2 1.2 Tính chất ổn định của phương trình vi phân hàm.. Tiếp theo đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ cho sự ổn định của nghiệm x = 0 đối với hệ 1.3 nhờ việc mở rộng phương pháp hàm Liap
Phương trình vi phân hàm
Giả sử h > 0 là một số thực đã cho, C = C([−h,0], R^n) là không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [−h,0], với chuẩn được xác định là kϕk = sup{|ϕ(s)| : −h ≤ s ≤ 0} cho mọi ϕ ∈ C Trong đó, |.| là chuẩn trong R^n Nếu σ ∈ R, A > 0, và x ∈ C([σ−h, σ+A), R^n), thì với bất kỳ t ∈ [σ, σ + A), ký hiệu x_t ∈ C xác định bởi x_t(s) = x(t + s) cho s ∈ [−h, 0].
Trong bài viết này, ta xem xét tập con Dl của không gian R×C và hàm số f : D → R^n được xác định rõ ràng Mẫu phương trình được xem xét có dạng ˙ x(t) = f(t, xt), trong đó x(t)˙ thể hiện đạo hàm cấp nhất của hàm x tại thời điểm t, được định nghĩa là giới hạn trên của x khi t tiến tới Những phương trình này đóng vai trò quan trọng trong phân tích các hệ thống động học, giúp mô tả sự biến đổi của các hàm liên tục theo thời gian dựa trên các điều kiện ban đầu và điều kiện biên.
∆{x(t+ ∆)−x(t)}, là phương trình vi phân hàm.
Hàm sốx được gọi là nghiệm của hệ (1.1) trên[σ−h, σ+A)với σ∈R, A >0 nếu: x ∈ C([σ − h, σ + A),R n ),(t, xt) ∈ D và x(t) thỏa mãn hệ (1.1) với t ∈[σ, σ +A).
X(σ, ϕ, f) là nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu là ϕ tại σ, hay còn gọi là điều kiện đầu (σ, ϕ), nếu tồn tại một số A > 0 sao cho x(σ, ϕ, f) là nghiệm của hệ trên khoảng [σ−h, σ+A) và thỏa mãn điều kiện x_σ (σ, ϕ, f) = ϕ Trong các phần tiếp theo, nếu không có chú thích khác, ta sẽ hiểu rằng vế phải của nghiệm luôn là hàm f và ký hiệu nghiệm với điều kiện đầu (σ, ϕ) sẽ viết là x(σ, ϕ).
Bổ đề 1.1.1 Nếu σ ∈R, ϕ∈C cho trước vàf(t, ϕ)liên tục thì bài toán (1.1) với điều kiện đầu (σ, ϕ) tương đương với bài toán xσ = ϕ x(t) = ϕ(0) +
Các kết quả liên quan đến sự tồn tại, tính duy nhất và phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình đều được trình bày rõ ràng, nhấn mạnh vào việc nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu và sự phát triển liên tục của nghiệm theo thời gian Để thuận lợi trong quá trình phân tích và chứng minh, chúng ta cũng giới thiệu một số ký hiệu cần thiết giúp đơn giản hóa quá trình trình bày và hiểu rõ hơn về các kết quả này.
Với (σ, ϕ)∈R×C, kí hiệu ϕe∈C([σ−h,∞),R n )xác định như sau ϕ(te +σ) (ϕ(t) t ∈[−h,0] ϕ(0) t >0
Nếux là nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu(σ, ϕ)và x(t+σ) =ϕ(te +σ) + y(t), t≥ −h, thì từ Bổ đề 1.1 ta có y thỏa mãn y(t) Z t
Nếu y thỏa mãn phương trình (1.2), ta có thể suy ra nghiệm x của hệ (1.1) bằng phép đổi tọa độ thuận tiện Vì vậy, việc tìm nghiệm của hệ (1.1) tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình (1.2), giúp đơn giản hóa quá trình phân tích và giải quyết hệ thống.
Không gian C(V, ◦ R n ) gồm các hàm liên tục và bi chặn từ V vào R n, trong khi C(V, R n ) là tập hợp các hàm liên tục từ V vào R n Khi V là tập con của R × C, không gian C(V, ◦ R n ) trở thành không gian Banach với chuẩn kfkV = sup, đảm bảo tính đầy đủ và tối ưu cho các phân tích chức năng.
(t,ϕ)∈V |f(t, ϕ)|. Với α, β là số thực thì
Bổ đề 1.1.2 xác định rằng nếu Ω là tập mở trong R × C, W là tập compact chứa trong Ω, và hàm f ◦ là hàm liên tục từ Ω đến R^n, thì tồn tại một lân cận V của W nằm trong Ω, sao cho f ◦ cũng liên tục trên V Ngoài ra, còn có một lân cận U của f ◦ trong không gian hàm liên tục C(V, R^n), cùng với các hằng số dương M, α, β để đảm bảo tính chất liên tục và giới hạn của hàm f ◦ trong phạm vi này, giúp mở rộng tính ổn định của hàm trong các tập mở và tập compact.
Ta cũng có với bất kì (σ, ◦ ϕ) ◦ ∈W, thì (σ ◦ +t, yt+ϕe σ+t ◦ )∈V với mọi t∈Iα và y∈A(α, β).
Bổ đề 1.1.3 Giả sử Ω ⊆ R×C là tập mở, W ⊆ Ω là tập compact, f ◦ ∈ C(Ω,R n ) là hàm cho trước, và lân cậnU, V, hằng số dươngM, α, β ở trong Bổ đề 1.1.2 Nếu
T(σ, ϕ, f, y)(t) Z t f(σ+s,ϕe σ+s +y s )ds, t∈I α thì T liên tục và tồn tại tập compact K trong C([−h,0],R n ) sao cho
Bổ đề 1.1.4, còn gọi là Định lý Schauder về điểm cố định, khẳng định rằng nếu U là tập lồi đóng bị chặn trong không gian Banach X và ánh xạ T : U → U liên tục hoàn toàn (được hiểu là T vừa liên tục vừa biến mọi tập bị chặn thành tập tiền compact), thì T có ít nhất một điểm cố định trong U Định lý này đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo sự tồn tại của nghiệm cho các bài toán toán học phức tạp Trong khi đó, Định lý 1.1.1 về sự tồn tại nghiệm cho các phương trình liên quan đến tập mở Ω trong R × C liên quan đến các hàm khả vi, xác nhận rằng dưới các điều kiện phù hợp, các phương trình này luôn có nghiệm trong miền xác định.
Trong không gian C(Ω, R^n), với (σ, ϕ) ∈ Ω, phương trình vi phân (1.1) có f được thay thế bởi f ◦ luôn có nghiệm với mọi điều kiện đầu (σ, ϕ) Hơn nữa, nếu W là tập compact trong Ω, thì tồn tại một lân cận V của W trong Ω sao cho f ◦ thuộc C(V, R^n), cùng với một lân cận U ⊂ C(V, R^n) của f ◦, và tồn tại một α > 0 để mỗi f thuộc U, phương trình vi phân RF DE (retarded functional differential equation) có nghiệm trên khoảng [σ−h, σ+α) với các điều kiện đầu tương ứng Định lý 1.1.2 nhấn mạnh tính phụ thuộc liên tục của nghiệm đối với điều kiện đầu và vế phải của phương trình.
Ω là tập mở trong R×C,f ◦ ∈ C(Ω,R n ),(σ, ◦ ϕ) ◦ ∈ Ω, và x ◦ là nghiệm duy nhất của phương trình RF DE(f ◦ ) với điều kiện đầu (σ, ◦ ϕ) ◦ xác định trên [σ ◦ −h, b].
Cho tập W ◦ ⊆Ω là tập compact xác định bởi
Trong bài viết này, ta xem xét tập W gồm các cặp (t, x ◦ t) với t thuộc đoạn [σ, b], trong đó V ◦ là lân cận mở của W ◦ và f ◦ bị chặn trong đó Khi chuỗi các hệ số (σ k , ϕ k , f k ) hội tụ đến (σ, ϕ, f), ta chứng minh rằng tồn tại k0 sao cho đối với RF DE(f k ) với k ≤ k0, mỗi nghiệm x k = x k (σ k , ϕ k , f k ) tồn tại và xác định trên đoạn [σ ◦ −h, b] Nhờ đó, các nghiệm này hội tụ đều trên đoạn [σ ◦ −h+, b], đảm bảo tính lý thuyết về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm trong tập mở Ω theo Định lý 1.1.3.
Hệ phương trình R×C, hàm f : Ω → R^n liên tục và Lipschitz theo biến ϕ trên mọi tập compact trong Ω đảm bảo tính duy nhất của nghiệm cho hệ (1.1) cùng với điều kiện ban đầu (σ, ϕ) Theo Định lý 1.1.4 về phát triển liên tục nghiệm, nếu Ω là một tập mở trong không gian thích hợp, thì nghiệm của hệ sẽ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu Điều này đảm bảo rằng các giải pháp tồn tại và duy nhất, đồng thời có thể được mở rộng liên tục theo các tham số ban đầu.
R×C, f : Ω → R^n là hàm liên tục hoàn toàn, tứ c f liên tục và biến một tập đóng, bị chặn của Ω thành một tập bị chặn trong R^n X là một nghiệm không thác triển được của phương trình (1.1) trên khoảng [σ−h, b) Khi đó, với mọi tập đóng, bị chặn U trong R×C, U ⊂ Ω, tồn tại một số thời điểm t_U sao cho (t_U, x_{t_U}) không thuộc U, và điều này xảy ra với mọi t_U ≤ t < b.
Tính chất ổn định của phương trình vi phân hàm
Giả sử f :R×C −→R n là hàm liên tục, xét hệ ˙ x(t) =f(t, xt) (1.3)
Hàm giả sử liên tục hoàn toàn và thỏa mãn các điều kiện để hệ tồn tại duy nhất nghiệm với mỗi điều kiện ban đầu, đồng thời nghiệm liên tục trong khoảng xác định của nó Nếu hàm f(t, 0) = 0 với mọi t ∈ R, điều này đảm bảo hệ có duy nhất nghiệm tầm thường với điều kiện ban đầu ϕ = 0 Các định nghĩa về ổn định của nghiệm không đối với hệ (1.3) được trình bày để làm rõ tính ổn định của các nghiệm trong hệ.
Hình cầu trong không gian phức C được định nghĩa là tập B(0, r) = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < r}, với tâm O và bán kính r Nghiệm x = 0 của hệ đã cho được gọi là ổn định nếu, với bất kỳ σ ∈ R và ε > 0, tồn tại δ = δ(σ, ε) > 0 sao cho nếu ϕ thuộc B(O, δ), thì x(t, σ, ϕ) nằm trong B(O, ε) với mọi t ≥ σ Hệ thống được gọi là ổn định đều nếu δ không phụ thuộc vào σ, đảm bảo tính ổn định đồng đều trên toàn bộ miền Về ổn định tiệm cận, nó không chỉ ổn định mà còn tồn tại η = η(σ) > 0 sao cho nếu ϕ thuộc B(O, η), thì phương trình hướng tới 0 khi t → ∞ Hơn nữa, ổn định tiệm cận đều yêu cầu tồn tại η > 0 và T = T(ε) > 0 sao cho, với mọi σ ∈ R và ϕ ∈ B(O, η), thì x(t, σ, ϕ) nằm trong B(O, ε) khi t ≥ σ + T, đảm bảo tính ổn định tiệm cận đồng đều theo thời gian Cuối cùng, ổn định tiệm cận mũ có nghĩa là tồn tại số α > 0 sao cho, với mọi ε > 0, tồn tại η = η(ε) > 0 và T = T(ε) > 0, sao cho nếu ϕ ∈ B(O, η), thì hệ phát triển theo thời gian theo hướng giảm theo cấp số nhân, đảm bảo tốc độ hội tụ nhanh hơn hoặc bằng hàm mũ với tốc độ α.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các điều kiện đủ để đảm bảo sự ổn định của nghiệm x = 0 trong hệ (1.3) Phương pháp mở rộng hàm Lyapunov trong phương trình vi phân thường đóng vai trò cốt lõi trong việc phân tích này Các điều kiện này giúp xác định mức độ ổn định của nghiệm gốc và cung cấp nền tảng lý thuyết vững chắc cho nghiên cứu về tính bền vững của hệ Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc ứng dụng các phương pháp phân tích ổn định trong các hệ động lực phức tạp, nâng cao hiểu biết về hành vi của nghiệm x = 0.
NếuV :R×C−→R là hàm liên tục vàx(t, ϕ)là nghiệm của hệ (1.3) đối với điều kiện đầu (t, ϕ) thì ta xác định
Hàm V˙(t, ϕ) là đạo hàm trên bên phải của V(t, ϕ) theo hệ nghiệm (1.3) Yoshizawa đã chứng minh rằng, nếu hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm, thì V˙(t, ϕ) được xác định duy nhất theo (t, ϕ) Theo Định lý 1.2.1 về ổn định, nếu tồn tại các hàm a, b thuộc tập K(K− lớp Hahn) và c là hàm liên tục không âm, cùng với giả thiết có một hàm liên tục V : R × C → R thỏa mãn
Nghiệm x = 0 của hệ (1.3) ổn định đều khi V˙(t, ϕ) ≤ −c(|ϕ(0)|), trong đó hàm c là hàm dương xác định Khi hàm c là hàm dương xác định, nghiệm x = 0 không chỉ ổn định mà còn ổn định tiệm cận đều Theo Định lý 1.2.2, nếu hàm V : C → R là hàm liên tục bị chặn, thì hệ không ổn định.
Nếu tồn tại số γ >0 và một tập mở U trong C sao cho
Khi đó nghiệm x = 0 của hệ (1.3) là không ổn định Hơn nữa, mọi nghiệm xt(σ, ϕ)với điều kiện đầu (σ, ϕ)vớiϕ ∈U∩b(O, γ)sẽ tiến ra biên của B(O, γ) sau thời gian hữu hạn.
Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình vi phân thường 5
Xét hệ phương trình vi phân thực: ˙ x=Ax+ϕ(t, x) (1.4) trong đóAlà ma trận hằng số vàϕ(t, x)∈C(R + ×BH)hơn nữaϕ(t, x) = 0(|x|) đều theo t, tức là:
Khi |x| tiến tới 0 đều theo t, các lý thuyết về tính ổn định của hệ (1.4) được áp dụng Định lý 1.3.1 của Liapunov xác nhận rằng nếu tất cả các giá trị riêng λj(A) của ma trận A đều có phần thực âm, thì hệ sẽ ổn định Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của các giá trị riêng trong việc xác định tính ổn định của hệ thống.
Trong hệ tựa tuyến tính (1.4), nếu tất cả các trị riêng λ_j(A) đều có phần thực âm (Reλ_j(A) < 0, với j = 1, 2, , n), thì nghiệm tầm thường x = 0 là ổn định theo Liapunov Ngược lại, theo Định lý 1.3.2, nếu ít nhất một trị riêng của ma trận A có phần thực dương, thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ không ổn định theo Liapunov khi t tiến tới +∞.
Một số bổ đề
Bổ đề Gronwall - Bellman
Bổ đề 1.4.1 Cho m, n∈C(R + ,R + ) và giả sử rằng m(t)≤c+
Z t t 0 v(s)m(s)ds, t ≥t0 ≥0 trong đó c≥0 là hằng số.
Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Gronwall - Bellman mở rộng) Chom, n, h∈C(R + ,R + ) và giả sử rằng m(t)≤h(t) +
Z t t 0 v(s)m(s)ds, t≥t0 ≥0 trong đó h(t) là hàm dương và không giảm.
Bổ đề Bihari
Bổ đề 1.4.3 (Bihari) Giả sử u(t) ≥ 0 và f(t) ≥ 0 với t ≥ t0, hơn nữa u(t), f(t)∈C([t0,∞))và có bất đẳng thức: u(t)≤c+
Z t t 0 f(s)Φ(u(s))ds, t ≥t0 trong đó c là hằng số downg và Φ(u) là hàm dương, liên tục, không giảm khi
0< u < u,(u≥ ∞) và giả sử: Ξ(u) Z c u du1 Φ(u1), (0< u < u) Khi đó, nếu: Z t t 0 f(s)ds 0, d >1 sao cho:
3 Tồn tại T >0, δ >0 sao cho ∀t 0 ≥h >0 và x 0 ∈B H
I(∆t, t0, x0) Z t 0 +∆t t 0 Φ(t, ξt)dt≤ −2δ|x0| d |∆t với ∆t≥T, trong đó ξ=ξ(t 0 , x 0 )là nghiệm của hệ tuyến tính hóa (2.7) với điều kiện ban đầu ξ(t0) =x0
Khi đó nghiệm không của hệ (2.1) ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh định lý qua 2 bước sau:
Bước 1.Chứng minh:Nghiệm không của hệ (2.1) là ổn định Liapunov đều.
Cố định > 0 (bé tùy ý), σ ∈ R+ Ta sẽ chứng minh tồn tại η > 0 sao cho
Khi đó ∀|x|< η, theo 1) ta có: v(t, x)≤b(|x|)≤b(η) = γ nên: v(t, x)≤γ ∀|x|< η.
Giả sử ban đầu hàm ϕ ∈Ωη
Do điều kiện 1) của định lý nên ta có miền:
Giả sử tại thời điểm đầu tiên t0 nào đó quỹ đạo x(t) =x(t;σ, ϕ)giao với mặt {v =γ} và đi ra khỏi miền {v ≤γ}.
Khi đó tích phân bất đẳng thức (2.6) từ t0 →t, ta được v(t, x(t)) ≤ v(t0, x(t0)) +
Xét hàm z :R+ −→R n cho bởi z(t) (x(t) với t0−h≤t≤t0 ξ(t;t0, x(t0)) với t ≥t0 với ξ(t) là nghiệm của hệ phương trình (2.7) với ξ(t0) =x(t0)và ta biểu diễn tích phân ở vế phải của (2.8) dạng
Do điều kiện 2) của Định lý, ta có:
|Φ(τ, xτ)−Φ(τ, zτ)| ≤Mr d−1 ||xτ −zτ|| (2.10) với r=Max{||x τ ||,||z τ ||:t 0 ≤τ ≤t} Tiếp theo ta giả sử rằng: t0 ≤ t ≤ t0+T1;T1 ≥ T (với T là hằng số từ điều kiện 3) của Định lý, còn T1 là đại lượng sẽ chọn sau)
|x(τ)| ≤ ||xt 0||.e LT 1 (2.11) Khi τ ≥t0 :z(τ) =ξ(τ;t0, x(t0)), nên cũng theo Bổ đề 2.1 ta được
Nhờ các đánh giá (2.11) và (2.12), ta kết luận rằng trong (2.10) có thể đặt r =||xt 0||.e LT 1
Việc sử dụng Bổ đề Gronwall - Bellman giúp dễ dàng đưa ra các đánh giá chính xác về hiệu của các nghiệm của hệ phương trình (2.3) và (2.7), đặc biệt trong trường hợp riêng của Bổ đề 2.2.Ứng dụng của Bổ đề này là công cụ quan trọng trong phân tích hòa hợp của hệ phương trình, đảm bảo tính chính xác và ổn định của các nghiệm.Long-tail keywords: Bổ đề Gronwall - Bellman, đánh giá hiệu nghiệm hệ phương trình, phân tích hệ phương trình mặc định, ổn định nghiệm hệ phương trình.
Ld1 e Ld 1 (t−t 0 ) −1 e L(t−t 0 ) (2.13) bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t mà y(t), ξ(t) còn nằm trong BH.
Ta đánh giá hiệu: ||xτ −zτ|| với τ ∈ [t0, t0+T1] Tính toán hàm z, ta nhận được
Từ đó do Bổ đề 2.2 và bất đẳng thức (2.13) ta nhận được
≤ M1||xt 0|| d (2.14) với d=Min{d0, d1}>1, M1 chỉ phụ thuộc vào T1
Cuối cùng từ (2.10), (2.14) ta nhận được đánh giá:
≤ C0||xt 0|| d+d−1 (2.15) với C0 chỉ phụ thuộc vào T1. Bây giờ ta đánh giá tích phân đầu tiên trong (2.9).
Vì z(t) = ξ(t) với t ≥ t0 nên Φ(τ, zτ) = Φ(τ, ξτ) với τ ≥ t0 +h Do đó tích phân này có thể viết lại ở dạng tổng hai tích phân:
Khi t−t0 ≥T và do điều kiện 3) của Định lý 2.1, ta có
≤ −2δ|x(t0)| d (t−t0) +Mhe Lhd |x(t0)| d (2.17) ở đây ta đã sử dụng các điều kiện 2), 3) và sự kiện là trong (2.12):
Vì nghiệm ξ(t0, x(t0))được xác định với mọi t≥0, do vậy
≤ ||x t 0||.e Lh Như vậy, thế các đánh giá (2.17), (2.18) vào (2.16) ta được
Trong hệ (2.1), đoạn quỹ đạo nghiệm x(σ, ϕ) của hệ khi t0−h ≤ t ≤ t0 nằm hoàn toàn trong miền v ≤ γ Theo điều kiện 1 của Định lý 2.1, tỉ lệ giữa giá trị cực đại của |x| và giá trị cực tiểu của |x| trên mặt v = γ không vượt quá R0 Cụ thể, đặt r1 = Max{|x(t)| : v(t, x(t)) = γ} và r2 = Min{|x(t)| : v(t, x(t)) = γ} Đồng thời, ta có bất đẳng thức a(|x|) ≤ v(t, x) ≤ b(|x|) đối với mọi x thuộc tập B H.
⇒ r1 ≤R0r2 hay r1 r 2 ≤R0 do đó, với R =Max{R 0 ,2}thì
Suy ra nhờ tính toán (2.15), (2.20), (2.22) từ (2.9) ta có:
Theo cách xác định γ :|x(t0)|< /2, vì vậy: giả sử >0 đủ bé sao cho có bất đẳng thức:
Từ (2.8), (2.9), (2.23) và nhờ tính toán (2.24) ta nhận được bất đẳng thức cơ bản: v(t0+T1, x(t0+T1)) ≤ v(t0, x(t0))−δT1|x(t0)| d
Nếu γ = 2.25, điều này cho thấy quỹ đạo x(t) quay trở lại miền v < γ, nghĩa là khi vượt ra khỏi giới hạn của miền v ≤ γ, quỹ đạo không thể rời khỏi lân cận B của gốc trong không gian R^n Điều này đảm bảo tính ổn định của hệ thống và duy trì quỹ đạo trong phạm vi kiểm soát, phù hợp với các nguyên tắc của lý thuyết động học và điều kiện đảm bảo an toàn của hệ thống.
◦ Thứ nhất: Quỹ đạo y(t) không rời bỏ miền v < γ vi hàmv không tăng dọc theo đường cong tích phân(t, y(t))của hệ (2.3), vì thếy(t)∈B /2 ∀t≥t 0
◦ Thứ hai: Nhờ bất đẳng thức (2.5) và điều kiện ||xt 0|| ≤/2 xảy ra tính đều đối với t0 và x(t0)∈ {v =γ} đối với đánh giá:
|x(t;t 0 , x t 0)−y(t;t 0 , x(t 0 ))| ≤Const(T 1 ).(/2) d 0 ở đây Const(T1)chỉ phụ thuộc vào T1.
Vì d 0 >1 nên với >0đủ bé sao cho:
|x(t)| ≤ |x(t)−y(t)|+|y(t)|< /2 +/2 Từ các đánh giá (2.11), (2.21), (2.23) và (2.24) hiển nhiên rằng số T1 > T có thể chọn "với trữ lược", miễn là: v(t0+T1 +s, x(t0 +T1 +s)) ≤ v(t0, x(t0))−δ(T1+s)|x(t0)| d
Điểm x(t) quay trở lại miền {v < γ} của không gian pha sẽ lưu lại trong khoảng thời gian ít nhất h, đảm bảo sự ổn định của hệ thống Nếu tại thời điểm nào đó t₀ + T₁, điểm x(t) rời khỏi miền v ≤ γ, thì theo đánh giá của chúng ta, cần thiết phải áp dụng bất đẳng thức để xác định các giới hạn phù hợp cho quá trình quay trở lại Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc kiểm soát các giá trị trong không gian pha nhằm duy trì tính ổn định của hệ thống trong phạm vi mong muốn.
Trong bài viết, chúng tôi nhấn mạnh rằng độ đều của các đánh giá (2.25) và (2.26) với t0 và x0 nằm trong tập {v = γ} đảm bảo rằng quỹ đạo x(t) có thể rời khỏi miền {v ≤ γ} nhiều lần, nhưng chắc chắn sẽ quay trở lại sau một khoảng thời gian hữu hạn và bị ràng buộc trong tập B Điều này khẳng định tính ổn định của hệ thống và khả năng hồi quy của quỹ đạo trong không gian đã xác định.
Tính ổn định đều của nghiệm không của hệ (2.1) được chứng minh.
Bước 2.Chứng minh:Tính hút đều của nghiệm tầm thường của hệ (2.1) Giả sử khi = 20, bất đẳng thúc (2.24) đúng.
Do tính ổn định đều của nghiệm không của hệ (2.1) nên tồn tạiη0 =η0(0)>0 sao cho ∀σ ≥h và mọi ϕ∈Ωη 0 :x(t) =x(t;σ, ϕ)∈B 0
Ta sẽ chứng minh: x(t)→0 khi t→ ∞ Để làm điều này chỉ là xây dựng dãy tăng, không bị chặn {tk} sao cho
Giả sử tồn tại {tk} ↑ ∞sao cho ||xt k(σ, ϕ)|| →0
Hay x(t;σ, ϕ)→0 khi t→ ∞. Để đơn giản ta kí hiệu: x(t) = x(t;σ, ϕ) v(t) = v(t, x(t))
Theo Bổ đề 2.3: x(t)→0nếu ∃t ∗ > σ sao cho ∀t≥t ∗ :|x(t)| ≤ ||x t ||/R
Vì thế ta sẽ giả sử rằng không tồn tại t ∗ như thế.
◦Nếu: |ϕ(0)| ≤ ||ϕ||/R thì tồn tạit 0 > σ sao cho|x(t 0 )|=||x t 0||/Rvà đối với giá trị v(t0+T1+s) (s∈[−h,0]) ta nhận được đánh giá (2.26): v(t0+T1+s)≤v(t0)−δ(T1+s)|x(t0)| d < γ ∀s∈[−h,0] ở đây hằng số T 1 giống như ở trên và được xác định từ (2.21).
◦Nếu: |ϕ(0)| ≥ ||ϕ||/R, thì bất đẳng thức (2.26) nhận được khit0 =σ Đặt Tb=T1−h≥T vàVb0 =v(t0)−Tb|x(t0)| d và xét |x(t0+T1)|
◦ Nếu: |x(t 0 +T 1 )| ≥ ||x t 0 +T 1||/R thì với t 1 = t 0 +T 1 , ta nhận được bất đẳng thức cần thiết: v(t1+T1) ≤ v(t1)−δT1|x(t1)| d
◦ Nếu: |x(t0 +T1)| < ||xt 0 +T 1||/R thì ta tìm được t1 > t0 +T1 sao cho:
Ta sẽ chứng minh: v(t 1 )≤Vb 0 Thậy vậy: Giả sử v(t1)>Vb0 từ (2.25): v(t0+T1)≤v(t0)−δT1|x(t0)| d 0đủ bé sao cho: m0C1(T1) +
2 Khi đó ta nhận được bất đẳng thức cơ bản: v(t0+T1, x(t0+T1))≤γ−m0δ|x(t0)| d T1 < γ.
Việc hoàn thành chứng minh cũng tương tự như chứng minh Định lý 2.1.
Nhận xét
Nhận xét 2.3.1 Điều kiện 3) của Định lý 2.1 sẽ được thực hiện nếu tồn tại giá trị trung bình âm:
≤ −δ.|x(t 0 )| d 0 đủ nhỏ ⇒ ∃x0 ∈ R n : |x0| < r sao cho nghiệm ξ(t) ξ(t;t0, x0) (t0 ∈ R+) của hệ (2.7) là nghiệm giảm cấp mũ nên tồn tại β >
Khi đó xét Φ(t, xt) = ˙vxg(t, xt) Mà
(M 0 phụ thuộc vào t0 và x0 ) Do
Trong quá trình phân tích, khi thời gian Δt tiến tới vô cùng, đạo hàm tích phân của hàm Z t 0 +Δt tại thời điểm t 0 giảm về 0, thể hiện rằng {Φ}| (2.7) bằng 0 Để nghiên cứu trường hợp này một cách toàn diện, cần chuyển sang dạng phương trình vi phân trên đa tạp tâm hoặc áp dụng các kỹ thuật tích hợp hàm Lyapunov nâng cao nhằm đưa ra những phân tích chính xác và hiệu quả hơn về hệ thống.
Thí dụ
Giả sử alà hàm bị chặn đều trên R+ Kí hiệu:
− a(τ)dτ (2.36) là giá trị trung bình trên của hàm a :R+ −→R trên R+.
Thí dụ 2.4.1 Xét phương trình vi sai phân không ôtônôm phi tuyến với trễ biến thiên: ˙ x=a(t)[x(t)] 2k+1 +b(t)[x(t−∆(t))] 2k+1 (2.37) trong đó k ≥1là số nguyên; |a(t)| ≤m0,|b(t)| ≤m0 và0≤∆(t)≤h∀t≥0.
Nhờ Nhận xét 2.2, phương trình (2.37) sẽ so sánh với phương trình vi phân thường: ˙ y= 0 (2.38)
Lấy hàm Liapunov v =x 2 /2 Khi đó ˙ v(2.37) = a(t)[x(t)] 2k+2 +b(t)[x(t−∆(t))] 2k+1 x(t)
Ta kiểm tra các điều kiện của Định lý 2.1
◦Điều kiện 1) hiển nhiên được thỏa mãn.
Vậy điều kiện 2) được thỏa mãn.
◦Để kiểm tra điều kiện 3) của Định lý 2.1, trong biểu diễn của Φ(t, xt) ta thấy nghiệm của hệ (2.38) y(t)≡0 và nhận được: Φ(t, x0) = (a(t) +b(t))x 2k+2 0
Do đó điều kiện 3) sẽ được thực hiện khi:
Các phương trình dạng (2.37) và các dạng tổng quát của chúng đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà khoa học, giúp xác định các điều kiện ổn định tiệm cận của nghiệm gần đúng của hệ thống Điều kiện ổn định này bao gồm việc đảm bảo hàm a(t) không dương và sự hạn chế của b(t) theo tỷ lệ so với a(t), cụ thể là |b(t)| ≤ q|a(t)| với 0 < q < 1 cho mọi t ≥ 0 Các kết quả nghiên cứu này cung cấp nền tảng quan trọng để phân tích và kiểm soát sự ổn định của các hệ phương trình động phức tạp.
Hiển nhiên Định lý 2.1 là mở rộng của các kết quả này vì trong điều kiện (2.39) có thể thực hiện trong khi (2.40) bị vi phạm.
Chỉ trong những sách chuyên khảo đối với trường hợp đặc biệt a, b,∆− hằng,nhận được điều kiện a+b 0 ∀x6= 0 ta có ˙ v| (2.41) = àhV0x, A(t)x(t) +B(t)x(t−∆(t))i
= àΦ(t, xt) Khi đó hàm Φthỏa mãn Định lý 2.2 khi thực hiện điều kiện (2.42) Thậy vậy:
◦Điều kiện 1) hiển nhiên được thực hiện.
◦Điều kiện 2) được thỏa mãn, vì:
≤2M1r||xt−yt|| ∀(t, xt),(t, yy)∈Gr; 0< r < H.
◦Điều kiện 3) được suy trực tiếp từ (2.42).
Trong trường hợp đặc biệt khi n = 1, hệ phương trình (2.41) trở thành phương trình đã được nghiên cứu rất nhiều, với dạng ˙ x = à[ax(t) + bx(t−∆(t))] (2.43) Đối với các hằng số a, b và ∆(t) ≡ h > 0, miền ổn định tiệm cận trong mặt phẳng tham biến {(a, b)} được xác định rõ ràng Điều kiện ổn định, không phụ thuộc vào giá trị của trễ h, là a + b < 0 (2.44), giúp xác định chính xác các trạng thái ổn định cho hệ thống.
Điều kiện (2.42) đảm bảo tiêu chuẩn ổn định tiệm cận chỉ khi các đại lượng \(a^-\) đủ nhỏ và phù hợp với tiêu chuẩn này, phụ thuộc vào giá trị của \(a_0^-\) liên quan đến \(T_1\) trong bất đẳng thức (2.33) Đồng thời, \(T_1\) tăng theo sự tăng của trễ \(h\), như đã chỉ ra trong bất đẳng thức (2.21) Do đó, bất đẳng thức (2.44) chỉ cần được thực hiện trong lân cận đủ nhỏ của điểm \(O\) trong mặt phẳng các biến \(a, b\), nhằm đảm bảo tính ổn định tiệm cận trong phạm vi này.
Chứng minh các Định lý 2.1 và 2.2 dựa trên đánh giá tiên nghiệm sâu sắc theo dạng bất đẳng thức Gronwall - Bellman là phương pháp chính để xác định tính ổn định của hệ thống Tuy nhiên, các bất đẳng thức này không áp dụng được trong việc xây dựng miền hút của vị trí cân bằng ổn định tiệm cận Các Định lý này tập trung vào giải quyết vấn đề ổn định dựa trên nguyên tắc mức độ cao, mang lại những kết quả chính xác và toàn diện cho phân tích ổn định của hệ thống.
Thí dụ 2.4.3 Bây giờ xét hệ phương trình vi phân hàm dạng trễ với trễ phân phối: ˙ x=a(t)f(x(t)) +b(t)
−∆(t) λ(t+s)g(x(t+s))ds (2.45) trong đó các hàm a, b, λvà ∆thỏa mãn các yêu cầu như các hệ số của phương trình (2.37) và
|f(x)| ≤M|x| d 1 ,|g(x)| ≤M|x| d 2 , d=min{d1, d2}>1 trong lân cận đủ nhỏ của điểm O. Đối với hàm v(x) =x 2 /2, ta nhận được: Φ(t, xt) = ˙v| (2.45) =a(t)x(t)f(x(t)) +b(t)x(t)
−∆(t)λ(t+s)g(x0)ds nên các điều kiện của Định lý 2.1 được thực hiện khi: t→∞lim sup1 t
−∆(s) λ(s+τ)dτ ds≤ −δ|x0| d 0 +1 ở đây δ là hằng số dương nào đó.
Khi f(x₀) = f₀x₀^{d₁} + o(x₀^{d₁}) và g(x₀) = g₀x₀^{d₂} + o(x₀^{d₂}), với f₀, g₀ là các hằng số và d₀ = Min{d₁, d₂} > 1 là số nguyên lẻ, ta có điều kiện đủ để đảm bảo tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm không của hệ phương trình (2.45).
Phương trình (2.45) được phân tích trong công trình của Burton T.A và Hạt Vani.L, nơi họ xác định các điều kiện ổn định tiệm cận đều cho trường hợp trễ hằng (∆ ≡ h) Đồng thời, họ đề xuất các điều kiện như |g(x)| ≤ c|f(x)| với c ≥ 0 và f > 0 để đảm bảo ổn định Họ cũng nhấn mạnh rằng, để duy trì ổn định, đối với mọi α ≥ 1 và t ≥ 0, bất đẳng thức a(t) ≤ −αc|λ(t)| phải luôn thỏa mãn.
Với các giả thiết đã cho đối với f, gta nhận được các điều kiện rộng hơn (2.46) hoặc (2.47).
Để chứng minh rằng các điều kiện (2.46) hoặc (2.47) rộng hơn (2.49), ta bắt đầu bằng giả thiết rằng điều kiện (2.49) được thỏa mãn Sau đó, ta kiểm tra và xác nhận rằng các điều kiện (2.46) hoặc (2.47) cũng phù hợp, qua đó chứng minh rằng các điều kiện này ít nhất cũng bao hàm điều kiện (2.49) Quá trình này giúp làm rõ mối liên hệ giữa các điều kiện trong bài toán và đảm bảo tính bao hàm của chúng trong phân tích lý thuyết.
Khi |x| đủ nhỏ thì suy ra: g 0 ≤c|f 0 |small> 0 Khi đó:
⇒ (2.47) được thỏa mãn 2 Đặc biệt (2.46) cho phép hệ số a(t) nhận giá trị dương (khi f0 >0), trong khi đó (2.49) lại yêu cầu a(t)không dương.
Giả sử d1 =d2; ∆(t)≡h, λ(t)≡1và tồn tại giá trị trung bình trên (2.36) của các hàm a, bkhi đó ta nhận được điều kiện ổn định đều sau:
Ví dụ này minh họa rõ rằng trễ có thể ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ thống Cụ thể, khi \(f'_a > 0\) và \(g'_b < 0\), nghiệm không của phương trình (2.45) trở nên không ổn định khi \(h = 0\) Tuy nhiên, khi độ trễ \(h\) đủ lớn, vượt quá giá trị \(-\frac{f'_a}{g'_b}\), điều kiện đủ về tính ổn định tiệm cận theo (2.50) sẽ được đảm bảo.
Tiếp theo ta đưa ra một thí dụ mà điều kiện ổn định chứa đựng sự phụ thuộc theo chu kỳ vào trễ.
Thí dụ 2.4.4 Xét hệ phương trình sau:
Khi bỏ trễ h= 0, ta được hệ
⇒v˙(2.52) =y 4 >0 ∀y6= 0 suy ra nghiệm không của hệ (2.52) không ổn định.
Hệ không nhiễu tương ứng: ( ˙ x =−y ˙ y =x (2.53)
Cũng với hàm Liapunov như trên, ta có v˙| (2.53) = 0 Khi đó Φ(t, xt, yt) = ˙v| (2.51) =−y 4 (t) + 2y(t)y 3 (t−h)
Ta sẽ kiểm tra các điều kiện của Định lý 2.1 được thỏa mãn Thậy vậy:
◦Điều kiện 1) hiển nhiên được thỏa mãn.
◦Điều kiện 2) được thỏa mãn, vì:
|Φ(t, xt, yt)| ≤3||(xt, yt)|| 4 ∀(t, xt, yt)∈GH
Gọi(ξ(t), η(t))là nghiệm của hệ không nhiễu (2.53) với(ξ(t0), η(t0)) = (x0, y0)
Khi đó:Φ(t, ξt, ηt) =−η 4 (t) + 2η(t).η 3 (t−h)và đối với trung bìnhΨ(t0, x0, y0) Ψ(t0, x0, y0) def = lim
(e ih +e −ih ) +A trong đó A gồm các số hạng dạngαe i(at+bt 0 +ch) với a6= 0 do đó lim∆t→∞ 1
Từ đó suy ra nghiệm (x, y) ≡ 0 của hệ (2.51) là ổn định tiệm cận đều nếu
Trong ví dụ này, sự phụ thuộc tuần hoàn của điều kiện ổn định với sự tăng của trễ h trong điều kiện 3 của Định lý 2.1 sẽ bị vi phạm, điều này làm nổi bật tầm quan trọng của việc kiểm tra tính ổn định trong các hệ thống điều khiển có trễ Do đó, lưu ý rằng các ví dụ trước không bị ảnh hưởng bởi sự phụ thuộc này, giúp đảm bảo tính ổn định của hệ thống trong các ứng dụng thực tế Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa điều kiện ổn định và trễ h là yếu tố quan trọng để thiết kế các hệ thống điều khiển chính xác và hiệu quả.
Trong trường hợp 2 cosh−1>0 thì nghiệm x= 0của hệ (2.51) là không ổn định.
Trong ví dụ cuối, điều kiện đủ của sự không ổn định đã được chỉ rõ Có thể chứng minh rằng, trong tất cả các ví dụ đã khảo sát nghiệm, phương trình vi phân hàm có nhiễu sẽ trở nên không ổn định khi đổi ngược dấu trong điều kiện ổn định Điều này nhấn mạnh rằng các điều kiện ổn định và không ổn định của phương trình phụ thuộc vào việc xác định đúng các dấu trong các điều kiện này, góp phần quan trọng vào phân tích độ ổn định của hệ thống.
Thật vậy, điều này có thể suy ra trực tiếp từ Định lí 2.5.1 và Định lí 2.5.2 trong mục 2.5.
Điều kiện đủ về tính không ổn định
Trong phần này, tác giả trình bày các điều kiện đủ để xác định tính không ổn định của hệ (2.1), nhằm giúp độc giả hiểu rõ hơn về đặc điểm ổn định của hệ Trước khi đi vào chi tiết, tác giả sẽ giới thiệu Bổ đề bổ trợ quan trọng để hỗ trợ luận đề chính Những điều kiện này đóng vai trò thiết yếu trong việc phân tích tính không ổn định của hệ, góp phần nâng cao kiến thức về lý thuyết ổn định hệ thống.
Bổ đề 2.5.1 cho biết rằng nếu hàm F thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong miền Ω với hằng số L, thì giá trị của nghiệm tại thời điểm t có thể được ước lượng bằng công thức kxtk ≤ |x(t1)|exp [L(t−t1+h)] Điều này giúp xác định sự phát triển của nghiệm theo thời gian dựa trên giá trị ban đầu tại điểm t1 Việc đảm bảo hàm F đáp ứng điều kiện Lipschitz là yếu tố quan trọng để đảm bảo tính khả thi và tính duy nhất của nghiệm trong các bài toán vi phân, đồng thời cung cấp các ước lượng hữu ích cho phân tích ổn định của hệ thống.
∀ t ≥ t 1 ≥ t 0 +h, miễn là nghiệm x(t) = x(t;t 0 , ϕ) ∈ B H , ở đó x(t;t 0 , ϕ) là nghiệm của hệ (2.1) với điều kiện đầu xt 0 =ϕ. Đặc biệt: kx t k ≤ |x(t)|exp (Lh) t ≥t 0 +h, x(s)∈B H ∀s∈[t 0 , t] (2.55)
Z t t 1 −hkxτkdτ Nên ta có
Z t t 1 −hkxτkdτ ∀t≥t1 ≥t0+h Áp dụng Bổ đề Gronwall - Bellman, ta được kxtk ≤ |x(t1)|exp [L(t−t1 +h)] ∀t≥t1 ≥t0+h. Đó là điều phải chứng minh. Định lý 2.5.1 (Trường hợp d 0 >1) Giả sử rằng
1 Tồn tại các hàm a, b∈K và hàm Liapunov V : [0,∞)×BH −→R + sao cho: a(|x|)≤V(t, x)≤b(|x|)∀t∈R+, x∈BH và ∂V
2 Tồn tại các hằng số M > 0, d >0 sao cho:
3 Tồn tại các số T ≥h ≥0, δ >0 sao cho ∀t 0 ≥h, x 0 ∈B H
I(∆t;t 0 , x 0 ) Z t 0 +∆t t 0 Φ(t, ξ t )dt≥2δ|x 0 | d với ∆t ≥ T, trong đó ξ(t) = ξ(t;t0, x0) là nghiệm của hệ (2.7) với điều kiện đầu ξ(t 0 ) =x 0
Khi đó nghiệm không của hệ (2.1) không ổn định.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
Thật vậy, giả sử nghiệm x≡0 của hệ (2.1) là ổn định.
Chọn 0 ∈(0, H)đủ nhỏ sao cho:
Do nghiệm x= 0của hệ (2.1) là ổn định nên ∀t0 ≥h≥0,∃η=η(t0, 0)>0 sao cho kxt(t;t0, ϕ)k< 0 ∀ϕ ∈Ωη, t≥t0 (2.58) Theo điều kiện 3) của Định lí: ∀x0 ∈Bη, có:
I(∆t, t0, x0)≥2δ|x0| d ∆t ∀∆t ≥T Trong bất đẳng thức (2.58), ta chọn ϕ ≡x0 ∈Bη, ta được: ϕ|=|x0|< η và kxt(t;t0, ϕ)k< 0 ∀t ≥t0 (2.59) Mặt khác, theo điều kiện 1) của Định lí, ta có:
Z t Φ(τ, xτ)dτ ∀t≥t0 (2.60) với γ =V(t0, x(t0)) Xét hàm z :R + −→R n cho bởi z(t) (x(t) nếu t 0 −h≤t≤t 0 ξ(t) nếu t ≥t 0 với ξ(t) =ξ(t;t 0 , x(t 0 ))là nghiệm của phương trình (2.7) với ξ(t 0 ) =x(t 0 ).
Ta biểu diễn tích phân ở vế phải của (2.60) dưới dạng:
Do điều kiện 2) của Định lý, ta có:
|Φ(τ, xτ)−Φ(τ, zτ)| ≤Mr d−1 ||xτ −zτ|| (2.62) với r=Max{||xτ||,||zτ||:t0 ≤τ ≤t} Tiếp theo ta giả sử rằng: t0 ≤t≤t0 +T0
|x(τ)| ≤ ||xt 0||.e LT 0 (2.63) Khi τ ≥t0 :z(τ) =ξ(τ;t0, x(t0)), nên cũng theo Bổ đề 2.1 ta được
Nhờ các đánh giá (2.63) và (2.64), ta kết luận rằng trong (2.61) có thể đặt r =||xt 0||.e LT 0
Sử dụng Bổ đề Gronwall-Bellman dễ dàng giúp xác định chính xác độ lớn của các nghiệm của hệ phương trình (2.3) và (2.7), là các trường hợp riêng của Bổ đề 2.2 Áp dụng Bổ đề này, ta có thể đánh giá hiệu quả của các nghiệm một cách chính xác, đảm bảo tính chính xác trong phân tích hệ phương trình Việc sử dụng Bổ đề Gronwall-Bellman là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến định lượng nghiệm của hệ phương trình, góp phần nâng cao hiệu quả trong các ứng dụng thực tiễn.
Ld 1 e Ld 1 (t−t 0 ) −1 e L(t−t 0 ) (2.65) bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t mà y(t), ξ(t) còn nằm trong B H
Ta đánh giá hiệu: ||xτ −zτ|| với τ ∈ [t0, t0+T0] Tính toán hàm z, ta nhận được
Từ đó do Bổ đề 2.2 và bất đẳng thức (2.65) ta nhận được
Cuối cùng từ (2.62), (2.66) ta nhận được đánh giá:
≤ C(T 0 )||x t 0|| d+d−1 (2.67) ở đó C(T0) và d được cho trong (2.57) Bây giờ ta đánh giá tích phân đầu tiên trong (2.61).
Vì z(t) = ξ(t) với t ≥ t0 nên Φ(τ, zτ) = Φ(τ, ξτ) với τ ≥ t0 +h Do đó tích phân này có thể viết lại ở dạng tổng hai tích phân:
Khi t−t0 ≥T và do điều kiện 3) của Định lý, ta có
≥ 2δ|x(t 0 )| d (t−t 0 )−Mhe Lhd |x(t 0 )| d (2.69) ở đây ta đã sử dụng các điều kiện 2), 3) và sự kiện là trong (2.64):
Vì nghiệm ξ(t0, x(t0))được xác định với mọi t≥0, do vậy
≤ ||xt 0||.e Lh Như vậy, thế các đánh giá (2.69), (2.70) vào (2.68) ta được
Theo (2.56), (2.71) và do x(t0) =ϕ(0) =x0 nên ta có:
Suy ra nhờ tính toán (2.67), (2.72) từ (2.61) suy ra
Kết hợp với |x0|< 0 và (2.57), suy ra
V(t 0 +T 0 , x(t 0 +T 0 ))≥γ+δ|x 0 | d T 0 (2.74) Hơn nữa theo điều kiện 1) của Định lí ta cũng có:
Bổ đề 2.5.1 cho thấy rằng giá trị của x(t0 + T0) và các phần tử liên quan có thể được ước lượng bằng công thức liên quan đến e^{Lh}, giúp xác định giới hạn và ổn định của quá trình Đồng thời, việc xét hàm z1(t) định nghĩa trên miền xác định và phần mở rộng của nó theo các điều kiện cụ thể cho phép phân tích các tính chất của quá trình, từ bước này ta có thể áp dụng các quy tắc tương tự như từ (2.61) đến (2.73) để thu được các kết quả về tính ổn định và các giới hạn của hệ thống.
≥ δ|x(t0 +T0)| d T0 (2.77) ở trên ta đã sử dụng các điều kiện (2.56), (2.57) và (2.59) Từ (2.74), (2.75) và (2.77), thu được:
Quá trình cứ tiếp tục, ta được:
Theo (2.58) và điều kiện 1) của Định lí suy ra V(t, x(t))≤b( 0 )∀t≥t 0 Nên từ (2.79) suy ra chuỗi P∞ n=0|x(t0+nT0)| d hội tụ.
V(t0+nT0, x(t0+nT0))→0khi n → ∞ Đây là điều mâu thuẫn với (2.79).
Vậy nghiệm không của hệ (2.1) không ổn định.
Nếu d0 = 1, kết quả của Định lý 2.5.1 vẫn giữ nguyên nhưng chỉ khi hằng số m0 đủ nhỏ Đồng thời, theo Định lý 2.5.2, giả sử d0 = 1 và các điều kiện của Định lý 2.5.1 vẫn được thỏa mãn, trong đó Φ được xác định bằng 1/m0.
∂xg(t, xt) và d≥1 Khi đó nghiệm x= 0 của hệ (2.1) không ổn định.
Chứng minh Việc chứng minh Định lí 2.5.2 tuân theo đúng lược đồ chứng minh Định lí 2.5.1.
.e L(hd+dT 0 −h) e Ld 1 T 0 −1 Bất đẳng thức (2.60) bây giờ có dạng
Z t t 0 Φ(τ, xτ)dτ (2.82) Đối với hiệu ||xτ−zτ|| ở vế phải của bất đẳng thức (2.62), với chú ý rằng
||x t 0|| ≤e Lh |x(t 0 )|, ta nhận được đánh giá:
Tính toán rằng bây giờ d =Min{d0, d1}= 1, thay cho bất đẳng thức (2.66), ta nhận được:
|x(t 0 )| d T 0 (2.84) với C1(T0)vàC2(T0)được cho trong (2.81) Thật vậy từ (2.61), (2.62) và (2.72) có thể viết lại:
|Φ(τ, xτ)−Φ(τ, zτ)| ≤M||xt 0|| d−1 e LT 0 (d−1) |x(t0)| d−1 × e Lh m0/L e LT 0 −1 e LT 0 +|x(t0)| d 1 −1 (m1/Ld1) e Ld 1 T 0 −1 e LT 0 (2.62 0 )
2|x(t0)| d T0 (2.72 0 ) do đó bất đẳng thức (2.84) được suy ra:
V(t0+T0, x(t0+T0))≥γ+m0δ|x0| d T0 (2.85) Việc hoàn thành chứng minh được thực hiện tương tự như chứng minh Định lí 2.5.1.
Nhận xét 2.5.1 Trong trường hợp trễh= 0thì các kết quả của Định lí 2.5.1 và Định lí 2.5.2 vẫn đúng.
Ma trận A có tất cả các giá trị riêng có phần thực âm
phần thực âm Định lý 3.1.1 (Trường hợp d0 >1 ) Giả sử ma trận A có tất cả các giá trị riêng với phần thực âm:
Reλj(A)1.
Khi đó nghiệm x= 0của hệ (3.1) là ổn định tiệm cận mũ.
Chứng minh Do ma trận A có tất cả các giá trị riêng với phần thực âm nên tồn tại các hằng số dương K, α >0 sao cho: ke At k ≤Ke −αt ∀t≥0 (3.3)
Khi đó ∀ >0 chọn η=η()>0 sao cho η = min
Khi đó với mọi ϕ ∈Ωη, t0 ∈R + ta có: kxt(t;t0, ϕ)k< e −α(t−t 0 ) ∀t ≥t0 (3.5)
Giả sử x(t) = x(t;t0, ϕ) là nghiệm của (3.1) trên [t0 −h, l) với điều kiện đầu xt 0 =ϕ sao cho: kx t k< H ∀t ∈[t 0 −h, l) Đặt x(t) =e A(t−t 0 ) u(t), thay vào (3.1), có: ˙ u(t) =e −A(t−t 0 ) g(t, xt) ∀t ∈[t0, l) (3.6) Tích phân hai vế của (3.6) trên [t0, t] (t0 ≥t < l), ta được u(t) =ϕ(0) +
Z t t 0 e A(t−s) g(s, xs)ds Suy ra ∀t ≥t0, ta có
◦Khi t+τ ≥t0,theo (3.7) ta suy ra ngay rằng:
Từ (3.8) và (3.9) ta suy ra ngay rằng: ∀t≥t0 kxtk ≤Ke αh e −α(t−t 0 ) kϕk+Km0e αh
Nhân e α(t−t 0 ) vào hai vế của bất đẳng thức trên ta được: e α(t−t 0 ) kxtk
Z t t 0 e −α(d 0 −1)(s−t 0 ) e α(s−t 0 ) kx s k d 0 ds∀t∈[t 0 , l) (3.10) Đặt c=e αh Kkϕk, m(t) = e α(t−t 0 ) kx t k
, f(t) =e αh Km 0 e −α(d 0 −1)(s−t 0 ) Khi đó (3.10) có thể viết lại dạng: m(t)≤c+
Z t t 0 f(s) (m(s)) d 0 ds t∈[t0, l) (3.11) Mặt khác ta có ϕ ∈Ωη, nên theo (3.4) suy ra kϕk d 0 −1 < α
Do có điều kiện (3.12), nên từ (2.11) áp dụng Bổ đề Bihari, ta thu được: m(t) ≤ c h1−(d0−1)c d 0 −1 Rt t 0f(s)dsid 0 −1
Hơn nữa theo (3.4), ta có kϕk< η <
Từ (3.13) suy ra nghiệm x(t) của hệ (3.1) có thể thác triển trên toàn khoảng [t0 −h,∞)và hơn nữa trên khoảng này bất đẳng thức (3.13) được thực hiện.
Do đó (3.5) được thỏa mãn.
Vậy nghiệm x= 0 của hệ (3.1) là ổn định tiệm cận mũ. Định lý 3.1.2 (Trường hợp d0 = 1 ) Giả sử d0 = 1 (trong (3.2)) và ma trận
A có các giá trị riêng với phần thực âm
Khi đó nghiệm không của hệ (3.1) là ổn định tiệm cận mũ nếu hằng số dương m0 đủ nhỏ.
Chứng minh Lược đồ chứng minh Định lí 3.1.2 được thực hiện hoàn toàn tương tự như trong chứng minh của Định lí 3.1.1 Thật vậy
Khi đó (3.10) có thể được viết lại dạng e α(t−t 0 ) kxtk
Z t t 0 e α(s−t 0 ) kxsk ds∀t∈[t0, l) (3.14) Áp dụng Bổ đề Gronwall - Bellman, ta thu được e α(t−t 0 ) kxtk
≤ Ke αh kϕkexpKm0(t−t0)e αh ∀t∈[t0, l) Haykxtk < Ke αh kϕke[ −α+m 0 Ke αh ] (t−t 0 ) (3.15) với mọi t∈[t0, l) Khi m0 >0đủ bé sao cho: α−m0Ke αh ≥ α
Khi đó ∀ >0, chọn ηKexp (αh) thì từ (3.15) và (3.16) ta suy ra kxtk ≤.e − α 2 (t−t 0 ) ∀t∈[t0, l) (3.17)
Do đó nhờ có bất đẳng thức (3.16), chứng tỏ rằng nghiệm x(t)thác triển trên toàn khoảng[t0−h,∞và trên khoảng này bất đẳng thức (3.16) vẫn được thực hiện.
Vậy nghiệm không của hệ (3.1) ổn định tiệm cận mũ.
Ma trận A có ít nhất một giá trị riêng với phần thực dương
Trong phần thực dương của Định lý 3.2.1 (trường hợp d₀ > 1), giả sử ma trận A có ít nhất một giá trị riêng có phần thực dương và điều kiện (3.2) được thỏa mãn với d₀ > 1 Điều này dẫn đến hệ thống (3.1) có nghiệm x = 0 không ổn định, đặc biệt trong các phân tích liên quan đến tính ổn định của phương trình hoặc hệ thống mô hình.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh Định lí 3.2.1 bằng phản chứng Thật vậy:
Giả sử nghiệm x= 0 của hệ (3.1) ổn định.
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng:
Reλj(A) > 0 ∀j = 1, m Reλj(A) ≤ 0 ∀j = 1, n−m Chọn α >0 sao cho α 0, t0 ∈R + ,∃η=η(t0, )>0 sao cho với mọi ϕ∈Ωη thì: ky t (t;t 0 , ϕ)k< e −αt ∀t≥t 0 ≥0 (3.22) Mặt khác hệ (3.20) có thể viết dạng tường minh
˙ y1 =à1y1+b12y2+ã ã ã+b1nyn+ψ1(t, yt) ˙ y2 =à2y2+b23y3+ã ã ã+b2nyn+ψ2(t, yt) ã ã ã ˙ yn =ànyn+ψn(t, yt)
Xét hàm Liapunov V :BH −→Rcho bởi
Vì vậy đạo hàm theo t của hàm V dọc theo hệ (3.20), ta có:
− n−mX k=1 ˙ ym+ky m+k +ym+ky˙ m+k
Do cách chọn β và điệu kiện (3.19), ta suy ra
≥ β|y| 2 −m0|y|.kytk d 0 (3.23) Theo Bổ đề 2.5.1, ta có: ∀t ≥t0+h kytk ≤ |y(t)|e Lh ở đõy L là hằng số Lipschitz của A ∗ x và ψ(t, ϕ(ã))Suy ra
V˙ | (3.20) ≥ β−m0e Lhd 0 |y(t)| d 0 −1 | y(t)| 2 ∀t≥t0 +h (3.24) Chọn >0đủ nhỏ sao cho: β−m0e Lhd 0 d 0 −1 > β
Từ (3.24) và (3.25), có ngay rằng
Do đó nếu với mọi t ≥t0+h mà
V(y(t))>0 (3.27) thì ta từ (3.26), ta kết luận được rằng
Bất đẳng thức (3.28) mâu thuẫn với tính ổn định của nghiệm x = 0 của hệ (3.1).
Vậy để kết thúc chứng minh ta cần chỉ ra điều kiện (3.27) được thỏa mãn.
Thật vậy, ta có thể coi ym+k = 0 ∀ t ≥ t0, k = 1, n−m (điều này sẽ xảy ra nếu ta chọn y (k+m)t 0 = 0∀k= 1, n−m )
Giả sử tồn tại t1 ≥t0+h sao cho y(t1) = 0.
Do đó theo Bổ đề 2.5.1 suy ra: kyt 1k= 0Nên theo tính duy nhất nghiệm của hệ (3.20), ta có kytk= 0 ∀t ≥t0 Điều này sẽ mâu thuẫn nếu ta chọn ky t 0k= 0.
Định lý 3.2.2 chứng minh rằng khi ma trận A có ít nhất một giá trị riêng có phần thực dương và điều kiện (3.2) thỏa mãn với d0 = 1, thì nghiệm x = 0 của hệ (3.1) sẽ không ổn định nếu hằng số m0 > 0 được chọn đủ nhỏ.
Chứng minh Việc chứng minh Định lí 3.2.2 được thực hiện tương tự như trong chứng minh của Định lí 3.2.1.
Thật vậy (3.24) có thể viết thành:
Chọn m 0 >0 đủ nhỏ sao cho β−m0kS −1 k.kSke Lh > β
2|y(t)| 2 ∀t ≥t0+h Việc hoàn thành chứng minh được thực hiện như trong chứng minh của Định lí 3.2.1.
Ma trận A là xyclic, tức A có tất cả các giá trị riêng với phần thực không dương và các giá trị riêng có với phần thực bằng không ứng với ước sơ cấp đơn
giá trị riêng với phần thực không dương và các giá trị riêng có với phần thực bằng không ứng với ước sơ cấp đơn.
Giả sử Acó các giá trị riêng là:
◦ Giá trị riêng λ cóReλ= 0 λ k = 0 cấp k (với k= 0 hoặc k= 1 ) ±iα1,±iα2, ,±iαm (m ≥0;αj >0∀j = 1m)
◦ Giá trị riêng λ cóReλ 1 sao cho |eg(t, zt)| ≤m0||zt|| d 0
Hệ thuần nhất tương ứng của (3.36) là: ξ˙=A ∗ ξ (3.37)
Bước 3.Xây dựng hàm Liapunov Xét hệ (3.36): ˙ z =A ∗ z+eg(t, zt) Hay
; eg(t, zt) eg1(t, zt) e g2(t, zt)
Hệ thuần nhất tương ứng: ξ˙1 =A1ξ1 (3.37a) ξ˙2 =A2ξ2 (3.37b)
Bổ đề 3.3.1 Với mọi ma trận thực đối xứng xác định dương R cấp n1, ta luôn có: x T 1 A T 1 R+RA1 x1 = 0 ∀x1 ∈R n 1 (3.38) ở đó A T 1 là ma trận chuyển vị của A1.
Chứng minh Ta có A T 1 =−A1 Đặt C =A T 1 R+RA1
Hay C T =−C ⇒C là ma trận phản đối xứng.
Do đó với mọi x1 ∈R n 1 , ta có
Khi đó xét hàm Liapunov: v(x1) = 1
(với R là ma trận đối xứng xác định dương bất kỳ, cấp n 1 , x 1 ∈R n 1 ) Khi đó dễ thấy, từ Bổ đề 3.1 ta nhận được: ˙ v| (3.37a) = 0 (3.40)
Khi đó Φ1(t, zt) def = ˙vx 1.eg1(t, zt) =z 1 T Reg1(t, zt) (3.41) Gọi ξ(t) = ξ(t;t 0 , x 0 ) là nghiệm của hệ tuyến tính (3.37) với điều kiện đầu ξ(0) =x0 với ξ(t) = (ξ 1 (t), ξ 2 (t)) ξ 1 (t)∈R n 1 , ξ 2 (t)∈R n 2 +n 3
Từ đây ta có một số kết quả sau:
Bước 4 Một số kết quả Định lý 3.3.1 (Trường hợp d0 >1) Giả sử rằng:
2 Tồn tại hằng số T > 0, δ >0 và ma trận thực đối xứng xác định dương
R cấp n 1 sao cho: ∀t 0 ≥0, z 0 ∈B H ta có I(∆t, t0, z0) Z t 0 +∆t t 0 Φ(t, ξt)dtZ t 0 +∆t t 0 ξ 1 T (t)Reg1(t, ξt)≤ −2δ|z10| d ∆t 0sao cho:
Chọn >0đủ nhỏ sao cho
Do nghiệmz 2 = 0của hệ (3.36b) ổn định tiệm cận đều nên tồn tạiη 1 =η 1 ()>
Kí hiệu {v =γ}={z ∈R n :v(z1) =γ} Khi đó từ (3.43) dễ thấy rằng v(z1) ≤ γ ∀z∈Ωη và v(z1) <
2 ∀z ∈ {v =γ} Với mọi σ∈R + , ϕ∈Ωà, gọiz(t) =z(t;σ, ϕ) là nghiệm của hệ (3.36) với điều kiện ban đầu z σ =ϕ Do |ϕ|< η nên z(σ)∈ {v =γ}
Giả sử tại thời điểm đầu tiên t0 nào đó quỹ đạo z(t) =z(t;σ, ϕ) giao với mặt {v =γ} và đi ra khỏi miền {v ≤γ}.
Khi đó tích phân bất đẳng thức (2.6) từ t 0 →t, ta được v(z1(t)) = v(z1(t0)) +
Z t t 0 Φ(τ, zτ)dτ (3.48) Xét hàm y:R+ −→R n cho bởi y(t) (z(t) với t0−h≤t≤t0 ξ(t;t0, x(t0)) với t ≥t0 với ξ(t) = (ξ1, ξ2) là nghiệm của hệ phương trình (2.7) với ξ(t0) = z(t0) và ta biểu diễn tích phân ở vế phải của (3.48) dạng
Do điều kiện 1) của Định lý, ta có:
|Φ(τ, zτ)−Φ(τ, yτ)| ≤Mr d−1 ||zτ −yτ|| (3.50) với r=Max{||z τ ||,||y τ ||:t 0 ≤τ ≤t} Tiếp theo ta giả sử rằng: t0 ≤t≤t0+T1 Do Bổ đề 2.1 với t0 ≤τ ≤t0+T1
|z(τ)| ≤ ||zt 0||.e LT 1 (3.51) Khi τ ≥t 0 :y(τ) =ξ(τ;t 0 , z(t 0 )), nên cũng theo Bổ đề 2.1 ta được
Nhờ các đánh giá (3.51) và (3.52), ta kết luận rằng trong (3.50) có thể đặt r=||zt 0||.e LT 1
Ta đánh giá hiệu: ||zτ −yτ|| với τ ∈ [t0, t0 +T1] Tính toán hàm y, ta nhận được
Từ đó do Bổ đề 2.2 ta nhận được
Ld0 e Ld 0 T 1 −1 e LT 1 (3.53) Cuối cùng từ (3.50) và (3.53) ta nhận được đánh giá:
≤ m0C1(T1)||zt || d+d 0 −1 (3.54) với C1(T1) được cho bởi trong (3.46).
Bây giờ ta đánh giá tích phân đầu tiên trong (3.48).
Vì y(t) = ξ(t) với t ≥ t0 nên Φ(τ, yτ) = Φ(τ, ξτ) với τ ≥ t0 +h Do đó tích phân này có thể viết lại ở dạng tổng hai tích phân:
Khi t−t0 ≥T và do điều kiện 2) của Định lý, ta có
≤ −2δ|z10(t0)| d (t−t0) +Mhe Lhd |z(t0)| d (3.56) ở đây ta đã sử dụng các điều kiện 1), 2) và sự kiện là trong (3.52): max{||ξτ||:t0 ≤τ ≤t0 +h} = max{||ξ(θ)||:t0−h≤θ≤t0+h}
Vì nghiệm ξ(t0, z(t0)) được xác định với mọi t≥0, do vậy
≤ ||zt 0||.e Lh Như vậy, thế các đánh giá (3.56), (3.57) vào (3.55) ta được
Bây giờ ta nhận xét rằng tại mọi thời điểm: z(t) ∈ {v =γ} mà z(s) ∈ {v ≤γ} ∀s ∈[t−h, t] thì ta có khẳng định sau: kz1tk ≤R0|z1(t)| và kz2t 0 k ≤R0|z1(t)| ∀t 0 ≥σ (3.59)
Thật vậy, bây giờ ta đi chứng minh điều vừa khẳng định.
Vì v(z1(t)) =γ nên theo (3.43) thu được
Hơn nữa theo (3.47) suy ra ∀t 0 ≥σ kx2t 0 k ≤
Ta còn phải chứng minh: kz1tk ≤R0|z1(t)|.Thực vậy r1 = max{|z1(t)|:v(z1(t)) =γ} r2 = min{|z1(t)| :v(z1(t)) =γ}
Mà z(s)∈ {v ≤γ} ∀s∈[t−h, t]và z(t)∈ {v =γ} suy ra kz 1t k ≤r 2 ≤R 0 r 1 ≤R 0 |z 1 (t)|
Từ (3.42), (3.49), (3.54), (3.58) và (3.59), ta nhận được:
Kết hợp bất đẳng thức cuối và (3.45), (3.46) ta có
Từ bất đẳng thức (3.48) và (3.60), ta suy ra bất đẳng thức cơ bản: v(z1(t0 + T1)) ≤ γ - δT1|z1(t0)| < γ (3.61), nghĩa là quỹ đạo z(t) quay trở lại miền {v < γ} Khi đó, khi vượt ra khỏi giới hạn của miền {v ≤ γ}, quỹ đạo z(t) không thể rời khỏi lân cận B2 của gốc trong Rn, đảm bảo tính ổn định của hệ thống trong phạm vi này.
◦ Thứ nhất: Do ma trận A ∗ là xyclic nên quỹ đạo ξ(t) không rời bỏ miền v < γ, vì thế ξ(t)∈B/2 ∀t≥t0.
◦Thứ hai: Nhờ Bổ đề 2.1.2 và điều kiện (3.46) kết hợp với||zt 0|| ≤ ||z1t 0||+
2 ở đây C2(T1) là hàm đã cho trong (3.46).
|z(t)| ≤ |z(t)−ξ(t)|+|ξ(t)|< /2 +/2 Từ các đánh giá (3.45), (3.46), (3.51) và (3.60) hiển nhiên rằng số T1 > T có thể chọn "với trữ lược", miễn là: v(z 1 (t 0 +T 1 +s)) ≤ v(z 0 (t 0 ))−δ(T 1 +s)|z 1 (t 0 )| d
Điểm z(t) quay trở lại miền {v < γ} của không gian pha sẽ lưu lại trong khoảng thời gian không nhỏ hơn h Do đó, nếu tại thời điểm t₀ + T₁, điểm x(t) rời khỏi miền v ≤ γ, thì bất đẳng thức cần thiết để đánh giá là điều kiện quan trọng trong phân tích hệ thống động lực này.
Quỹ đạo z(t) có thể rời khỏi miền {v ≤ γ} nhiều lần, nhưng luôn quay trở lại sau một khoảng thời gian hữu hạn và bị giữ trong tập B Tính ổn định của nghiệm không của hệ (3.36) đã được chứng minh, cho thấy khả năng duy trì trạng thái ổn định của hệ trong giới hạn xác định.
• Bước 2 Chứng minh: Tính hút đều của nghiệm tầm thường của hệ (3.36)
Chọn T 1 ≥ T, = 2 0 > 0như trong (3.45) và (3.46) với R 0 >1 thay bởi R 0 2 , tức 2Mh(R 2 0 + 1) d e Lhd
Do tính ổn định đều của nghiệm không của hệ (3.36) nên tồn tạiη0 =η0(0)>0 sao cho ∀σ ≥h và mọi ϕ∈Ωη 0 :x(t) =x(t;σ, ϕ)∈B 0
Ta sẽ chứng minh: z(t)→0 khi t → ∞ Để làm điều này chỉ là xây dựng dãy tăng, không bị chặn {t k } sao cho
Giả sử tồn tại {tk} ↑ ∞sao cho ||z1t k(σ, ϕ)|| →0
Do nghiệm z2 = 0 của hệ (3.36b) ổn định tiệm cận đều nên có thể coi
Hay z(t;σ, ϕ)→0 khi t→ ∞. Để đơn giản ta kí hiệu: z(t) = z(t;σ, ϕ) v(t) = v(t, z1(t)) Theo Bổ đề 2.1.3: z1(t)→0nếu ∃t ∗ > σ sao cho ∀t≥t ∗ :|z1(t)| ≤ ||z1t||/R0
Vì thế ta sẽ giả sử rằng không tồn tại t ∗ như thế.
Do nghiệm z2 = 0của hệ (3.36b) ổn định tiệm cận đều nên tồn tại∆>0, T0 >
◦Nếu tồn tại t ∗ ≥σ+T 0 sao cho: z(t)∈ {v ≤4γ} ∀t≥t ∗ vơi γ được chọn như trong Bước 1.
◦Do đó ta giả sử rằng ∀t ∗ ≥σ+T0, ∃t≥t ∗ sao cho: z(t)∈ {v ≤ 4γ}
Khi đó, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1 Nếu tồn tại t 0 ≥σ+T0 sao cho:
Theo (3.61) ta suy ra rằng:
Vậy tương tự như (3.59) ta có:
(kz1t 1k ≤R0|z1(t1)| kz2t 1k ≤R0|z1(t1)| Tương tự như chứng minh ở Bước 1, ta thu được: v(t1+T1+s) ≤ v(t1)−δ(T1+s)|z1(t1)| d
Do đó tồn tại t2 ≥t1+T0 sao cho:
(kz1t 2k ≤R0|z1(t2)| kz2t 2k ≤R0|z1(t2)| tức ta cũng có: v(t2+T1 +s) ≤ v(t2)−δ(T1+s)|z1(t2)| d
Hiển nhiên quá trình này kéo dài vô hạn và ta nhận được dãy tăng tk với tk+1−tk ≥T1 sao cho đối với số nguyênk bất kỳ:
Do tính xác định dương của hàmv, điều này nghĩa là tổng|z 1 (t 1 )| d +|z 1 (t 2 )| d + ã ã ã+|z1(tk)| d +ã ã ã bị chặn nên
Do cách xây dựng nên có: |z1(tk)| ≥ ||z1t k||/R0
⇒ ||z1t k|| →0 Trường hợp 2 Nếu với mọi t≥σ+T0 ta đều có:
Do cách giả thiết là không tồn tại t ∗ ≥ σ +T0 sao cho ∀ t ≥ t ∗ : |z1(t)| ≤
Nến tốn tại t 1 > σ+T 0 sao cho:
Do đó ta có: ( kz1t 1k ≤R 0 2 |z1(t1)| kz2t 1k ≤R 0 2 |z1(t1)| Tương tự như trong Trường hợp 1, ta thu được v(t1+T1+s) ≤ v(t1)−δ(T1+s)|z1(t1)| d
Tại t=t2, điều kiện tương tự như trong (3.59) sẽ được thỏa mãn:
Từ đây quá trình chứng minh được thực hiện như trong Trường hợp 1.
Như vậy cả hai trường hợp trên ta đều chỉ ra rằng: tồn tại dãy tăng, không bị chặn {tk} sao cho
||z 1t k (σ, ϕ)|| →0 khi k → ∞ VVậy Bước 2 đã được chứng minh.
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Dễ thấy rằng các đánh giá vừa nhận được và Bổ đề 2.1.3 đảm bảo tính ổn định tiệm cận đều.
Vậy Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Ta sẽ đưa ra một hệ quả trực tiếp của Định lí 3.2.1 và Định lí 3.3.1.
Hệ quả 3.3.1 Giả sử các điều kiện 1) 2) của Định lí 3.3.1 được thỏa mãn và điệu kiện 3) được thay bởi
3’ Giả sử rằng eg 2 (t, z t ) =eg 2 (t, z 2t )và
|eg2(t, z2t)| kz2tk →0đều theo mọi t ∈R + Khi đó nghiệm không của hệ (3.1) là ổn định tiệm cận đều.
Trong trường hợp d0 = 1 và các điều kiện của Định lý 3.3.1 được thỏa mãn, ta có thể áp dụng Định lý 3.3.2 để chứng minh tính ổn định tiệm cận của nghiệm không của hệ (2.1) Cụ thể, khi hàm Φ(t, z t) = 1/m0 z và d ≥ 1, nghiệm hệ sẽ ổn định tiệm cận nếu hằng số m0 trong bất đẳng thức (2.2) đủ nhỏ, đảm bảo tính chắc chắn của kết quả trong các điều kiện đã đề ra.
Hệ quả 3.3.2 Giả sử các điều kiện của Định lí 3.3.2 được thỏa mãn và giả thiết thêm rằng eg2(t, zt) = eg2(t, z2t) và
|eg2(t, z2t)| kz2tk →0đều theo mọi t ∈R + Khi đó nghiệm không của hệ (3.1) là ổn định tiệm cận đều.
Sau đây ta xét một vài thí dụ