HH12 c2 b3 KHAI NIEM KHOI CAU HS 2022

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S BCD.bằng Dễ thấy các tam giác SAC, SBC, SDC là tam giác vuông SC là cạnh huyền.. Góc giữa đường chéo của mặt bên và đáy của lăng trụ là 60° .

◈- Ghi nhớ ➊

mức 7+

◈- Ghi nhớ ❷

◈- Ghi nhớ ❸

mức 7+

_Bài tập minh họa:

1 Cho mặt cầu có đường kính bằng 2a Tính thể tích mặt cầu đó theo a

Ⓐ

43

3 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có các cạnh đều bằng a Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp là

Ⓐ a 3 Ⓑ

32

a

22

a

Lời giải Chọn C

Gọi O AC= ∩BD

, M là trung điểm SB Trong mặt phẳng (SOB)

kẻ đườngthẳng qua M cắt SO tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

222

a a

Câu 2:Cho mặt cầu có diện tích bằng 20π

Ⓐ. 256π

Ⓑ

10243

π

Ⓒ 64π

Ⓓ

2563

Ⓐ. 1 Ⓑ 3 Ⓒ

12

Ⓓ

32

a

π

Khi đó, bán kính mặt cầu bằng

a

Ⓒ

63

a

Ⓓ

33

Lời giải

mức 7+

Ⓐ. 2a Ⓑ

22

a

Ⓒ 2 2a Ⓓ 2a

Câu 9:Một hình nón có đường sinh bằng l và bằng đường

kính đáy Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón bằng:

π

Diện tích mặt cầu đó bằng

Ⓒ a

Ⓓ

a 52

Lời giải

Câu 12:Cho tứ diện đềuABCD cạnh bằng x

Mặt cầu tiếp xúc với 6cạnh của tứ diện đều ABCD có bán kính bằng

x

Ⓒ

24

x

Ⓓ

3 22

Câu 14:Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ

nhật với độ dài đường chéo bằng 2a, cạnh SA có độ dài

bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. ?

a

Ⓓ

52

a

Lời giải

Câu 16:Cho hình chóp S ABC. có đường cao SA, đáy ABC là

tam giác vuông tại A Biết SA=6 ,a AB=2 ,a AC =4a

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC. ?

Lời giải

mức 7+

Trong ( )P

, xét đường tròn ( )C

đường kính BC Tính bán kính của mặt cầu chứa đường tròn ( )C

và đi qua điểm

A

Ⓐ. a 3 Ⓑ

32

a

Ⓒ

33

a

Ⓓ

34

a

Ⓒ

172

a

Ⓓ

175

r=

Ⓓ r =3

Lời giải

Câu 21:Cho hình chóp tam giác đều S ABC

có cạnh đáy bằng Lời giải

mức 7+

và cạnh bên bằng

216

a

Gọi h là chiều cao của khối chóp

và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số

R h

Ⓒ

1.2

Ⓓ

712

Câu 22:Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có đáy ABC là

tam giác đều cạnh a ,

cạnh

3

a

SA=

Gọi D

là điểm đối xứng của B

a

R=

35 7

a

R=

39 7

Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của A

lên SB SC, Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình

Phương pháp:

Tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

▣ Dạng ②

là trung điểm H của BC,

22

a

SH =

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S BHD.

_Bài tập minh họa:

1 Diện tích của mặt cầu cĩ bán kính R bằng

Diện tích của mặt cầu cĩ bán kính R bằng

20 53

π

Lời giải Chọn D

R=

.Diện tích mặt cầu cần tìm là:

vuông góc với đáy và SA a=

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S BCD.bằng

Dễ thấy các tam giác SAC, SBC, SDC là tam giác vuông (SC

là cạnh huyền ) Suy ra mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD.

mức 7+

có tâm là trung điểm của SC và bán kính là 2

Câu 1:Biết rằng khi quay một đường tròn có bán kính bằng 1

quay quanh một đường kính của nó ta được một mặt cầu

V = π

Lời giải

Câu 2:Biết rằng khi quay 1 đường tròn có bán kính bằng 1

quay quanh một đường kính của nó ta được 1 mặt cầu Tính

Câu 3:Một hình cầu có bán kính bằng 2 Hỏi diện tích của

mặt cầu bằng bao nhiêu?

Câu 4:Khinh khí cầu của Mông–gôn–fie nhà phát minh ra

khinh khí cầu dùng khí nóng Coi khinh khí cầu này là một

mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt khinh khí

cầu là bao nhiêu?

Câu 5:Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a

Góc giữa đường chéo của mặt bên và đáy của lăng trụ là 60°

.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó

9 a

Ⓒ

213π

3 a

Ⓓ

25π

3 a

Lời giải

mức 7+

Câu 6:Cho mặt cầu ( )S có bán kính bằng 5 Một mặt phẳng

( )P

cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm

mặt cầu đến ( )P bằng 3 Tính chu vi hình tròn trên

Câu 7:Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ

tam giác đều có các cạnh đều bằng a

cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm

mặt cầu đến ( )P bằng 4 Tính diện tích hình tròn trên

Câu 11:Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có

, AC=2a

Gọi M là trung điểm của AC Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Câu 13:Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại đỉnh B Biết AB BC a= = 3

,

SAB SCB= = °

và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

bằng a 2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

3

V = πR

313

Câu 17:Thể tích của khối cầu đường kính 3R bằng

a

π

Lời giải

Câu 19:Nếu tăng bán kính của một khối cầu gấp 2 lần thì

thể tích thay đổi như thế nào?

Ⓐ. Thể tích tăng gấp 8 lần

Ⓑ Thể tích tăng gấp

43

Ⓒ. Thể tích tăng gấp 2 lần

Ⓓ Thể tích tăng gấp 4 lần

Lời giải

Câu 20:Một khối cầu bán kính 6dm người ta cắt bỏ hai phần

của khối cầu bằng hai mặt phẳng ( )P

và ( )Q

song song với nhau, biết mặt phẳng ( )P

cách tâm 3dm và mặt phẳng ( )Q

cách tâm 4dm để làm một chiếc lu đựng nước Tính thể tích

của chiếc lu

Câu 21:Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông

góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp

Câu 22:Cho mặt cầu ( )S

có diện tích 4πa cm2( )2

Khi đó, thể tích khối cầu ( )S

64

.3

a cm

a cm

π

Lời giải

Câu 23:Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có đáy bằng 3a,

góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45°

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. bằng

Thể tích phần ở giữa hai khối cầu là

Câu 25:Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh

bằng a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a= 2

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. theo a

3πa

Lời giải

Câu 26:Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều

cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối cầu ngoại

tiếp hình chóp S ABC. là

Lời giải

mức 7+

Ⓒ

5 3

π

Ⓓ

5 1554

π

Câu 27:Cho mặt cầu ( )S

tâm O và các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu ( )S

sao cho AB=3

, AC =4

, BC =5

và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

bằng 1 Thể tích của khối cầu ( )S

π

Ⓓ

29 296

góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 45°

Tính theo a  thể tích V của khối cầu ngoại tiếphình chóp S ABCD.

Ⓐ.

3

5

.6

Lời giải

mức 7+

mức 7+

Ⓐ-Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện, nên cĩ

① Tâm I của mặt cầu là điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện

② Bán kính của mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm đến một đỉnh bất kì của khối đa diện

③ Phương pháp chung xác định mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp và lăng trụ

Ⓑ-Phương pháp:

① Xác định O là tâm đường trịn nội tiếp đáy ② Dựng đường thẳng (d) qua O và vuơng gĩc với đáy, đường thẳng này gọi là trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy ③ Ta sử dụng 1 trong 3 phương án sau:

.Trong mặt phẳng chứa cạnh bên và (d), dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên, cắt (d) tại I, khi đĩ ta cĩ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm

.Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên, cắt (d) tại I, khi đĩ ta cĩ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm

.Dựng trục đường trịn của mặt bên, cắt (d) tại I (nếu cĩ thể), khi đĩ ta cĩ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm

Ⓒ-Cơng thức nhanh:

Khối cầu, nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện

▣ Dạng ③

mức 7+

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt

a

Lời giải Chọn A

Bán kính mặt cầu là 2

SC

R= =a

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình vuông tại, SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a

Lời giải Chọn A

 Bán kính mặt cầu là 2

SC

R= =a

Câu 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S ABC. , biết các

cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA a= 3

a

3 68

a

Lời giải:

mức 7+

Câu 5: Cho hình chóp S ABC. có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông tại

a

194

a

72

a

2 33

a

Lời giải Chọn D

mức 7+

Ta có tam giác

ABC

đều cạnh a nên

33

a

33

156

Lời giải Chọn C

∂ = AB=1

,

33

b

R =

,

22

đ

R =

mức 7+

Câu 10: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể

tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Ⓐ.

53

V = π

5 1518

Ⓒ

4 327

V = π

5 1554

Lời giải Chọn D

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD hình vuông cạnh a

, tam giác SAB đều vànằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp S ABCD.

Ⓐ.

513

V = π

3 1511

Ⓒ

23

V = π

216

V = π

mức 7+

Lời giải Chọn D

Ta có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy

a

Ⓒ

142

a

Ⓓ

32

a

Lời giải

mức 7+

Câu 3:Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại

tiếp khối lập phương đó là:

π

Ⓒ

3.2

π

Ⓓ

3

2 3

π

Lời giải

Câu 4:Một hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh lần lượt là 2

, 2, 1 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình hộp nói

Ⓐ. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là

aπ

Ⓒ

34

aπ

Ⓓ

338

Ⓓ

64

a

Câu 9:Một hình cầu có thể tích bằng

43

π

ngoại tiếp một hìnhlập phương Thể tích của khối lập phương đó là

Ⓒ

83 Ⓓ 1

a

Ⓒ

22

a

Ⓓ

63

a

Lời giải

Câu 12:Cho hình chóp đều S ABC. có cạnh đáy bằng a, góc

tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60°

Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

a

R=

Ⓒ

43

Lời giải

mức 7+

Câu 14:Cho tứ diện ABCD Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc

với các mặt của tứ diện

R

Ⓒ

32

Câu 17:Hình chóp S ABC. có SA⊥(ABC)

, tam giác ABCvuông cân tại B, AB a=

và góc giữa SC với (ABC)

bằng 45°

.Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. là

Ⓐ. a 2 Ⓑ

22

a

Ⓒ

32

Câu 20:Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các

tam giác đều cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD)

và (ACD)

vuônggóc với nhau Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

π

Ⓒ

10027

tam giác vuông tại A Biết SA=6 ,a AB=2 ,a AC=4 a

Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. .

Câu 27:Tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp tam giác đều S ABC. , biết các cạnh đáy có độ dài bằng

a

Lời giải

Câu 28:Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều

cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể

tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết

, AC a= 3

, AA′ =2a

Tính bánkính R của mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

Lời giải

mức 7+

Ⓐ R a= 2

22

Câu 30:Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều

cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi B1,

1

C

lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC Tính theo a

bán kính R của mặt cầu đi qua năm điểm A,B, C, B1, C1

Ⓐ.

33

a

R=

Ⓑ

32

a

R=

Ⓒ

34

a

R=

Ⓓ

36

Câu 33:Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình vuông, tam

giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD. có diện tích 84π( )cm2

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SAvà BD

Lời giải

mức 7+

Phương pháp:

Bài tốn liên quan thiết diện, dây cung

▣ Dạng ④

_Bài tập minh họa:

1 Cho hình cầu đường kính 2a 3 Mặt phẳng ( )P

cắt hình cầu theo thiết diện làhình trịn cĩ bán kính bằng a 2 Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt

phẳng ( )P

Ⓐ a 10 Ⓑ

102

mức 7+

24

R

36

R

33

R

Lời giải Chọn A

Bán kính hình tròn lớn của hình cầu là R Khi đó ta có:

2

S =πR

.Hình tròn giao tuyến của ( )P

và hình cầu có bán kính là r suy ra có diện tích là:

R

π

28

R

π

Lời giải mức 7+

Như vậy các điểm A B D, , đều nhìn cạnh SC dưới một góc vuông Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. có tâm I là trung điểm SC và bán kính:

Gọi d là khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( )P

Mặt phẳng ( )P

cách tâm O của mặt cầu một khoảng bằng 1, cắt mặt cầu

theo một đường tròn Gọi P là chu vi đường tròn này, tính P

Ⓑ. Không có mặt cầu nào

Ⓒ. Có 2 hoặc 3 mặt cầu phân biệt tùy thuộc vào vị trí của

Ⓒ

524

Ⓓ

519

Câu 5:Cho mặt cầu S O R( ; )

và đường thẳng ( )d

cắt nhau tại hai điểm B C, sao cho BC=R 3

Khoảng cách từ điểm O đếnđường thẳng ( )d

Ⓐ. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho

Ⓑ. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại

tiếp tam giác ABC

Ⓒ. ABC là một tam giác vuông cân tại C

Ⓓ. AB là đường kính của một đường tròn lớn trên mặt

tại

K

Tính bán kính của mặt cầu đi qua sáu điểmS A B C E K, , , , ,

a

R=

Ⓓ

3.2

R= a + +b c

Lời giải

Câu 11:Cho hình chóp đều S ABC. có cạnh đáy bằng a, góc

tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60 °

Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. .

a

R= ×

Ⓒ

43

Gọi M N, lần lượt là hình chiếu A trên B, SB SC, .

Tính bán kính Rcủa mặt cầu đi qua các điểmA B C M N, , , ,

Ⓐ. R= 2.

Ⓑ

2 3.3

R=

Ⓒ

4.3

a

R=

Ⓒ

172

a

R=

Ⓓ

132

a

R=

Lời giải

Câu 15:Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng ( ABCD)

Câu 16:Hình chóp S ABC. có SA⊥(ABC)

, tam giác ABC vuôngcân tại B, AB a=

và góc giữa SCvới (ABC)

bằng 45°

Tính bán kính Rcủa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

Ⓐ. R a= 2

Ⓑ

22

Câu 17:Cho đường tròn tâm O có đường kính AB=2a

nằm trong mặt phẳng ( )P

Gọi I là điểm đối xứng với O qua A Lấy điểm S sao cho SI vuông góc với mặt phẳng ( )P

a

R=

Ⓑ

65.16

Ⓐ.

36

a

cắt mặt phẳng

Lời giải

mức 7+

Ⓓ

52

a

Câu 21:Một khối cầu tâm I bán kính R bị cắt bởi một mặt

phẳng ( )P

theo đường tròn giao tuyến ( )C

, tạo thành hai khốichỏm cầu Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đường tròn ( )C

, biết rằng góc giữa đường thẳng IM và mặt phẳng ( )P

bằng 30°

Tính theo R thể tích khối chỏm cầu nhỏ tạo thành

R

π

Ⓒ

31512

R

π

Ⓓ

31524

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BC vàCD Tính bán

kính R của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN.

Ⓐ.

376

a

R=

5 312

a

R=

298

Câu 25:Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại đỉnh B Biết AB BC a= = 3

,

SAB SCB= = °

và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

bằng a 2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.