4 GT12 c3 FULL GHEP CHUONG (máy yếu ĐỪNG mở)

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và 2 đường thẳng là: Nếu không đổi dấu trên đoạn thì Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thuộc khoảng thì

WORD XINH

Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên

① Phương pháp đổi biến số:

Định lý: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số liên tục sao cho xác định trên

Khi đó nếu là một nguyên hàm của tức là thì

WORD XINH

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho biết F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên ¡ Tìm I 2f x  1 d  x

Ta có kf x x k f x x d    d với k  ¡ sai vì tính chất đúng khi k ¡ \ 0  .

Phân dạng toán cơ

Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm

Câu 2:Xét f x g x( ), ( ) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên ¡ Phát

biểu nào sau đây sai?

A  f x( )dg x( )  f x g x( ) ( )g x( ).d f x( ).

B   f x( )g x( ) d x f x x( )d g x x( )d .

Lời giải

Câu 3:Cho các hàm số y f x  và yg x  liên tục trên ¡ Mệnh

đề nào sau đây là sai?

D

11d

Câu 14:Cho hàm số f x  xác định trên K và F x  là một nguyên

hàm của f x trên K Khẳng định nào dưới đây đúng?

K nếu F x   f x  với mọi x K .

C. Nếu hàm số F x  là một nguyên hàm của f x  trên K thì

Câu 20:Cho hàm số f x( )xác định trên Kvà F x( )là một nguyên hàm

của hàm số f x( )trên K Khẳng định nào dưới đây đúng?

C.  f x x d  f x  Cvới mọi hàm f x có đạo hàm trên ¡ .

Câu 24: Mệnh đề nào sau đây sai?

A kf x dx k f x dx      với mọi hằng số k và với mọi hàm

số f x  liên tục trên ¡

B.  f x dx   f x C với mọi hàm số f x 

có đạo hàm trên ¡

.

A. f x  x22x1 e 3x 1. B f x  x22x1 e 3 1x .

Lời giải

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f x  2 2x x5 là

A

5ln2 ln2

x C

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f x  sin 2xcosxlà

A cos 2xsinx C B cos2 xsinx C

C sin2 xsinx C D cos 2xsinx C

Lời giải Chọn C

Ta có: sin 2 cos d 1cos 2 sin

Câu 2:Khẳng định nào đây đúng?

A. sin dx x sinx C B sin dx x cosx C .

WORD XINH

C. ylnx 1 D

2 2

ln2

WORD XINH

C e3 1x C. D

3 1e

ln e

x C



.

Câu 16:Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  cos 2x là

f x

Lời giải

C

1200

C

1cos 44

f x

x



(III) f x  tan2 x1.

Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g x  tanx?

A. Chỉ (II), (III). B (I), (II), (III).

e3

Câu 36:Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là

nguyên hàm của hàm số còn lại?

m 

. C

43

m 

. D

34

m.

x I

x

 được kết quả2

ln 8 1 8

x x

ln12 1 8

x x

Kết luận cho bài toán.

Tìm nguyên hàm thỏa mãn ĐK cho trước

Câu 4: Cho hàm số F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  3x2  e x 1 m với m là

tham số Biết rằng F 0 2 và F 2  1 e2 Giá trị của m thuộc khoảng

Câu 4:Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên ¡ , thỏa mãn

đồng thời các điều kiện sau f x    0, x ¡ , 'f x  e f x 2 x , x ¡

WORD XINH

Câu 6:Cho hàm số f x  thỏa mãn f x   3 5cosx và f  0 5

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

WORD XINH

Câu 27:Cho hàm số y f x  xác định trên ¡ \1;1 và thỏa

11



. C

1ln10

f x   C

Lời giải Chọn C

Suy ra: rồi đưa về việc tính nguyên hàm

đơn giản hơn

Lấy vi phân trực tiếp:

Phương pháp đổi biến số t = u(x) hàm xác định

Phương pháp đổi biến số t = u(x) hàm xác định

f x

x

-=-

x . C

21

x



 . D

11

x x

x C

.

x

x x

A ln 3sinx2 cosx C . B ln 3cosx2sinx C .

C. ln 3cosx2sinx C . D ln 3sinx2cosx C .

x

e x

e 



, nếu đặt t  e x1 thìd

esin 1

x C x

esin 1

x C x





Lời giải

x x

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f x  x.e2xlà

Đặt

2 2

1e

2

x x

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f x  xsinx là:

A F x   xcosxsinx C . B F x  xcosxsinx C .

C F x   xcosxsinx C . D F x  xcosxsinx C .

. C

18

ab 

. D

18

ab.

D

1( ) (2 cos 2 sin 2 )4

d

ln 2

x x x

C

18

ab 

.D

14

ab 

Lời giải

Câu 26:Phát biểu nào sau đây là đúng?

A e sin dx x xe cosx xe cos d x x x .

B e sin dx x x e cosx xe cos d x x x .

Lời giải

WORD XINH

C e sin dx x xe cosx xe cos d x x x .

D e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

Câu 27:Họ nguyên hàm của hàm số f x  ln2xlà

x x

. C 9 e 2. D

2

9 e2

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm số y f(x)thỏa mãny'x y2 và ( 1) 1f   thì (2)f bằng bao nhiêu?

Sử dụng phối hợp các tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm

Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn (*)

Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn

Câu 3:Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn

đồng thời các điều kiện sau:

Câu 7:Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai trên 0; thỏa

mãn 2xf x  f x  x2 xcos ,x  x 0;   ; f 4  0 Giá trị biểu

Câu 12:Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x 

liên tục trên đoạn

Câu 15:Giả sử hàm số y f x  liên tục, nhận giá trị dương trên

0;và thỏa mãn f  1 1, f x   f x  3x1, với mọi x 0

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Câu 22:Cho hàm số y f x  đồng biến trên 0;; y f x  liên

tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn  3 2

WORD XINH

Câu 26:Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục và nhận giá trị

dương trên

10;

Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kì thuộc

Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của từ đến

Kí hiệu là :

Trong trường hợp ta gọi là tích phân của trên đoạn

Người ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số

WORD XINH

Phương pháp đổi biến số:

Dấu hiệu nhận biết và cách đổi biến

Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến

Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai.

Câu 2: Tính

1 3 0

I  

D I   e3 1

Lời giải Chọn B

Câu 4: Tính tích phân:

2

1

1d

I 

B I   1 ln 2. C I  2 ln 2. D I   1 ln 2.

Lời giải

D

12

5. D

72ln

x I

x





.

I  

. C

45815000

I 

. D

5log2

WORD XINH

Câu 12:Tính tích phân

1 2 0

d9

x I

8

d ln 2 ln 52

2 5. C

1 5ln

2 7 . D

435

.

A. 50 B 40 C 30 D 60

Lời giải

WORD XINH

Câu 20:

1

3 1 0

Câu 30:Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với

vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật

180 18

, trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc

cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng

chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng am s2

(a là hằng

số) Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A Vận tốc của

B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

WORD XINH

Câu 32:Biết 6 

2 0

k k

k k

k k

Câu 34:Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với

vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật

phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn

10 giây so với A và có gia tốc a m/s2

A. 31 B 29 C 33 D 27

Lời giải

Câu 36:Tích phân 2  2 

0min x ,3x2 dx

f   

  và f  e2 3 Giá trị

của biểu thức 1  3

ee

f     f

A. 3 ln 2 1    B ln 2 3. C 3ln 2 1. D.

Lời giải

Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi

biến số.

Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp.

Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số

Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số

t t t

 D 2.

a  , b¡ Khẳng định nào sau đây đúng?

.

Lời giải

WORD XINH

B

1( ) (2 cos 2 sin 2 )



Lời giải

Câu 21:Cho hàm f x 

liên tục trên ¡ thỏa mãn 4  

0tan d 3

f x x



.

Lời giải

WORD XINH

A. 1. B 4. C 2. D 5

Câu 22:Tính  

2 2

cos

1 6

gần bằng số nào nhất trong các số sau đây

I 

. B

32

I 

. C

72

I 

. D

12

x I

0

e d

x t

.Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần

của là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

WORD XINH

Lời giải Chọn C

14

a b c

ab 

. B

14

ab

. C

18

ab 

. D

18

ab.

Lời giải

Câu 6: Tích phân

2 2 0.e dx

41

x x

I  

.C

2

e 14

I  

. D

2

e 14

Câu 21: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt

là F và G trên đoạn  1;2 Biết rằng F 1 1, F 2 4,

 1 32

, G 2 2 và 2    

1

67d12



. D

1112

.

Lời giải

Câu 22: Biết

2 6

2 6

d1

WORD XINH

A.

1

33

I    

225

 . D

10;

I I

I I

r

r

x C r

tan r

r

x C r

số tối giản và C  ¡ Giá trị của a b bằng

Ta có:

2

3cos

Ta có

5 2

3

1d1

x x

x x

3

ln 12

WORD XINH

Câu 3:Cho tích phân

3

3 2 2



S

. C

76



S

. D

23

deln

x x

2 1

d

41

x x

d ln 2 ln 52

a

Lời giải

, với a, b là các số nguyên thuộc

khoảng 7;3 thì a và b là nghiệm của phương trình nào sau

e

x x

WORD XINH

Lời giải Chọn A

Đặt tsinx dt cos dx x Đổi cận x   , 0 t 0 x 2 t 1

WORD XINH

Câu 4 Cho hai hàm số liên tục f và gcó nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn  1;2

.Biết rằng F 1 1, F 2 4,  1 3



2 12

12



I 

. C I  2 D

52

2315





. D

2315

.

f x x k



Tính

3 2

1 2

1d

I x f x x

.

Lời giải

2 3



 D 2 .

I . C

72

I . D

92

I .

Câu 30:Cho hàm số f x  liên tục trên ¡ và f  2 16,

A T 0. B

316

T  

. C

2116

T 

. D

32

T .

I  

. C

112

I. D

112

4 3

P

. C

7160

P

. D

65

P.

Lời giải

. C

d4

4d

x x



A. I  3 B

32

I  C I  2. D

52

I 

Lời giải

Câu 46:Cho hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên 1;1và thỏa Lời giải

FB: Duong Hung

Định lý: Cho hàm số liên tục, không âm trên Khi đó diện tích S của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và 2 đường thẳng là:

Nếu không đổi dấu trên đoạn thì

Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thuộc khoảng thì

Nếu phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng thì

Nếu , (đồ thị nằm phía trên đồ thị ) thì ta có:

Nếu , (đồ thị nằm phía dưới đồ thị ) thì ta có:

WORD XINH

Nếu , (đồ thị nằm phía dưới đồ thị ) thì ta có:

Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường , trục hoành và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

WORD XINH

Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục trên Rvà có đồ thị  C là đường cong như hình bên

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C , trục hoành và hai đường thẳng x0, x2(phần tô đen) là

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành

và hai đường thẳng được tính theo công thức (1)

② Trắc nghiệm:

Tính chất: Hàm số liên tục trên K (khoảng đoạn, nửa khoảng) và là ba số bất kỳ thuộc K Khi đó, ta có

Xác định các yếu tố cần thiết như công thức

Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.

Chú ý: Nếu đề bài chưa cho ( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ giao

e dx x



2 2 0

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 2x và trục hoành được8

xác định theo công thức nào dưới đây

Câu 1:Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm

số yxvà y , trục tung và đường thẳng 1ex x được tính

S C

83

S D S 7

S

C

1.6

S

D

5.6

là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x

; y2x và trục hoành Tính diện tích của 2  H

a b 

B

12

a b 

C

13

S

C S 13 D

8112

S

C

133

S 

D

48748

S

Lời giải

C

214

S 

D

394

Câu 19:Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết

kế như hình bên dưới Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm)

bằng

Lời giải

C

22ln 2

3



72ln 2

3



Lời giải

Câu 21:Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ

nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y8x, yx và đồ thị hàm

số y x là phân số tối giản 3 a b Khi đó a b bằng

Câu 23:Gọi  H là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ

dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y3x2,

y x x

,

Lời giải

Câu 26:Cho Parabol  P y x:  2và hai điểm A, Bthuộc  P sao

cho AB 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và đường



C 2 1

  D

1

4 2

 

Lời giải

Câu 28:Biết diện tích hình phẳng giới bởi các đường ysinx, Lời giải

 . C

7,110

 . D

51 11,

50 10

Câu 29:Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol  P y x:  2và

hai đường thẳng ya , y b 0 a b   (hình vẽ) Gọi S là diện 1

tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P

S

508

S

518

T 

C

51215

5

11.3

Lời giải

WORD XINH

Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hình phẳng  D được giới hạn bởi các đường x , 0 x , 1 y và 0 y 2x1.

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D xung quanh trục Ox được

Câu 2: Cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x .lnx, trục hoành và hai đường

thẳng x ; 1 x Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới 2  H khi nó quay quanh trục

hoành có thể tích V được xác định bởi

WORD XINH

Câu 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y , trục hoành và các đườngex

thẳng x , 0 x Khối tròn xoay tạo thành khi quay 1 D quanh trục hoành có thể



2

e 12

V  

Lời giải Chọn B

Câu 4: Goi  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e  , trục Ox và hai đường x

thẳng x0, x Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay 1  H xung quanh

0 0

Câu 1:Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

giới hạn bởi các đường y x ex, y , 00 x , x xung quanh 1

trục Ox là

A.

1

2 0

e dx

V x x

Lời giải

Câu 2:Cho miền phẳng  D giới hạn bởi đồ thị hàm số y x,

hai đường thẳng x ,1 x và trục hoành Tính thể tích khối 2

tròn xoay tạo thành khi quay  D quanh trục hoành



 (đvtt).

 (đvtt)

Câu 4:Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh

trục hoành Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính

theo công thức nào?

y x   , 0x y , 0x , x  Gọi V là thể tích khối tròn xoay2

được tạo thành khi quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề

nào sau đây đúng?

Câu 6:Cho hình phẳng  D được giới hạn bởi các đường x ,0

x ,  y và 0 y sinx Thể tích V của khối tròn xoay tạo

WORD XINH

C.

2 0

giới hạn bởi các đường y x1,

trục hoành và đường thẳng x Khối tròn xoay tạo thành 4

khi quay  H quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

V 

C

27π6

V 

7π6

Câu 9:Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường y x , trục Ox và hai đường thẳng x ; 1 x khi quay4

quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?

d

V  x x

Lời giải

Câu 10:Cho hàm số y có đồ thị x  C Gọi D là hình phẳng

giởi hạn bởi  C , trục hoành và hai đường thẳng x , 2 x 3

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục

hoành được tính bởi công thức:

A

3 3

x

V   x

Lời giải

Câu 11:Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi

cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P y x:  2 và đường

thẳng :d y2x quay xung quanh trục Ox

Câu 12:Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y 6x

và các đường thẳng y , 10 x , x Thể tích khối tròn xoay 2

tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

Câu 13:Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y tanx, trục hoành và các

đường thẳng x0,

π4

xquanh trục hoành là

V  C

π4

V 

.D

π ln 22

 D

WORD XINH

trục hoành và đường thẳng x Khi hình phẳng e D quay

quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích V được

tính theo công thức nào dưới đây?

A.

e

2 1

2

2 1 ln d

V  x x x

Câu 18:Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình

và miệng bình có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm Mặt

xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có

y  e x, trục hoành và hai đường thẳng x 1,x 2; V là

thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H quanh

trục hoành Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 20:Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh

trục Oxhình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x  2 4x 6và

2 2 6

y  x x .

A.   1 B 3 C 2 D 

Lời giải

Câu 21:Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi

các đường x y   ; 2 0 y x; y  quay quanh trục Ox bằng0

A.

5

65



23



56



Lời giải

Câu 22:Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x và 2

đường thẳng y2x Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành

khi quay hình H xung quanh trục hoành

Lời giải