BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Vectơ ur r0 gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với .. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M có

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng  Vectơ ur r0 gọi là vectơ chỉ phương của

đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với 

Cho đường thẳng  đi qua M x y z và có vectơ chỉ 0; ;0 0

phương là ura b c ; ; 

Chú ý:

+ Nếu r

u là vectơ chỉ phương của 

thì k u k.r 0 cũng là vectơ chỉ phương của 

+ Nếu đường thẳng  đi qua hai điểm A, B thì uuur

AB là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng  có dạng

0 0 0 , (1)

 





  



¡

x x at

y y bt t

z z ct

Cho đường thẳng  có phương trình (1) thì

+ ura b c là một vectơ chỉ; ; 

phương của .

+ Với điểm M  thì

 0 ; 0 ; 0 

M x at y bt z ct trong đó t

là một giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm M.

Phương trình chính tắc

Nếu , ,a b c0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng  có

dạng

 

2 Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M , có vectơ chỉ phương 0 u và điểm r M Khi đó để tính khoảng

cách từ M đến  ta có các cách sau:



uuuuur r r

MM u

d M d

Cách 2:

+ Lập phương trình mặt phẳng  P đi qua M vuông góc với .

+ Tìm giao điểm H của  P với .

+ Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.

Trang 78

Cách 3:

+ Gọi N d , suy ra tọa độ N theo tham số t

+ Tính 2

MN theo t

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M có vectơ chỉ phương 0 u và r  đi qua M có vectơ0 chỉ phương u Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ur  được tính theo các cách sau:

,

,



  

 

r ur uuuuuur

r ur

u u M M d

Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.

Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P chứa qua  và song song với  Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến   P

3 Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng

1: x x  y y  z z

d

a b c đi qua M x y z có1 0; ;0 0

vectơ chỉ phương uru1a b c , và; ; 

2:        

d

a b c đi qua M x y z có2 0; ;0 0

vectơ chỉ phương uuru2 a b c   ; ; 

Để xét vị trí tương đối của d và 1 d , ta sử dụng2

phương pháp sau:

Phương pháp hình học

+ d trùng 1 d 2

3

1 2

1 2

1 2



1 1 2

/ /

u u

u M M

  

 



ur uur r

ur uuuuuur r hoặc

3

1|| 2   

u uur uur a a a

Ta có thể dùng phương pháp đại số để xét vị

trí tương đối: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.

Chú ý trường hợp vô nghiệm + Nếu ur uur1; 2

u u cùng phương thì d d 1// 2

+ Nếu ur uur1; 2

u u không cùng phương thì d d1; 2

chéo nhau.

+ d cắt 1 d 2 1 2

1 2 1 2

  

 



ur uur r

ur uur uuuuuur

u u

+ d chéo 1 d 2 u uur uur uuuuuur1, 2.M M1 2 0

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

  :Ax By Cz D   0 có vectơ pháp tuyến

 ; ; 



uur

n A B C và đường thẳng

0 0 0 :

 



  



  



x x at

z z ct

đi qua

 0; ;0 0

M x y z có vectơ chỉ phương uuurd a b c ; ; 

Phương pháp đại số

Xét hệ phương trình

 

 

 

 

0 0 0

1 2 3

0 4

 







  





x x at

y y bt

z z ct

Ax By Cz D

Để xét vị trí tương đối của d và   ta sử dụng phương

pháp sau:

Phương pháp hình học

 Nếu

 0; ;0 0  

 





uur uur

d

M x y z



 thì d  

 Nếu

 0; ;0 0  

 









uur uur

d

M x y z



 thì d// 

 Nếu u và uurd uur

n cùng phương uuurd k n.uur với k0 thì d  

 Nếu u nuuruurd  0; uur

d

u và uur

n không cùng phương thì d

cắt  

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được

A x at B y bt C z ct  D

+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm t thì

 

//

d 

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm t duy nhất thì d cắt  

+) Nếu phương trình (*) có vô số nghiệm t

thì d  

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng

d và mặt phẳng   ta giải phương trình (*),

sau đó thay giá trị t vào phương trình tham số của d để tìm x y z; ; 

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu

có phương trình lần lượt là:

0 0 0

 





  



¡

x x at

z z ct

và

Trang 80

Để xét vị trí tương đối của d và   ta sử dụng

phương pháp sau:

Phương pháp hình học

Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I của  S đến d

Bước 2:

+ Nếu d I d ,  R thì d không cắt  S

+ Nếu d I d ,  R thì d tiếp xúc  S

+ Nếu d I d ,  R thì d cắt  S

Phương pháp đại số

thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình  S , khi đó ta được phương trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm

của  d và  S theo số nghiệm của phương trình bậc hai theo t

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và

mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm x y z ; ; 

4 Góc

Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d1, 2

lần lượt có các vectơ pháp tuyến là ur uur1, 2

u u

Góc giữa d và 1 d bằng hoặc bù với góc giữa 2 u vàur1

2

uur

u

1 2

ur uur

ur uur

ur uuru u

u u .

Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ

chỉ phương uur

d

u và mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến

uur

n

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng

góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên

 

Ta có: sin ,   cos ,  .

uuruur uur uur

uur uurd

d

d

u n







Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

góc nhọn.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Đi qua và có vectơ chỉ phương

là

Nếu thì

ur



Phương trình đường thẳng

ĐƯỜN

G THẲN G

Vị trí tươn

g đối

Hai đường thẳng

; cắt chéo Đường thẳng và mặt phẳng

cắt ,

không cùng phương Đường thẳng và mặt cầu

không cắt tiếp xúc cắt

Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm đến

đường thẳng

Khoảng cách 2 đường

thẳng chéo nhau

Góc

Giữa hai đường thẳng và

Góc giữa đường thẳng và

mặt phẳng

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng

1 Phương pháp

 Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và có vectơ chỉ phương 0 0; ;0 0 ara a a có phương1; ;2 3

trình tham số là 00 12  

0 3

 





  



¡

x x a t

y y a t t

z z a t

 Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: Một vectơ chỉ phương của d là uuurAB

 Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và song song với đường thẳng  cho trước: Vì //0 0; ;0 0 d

nên vectơ chỉ phương của  cũng là vectơ chỉ phương của d

 Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và vuông góc với mặt phẳng 0 0; ;0 0  P cho trước: Vì

 



d P nên vectơ pháp tuyến của  P cũng là vectơ chỉ phương của d

Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P ,  Q

Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương

 Tìm toạ độ một điểm A d bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của  P ,  Q với việc

chọn giá trị cho một ẩn

 Tìm một vectơ chỉ phương của d: a n n P, Q

r uur uur

Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

 Đường thẳng d đi qua điểm M x y z và vuông góc với hai đường thẳng 0 0; ;0 0 d d : Vì1, 2

1, 2

d d d d nên một vectơ chỉ phương của d là:   1, 2

r uur uur

d d

2 Bài tập

Bài tập 1 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A2;1; 1 ,  B 2;3;1 và C0; 1;3 .

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt

phẳng ABC Phương trình đường thẳng d là

    

1  1 1





1  1 1

Bài tập 2 Trong không gian Oxyz, cho hai M1; 2;3 , N3; 4;5 và mặt phẳng

 P x: 2y  3z 14 0 Gọi  là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng  P , các điểm , H K

lần lượt là hình chiếu vuông góc của M N trên  Biết rằng khi , MH NK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là

A 13 2

4





  



   



x t

4





  



   



x t

4





  



   



x t

1

13 2 4





  



   



x

Bài tập 3 Trong không gian Oxyz Cho điểm E1;1;1, mặt cầu  S x: 2y2z2 4 và mặt phẳng

 P x: 3y  5z 3 0 Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong  P và cắt  S tại hai điểm

,

A B sao cho OAB là tam giác đều Phương trình tham số của  là

A

1 2

1

1

 



  



  



1 4

1 3 1

 



  



  



1 2 1 1

 



  



  



1 1

1 2

 



  



  



Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng bằng phương pháp tham số hóa

1 Phương pháp

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x y z , vuông góc và cắt đường thẳng .0 0; ;0 0

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng  Khi đó 0 H, uuuuurM H0 uuru Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M H 0,

Cách 2: Gọi  P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d 0  Q là mặt phẳng đi qua M và0

chứa d Khi đó d    P  Q

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x y z và cắt hai đường thẳng 0 0; ;0 0 d d 1, 2 Cách 1: Gọi M1 d1 d M, 2 d2 d Suy ra M M M thẳng hàng Từ đó tìm được 0, 1, 2 M M1, 2

và suy ra phương trình đường thẳng d

Cách 2: Gọi  P là mặt phẳng đi qua M và chứa 0 d ; 1  Q là mặt phẳng đi qua M và chứa 0 d 2 Khi đó d    P  Q Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là   , 

r uur uur

P Q

 Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P và cắt cả hai đường thẳng d d : Tìm các giao điểm1, 2

A d  P B d  P Khi đó d chính là đường thẳng AB

Trang 84

 Đường thẳng d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d d : Viết phương trình mặt phẳng1, 2

 P song song với  và chứa d , mặt phẳng 1  Q song song với  và chứa d Khi đó2

   

 Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d d chéo nhau:1, 2

2







MN d , ta tìm được M N Viết phương trình, đường thẳng MN chính là đường vuông góc chung của d d 1, 2

2 Bài tập

Bài tập 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x y z:    1 0 và đường



d Phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên

mặt phẳng  P là





Bài tập 2 Cho các đường thẳng 1

:

   



Phương trình đường thẳng  đi qua A1;0; 2 , cắt d và vuông góc với 1 d là 2





Bài tập 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x y 2z0 và hai đường thẳng 1

:

   



:

d Đường thẳng vuông góc với  P cắt cả hai

đường thẳng d và 1 d có phương trình là2

   







Bài tập 4 Viết phương trình đường thẳng d qua A1; 2;3 cắt đường thẳng 1: 2



 

song song với mặt phẳng  P x y z:    2 0.

A

1

2

3

 



  



  



1 2 3

 



  



 



z

1 2 3

 



  



 



z

1 2 3

 



  



  



Bài tập 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y z   10 0, điểm

1;3; 2



d Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P và d

lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN





Bài tập 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A3;3; 3  thuộc mặt phẳng

  : 2x2y z  15 0 và mặt cầu     2  2 2

: 2  3  5 100

nằm trên mặt phẳng   cắt  S tại , M N Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng

 là



C

3 5

3

3 8

  



 



   



y

Bài tập 7 Trong không gian Oxyz, cho ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ

d , phương trình đường phân giác trong của góc C là

:

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là

A ur2;1; 1  B ur1; 1;0  C ur0;1; 1  D r1; 2;1

Trang 86

Bài tập 8 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2



và hai điểm

4; 2;4 ,  0;0; 2 

A B Gọi d là đường thẳng song song và cách  một khoảng bằng 5 , gần đường thẳng AB nhất Đường thẳng d cắt mặt phẳng Oxy tại điểm nào dưới đây?

A 2;1;0  B 2; 14;0

 . C 3; 2;0  D 0;0;0 

Bài tập 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng

 Biết không tồn tại đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng trên Giá trị của biểu thức T  a 2b bằng

Dạng 3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1 Phương pháp

Cho đường thẳng

  :x x 0  y y 0  z z 0

  :Ax By Cz D   0

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  

và   ta có công thức:

sin



Aa Bb Cc



Chú ý: , , A B C và , , a b c không đồng thời

bằng 0

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho

đường thẳng : 3 2

 x  y  z và mặt phẳng

  : 3x4y  5z 8 0 Tính góc tạo bởi  và  

Hướng dẫn giải

 có vectơ chỉ phương ur 2;1;1.

  có vectơ pháp tuyến rn3; 4;5

Ta có: sin·,    cos , n ur r

2

3 4 5 2 1 1

Suy ra ·,    60

2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng : 3 1 2

 x  y  z và mặt phẳng

 P x y:  2z 6 0 Biết  cắt mặt phẳng  P tại , A M thuộc  sao cho AM 2 3 Tính

khoảng cách từ M tới mặt phẳng  P

Dạng 4: Góc giữa hai đường thẳng

1 Phương pháp

Cho hai đường thẳng:

 x x  y y  z z

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng   và1

  2

  



aa bb cc

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai đường

thẳng

1

:



;

2

:



Tính góc giữa hai đường thẳng trên

Hướng dẫn giải

Vectơ chỉ phương của  là 1 uur1  2;1; 2 Vectơ chỉ phương của  là 2 uuru2 1;1; 4 

1 2

u u

u u

u u

ur uur

ur uur

ur uur

2 1 1.1 2 4



2 3.3 2

Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho là 45

2 Bài tập

Bài tập 1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  d là giao tuyến của hai mặt phẳng

2

Góc giữa  d và trục Oz là:

Trang 88

Bài tập 2 Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A1; 1; 2 , song song với mặt

phẳng  P : 2x y z   3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1



một góc lớn nhất

Phương trình đường thẳng d là

    



    



    



    

Bài tập 3 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 2



 P : 2x y 2z 1 0 Đường thẳng  đi qua E2;1; 2 , song song với  P có một vectơ chỉ

phương ur m n; ;1, đồng thời tạo với d góc bé nhất Tính T m2n 2

Dạng 5: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

1 Phương pháp

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho



Tính khoảng cách từ M2;1; 1  tới d Cho đường thẳng   đi qua điểm

0 0; ;0 0

M x y z và có vectơ chỉ phương

 ; ; 



r

u a b c Khi đó khoảng cách từ điểm M1

đến   được tính bởi công thức:

1

;

d M

u

 

uuuuuur r

Hướng dẫn giải

Ta có A1; 2; 2   d uuuurAM 3; 1;1 , ur 1; 2; 2 

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

3

uuuur r r

AM u

d M d

2 Bài tập

Bài tập 1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A1;1; 1  cho trước, nằm trong mặt

phẳng  P : 2x y z   2 0 và cách điểm M0; 2;1 một khoảng lớn nhất.

    

    