SKKN Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số...

SKKN Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số cho học sinh lớp 12 0 MỤC LỤC Nội dung Trang Phần mở đầu I Lý do chọn đề tài I Mục đích nghiên cứu[.]

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Phần mở đầu

I.Lý do chọn đề tài

I Mục đích nghiên cứu

III Đối tượng nghiên cứu

IV Phương pháp nghiên cứu

V Những điểm mới của SKKN

Phần nội dung

1 Cơ sở lý luận

2 Thực trạng của vấn đề

3 Các giải pháp

3.1 Khái quát chung

3.2 Bài tập vận dụng

Phần kết luận

I Một số kết quả của đề tài

II Kết luận và kiến nghị

1 1 1 2 2

2

3 4 4 17

25 26

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thay đổi hình thức thi THPT Quốc Gia môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm Đây là một thay đổi lớn đòi hỏi giáo viên phải đổi mới cách dạy học phù hợp để vừa rèn luyện tư duy của học sinh đồng thời phải đạt hiệu quả tốt nhất Qua nghiên cứu đề thi minh họa và đề thử nghiệm môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tôi nhận thấy đề thi trắc nghiệm môn Toán THPT Quốc Gia có 50 câu trắc nghiệm với thời gian làm bài 90 phút Thí sinh có trung bình 108 giây để hoàn thành một câu hỏi Với cách thi mới này, học sinh khá giỏi cũng có thể không đạt điểm cao do không đủ thời gian làm bài, nếu quen tư duy theo cách tự luận Để có thể làm tốt bài thi Toán trắc nghiệm, ngoài kiến thức và phương pháp, thí sinh cần được trang bị những kỹ năng cần thiết và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng chủ đề một cách đầy đủ, hợp lí Trong các chủ đề cần trang bị cho học sinh thì chủ đề đồ thị của hàm số là một chủ đề rất quan trọng và các câu hỏi trắc nghiệm của chủ đề này cũng gây không ít khó khăn cho học sinh Trong đề thi minh họa và đề thử nghiệm môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo thì các câu hỏi về chủ đề này luôn luôn xuất hiện và đặc biệt lại có câu hỏi trắc nghiệm nâng cao Để học sinh có thể làm tốt các câu hỏi trắc nghiệm này thì giáo viên cần trang bị cho các em kiến thức nền tảng và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm theo từng dạng toán về dạng, loại đồ

thị của hàm số mà đặc biệt là kỹ năng “Đọc” đồ thị của hàm số Từ đó giúp các em

tự tin hơn, hứng thú hơn trong việc học và nghiên cứu các bài tập trắc nghiệm môn Toán

Với những lí do trên, tôi tiến hành hệ thống một số dạng bài tập trắc nghiệm

về hàm số thông qua đề tài: “Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ” cho học sinh lớp 12”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Với mong muốn giúp học sinh phát triển tư duy và đạt hiệu quả cao khi giải các bài toán trắc nghiệm về hàm số, tạo sự tự tin, hứng thú và niềm say mê học tập cho các em trong quá trình học về hàm số và ôn thi THPT Quốc Gia

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được trình bày theo hướng bám sát các dạng toán về đồ thị của hàm số theo chuẩn kiến thức kĩ năng để hệ thống câu hỏi trắc nghiệm, bám sát các dạng câu hỏi theo đề thi minh họa môn Toán năm 2017, 2018

của Bộ Giáo dục và Đào tạo Từ đó giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo và hiểu sâu sắc hơn các kiến thức về hàm số trong chương trình lớp 12

III NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

- Kiến thức cơ bản và một số dạng toán về đồ thị của hàm số

- Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về đồ thị của hàm số

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT Nguyễn Hoàng trong năm học 2016 -2017, 2017-2018

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu các dạng toán về hàm số,đồ thị hàm số và đề thi minh họa, đề thử nghiệm,minh hoạ môn Toán năm 2017, 2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo

- Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thực hiện

- Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh

- Dạy thực nghiệm trên lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia của trường THPT Nguyễn Hoàng năm học 2016 – 2017, 2017-2018

Đề tài đã giải quyết những vấn đề sau:

1 Khơi dậy và phát huy tính chủ động, tích cực và sự hứng thú học tập nội dung này của mọi đối tượng học sinh, từ đó tạo động lực và niềm tin cho các em tự tin học tập bộ môn toán

2 Giúp học sinh có được một phương pháp, cách nhìn đồ thị hàm số để thấy được sự biến thiên của hàm số, từ đó suy ra khoảng đơn điệu, số cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…

3 Phát triển tư duy logic, hệ thống và khái quát hoá cho học sinh

VII PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về các dạng toán trắc nghiệm về đồ thị của hàm số, áp dụng trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh lớp 12 của trường THPT Nguyễn Hoàng

B NỘI DUNG

Trong quá trình dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh lớp 12, sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng để dạy cho học sinh theo chủ đề đồ thị của hàm số Giáo viên tiến hành dạy từ việc hệ thống kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững đến hệ thống câu hỏi trắc nghiệm Trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm thì xuất phát là các câu hỏi trong đề thi minh họa và đề thi thử nghiệm môn Toán của Bộ Giáo dục

và Đào tạo năm 2016 – 2017,2017-2018 sau đó đến các câu hỏi chọn lọc giúp học sinh rèn luyện kiến thức kĩ năng của chủ đề Từ đó giúp học sinh có kiến thức vững vàng và tạo cho các em phản xạ nhanh, có kĩ năng để có thể giải quyết tốt các bài tập trắc nghiệm về đồ thị của hàm số

1 Cơ sở lý luận của đề tài

1.1 Cơ sở thực tế

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung, đặc biệt là học sinh trường THPT Nguyễn Hoàng nói riêng (chất lượng đầu vào rất thấp), tư duy

hệ thống, logic và khái quát của các em học sinh còn rất hạn chế, bởi vậy ảnh hưởng rất lớn đến giảng dạy phần Hàm số

Kiến thức về đạo hàm của các em đã đuợc học ở cuối chương trình Đại số và Giải tích 11, những kiến thức đạo hàm cần cho triển khai thực hiện đề tài là rất cơ bản và việc sử dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề đặt ra đáp ứng tính hệ thống trong kiến thức bậc THPT, từ đó tạo nên sự hứng thú tìm tòi nghiên cứu cho học sinh

Những tri thức khoa học mà người thầy dẫn dắt, định hướng cho các em khám phá phải luôn mang tính vừa sức, khơi dậy trong các em hứng thú khám phá

và bước đầu các em thấy dễ hiểu và tin vào khả năng của bản thân Từ đó tạo động lực và kích thích các em tò mò khoa học, say mê, hứng thú học tập và khám phá

1.2 Cơ sở khoa học

Học sinh phải tính thành thạo đạo hàm, sử dụng đạo hàm trong xét tính đơn điệu của các hàm số đã học trong chương trình như: y = ax3 + bx2 +cx +d;

y = ax4 +bx2 + c

Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số để suy ra khoảng đơn điệu của hàm số, cực trị, số giao điểm của đồ thị và đường thẳng …để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Từ đồ thị hàm số f’(x) suy ra tính chất của y = f(x)

2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

Năm học 2016 - 2017, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12 của trường THPT Nguyễn Hoàng, tôi nhận thấy đa số học sinh đều nắm được các kiến thức cơ bản về hàm số, nhưng khi tiếp xúc với các bài tập trắc nghiệm về đọc đồ thị của hàm số thì các em tỏ ra lúng túng và lo lắng do chưa có phản xạ nhanh và chưa đủ thời gian để làm hết các bài theo định mức trung bình 108 giây/ câu hỏi Chính điều này phần nào đã thôi thúc tôi suy nghĩ tìm tòi để thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

“Rèn luyện kỹ năng “đọc” đồ thị hàm số nhằm nâng cao hiệu quả trong xét các tính chất của hàm số ” cho học sinh lớp 12”.

C CÁC GIẢI PHÁP.

1 Khái quát chung

Dựa trên những kết quả nghiên cứu về lí thuyết toán học bậc THPT, tôi đã áp dụng các khâu của quá trình dạy học như sau :

1.1 Nội dung của phương pháp và hệ thống các bài tập minh hoạ được chọn lọc có tính bao quát các dạng thường gặp ở các mức độ khác nhau, phù hợp với các đối tượng học sinh, được định hướng và dẫn dắt cho học sinh tự hình thành, chiếm

lĩnh trong khâu “Hình thành kiến thức, kỹ năng mới”;

1.2 Hệ thống các bài tập thực hành có tính chất và nội dung tương tự với hệ

thống các bài tập thực nghiệm, được áp dụng trong khâu “ Củng cố, hoàn thiện ” và khâu “kiểm tra đánh giá ” để cho học sinh rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức

được hình thành, đồng thời đánh giá hiệu quả thực nghiệm

Trước hết giới thiệu một số kiến thức cơ bản của đồ thị các hàm số :

y = ax3 + bx2 + cx + d, y = ax4 + bx2 + c, y ax b …để rồi từ đó trên cơ sở của hình

cx d

+

= + dáng đồ thị, học sinh đọc được các tính chất của hàm số như: tính đồng biến, nghịch biến, cực trị , tương giao, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền

1 Định hình đồ thị hàm số bậc 3: y ax 3bx2cx d

a>0 a<0

có

y ' 0 

hai nghiệm

phân biệt

hay   y / 0

y

x O

y

x O

có

y ' 0 

hai nghiệm

kép hay

/

 

y

x O

y

x O

vô

y ' 0 

nghiệm

hay   y / 0

y

x O

y

x O

Bài toán 1 Nhận biết hệ số của hàm số bậc 3 dựa vào đồ thị

Hàm bậc 3: y ax 3 bx2 cx d a (  0)

,

y  ax  bx c  b  ac

 Hàm số không có cực trị ,

,

0

y

  

 Hàm số có hai cực trị ,

,y 0

  

 Gọi x x1; 2 là hai điểm cực trị của hàm số, Theo Viet ta có:

1 2

1 2

2 3 3

b

a c

x x

a

   







Với 1 2 chính là hoành độ của điểm uốn

a

  

Cách nhận biết dấu của các hệ số dựa vào đồ thị.

 Đồ thị đi lên khi x tiến xa vô cực  a 0

Hệ số a  Đồ thị đi xuống khi x tiến xa vô cực  a 0

 Điểm uốn “lệch phải “ so với Oy hoặc hai điểm cực trị “lệch phải” so với Oy ab 0

 Điểm uốn “lệch trái “ so với Oy hoặc hai điểm cực trị “lệch trái” so với Oy ab 0

Hệ số b.

 Điểm uốn thuộc Oy hoặc hai điểm cực trị cách đều trục Oy

0

b

 

 Không có cực trị ac 0hoặc c 0

 Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung Oy ac 0

Hệ số c

 Có 1 điểm cực trị nằm trên Oy  c 0

 Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O  d  0

 Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O  d  0

Hệ số d

 Giao điểm với trục tung trùng với điểm O  d  0

Cách nhận biết dấu của các hệ số

Hệ số Tiêu chí Điều kiện Minh họa

Đi lên

 a 0

a

Dựa vào

xu

hướng đi

lên hay

đi xuống

của phần

cuối đồ

thị nằm

bên phải

Đi xuống

d

Dựa vào

vị trí

giao

điểm của

đồ thị

hàm số

với trục

tung

(Oy)

Nằm phía trên gốc tọa độ O

Giao điểm với trục Oy nằm trên điểm O ( )

0

d 

Nằm phía dưới gốc tọa độ O

Giao điểm với trục Oy nằm dưới điểm O (d  0)

Đi qua gốc tọa độ O

Giao điểm với trục Oy trùng với điểm O (d  0)

vị trí

của điểm

uốn so

với trục

tung

(Oy)

Điểm uốn nằm bên phải Oy

2 0 3

b

a

   

Điểm uốn nằm bên “phải”Oy ab 0

Trong trường hợp này a   0 b 0

Điểm uốn nằm

bên trái Oy

2 0 3

b

a

   

Điểm uốn nằm bên”trái “ Oy ab 0

Trong trường hợp này a   0 b 0

Điểm uốn nằm

phía trên trục Oy

2 0 3

b

a

   

Điểm uốn trùng với gốc tọa độ O  b 0

Dựa vào

vị trí của

2 điểm

cực trị so

với trục

Oy

2 điểm cực trị

nằm lệch về phía

bên phải Oy

(x x  0)

0

ab

2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên “phải” Oy

x x  ab 0

Trong trường hợp này a   0 b 0

2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên trái Oy

(x x  0)

0

ab

2 điểm cực trị nằm lệch về phía bên “trái” Oy

x x  ab 0

Trong trường hợp này a   0 b 0

Khoảng cách 2 điểm cực trị đến

Oy bằng nhau

(x x  0)

0

b

 

Hai điểm cực trị cách đều trục Oy

x1x2  0  b 0

Không có cực trị hoặc

0

c ac 0

Đồ thị hàm số không có cực trị c 0 hoặc ac 0

c

Cực trị

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía trục

Oyac 0 Trong trường hợp này a   0 c 0

Có 2 điểm cực trị

nằm 2 phía trục

Oyac 0

Có 2 điểm cực trị

nằm cùng phía

trục Oyac 0

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùngphía trục Oyac 0 Trong trường hợp này

Có 1 điểm cực trị

thuộc trục tung

Oy

3

c

a

Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị thuộc trục tung

Oy  c 0

2 Định hình hàm số bậc 4: y ax  4  bx 2  c

có 3

y ' 0 

nghiệm phân

biệt hay

ab 0 

y

x O

y

x O

có

y ' 0 

nghiệm hay

ab 0 

y

x O

y

x O

Bài toán 2: Nhận biết các hệ số hàm số bậc 4 (trùng phương) dựa vào đồ thị

Hàm số: y ax 4 bx2 c a(  0)

, 3

2

0

2

x

x

a







  



Nhận biết dấu các hệ số.

Đồ thi đi lên khi x tiến ra dương vô cực  a 0

Hệ số a Đồ thi đi xuống khi x tiến ra dương vô cực

0

a

 

Đồ thi hàm số có 3 điểm cực trị ab 0

Hệ số b Đồ thi hàm số có 1 điểm cực trị ab 0

Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O  c 0

Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O  c 0

Hệ số c

Giao điểm với trục tung trùng với điểm O  c 0

Minh hoạ Nhận biết dấu các hệ số

Hệ số Tiêu chí Điều kiện Minh họa

Đi lên

0

a

 

a

Dựa vào

xu thế đi

lên hay

đi xuống

của

phần

cuối đồ

thị nằm

bên phải

Đi lên

0

a

 

Có 1 điểm cực trị

0

ab

b

Dựa vào

số điểm

cực trị

của hàm

số

Có 3 điểm cực trị

0

ab

số giao

điểm

của đồ

thị hàm

số với

Nằm phía trên gốc tọa độ O

0

c

 

Nằm phía dưới gốc tọa độ O

0

c

 

trục Oy

Đi qua gốc tọa độ

O  c 0

3 Định hình hàm số y ax b

cx d







+) Tập xác định:

+) Đạo hàm:

d

D R \

c

ad bc y

cx d







y

x O

y

x

O 1

Bài toán 3: Nhận biết các hệ số hàm số y ax b;ad bc 0;c 0 dựa vào đồ thị

cx d





 Hàm số: y ax b;ad bc 0;c 0

cx d





 Đạo hàm: ,

2

ad bc y

cx d







 Tiệm cận đứng: x d; ( tiệm cận đứng là trục Oy; )

c

 Tiệm cận ngang: y a; ( tiệm cận ngang là trục Ox; )

c

 Giao với trục Ox x b với ;Nếu thì không cắ Ox

a

  a 0 a 0

 Giao với trục Oy y b

d



Với các hàm số có tham số là các giá trị cụ thể Ta dựa vào các tiêu chí để nhận dạng:

 Dựa vào tiệm cận đứng + tiệm cận ngang

 Dựa vào giao Ox, Oy

 Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến

Với các hàm số có tham số.

Ta nhận biết dấu của 6 cặp tích số sau:

 ab: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục giao Ox: x b

a

 

 ac: Dựa vào vị trí đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y a

c



 bd: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục giao Oy: y b

d



 cd: Dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: x d

c

 

 ad: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ hoặc các đường tiệm cận

 bc: Dựa vào vị trí giao Ox và tiệm cận ngang hoặc giao Oy và tiệm cận đứng

Giao Ox nằm phía “phải” điểm O ab 0

Giao Ox nằm phía “trái” điểm O ab 0

ab Không cắt Ox  a 0

Tiệm cận ngang nằm “phía trên” Ox ac 0

Tiệm cận ngang nằm “phía dưới” Ox ac 0

ac

Tiệm cận ngang trùng Ox  a 0

Giao Oy nằm phía “trên” điểm O bd  0

Giao Oy nằm phía “dưới” điểm O bd  0

bd

Giao Oy trùng gốc tọa độ  b 0

Tiệm cận đứng nằm “bên phải” Oy cd  0

Tiệm cận đứng nằm “bên trái” Oy cd  0

cd

Tiệm cận đứng trùng Oy  d 0

Bài toán 4: Nhận biết đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng 1 Từ đồ thi hàm số f x( ) suy ra đồ thị hàm số f x( )

Cách nhớ: Trên giữ nguyên, dưới lấy đối xứng Nghĩa là toàn bộ đồ thị nằm phía trên Ox của hàm số f x( ) được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị nằm dưới

Ox của hàm số f x( ) được lấy đối xứng lên trên

Dạng 2 Từ đồ thị hàm số f x( ) suy ra đồ thị hàm số f x 

Cách nhớ: Phải giữ nguyên, lấy đối xứng sang trái Nghĩa là: Toàn bộ đồ thị nằm bên phải trục Oy của hàm số f x( ) được giữ nguyên, đồ thị nằm bên trái

trục Oy bỏ đi Lấy đối xứng phần bên phải sang trái