SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghi...

SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 1 I Mở đầu 1 1 Lí do chọn đề tài Trong dạy học toán ta luôn coi mục đ[.]

I.Mở đầu

1.1.Lí do chọn đề tài

Trong dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu là hình thành và phát triển tư duy toán học cho học sinh, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh những phương pháp giải quyết các bài toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rất cần thiết

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông và là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay Bunhiacopsky Đứng trước bài toán này học sinh phổ thông thường lúng lúng về phương pháp giải, vì việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán Việc dùng công cụ hình học tọa độ vào giải quyết các bài toán đại số là một cách nhìn khá mới mẻ với học sinh THPT Vì vậy để nâng cao tính tư duy sáng tạo cho học sinh tôi đã mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học tập, phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình giải bài tập toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp hình học tọa độ, giúp các em

đỡ lúng túng và tự tin khi đứng trước những bài toán này Đặc biệt cho học sinh lớp 12 có thêm kiến thức chuẩn bị ôn thi THPT quốc gia Hy vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kì thi chọn học sinh giỏi ở lớp 10, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung chính của đề tài là nhìn bài toán đại số theo quan điểm hình học

Từ đó xây dựng hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp hình học tọa độ vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong giải toán, qua đó phát huy tính tư duy sáng tạo cho học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, một số tài liệu liên quan khác…

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh Gia 4

- Thực nghiệm sư phạm: tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng

2 Nội dung sáng kiến kinh ngiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Sau đây là một số kiến thức bổ trợ cho phương pháp sử dụng tọa độ để giải toán:

a) Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [1] :

Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D

 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f(x) trên D nếu

( )

f x M x0D f x 0 M

Kí hiệu max  

D

M  f x

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên D nếu f x( )m với mọi x0D sao cho f x 0 m

Kí hiệu min  

D

m f x

b) Một số tính chất của vectơ

1 a br r  ar  br Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ar và br cùng hướng

2 a bur r  a br r Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ar và br cùng phương

c) Các khái niệm và tính chất trong hệ trục tọa độ Oxy

1.Tọa độ của điểm M x y , OMuuuur xi y jr r

2 Tọa độ vectơ ur x y,   u xr ri y jr

3 Các công thức tọa độ vectơ

Cho A x y A, A ,B x y B, B,ar a a1 ; 2,br b b1 ; 2 thì:

;

;

B A B A

a b a b a b

a b

a b

a b







uuur

r

r r

r r

+ar và br cùng phương 1 2

a a

b b

r r

+   1 1 2 2

cos ;

a b a b

a b

a b



r r

r r

r r

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0 có vectơ pháp tuyến là n A Br ,  là : A x x  0 B y y 00

+ Phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R là:   2 2 2

x a  y b  R Hoặc có dạng x2 y2 2ax2by c 0 (a2 b2  c 0) Trong trường hợp này mặt cầu có tâm là I(a,b) bán kính R a2b2c

+ Khoảng cách từ điểm M x y 0; 0 đến đường thẳng   : Ax By C  0 là:

d M

A B

 



d) Bất đẳng thức tam giác

Với 3 điểm A,B,C bất kì ta luôn có: AB BC AC  Dấu “=” xảy ra khi A,B,C theo thứ tự đó thẳng hàng

Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A, B cho trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất

e) Tính chất khoảng cách

Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d Khi đó độ dài đoạn thẳng MH H d 

ngắn nhất khi H là hình chiếu vuông góc của M trên d

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một vấn đề khó khăn với nhiều học sinh Đặc biệt là với những biểu thức nhiều tham

số Với một số bài toán nếu tinh ý lựa chọn hệ trục hoặc vectơ phù hợp ta sẽ tọa

độ hóa bài toán, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều Tuy nhiên trên thực tế, học sinh còn những hạn chế và thường gặp những khó khăn sau:

+ Kiến thức hình học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ngại học phần này

+ Khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức chưa tốt

+ Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các dạng toán chưa tốt

Khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng không đúng hoặc làm lung tung…và thường bị mất điểm ở những bài tập này

Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy và bước đầu thu được kết quả tốt trong năm qua

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề

Như đã nói ở trên, đối với các dạng bài tập này chỉ cần chọn hệ trục tọa

độ, hoặc các vectơ phù hợp bà toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều Sau đây là một số bài tập minh họa cho phương pháp này Hi vọng thông qua các bài tập này các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) 1 2cos 2x  1 2sin 2x trên R

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn:

Đặt ur (1;1); vr ( 1 2cos , 1 2sin 2 x  2 x)

Ta có: ur  2

vr  2 2cos 2x2sin2x 2

Dou vr ur  u vr r ta có: 1 2cos 2x  1 2sin 2x 2 2 f x 2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u vr r, cùng phương

Từ bất đảng thức ur   vr u vr r ta có:

1 2cos 1 2sin

k

Vậy max f x 2 2

Chọn đáp án B

Bài 2: Tìm max của   1 2 1 2

f x   x   x Hãy chọn đáp án đúng?

A 22

7 1

2  2

Hướng dẫn:

Từ bất đăng thức u vr r  u vr r ta có:

22 ( )

2

f x

Vậy Max f(x) = 22

2 khi và chỉ khi ,u v

ur r cùng phương :

1

Chọn đáp án A

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA a2 2a 3 a2 2a3 Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn :

A a   a 

Đặt ur  1 a, 2 ; vr  a1, 2 Khi đó:

2

2

2;2 2

u v

 

r

r

r r

Do ur   vr u vr r nên ta có:

2

2 3

A

 

Vậy minA= khi và chỉ khi ,u vur r

cùng phương:

2 3

1    a a 1 a 0

Chọn đáp án C

Bài 4: Với mọi x y,  ¡ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hãy chọn đáp án đúng?

Hướng dẫn:

Đặt ar 2cos cos ;sinx y x y  ; br 2sin sin ;sinx y x y  

Suy ra:

2 cos cos s inx.sin ; 2sin 

a br r  x y y x y 2cosx y ; 2sinx y  

4cos cos sin 4sin sin sin

r r

Do ar   br a br r nên ta có:

4cos cosx ysin x y  4sin sinx ysin x y  2

Vậy Min A = 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 

 

2

0

0

sin 2cos cos

2sin sin sin

( , ) 2

2

x k

y l

x k

k l y

a

b

x y

x y

x y

l

x y k

x y





 

 

  



 





  









 



 



   









r r

r

¢

r

Chọn đáp án B

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  

 2 2

(1 )

a b ab C



  bằng cách chọn một đáp án đúng trong các đáp án sau:

A 3

2

Hướng dẫn:

Đặt ur  1,a v;r 1,b Ta có   2 2

1 cos ,

1 1

ab

u v

a b





r r

Từ đó ta có:

 

1

sin ,

a b ab

a b

u v



Khi đó:

     

1

(1 ) 2

a b ab



u v

r r

Vậy Max C =1

2 khi sin 2 ,  1  ,  

4

u v u v  k  k

¢

Chọn đáp án C

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

D a b  a b  a b  a b

Hãy chọn một đáp án đúng?

Hướng dẫn: Xét 3 vectơ xr  1 a;6b y;ura3;b3 ; rz 4;3

Suy ra x y zr ur r  và:

2 2

5

z



r

ur

r

Áp dụng BĐT: xr  ury   x yr ur rx  ury  zr Suy ra:

2 2 2 12 37 2 2 6 6 18 5

a  b a b  a  b a b 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x yr ur,

cùng phương, cùng chiều hay trong hai vectơ

ấy có ít nhất một vectơ là vectơ không

1 0

6 0

3 3

a x

b y

a b









 



r r

ur r

Vậy Min D = 5 khi

0

1 6 3 3

a b a b



 

 



  



 



Chọn đáp án C

Bài 7: Cho , 0

1

x y

x y





  

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

     

Chọn một đáp án đúng?

A 23

27

25 2

Hướng dẫn:

Đặt u  1;1 ;v x 1;y 1

Ta có:

2 2

2

u

   



     

r ur

r

r

Từ bất đẳng thức u vr r  u vr r ta có:

2 2

xy

2

Vậy Max P =25

2 tại

1 2

x y 

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x2  y2 x 1y2 y 1x2

Tìm Max của A3x4y Hãy chọn một đáp án đúng?

A.5 B.6 C 5 2 D 3 3

Hướng dẫn: Đặt ur  x y v, ;r  1 y2; 1x2

Từ bất đăng thức u vr r  u vr r ta có:

2

2

2

1

x y

Đặt ar  3;4 ; br  x y; = ur

Từ bất đăng thức a br r  a br r ta có: 3x4y 5 x2  y2 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 3x4y  5 3x4y 5

Dấu “=” xảy ra khi và chi khi x2  y2  và ,1 a br r

cùng phương

1

5 4

x

x y

x y

y





Vậy Max A= 5

3 5 4 5

x

y

 



 

 



Chọn đáp án A

Bài 9: Cho , , 0

cos

a b c asinx b y c





 Tìm giá trị lớn nhất của

cos x sin y S

Hãy chọn đáp án đúng?

A Max S=

2

a b a  b

2

a b a  b



D Max S=

2

c

a b a b

 D Max S=

2

a b a  b



Hướng dẫn:

Ta có: asinx bcosy a asinx b b cosy

Đặt ur a a b b; ; v sinx cosy;

r

Từ bất đăng thứ c u vr r  u vr r ta có:

 

cos

cos x sin y 1 1

c

 Vậy Max S=

2

a b a  b



Dấu “=” xảy ra  ,u vr r

cùng phương

2

2

a c

a b

b c asinx b y c

a b









Chọn đáp án D

Bài 10: Giả sử a,b,c là các tham số làm cho hàm số :

xác định với

F x  a x b x c  a x b x c m  x

mọi x Tìm giá trị lớn nhất của F(x) trên R Hãy chọn đáp án đúng ? [3]

A max F(x)= 2a2b2c m B max F(x)= 2a2b4c m

C max F(x)= 2a2b4c m D max F(x)= 2a2b4c  m

Hướng dẫn:

Đặt ur  1;1 ;vr  acos2x b sin2x c ; asin2x b cos2x c  Khi đó ta có:

2

u



r

r

Từ bất đăng thứ c u vr r  u vr r ta có:

a x b x c  a x b x c  a b  c

Đặt g(x) = acos2x b sin2x c  asin2x b cos2x c suy ra:

khi và chỉ khi max g(x)= 2a2b4c

a x b x c  a x b x c c

Ta có: F(x) = g(x) + m sin2x

+) Nếu m 0 max F(x) = max g(x) + m = 2a2b4c m

4

k x

  





+) Nếu m 0 max F(x) = max g(x) - m = 2a2b4c m

4

k x

  





Vậy max F(x) = 2a2b4c  m

Chọn đáp án D

Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y  x x  x x [4]

Hãy chọn đáp án đúng?

A.Max y = 2 13 ; Min y = 5 B.Max y = 3 2 ; Min y =4

C.Max y = 3 13 ; Min y = 5 D.Max y = 6 13 ; Min y =4

Hướng dẫn : Ta có  2  2

Gọi M(2, 1-cosx); N(4;3) Do 0 1 cos  x2 nên M thuộc đoạn M M với 0 1

0 2;0 , 1 2;2

Gọi I là giao điểmcủa ON và M M0 1 y= OM + MN

+) y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi O, M, N thẳng hàng Hay M trùng với I Vậy Min y = ON = 32 42 =5

+) y đạt giá trị lớn nhất khi M ở xa I nhất

Chọn đáp án A

Bài 12: Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a2b 2 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 b2 6a10b34  a2 b2 10a14b74 Hãy chọn một đáp án đúng?

Hướng dẫn: Ta có   2 2   2 2

P a  b  a  b (1) Xét đường thẳng (d): x-2y+2=0 Các điểm A(3;5); B(5;7), Gọi M( a,b) thuộc (d) Theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thì P = MA+ MB

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d Gọi H là hình chiếu của A trên d

Ta có phương trình đường thẳng ( ) đi qua A và vuông góc với (d) là

2x + y -11=0

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ : 2 11 0 4  4,3

H

Do H là trung điểm của AA nên 2 5  5,1

A

Ta có MA MB MA  MB A B 

Do B(5,7), A 5,1 nên A B  6 MA MB  Suy ra Min P = 66

Dấu bằng xảy ra M M0 Ta tìm tọa độ điểm M0

Ta có phương trình A B : x=5

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình : 0

0

5

5, 7

2

x x

M







Hay dấu bằng của bài toán xảy ra khi và chỉ khi

5 7 2

a b







 



Chọn đáp án B

Bài 13: Cho a,b là hai số thỏa mãn điều kiện : a2 b2 16 8 a6b

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=4a+3b Hãy chọn đáp án đúng?

C Max A=40; Min A=10 D Max A=35; Min A=9

Hướng dẫn:

a b   a b a  b  Từ đó suy ra nếu a,b là hai số thỏa mãn điều kiện đề bài thì điểm M(a,b) nằm trên đường tròn (C) tâm

O1 (4,3), bán kính bằng 3

Từ giả thiết ta có:

2

a b

a b  

Mà a2 b2 OM2

Nối OO1 cắt đường tròn tại M1, M2 Vì M1, M2 là các điểm trên đường tròn (C) gần và xa O nhất nên hiển nhiên ta có: OM1OM OM 2

Do OO1=5 nên ta có OM1 = OO1 - O1M1 = 5-3 = 2

OM2 = OO1 + O1M2 = 5+3 = 8

Như vậy 2OM 8 hay

Suy ra 10 4 a3b40

Vậy Min A = 10 khi M trùng với M1 Theo định lí talet ta có:

1 1

O O



1

OO



Suy ra 6 8;

5 5

M  

  hay

6 5 8 5

a

b

 





 



+ Max A = 40M M2, tương tự ta tìm được 32 24;

5 5

32 5 24 5

a

b

 





 



Chọn đáp án C

Bài 14: Cho a,b,c,d là 4 số thỏa mãn điều kiện:

a b   a b c d   c d

Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2

A a c  b d Hãy chọn đáp án đúng?

Max A= 2 7 ; MinA 2 7

Max A= 2 1 ; MinA 2 1

Max A= 2 1 ; MinA 2 1

Max A= 5 2 7 ; MinA 5 2 7

Hướng dẫn:

Ta có

Như vậy nếu a,b,c,d là các số thỏa mãn điều kiện đề bài thì các điểm M(a,b) nằm trên đường tròn (C1) có tâm là O1(1;1) bán kính bằng 1 và điểm N(c,d) nằm trên đường tròn (C2) có tâm O2(6;6) bán kính bằng 6

Nối O với O1O2 ( hiển nhiên O,O1,O2 thẳng hàng ) cắt (C1) tại M1, M2 và cắt (C2) tại N1, N2

Dựa vào đồ thị ta thấy M1N2 và M2N1 là các khoảng cách xa nhất và gần nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn Như vậy với mọi cặp điểm M,N trên hai đường tròn ta có: M N2 1 MN M N 1 2 Do OO1  2; OO2 6 2 nên ta có:

M N ON OM  O N  O M       Tương tự M N2 1 5 2 7 Khi đó ta có:

Dấu “=” bên phải xảy ra 2

1

N N





Gọi O O M M N N1, 2, 1, 2, 1, 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của

1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2

O O M M N N lên Ox Theo talet ta có:

2

2

2 2

2 2

2

6 2

2

2

OO OO O M

OM

OO

M M

O O

a b











  

Tương tự c d  6 3 2

Dấu “=” bên trái xảy ra 1

2

2

6 3 2

N N

c d



Vậy max A= 2

5 2 7 , min A= 2

5 2 7

Chọn đáp án D

Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: P a 2 b2 4a8b20 biết a0,b0,2a b 2,a3b9

Hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:

2

2

Min P m

2

2

Min P m

Hướng dẫn:

P a b  a b  P a  b

Gọi P0 là một giá trị của biểu thức P Khi đó nếu a,b là hai số thỏa mãn điều kiện bài toán thì điểm M(a,b) nằm trên đường tròn tâm O1 (2,4) , bán kính r  P0 và nằm trong tứ giác ABCD với A(1;0); B(0;2); C(0;3); D(9,0)

O M  a  b O M  a  b

trở thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 2

1

O M

Dựa vào đồ thị dễ thấy minO M1 d O CD 1;  Mà phương trình CD: x+3y-9

=0