Đề tài này được hoàn thành trên phương pháp thống kê tổng hợp, quan

sát, phân tích nguyên nhân và phương pháp thực nghiệm sư phạm

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học sinh là một quá trình lâu dài, kiên nhẫn và đòi hỏi người giáo viên phải có phương pháp phù hợp, để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải hướng dẫn học sinh:

- Tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc

- Có khả năng ghi nhớ và kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào việc giải các bài toán liên quan

- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, phân loại các dạng bài toán và phương pháp giải

Là giáo viên có nhiều năm công tác tại trường THCS Xuân Cẩm, nên bản thân tôi nắm rất vững chất lượng học sinh tại nhà trường Phải thẳng thắn nhìn nhận rằng chất lượng học sinh tại nhà trường tương đối thấp, đặc biệt là môn toán Đối với môn toán học, đa số các em chỉ dừng lại ở mức độ biết, một số ít học sinh đạt được mức độ hiểu, còn khả năng vận dụng đối với các em gần như không có Qua tìm hiểu nguyên nhân cho thấy, học sinh đa số là con em đồng bào dân tộc thái, điều kiện kinh tế còn khó khăn, trình độ dân trí thấp, nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian cho con cái học tập chưa cao, ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp

đỡ bố mẹ các công việc gia đình, không có thời gian để tự học Sự quan tâm kèm cặp con cái của phụ huynh còn rất nhiều hạn chế, ý thức học tập của một số

em chưa cao, phương pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập của học sinh còn thấp, vì thế hầu hết các em sợ học môn toán Đây cũng là điều

mà bản thân tôi luôn luôn trăn trở, cố gắng tìm tòi phương pháp giảng dạy, đặc biệt

là đưa các chuyên đề, phân loại dạng toán để học sinh có thể nhận biết và giải những bài tập mang tính vận dụng từ đó giúp học sinh tự tin hơn trong học tập

Tuy nhiên việc xác định nội dung kiến thức nào là cần thiết cho học sinh thì đòi hỏi người giáo viên đánh giá chính xác mức độ nhận thức, đồng thời qua một chuyên đề có thể củng cố được nhiều kiến thức cho học sinh Trong quá trình giảng dạy tôi thấy việc vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong nội dung chương trình đại số lớp 8, vì vậy tôi chọn nội dung này để dạy thử nghiệm Ở chuyên đề này tôi không đi vào dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà là vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

để giải các toán liên quan, qua đó học sinh vừa được cũng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức mà còn có thể phân loại được một số dạng bài toán ở chương trình lớp 8 và phương pháp giải

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Khảo sát ở hai lớp 8A, 8B năm học 2017 – 2018 tại nhà trường về nội dung kiến thức “Các bài toán áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” cho thấy chất lượng học sinh là tương đối thấp

Lớp Sĩ số

học

sinh SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)

Qua việc chấm bài làm của học sinh và trực tiếp giảng dạy, tôi nhận thấy:

- Việc ghi nhớ công thức toán học của học sinh là máy móc

- Việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là rất hạn chế, chỉ mới dừng lại ở những bài toán đơn giản, Chưa có khả năng vận dụng giải các bài toán liên quan

Học hết học kỳ I đại số 8, học sinh đã được học rất nhiều định nghĩa, định

lý, công thức toán học , đặc biệt là những hằng đẳng thức đáng nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, … Tuy nhiên đa số các em mới chỉ biết vận dụng giải các bài tập đơn giản (triển khai hằng đẳng thức theo chiều thuận), phân tích đa thức mới dừng lại phương pháp đặt nhân tử chung, việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán liên quan gần như các em không có kỹ năng này Thậm chí đối với đa số học sinh việc cộng, trừ, nhân, chia đa thức còn gặp nhiều khó khăn

Để giải quyết thực trạng trên, tôi đã áp dụng đề tài: “Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán ở phân môn đại số 8” vào đối tượng học sinh khối 8 trường THCS Xuân Cẩm để dạy thử

nghiệm

2.3 Các giải pháp

2.3.1 Đối với học sinh

- Yêu cầu học sinh nắm vững cách cộng, trừ, nhân, chia đa thức, ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử,

- Dành nhiều thời gian cho học môn toán, đọc thêm các tài liệu tham khảo, vận dụng các công thức toán học vào thực tế đời sống,…

2.3.2 Đối với giáo viên

- Sử dụng một bài toán điển hình và nhóm thành từng dạng để học sinh dể nhận biết

- Rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh, đặc biết là khả năng phân tích bài toán, phân tích đa thức thành nhân tử Vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt

- Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, tự nghiên cứu, tính chính xác, khoa học, động viên khuyến khích học sinh học tập, từ đó khơi dạy tính sáng tạo

và yêu thích môn học

Trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng một số bài toán điển hình, nhằm thông qua bài toán này để dạy các phương pháp phân tích khác nhau cho học sinh để học sinh có thể so sánh, khắc sâu và ghi nhớ được các phương pháp phân tích đó

2.3.3 Tổ chức thực hiện

2.3.3.1 Cơ sở lý thuyết.

Nhứng hằng đẳng thức đáng nhớ

1 (A+B)2 = A2+2AB+B2

2 (A – B)2= A2 – 2AB+ B2

3 A2 – B2= (A-B)(A+B)

4 (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

5 (A – B)3 = A3- 3A2B+ 3AB2- B3

6 A3 + B3= (A+B)(A2- AB +B2)

7 A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

8 (A+B+C)2= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

- Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

- Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

- Phương pháp đặt ẩn phụ

- Phương pháp thêm bớt hạng tử

- Phương pháp hệ số bất định,…

Vận dụng cơ sở lý thuyết trên Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng vào giải một số bài toán liên quan sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử

2.3.3.2 Các dạng bài toán liên quan.

Dạng 1: Tính nhanh

Phương pháp giải: Phân tích biểu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi tính.

Ví dụ 1: Tính nhanh (Bài 46, trang 21 SGK Toán 8 tập 1)

a 732 - 272 b 372 – 132 c 20022 - 22

Hướng dẫn: Phân tích biểu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng

thức “hiệu hai bình phương”; thực hiện phép nhân số nguyên

Giải

a 732 - 272 = (73 – 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600

b 372 – 132 = (37 – 13)(37 + 13) = 24.50 = 1200

c 20022 - 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000

Ví dụ 2: Tính nhanh (Bài 49, trang 22 SGK toán 8 tập 1)

a 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5

b 452 + 402 – 152 + 80.45

Hướng dẫn: Phân tích biểu thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử

và đặt nhân tử chung (câu a); nhóm hạng tử rồi dùng hai hằng đẳng thức bình phương một tổng và hiệu hai bình phương (câu b)

Giải

a 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5

= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – ( 7,5.3,4 + 6,6.7,5)

=37,5(6,5 + 3,5) – 7,5( 3,4 + 6,6)

= 37,5.10 – 7,5.10

= 10(37,5 – 7,5)

= 10.30

= 300

b 452 + 402 – 152 + 80.45

= (452 + 2.40.45 + 402) – 152

= (45 + 40)2 – 152

= 852 - 152

= (85 – 15)(85 + 15)

= 70.100

= 7000

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

- Trước hết phân tích đa thức thành nhân tử

- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích

Ví dụ 3: (Bài 56, trang 25 SGK toán 8 tập 1)

Tính nhanh giá trị của đa thức

a x2 + x + 1 với x = 49,75

2

1 16

b x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93, y = 6

Hướng dẫn: Phân tích biểu thức thành nhân tử bằng cách

dùng hằng đẳng thức bình phương một tổng (câu a); nhóm hạng tử và dùng hai hằng đẳng thức bình phương của một tổng và hiệu hai bình phương (câu b)

- Thay giá trị x, y vào biểu thức đã phân tích để tính

Lưu ý: không được thay trực tiếp vào biểu thức để tính

Giải

a x2 + x + 1 = x2 + 2.x + = với x = 49,75

2

1

4

1











2

) 25 , 0 ( 4

1  









 x x

thì : (x + 0,25)2 = (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500

b x2 – y2 – 2y – 1 = x2 – (y2 + 2y + 1)

= x2 – (y + 1)2

= (x – y – 1)(x + y + 1)

Với x = 93, y = 6 thì :

(x – y – 1)(x + y + 1) = (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600

Ví dụ 4: ( câu a bài 40, trang 19 SGK toán 8 tập 1 Câu b ví dụ 13 trong

sách các dạng toán và phương pháp giải toán 8 tập 1)

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a 15.91,5 + 150.0,85

b 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = - 1

Hướng dẫn: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử

chung, nhóm nhiều hạng tử

Giải

a 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500

b 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) = 5x5(x – 2z + 2z – x) = 5x5.0

Với x = 1999 ; y = 2000 ; z = - 1 thì : 5x5.0 = 0

Ví dụ 5: (Bài 12, trang 54 trong sách các dạng toán và phương pháp giải

toán 8 tập 1)

Tính giá trị của các biểu thức:

a 4322 112 2

36.5 27.5





b 973 833 97.83

180

Hướng dẫn: Nhận thấy trong ví dụ này, nếu như học sinh không sử dụng

các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính toán gặp rất nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho các em:

- Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương(câu a) và tổng hai lập phương (câu b)

- Thay giá trị của các biến vào biểu thức đã phân tích để tính

Giải

a,

2 2

2 2

43 11 43 11

43 11 36,5 27,5 36,5 27,5 36,5 27,5

32.54 32 9.54 9

b,

97 83

180.8247

97.83 8247 97.83 8247 8051 196 180

Ví dụ 6: (Bài 40 b, trang 19 SGK toán 8 tập 1)

Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999

Hướng dẫn: Nếu theo cách làm thông thường học sinh sẽ thay ngay giá

trị của biến vào biểu thức để tính giá trị Cách làm đó rất phức tạp mới cho kết quả Vì vậy các em cần phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị của biểu thức

Giải:

Ta có x(x - 1) - y(1- x) = x(x - 1) + y(x - 1)

= (x - 1)(x + y)

Thay x = 2001, y = 1999 ta được

(2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000

Dạng 3 : Tìm x thỏa mãn đẳng thức đã cho.

Phương pháp giải

- Chuyển vế tất cả các số hạng về vế trái của đẳng thức, vế phải bằng 0

- Phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng A(x).B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

- Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A(x) = 0, B(x) = 0 ta tìm được kết quả

Ví dụ 7: (Bài 41, trang 19 SGK toán 8 tập 1)

Tìm x biết:

a 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

b x3 – 13x = 0

Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp nhóm

nhiều hạng tử, vận dụng tính chất A(x).B(x) = 0 suy ra: A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Giải

a 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

 (x – 2000)(5x – 1) = 0

 x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

1) x – 2000 = 0 x = 2000

2) 5x – 1 = 0  x =

5 1

Vậy x = 2000 hoặc x =

5 1

b x3 – 13x = 0