HH12 c2 b3 KHAI NIEM KHOI CAU 2022

Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh MC cắt O E1 tại O suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp... WORD XINHVì ABCD là tứ diện đều nên tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính

WORD XINH

WORD XINH

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho mặt cầu có đường kính bằng 2a Tính thể tích mặt cầu đó theo a

A

43

a



 Tính đường kính mặt cầu đã cho

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh đều bằng a Bán kính mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp là

A a 3 B

32

a

22

a

Lời giải

Chọn C

Gọi O AC BD  , M là trung điểm SB Trong mặt phẳng SOB kẻ đường

thẳng qua M cắt SO tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

a a



2563



Lời giải

Chọn D

Ta có:

3 3

d

 Khi đó, bán kính mặt cầu bằng

A

62

a

23

a

63

a

33

Cách 2: Ta cũng có thể quan sát các đáp án và dựa vào công thức diện tích của

mặt cầu để thay bán kính là các đáp án vào tính trực tiếp

WORD XINH

22

a

C 2 2a D 2aLời giải

hình nón có bán kính là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Xét tam giác vuông OBH vuông tại H ta có 2

 Diện tích mặt cầu đó bằng

A

43



Lời giải

WORD XINH

Thể tích khối cầu:

3 3

3R 3R   R

Diện tích mặt cầu: S4R2 4 1 2 4.

Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông tại A Biết

rằng ABAAa AC,  2a. Gọi M là trung điểm của AC Bán kính mặt cầu ngoại

Gọi O là trung điểm của A C 

Tam giác MA C  vuông cân tại M Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp MA CD  

WORD XINH

Do tam giác A B C    vuông tại A  nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C   

là trung điểm O1 của đoạn B C   Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh MC cắt O E1

tại O suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M A B C   Dựng O H1 song

song với B A   suy ra tứ giác MHO E1 là hình chữ nhật.

x

3 24

x

24

x

3 22

Mặt trung trực của AB cắt AH tại I suy ra IA IB IC ID   hay I là tâm của mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

WORD XINH

Vì ABCD là tứ diện đều nên tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là

tâm của mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện Suy ra bán kính mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện là d I AB( , )IM (M là trung điểm của AB).

Do AMI và  AHB đồng dạng

2 2

3

43

Vậy độ dài đường xích đạo là: 2.40   80

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo

bằng 2a , cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD ?

A

64

a

62

a

2 63

a

612

cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

A

172

a

53

a

52

a

Lời giải

Chọn A

WORD XINH

Gọi  là đường thẳng qua I và   ABC .

Gọi M là trung điểm của SA , mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng SA cắt  tại

44

a a

Câu 16: Cho hình chóp .S ABC có đường cao SA , đáy ABC là tam giác vuông tại A

Biết SA6 ,a AB2 ,a AC 4a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ?

Câu 17: Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi  P là mặt phẳng chứa đường thẳng BC

và vuông góc với mặt phẳng  ABC Trong  P , xét đường tròn  C đường kính

A a 3 B

32

a

33

a

34

a

Lời giải

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có SA a AB BC ;  2 ;a ABC· 120 và cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã

cho

A

174

a

173

a

172

a

175

a

Lời giải

Chọn C

WORD XINH

Trong ABC, gọi D là điểm đối xứng của B qua AC Do tam giác ABC cân tại.

B và · ABC   120 nên các tam giác ABD DBC, là các tam giác đều

Suy ra: DA DB DC  2 a Do đó D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

* Dựng đường thẳng  qua D và song song SA   ABC   là trục của đườngtròn là ngoại tiếp tam giác ABC .

Gọi M là trung điểm của SA, trong SA,, kẻ đường thẳng d qua M và song song AD, suy ra d SA là trung trực của đoạn d SA

Trong SA,, gọi O d    Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC

Xét tam giác OAD, ta có

cầu ngoại tiếp hình chóp SABD bằng

A 26cm B 37cm C 5cm D 3 2cm

Lời giải

Chọn B

SB , mặt phẳng này cắt CG tại F Suy ra F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 20: Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC   , đường cao 4 SH  Tính bán kính 3 r

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A

8 3

đều suy ra SH ABC , và HA HB HC    7 Điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp S ABC Trong tam giác vuông IHB ta có IH  r27.

WORD XINH

3

88

33

r

r r

7

1

712

cắt SO tại I, suy ra

● I nên d IS IA  .

●I SO  nên IA IB IC   .

Do đó IA IB IC IS    nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC .

Gọi M là tung điểm SA, ta có SMI ÿSOA nên

h 

Câu 22: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh

2 3 3

a

Gọi D là điểm đối xứng của B qua C Tính bán kính R của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S ABD .

A

37 6

a

35 7

a

39 7

a

39 7

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì SGABC..

Do CB CA CD  nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABD .

Gọi I d là tâm mặt cầu cần tìm, đặt IC x SK  SG x .

a

R x a 

+) Từ và ta thấy , , ,M N B C cùng nhìn đoạn AK dưới một vuông Vậy AK là đường

kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chópA BCNM. Do đó bán kính R của mặt cầungoại tiếp hình chópA BCNM. bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC.

Áp dụng định lý Côsin trong ABC: BC2  AB2AC22AB AC cosBAC ·  BC 7.

Áp dụng định lý Sin trong ABC:sinBC 2R

WORD XINH

Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , AD a 2 Hình chiếu

của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của BC ,

22

a

Tính bán kínhmặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BHD

A

114

a

22

a

174

a

52

Trong mặt phẳng SH d, , dựng đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng SH

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d

Ta có I d  nên IB IH ID   1 Đồng thời I d  nên IS IH  2

Từ  1 và  2 suy ra IB IH ID IS   , hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

a a a

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng

A  R2 B 4 R 2 C 2 R . D 2 R 2

Lời giải

Chọn B

Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng 4 R 2

Câu 2: Diện tích mặt cầu  S tâm I đường kính bằng a là

WORD XINH

A

4 53

 B 20 5. C 203



20 53



Ta có: AB ; 3 BC ; 3 AC3 2 nên tam giác ABC vuông cân tại B Bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

3 22

.Diện tích mặt cầu cần tìm là: S 4r2 18.

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật, AB a 3 và AD a Đường thẳng

SA vuông góc với đáy và SA a Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S BCD.bằng

WORD XINH

Dễ thấy các tam giác SAC, SBC, SDC là tam giác vuông (SC là cạnh huyền ) Suy ra mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD. có tâm là trung điểm của SC và bán kính là 2

Câu 1: Biết rằng khi quay một đường tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một đường

kính của nó ta được một mặt cầu Tính diện tích mặt cầu đó

A 2. B . C 4 . D V  43

Lời giải

Chọn C

Theo đề bài ta suy ra bán kính của đường tròn bằng bán kính của mặt cầu

Vậy diện tích của mặt cầu là V 4R2 4

Câu 2: Biết rằng khi quay 1 đường tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một đường kính

của nó ta được 1 mặt cầu Tính diện tích mặt cầu đó

Câu 4: Khinh khí cầu của Mông–gôn–fie nhà phát minh ra khinh khí cầu dùng khí nóng.

Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặtkhinh khí cầu là bao nhiêu?

121 380.29 m

Câu 5: Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a Góc giữa đường chéo của

mặt bên và đáy của lăng trụ là 60 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăngtrụ đó

A

2

13π

2

5π

2

13π

2

5π

a

Mặt phẳng trung trực của đoạn AA cắt

trục của đường tròn ngoại tiếp ABC tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăngtrụ

Câu 6: Cho mặt cầu ( )S có bán kính bằng 5 Một mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu theo một

hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến ( )P bằng 3 Tính chu vi hình tròn

trên

A 2 34 B 8. C 4 . D 8

Lời giải

Gọi R là bán kính hình tròn thiết diện, ta có R  R2d I P2 ;( )  52 32 4.

Chu vi hình tròn thiết diện là 2R2 4 8   .

Câu 7: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh

đều bằng a

A

2

73

a



WORD XINH

Câu 8: Cho mặt cầu ( )S có bán kính bằng 5 Một mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu theo một

hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến ( )P bằng 4 Tính diện tích hình

tròn trên

A 9 . B 9 C 3 2 D  .

Lời giải

Gọi R là bán kính hình tròn thiết diện, ta có R  R2d I P2 ;( )  5242 3.

Diện tích hình tròn thiết diện là R2 32 9 .

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC60 Mặt bên SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính

diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

A

2

53

Các tam giác ABC và SAB đều cạnh a nên

33

a

và

36

a





Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật AB2a, AD a 3, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy

bằng 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là.0

A

2

83

a

 C 4 a 2 D 8 a 2

Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông tại A Biết

a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 16 a 2. B 12 a 2. C 8 a 2. D 2 a 2.

Lời giải

Chọn B

WORD XINH

Gọi D là hình chiếu của S trên ABCD

Do SA AB DAAB , và SC CB DCCB Vậy suy ra ABCD là hình vuông.

SB

.Vậy diện tích mặt cầu bằng S 4R2 12a2.

3

13

13

R

 D 36 R 3

Lời giải

Chọn C

Khối cầu đường kính 3R nên bán kính khối cầu là

32

R

.Thể tích khối cầu:

Do đó nếu R 2R thì

3 3

Câu 20: Một khối cầu bán kính 6dm người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai

mặt phẳng  P và  Q song song với nhau, biết mặt phẳng  P cách tâm 3dm và

Lời giải

Chọn C

Chọn trục Ox như hình vẽ, O là tâm của hình cầu.

Cắt mặt cầu bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được đường tròn tâm I

Câu 21: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếpkhối chóp S ABCD.

Gọi OACBD Ta có O là tâm của hình vuông ABCD

Dựng d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD ( dqua O và songsong với)SH

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (Gcũng là trọng tâmSAB) và a là trụcđường tròn ngoại tiếp SAB, a cắt d tại I Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp



Câu 23: Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có đáy bằng 3a , góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 45 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng.

3

3 a

Câu 24: Cho hai khối cầu    C1 , C2 có cùng tâm và có bán kính lần lượt là ,a b , với

a b Thể tích phần ở giữa hai khối cầu là

WORD XINH

Câu 25: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Cạnh bên SA

vuông góc với mặt đáy và SA a 2 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải

Chọn D

Ta chứng minh được các tam giác SBC , SAC và SCD là các tam giác vuông lần

lượt tại B A D, ,

Suy ra các điểm B A D, , nhìn cạnh SC dưới một góc vuông.

Gọi I là trung điểm SC  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp I S ABCD

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là:

Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tíchkhối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là.

A

4 327



5 158



5 3



5 1554



Lời giải

Chọn D

WORD XINH

Dựng trục đường tròn Gx ngoại tiếp tam giác ABC

Dựng trục đường tròn Ky ngoại tiếp tam giác SAB

Gọi I là giao điểm Gx và Ky

3 3

A

7 212



20 53



29 296



Lời giải

WORD XINH

Chọn D

Ta có AB2AC2 3242 25 BC2  ABC vuông tại A

Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ABC  H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .

Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC

Vì khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC bằng 1 nên OH  1

OHB

 vuông tại H có: OB OH2BH2

2

2 512

292

AB a AD  a góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 45 Tính theo    a thể tích V

của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

A

3

5.6

Khi đó OI là trục của hình chữ nhật ABCD nên IA IB IC ID   .

WORD XINH

Mặt khác do và I là trung điểm SC nên IS IC .

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD .

Do SAABCD nên AC là hình chiếu của SC lên ABCD Vậy

Câu 29: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA và vuông góc với

đáy, SA a 2 Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD theo a

A

3

4 23

Ta thấy ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông nên các đỉnh S , A,

B , C , D cùng nằm trên mặt cầu đường kính SC có tâm I là trung điểm SC, bán kính là:

SA ABCD Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD Mặt phẳng

AHK cắt SC tại E Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCDEHK

SA  AD  AK    1

2 2 2

SC SD CD  tam giác SCD vuông tại D.

Khi đó tam giác KDC vuông tại D.

WORD XINH

Ⓐ-Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu

đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện, nên có

① Tâm I của mặt cầu là điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện

② Bán kính của mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm đến một đỉnh bất kì của khối

đa diện

③ Phương pháp chung xác định mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và lăng trụ

Ⓑ-Phương pháp:

① Xác định O là tâm đường tròn nội tiếp đáy

② Dựng đường thẳng (d) qua O và vuông góc với đáy, đường thẳng này gọi là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

③ Ta sử dụng 1 trong 3 phương án sau:

.Trong mặt phẳng chứa cạnh bên và (d), dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên, cắt (d) tại I, khi đó ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm

.Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên, cắt (d) tại I, khi đó ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm

.Dựng trục đường tròn của mặt bên, cắt (d) tại I (nếu có thể), khi đó ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm

WORD XINH

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt

phẳng  ABC và SC2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

22

a

Lời giải Chọn A

Bán kính mặt cầu là 2

SC

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình vuông tại, SA

vuông góc với mặt phẳng  ABCD

và SC2a Tính bánkính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

22

a

Lời giải Chọn A

 Bán kính mặt cầu là 2

SC

Câu 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều .S ABC , biết các

cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên SA a 3.

a

3 68

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông tại

A, biết AB6a, AC  8 a, SA10a Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp S ABC

Lời giải Chọn A

Câu 6: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác đều cạnh

bằng a, SA2a Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Ⓐ.

393

a

194

a

72

a

2 33

a

Lời giải Chọn D

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên

33

Câu 7: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác cân tại A

và AB a ·BAC120 , SA2a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC