(SKKN HAY NHẤT) giải pháp giúp học sinh phát huy khả năng giải bài toán về nghiệm của đa thức

Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết như học sinh học nội dung về nghiệm của đa thức còn yếu, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY

I MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Mỗi một nội dung trong chương trình chuyên toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng

trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáo viên

phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ

năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn Thực tế dạy và học cho chúng

ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết như học sinh học nội dung về nghiệm của đa

thức còn yếu, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán Đặc biệt, các năm

gần đây, trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp Quốc gia mật độ xuất hiện các bài toán về

nghiệm của đa thức xuất hiện ngày càng nhiều Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh

giỏi nhiều năm, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thác

nhiều chuyên đề về nội dung Đa thức Trong SKKN này tôi xin chia sẻ : ‘‘Giải pháp giúp học

sinh phát huy khả năng giải bài toán về nghiệm của đa thức ”.

Đây là một nội dung quan trọng, hay trong chương trình giải tíchs của lớp chuyên Toán nên đã

có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say sưa nghiên cứu và

học tập Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận và quy lạ về quen đối với bài toán này nhiều sách

tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến này là cần

thiết, làm các em hiểu sâu hơn về các bài toán này và yêu thích chủ đề Đa thức

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, đồng thời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và

các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán tích phân, hình thành cho các em

thói quen tìm tòi tích lũy và rèn luyện tư duy sáng tạo, giải quyết các bài toán trong đời sống xã

hội, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chúng tôi tập trung nghiên cứu một số tính chất về tích phân, nghiên cứu về câu hỏi tích

phân ở dạng trắc nghiệm khách quan, nghiên cứu về ứng dụng của tích phân để tính diện tích

hình phẳng, thể tích khối tròn xoay và vận dụng nó trong các bài toán thực tế của đời sống xã

hội

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như: phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi

mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải và một số phương pháp khác như phương pháp quy lạ

về quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án trong câu hởi trắc nghiệm khách quan

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến

Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung đa thức của tài liệu chuyên toán Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái

cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới Các tiết dạy bài tập phải được thiết kế theo

hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng

dạy, phát huy tính tích cực của học sinh Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm

bắt những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các

kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải Từ đó học sinh có hứng

thú và động cơ học tập tốt Trong quá trình giảng dạy nội dung Đa thức, tôi thấy kỹ năng giải bài

toán nghiệm Đa thức của học sinh còn yếu Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một

cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh

nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức

mớitừ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kỳ thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các

cấp

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Nội dung Đa thức là một phần kiến thức tương đối khó và rộng với học sinh Học sinh rất nhanh quên và không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán Trong kỳ thi

HSG Quốc gia năm 2017, nội dung này đưa ra trong 1 câu ở ngày thi 1.Với tình hình ấy để giúp

học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán liên quan đến nghiệm của đa thức,

người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu đặc trưng của

bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen, kỹ năng

kỹ năng đọc hiểu bài toán nâng cao

Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán Đa thức cho học sinh

với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư

duy sáng tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi HSG Quốc gia

Vậy tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng tốt các kiến thức

về nghiệm của đa thức để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài toán liên qua đến nghiệm

của đa thức một cách chính xác và nhanh nhất

2.3 Các biện pháp thực hiện

2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa và các phép toán.

Định nghĩa 1 : Cho hàm số Ta gọi là đa thức nếu ( hằng số) hoặc tồn

tại và các số thực với sao cho :

hay dạng rút gọn:

Các số gọi là các hệ số, được gọi là hệ số cao nhất, được gọi là hệ số

tự do

Đặc biệt khi thì đa thức được gọi là đa thức chuẩn tắc hay đa thức mo-nic

Với thì được gọi là bậc của đa thức , ký hiệu , đặc biệt:

các đa thức với hệ số thực , ngoài ra

Định nghĩa 2 Ta nói đa thức với hệ số nguyên là bất khả quy trên , nếu nó không

phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng ( trong

bài viết này khi nói một đa thức bất khả quy có nghĩa là nói đa thức này bất khả quy trên )

2 Các định lý

Định lý 2.1.(Định lý cơ bản) Mọi đa thức bậc có không quá nghiệm thực.

Từ đó nếu và tại ít nhất điểm, thì

Nếu là nghiệm của đa thức thì

Từ đó suy ra với và là hai số nguyên phân biệt thì

Định lý 2.4( Định lý Bezout 2)

Hai đa thức nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại các đa thức

Chứng minh

Giả sử tồn tại thỏa mãn điều kiện

Ta chứng minh bằng quy nạp theo

Nếu thì điều cần chứng minh hiển nhiên

Giả sử điều cần chứng minh đúng với

Vì vậy với Khi đó

theo giat thiết quy nạp , tồn tại các đa thức sao cho

Định lý 2.5( Sự phân tích tiêu chuẩn)

Mọi đa thức với hệ số thực đều có thể biểu diễn ở dạng:

.trong đó

1.2 Nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1 Số được gọi là nghiệm của đa thức nếu

Định lý 1 Từ hệ quả 1 ta có:a là nghiệm của khi và chỉ khi

Định lý 2 Nếu là nghiệm của đa thức thì

là nghiệm của đa thức

Định nghĩa 2 Cho đa thức và Ta nói số a là nghiệm bội m của nếu

và

Định lý 3 (Định lí cơ bản của đại số) Trong , một đa thức bậc n bao giờ cũng có đầy đủ n

nghiệm phức (kể cả bội)

Hệ quả 1. Trong , mọi đa thức bậc n có không quá n nghiệm thực (kể cả bội).

Định lý 4 Cho đa thức Nếu là một nghiệm phức của

thì liên hợp của nó cũng là một nghiệm của

Định lý 5

i) Cho bậc n, hệ số cao nhất là a và có n nghiệm phức là Khi đó

.ii) Cho bậc n, hệ số cao nhất là a và có tất cả nghiệm phức là với bội

.iii) Cho đa thức có các nghiệm thực là với bội tương ứng

Từ các định lý trên nếu có nghiệm phức , thì cũng có nghiệm phức

suy ra

, với

Lặp lại quá trình trên bằng cách xét các nghiệm phức của ta có định lí

Định lý 6 Trong , mọi đa thức đều phân tích được dưới dạng tích các nhân tử bậc nhất và

các nhân tử bậc hai với biệt thức âm

Định lý 7

i) Nếu đa thức với và có nhiều hơn n nghiệm (kể cả bội) thì nó là đa

thức 0

ii) Nếu hai đa thức đều có bậc không vượt quá n, và lại bằng nhau tại nhiều hơn n

giá trị khác nhau của biến x thì

Hệ quả 2. Cho là một đa thức với hệ số thực Khi đó

i) Nếu hàm là hàm số chẵn thì tất cả các hệ số của lũy thừa bậc lẻ đều bằng 0

ii) Nếu hàm là hàm số lẻ thì tất cả các hệ số của lũy thừa bậc chẵn đều bằng 0

Định lý 8 (Định lý Viet) Trong C, nếu đa thức có n

nghiệm là thì

Định lý 9 (Định lí Viét đảo) Nếu có n số phức thỏa mãn

thì là n nghiệm của đa thức

Định lý 10 Nếu và là nghiệm của thì

Định lý 11 Cho đa thức Khi đó nếu

(phân số tối giản) là nghiệm của thì và

Trong trường họp đặc biệt khi hệ số cao nhất của bằng 1 thì dẫn đến mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức đều là nghiệm nguyên nên thu được hệ quả

đều nguyên hoặc vô tỉ

2.3.2 Các giải pháp

Định lý 1

i) Mọi đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm thực.

ii) Nếu đa thức bậc n mà không có nghiệm thực thì n phải là số chẵn.

Định lý 2 (Định lý Lagrange) Nếu là hàm liên tục trên đoạn , có đạo hàm trên

Định lý 3 (Định lý Roll) Cho đa thức P x  với hệ số thực và hai số thực a b, ( a b ) Khi đó,

nếu P a  P b  thì tồn tại ca b;  sao cho P c'  0.

Hệ quả 0. Cho đa thức P x  với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đa

thức đạo hàm cấp k tức đa thức n k 

P  x có n k nghiệm thực phân biệt.

Ví dụ 1 (VMO 2017)

Trong mặt phẳng (Oxy), cho (C) là đồ thị hàm số Một đường thẳng d thay đổi sao cho d cắt

(C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là Chứng minh rằng

Bài giải

Nhận xét : dễ thấy đường thẳng d là đường thẳng có hệ số góc Giả sử , xét phương trình

hoành độ giao điểm của d và (C) :

Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì Đặt , khi đó theo giả thiết , phương trình

(1) có ba nghiệm phân biệt và

Áp dụng định lý Vi- et ta có

Mặt khác, xét hàm số , để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi chỉ khi tích

giá trị cực đại và giá trị cực tiểu nhỏ hơn 0 Điều đó tương đương với

Hay

Do giả thiết cần chứng minh tương đương với

Bài toán đã được chứng minh

Ví dụ 2 Cho là các số thực Chứng minh rằng nếu đa thức :

có nghiệm thực thuộc khoảng , thì đa thức : cũng có nghiệm thực

Và

Suy ra :

Do đó, phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

Vậy nên đa thức có nghiệm thực thỏa mãn điều kiện bài toán

Như vậy đối với đa thức P(x) không thỏa mãn hoặc bất đẳng thức (1) hoặc bất đẳng thức (2) Suy

ra điều phải chứng minh

b) Chọn đa thức khi đó với mọi ta có

và

Nghĩa là khẳng định trên không còn đúng nữa

Ví dụ 4 (VMO - 95) : Hãy xác định tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện sau : Với mỗi số

thì số nghiệm thực của phương trình : (mỗi nghiệm được tính với số bội của nó) bằng bậc của đa thức P(x), và mỗi nghiệm thực của phương trình trên đều lớn hơn 1995

Bài giải

Do yêu cầu mỗi nghiệm thực của P(x) = a đều lớn hơn 1995 nên chỉ xét các đa thức P(x) có bậc

- Xét đa thức P(x) bậc n là hàm đơn điệu trên thỏa mãn đề tài

Vì đồ thị hàm P(x) chỉ có hữu hạn điểm uốn nên với a đủ lớn và a > 1995 thì P(x) = a chỉ có tối đa một

nghiệm (mỗi nghiệm được tính với số bội của nó), suy ra n = 1 và P(x) có dạng với b > 0 ;

nghiệm của P(x) là Ta có x > 1995 với mọi a > 1995 khi và chỉ khi b > 0 và

- Xét đa thức P(x) có hàm số cực trị trên thỏa mãn đề bài thì Giả sử P(x) đạt cực

Do đồ thị hàm P(x) chỉ có hữu hạn điểm uốn nên với a đủ lớn và , thì

P(x) = a chỉ có tối đa hai nghiệm (mỗi nghiệm được tính với số bội của nó), suy ra n = 2

Nhưng nếu P(x) là tam thức bậc hai với a đủ lớn và a > 1995 thì P(x) = a chỉ có tối đa một nghiệm lớn

hơn 1995, đa thức đó lại không thỏa mãn đề bài

Vậy mọi đa thức P(x) thỏa mãn đề bài có dạng P(x) = bx + c với và

bậc n và có n nghiệm thực phân biệt, chứng minh rằng:

cũng có n nghiệm

Bài giải

Trước hết ta chứng minh bổ đề: khi đó phương trình có nghiệm

Chứng minh:

- Nếu bổ đề là hiển nhiên

- Nếu xét

Áp dụng định lí Roller:

Ta có:

phương trình là phương trình bậc n có (n - 1) nghiệm nên

Vậy phương trình phải có nghiệm thứ n Bổ đề được chứng minh

Áp dụng bổ đề để giải bài toán:

Gọi là hai nghiệm của (1)

Do đó phương trình

Từ giả thiết có n nghiệm suy ra có n nghiệm (Đpcm)

Ví dụ 6.(TST 1994) Cho và Giả sử có 4 nghiệm dương phân

biệt

Lời giải

Ta chứng minh bổ đề sau nếu có 4 nghiệm phân biệt

Đặt phương trình có dạng :

Bài toán được chứng minh

thực (kể cả bội của nghiệm) ?

Bài giải

Không mất tính tổng quát, có thể coi các hệ số bậc cao nhất của các đa thức P, Q, R đều dương

Trước hết, ta chứng minh đa thức Q(x) luôn luôn có hai nghiệm thực

Do Do đó đa thức có nghiệm thực và vì vậy đa thức Q có

nghiệm thực Vì nên Q có đúng hai nghiệm thực

Tiếp theo, ta chứng minh đa thức P(x) luôn luôn có 3 nghiệm thực

Thế vào hệ thức : , ta thu được , với là các tam thức bậc

hai, là nhị thức bậc nhất Ta có :

Vì là đa thức bậc hai và là tam thức bậc hai nên là đa thức hằng

.Suy ra k > 0 Thay giá trị vào (1), ta được :

Nên Do đó tam thức bậc hai có hai nghiệm thực và P(x) có 3 nghiệm thực

Trở lại bài toán Do P có 3 nghiệm thực, Q có hai nghiệm thực và R là đa thức bậc 3 (có ít nhất một

nghiệm thực) nên số nghiệm thực của T(x) không nhỏ thua 6

Áp dụng định lý Lagrange cho

Mà áp dụng định lý Bonxano Cauchy suy ra tồn tại nằm giữa 2 nghiệm c

Lời giải

Ta có :

Trước hết ta chứng minh PT (2) và (3) không thể có nghiệm chung trong

Thật vậy giả sử (2) và (3) có nghiệm chung a và

điều này vô lí vì a > 1

Bây giờ ta chứng minh PT (3) có ít nhất n - 1 nghiệm lớn hơn 1 và PT (2) có ít nhất n nghiệm trong đó n

-1 nghiệm lớn hơn 1 Từ đó suy ra phương trình (1) có ít nhất 2n - 1 nghiệm phân biệt

Xét hàm số :

Vậy có nghiệm phân biệt trong Áp dụng định lí Roller ta thấy giữa 2 nghiệm của

f(x) có một nghiệm của

Vậy phương trình có ít nhất n - 1 nghiệm lớn hơn 1

Vậy (2) có n nghiệm trong đó ít nhất n - 1 nghiệm lớn hơn 1

Vậy phương trình (1) có ít nhất n - 1 nghiệm (đpcm)

Chứng minh rằng nếu có n nghiệm phân biệt thì

Lời giải

Ta chứng minh có n - i nghiệm phân biệt

có n nghiệm phân biệt

Giả sử có n - i nghiệm

Áp dụng bổ đề trên vì có n nghiệm phân biệt có (n - k - 1) nghiệm phân biệt

Ta có

Do nghiệm phương trình cho và đặt phương trình

Ví dụ 11 Cho số thực   0 và đa thức P x  với hệ số thực bậc n n 1 sao cho P x  không

có nghiệm thực Chứng minh đa thức Q x  P x P x' 2P x''    n P n  x không có

nghiệm thực

Lời giải

- Không mất tính tổng quát ta giả sử hệ số cao nhất của P x  là một số dương, do đa thức P x 

không có nghiệm thực nên n phải là số chẵn, suy ra P x  0 với mọi số thực x

vô nghiệm nên H x'  có nhiều nhất 1 nghiệm Suy ra Q x  có nhiều nhất 1 nghiệm, giả sử

nghiệm đó là x0 mà lại do Q x  là đa thức bậc chắn nên    2  

Suy ra Q x' 0 0 suy ra P x 0 0 vô lý Vậy Q x  vô nghiệm Đpcm

Ví dụ 12 Tìm a, b để chia hết cho Chứng minh khi

đó không chia hết cho

Lời giải

Ta có: nên f có nghiệm bội và

và Vậy và

Vì nên không chia hết cho

Ví dụ 13 a) Cho và Chứng minh rằng phương trình

Áp dụng định lí Rolle thì có 2 nghiệm nên có nghiệm

Ví dụ 13 Cho phương trình Chứng minh rằng: phương

trình trên có đúng 5 nghiệm phân biệt Với là nghiệm của phương trình trên, tính

(Đề chọn đội tuyển của Bến Tre 2016-2017)

Lời giải

b) Giải pháp 2: Sử dụng định lý Viet

nguyên dương sao cho: Chứng minh có ít nhất 1 nghiệm có môđun

không vượt quá 1

Lời giải

Giả sử các nghiệm của đều có môđun lớn hơn 1

thì là nghiệm của nên theo Viet ta có có ít

nhất 1 nghiệm có môđun không vượt quá 1

Ví dụ 2: Có tồn tại hay không các số dương sao cho có thể chọn được

nghiệm nguyên phân biệt

Lời giải

Giả sử tồn tại thỏa mãn đề bài

Giả sử là các nghiệm nguyên của

Vì

Mà là các số nguyên phân biệt nên

Đây là điều vô lý

Ví dụ 3: Cho phương trình có 3 nghiệm dương

Dấu “=” xảy ra khi

Ví dụ 4 Cho 4 số dương a, b, c, d Giả sử phương trình có 4nghiệm thuộc khoảng Chứng minh bất đẳng thức :

Lời giải

khoảng Theo định lí Viete ta có:

và

Vì nên bất đẳng thức :

Khai triển và rút gọn ta có bất đẳng thức (*)Đẳng thức xảy ra:

Ví dụ 5 Cho có bậc và có n nghiệm Chứng minh:

Nên:

Do đó:

Ví dụ 7 Cho số tự nhiên và n số thực sao cho Giả sử

rằng tất cả các nghiệm đó nằm trong đoạn

Lời giải

Đặt là n nghiệm của phương trình

Khi đó và

Mặt khác

Do đó

Vậy tất cả các nghiệm của đều nằm trong đoạn

Ví dụ 1 (VMO - 2012)

Cho hai cấp số cộng với m là số nguyên dương , Xét m tam thức bậc hai :

Chứng minh rằng nếu và không có nghiệmthực thì các tam thức còn lại cũng không có nghiệm thực

Do đó :

Nên : Vô lý Vậy các tam thức bậc hai còn lại cũng không có nghiệm thực

Ví dụ 2 Cho đa thức và thỏa mãn Chứng minh tồn

Lời giải

ii) Nếu là nghiệm của đa thức thì cũng là nghiệm của đa thức

Ví dụ 4 Cho các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3,2,3 thỏa mãn

bao nhiêu nghiệm thực (kể cả nghiệm bội)

Lời giải

Suy ra phương trình có nghiệm

Mặt khác

+) Hai nghiệm của là phân biệt Khi đó có ít nhất 2 nghiệm, mà

nên sẽ có 3 nghiệm thực Mặt khác do nên có ít nhất 1 nghiệm Do vậy mà có ít nhất 6 nghiệm

+) Hai nghiệm là nghiệm kép

Theo định lí Bezout ta sẽ phân tích được

với là các đa thức có hệ số cao nhất dương

(Vô lí)

Do đó một trong hai đa thức có 2 nghiệm

Điều này dẫn đến có 6 nghiệm

nghiệm

sẽ có 3 nghiệm và cũng sẽ có ít nhất 3 nghiệm Do nên

sẽ có 2 nghiệm hoặc có 6 nghiệm

Mà có ít nhất 3 nghiệm nên phải có 6 nghiệm hay là có 3 nghiệm

Vậy có ít nhất 6 nghiệm

Ví dụ 5

1 Chứng minh rằng mỗi đa thức và đều có một nghiệm dương duy nhất

2 Gọi các nghiệm dương của và lần lượt là và

tục trên nên có nghiệm dương duy nhất, đó chính là

2 Ta có là nghiệm dương của và từ bảng biến thiên, suy ra nên Khi

đó, là nghiệm của phương trình

.Tương tự, là nghiệm dương của và do nên và là nghiệm của

phương trình , do đó, là nghiệm của phương trình

Ví dụ 6 Chứng minh rằng không tồn tại các đa thức khác hằng và sao cho

với mọi số thực sao cho

Lời giải

Ta sử dụng phản chứng, giả sử tồn tại các đa thức thỏa mãn đề bài

TH 1 không có nghiệm chung Ta sẽ chứng minh vô nghiệm Thật vậy, giả

sử tồn tại sao cho khi đó , do đó

mâu thuẫn