SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương
Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
Trang 2MỤC LỤC
Trang
I Mở đầu… ……… ………3
1 Lí do chọn đề tài…… ……… ……….3
2 Mục đích và đối tượng nghiên cứu……… … ….3
3 Phương pháp nghiên cứu……… ………… ………4
II Nội dung……… ……….4
1 Cơ sở lí luận……… 4
2 Thực trạng……… 4
3 Giải pháp……….………5
3.1Kiến thức cơ bản của chương số phức ……….……… 5
3.2Các phương pháp……… ………… ….……… 5
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức …… ……… 5
3.2.2 Phương pháp xét hàm…… ……… 10
3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học……… 14
3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai……….………… 21
3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……… ……….22
3.3Bài tập tự luyện……… 25
III Kết luận……… …………26
1 Kết quả nghiên cứu……….….……… 26
2 Kết luận và kiến nghị……… … 26
Tài liệu tham khảo……….… 26
Trang 3I MỞ ĐẦU
1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năng động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy học môn Toán
Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Trong những năm trước đây, bài toán max, min trong số phức chỉ nằm phần lớn ở chương trình đại học Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thì bài toán max, min số phức đã được coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều đó chúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ GD& ĐT Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi môn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với học sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ Để thành công trong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán
Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán max, min trong
số phức nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài toán dành
cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó ở bài toán này được đa phần các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất
là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu toán, nếu học sinh không nắm chắc kiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy bất đẳng thức, tư duy hình học, tư duy hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinh phổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phức tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh Đây là bài toán mới, được áp dụng vào thi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chế cũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hình thức Việc có một tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa học luôn là một nhu cầu cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh
2 MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán max, min số phức
- Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số
phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”
Trang 43 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các
đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng của một số giảng viên toán,…)
- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn
II NỘI DUNG
1 CƠ SỞ LÍ LUẬN
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững những kiến thức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nội dung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cần thiết Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt
vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi
học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt
Khi gặp một bài toán max, min trong số phức chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay kiến thức của cấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết Vì tính chất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài toán max, min trong số phức đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh Để giải quyết được bài toán, học sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương số phức, các phép biến đổi logic toán học đã biết và kiến thức về bất đẳng thức, hàm số, hình học Tạo
ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận
và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu và lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng, khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó Đây là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên
2 THỰC TRẠNG
Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng
như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT
Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm
với bài toán max, min trong số phức Lí do được các bạn đưa ra là bài toán này khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá trình biến đổi phức tạp, sử dụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và hay gây nhầm lẫn, trong khi điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm Một phần khó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều này đã dẫn đến
Trang 5một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong khi bài toán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt nhất của đề Từ
thực tiễn đó đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”
3 GIẢI PHÁP
3.1 Kiến thức cơ bản chương số phức có liên quan
Đơn vị ảo i2 1
Mỗi biểu thức dạng x yi (x;yR) được gọi là một số phức; x là phần thực, y là phần ảo
Hai số phức bằng nhau:
'
' '
'
y y
x x i y x yi x
Mỗi số phức x yi được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm
)
;
( y x M
Môđun của số phức: x yi x2 y2 OM
Số phức z xyi có số phức liên hợp là z x yi
Phép cộng: (xyi) (x' y'i) (xx' ) (yy' )i
Phép trừ: (x yi) (x' y'i) (xx' ) (yy' )i
Phép nhân: (xyi).(x' y'i) (xx' yy' ) (x'yxy' )i
y x
y x xy y x
yy xx yi x
i y x
2 2 2 2
' ' ' ' '
'
Dạng lượng giác z r(cosisin)
* Chú ý:
2
.z z
' ' z z
z
z z.z' z.z'
'
' z
z
z z
'
'
.z z z
z
' ' z
z
z z
2 2
2 2
' 2 2 '
z
z
2 2
2 2 2 2
2
"
'
"
'
"
"
'
z
z
3.2 Các phương pháp
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
* Phương pháp
+ Gọi số phức z xyi (x;yR)
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
Trang 6+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh
giá max, min
+ Giải dấu = của bất đẳng thức để chỉ ra số phức thỏa mãn
* Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tìm số phức z thì để quá trình làm toán được ngắn gọn ta có thể không cần biểu diễn số phức z thông qua x, y và không cần giải dấu bằng Ta chỉ cần làm hai bước:
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh
giá max, min
* Các bất đẳng thức thường được sử dụng:
(x y) 2 0 x;y
(x y) 2 k k x;y Dấu = xảy ra khi x y
k (xy) 2 k x;y Dấu = xảy ra khi x y
Bất đẳng thức Côsi: x y xy x;y 0 Dấu = xảy ra khi x y
z y x z y x
x2 y2 2xyx;y Dấu = xảy ra khi x y
Bất đẳng thức Bunhia: (a2 b2 )(c2 d2 ) (acbd) 2 Dấu = xảy ra khi
bc
ad
Bất đẳng thức số phức: z z' zz' z z'
z z' zz' z z'
Bất đẳng thức vectơ: a b ab
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: z 1 i 1 Tìm số phức z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất
Hướng dẫn:
+, Gọi z xyi (x;yR)
+, z 1 i 1 (x 1 ) (y 1 )i 1
2
1 2
1 2 ) 1 ( ) 1 ( 1
) 1 ( ) 1
z
2 1
max
z
y
x y
x
2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1
2
1 1 2
1 1
2
1 2
1
Trang 7Dấu = xảy ra khi z i
y
x y
x
2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1
2
1 1
2
1 1
Nhận xét: Vì bài toán cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức 1 i
cần đưa về số phức có mô đun bằng mô đun số phức (x 1 ) (y 1 )i cho ở giả thiết
Ví dụ 2: Tìm zmax; zmin biết ( 1 i)z 2i 1 1
Hướng dẫn:
+, Gọi z xyi (x;yR)
+,
2
1 2
3 2
1 2
1 1
2 1 1
1 2 )
1
i
i z
i z
i
2
1 2
3 2
1
+,
2
10 2
1 2
3 2
1 2
3 2
1 2
3 2
1 2
3 2
z
2
10 2
1
max
z
+,
2
1 2
10 2
3 2
1 2
3 2
1
z
2
1 2
10
min
z
Theo chú ý, ví dụ trên ta có thể làm gọn hơn như sau:
+,
2
1 2
3 2
1 2
1 1
2 1 1
1 2 )
1
i
i z
i z
i
+,
2
10 2
1 2
3 2
1 2
3 2
1 2
3 2
1 2
3 2
z
2
10 2
1
max
z
+,
2
1 2
10 2
3 2
1 2
3 2
z
2
1 2
10
min
z
Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của z i 1 biết z 2 4i 5
Hướng dẫn:
+, zi 1 z 2 4i 3 5i z 2 4i 3 5i 5 34
34 5
max
z
Trang 8+, zi 1 3 5i z 2 4i 34 5
5 34
min
z
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z z 3 4i 0 Số phức z có zminlà:
A z 3 4i B z 3 4i C z 2i D
2
3
2
3
Hướng dẫn:
+, Gọi z xyi (x;yR)
+,
6
25 8 0
25 8 6 0 4
z
6
15 225 20
10 36
1 6
25
2
z
2
3 2
3
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 2 z 2 2 Khi đó zmin ?
A 2 B 1 C 3 D 4
Hướng dẫn:
Đáp án B
1 1
2 2 2
2 2
2 z z z z z z zmin
Ví dụ 6: Cho số phức z không phải là số thực và 2 là số thực Tìm
2 z
z
GTLN của z1 i
A 2 B 2 C 8 D 2 2
Hướng dẫn:
0 ) ( ) ( 2 2
2 2
z z
z z
z z
z
2 0
) 2 )(
( 2
2 2 1
2 2 2 2 1
1
max
i z
i z i z
Ví dụ 7: Cho số phức z xyi (x;yR) thoả mãn z 2 4i z 2i và
Tính môđun số phức
z
A w 2 6 B w 2 3 C w 3 10 D w 3 2
Hướng dẫn:
+, z 2 4i z 2i xy 4
2 2
2
z
2
2 4
w i w
y
x y
x
y x
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 2 Tìm GTLN của A z 2 2z 2
Trang 9A 3 5 B 4 5 C 3 D 5
Hướng dẫn:
' 2 2 '
z
z
5 4
5 4 2 2 2 5 2
2 2
1 2 2 2
max
2 2 2
2 2
2
A
z z
z z
z
A
Chọn B
Ví dụ 9: Cho các số phức z1;z2;z3 thỏa mãn z z z i Tính giá trị nhỏ
2
3 2
1 3 2
1
3
2 2
2
1 z z z
P
A 1 B 2 C 3 D 4
Hướng dẫn:
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
3
2 2
2 1
2 3
2 2
2
1 z z 3 z .z .z
z
2
3 2
1
3 2 1 3
2 1 3
2
1z z i z z z z z z P
z
Dấu = xảy ra khi z1 z2 z3 1
Ví dụ 10: Cho các số phức z1;z2;z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1
1 1
1
z z z z z z z z z z z z
P
A 2 B 3 C 1 D 5
Hướng dẫn:
1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1
2 1 3
2 3 2
2
2
1 z z z z z z z z z z z z z z z z z
9 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2
z y x z y x
1 9
9
9 9
2 3 2 1
2 1 3
2 3 2
2 2 1 2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1
z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z
z
P
Chọn C
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 và P zi z 2 i Tính môđun của số phức wPmax iPmin
A 2 6 B 3 5 C 4 2 D 4
Hướng dẫn:
+, Gọi z xyi (x;yR)
+, z 1 2 (x 1 ) 2 y2 2
+, P zi z 2 i x2 (y 1 ) 2 (x 2 ) 2 (y 1 ) 2
Trang 10Đặt M(x;y) ;A( 0 ; 1 ) ;B( 2 ; 1 ) Theo bất đẳng thức vectơ ta có
2 2 2
2 ) 1 1 ( ) 2 ( 2 2 min
P
+, Theo bất đẳng thức Bunhia:
1 2 4 4 2
2 )
1 ( ) 2 ( ) 1
2
P
Chọn A
6 2
w
3.2.2 Phương pháp xét hàm
* Phương pháp
+ Gọi số phức z xyi (x;yR)
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y (1)
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo x và y (2)
+ Rút x hoặc y ở (1) thế vào (2)
+ Xét hàm số, và kết luận
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của phần thực số phức
, trong đó z là số phức có Tính
3
3 1
z
z
A P 8 B P 5 C P 29 D P 10
Hướng dẫn:
z z R y x yi x
z ( ; ) 1 2
z
z z
z z z
3 3
+, Từ z 1 x2 y2 1 x 1 ; 1
+, Xét hàm số f(x) 8x3 6x (x 1 ; 1 )
) / ( 4
1 0
6 24
)
(
f
Chọn A
8 2
; 2 8
11 ) 4
1 (
; 2 ) 1 (
; 2 )
1
( f f M m P
f
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 4 (zz) 15ii(zz 1 ) 2 Tìm môđun của
số phức z biết
min
3 2
1
i
z
A B C D
64
41
64
241
8
241
8 41
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z xyi (x;yR)
+,
8
15 0
4
15 2 4
15 2 2
1 )
1 (
15 ) (
4
2
2
z
+,
4
21 8 3
2
1 2 2
z
Trang 11+, Xét hàm số Lập bảng biến thiên ta được:
8
15 4
21 8 )
(y y2 y y f
64
1521 3
2
1 64
1521 )
(
min
y
f
Min
8 241 8
15 2
1
z y
x
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i z 2i và P z 2i z 1 2i
đạt GTLN Đặt z xyi (x;yR) Tính giá trị biểu thức T xy
A 1 B C 5 D
25
1
50 1
Hướng dẫn:
+, z 2 2i z 2i x 2y 1
+, P z 2i z 1 2i x2 (y 2 ) 2 (x 1 ) 2 (y 2 ) 2
5y2 8y 5 5y2 12y 8
+, Xét hàm số: f(y) 5y2 8y 5 5y2 12y 8
25
26 0
)
(
' y y
25
26 )
( max f y f
25 26 25 27
y x
25
1
T
Ví dụ 4: Cho số phức z có phần ảo dương và môđun bằng 1 Gọi M, m lần
lượt là GTLN, GTNN của z3 z 2 Tính M m
A B C D
108
359
100
359
108
35
102 307
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z xyi (x;yR)
+, z 1 y2 1 x2 x 1 ; 1
z z
z z
z z z
z z
z z
z
z z z
z
2 1
2 1
2 1
3 2
2 1 2
1
2 2 1 2 1 2 2 12 4 2 ( 1 ) 2 4 3 2 4 2
+, Xét hàm số: f(x) 4x3 x2 4x 2 (x 1 ; 1 )
) ( 2 1
) ( 3
2 0
4 2 12 )
(
tm x
tm x
x x x
f