BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITA.. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPDạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số 1... Có bao nhiêu giá trị nguyên của th
Trang 1BÀI 6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1 Bất phương trình mũ cơ bản
2 Cách giai bất phương trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
f x g x
a
f x g x
a
f x g x
< <
<
> ⇔ >
>
b) Đặt ẩn phụ
( ) ( )
α + β + = λ Đặt t a= f x( ),(t> 0)
c) Phương pháp logarit hóa
( ) ( ) ( )
log 1 log
a
a
f x
a
a
a
b
< <
>
> ⇔
>
1
b a
f x g x
b a
a
a
>
> ⇒ < < <
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1 Bất phương pháp logarit cơ bản
2 Cách giải một số bất phương trình logarit đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
( ) ( )
0
1 1
a
f x a
g x
g x
f x
< <
>
>
b) Phương pháp mũ hóa
1 ( )
0 1
0 ( )
log ( )
>
>
< <
> ⇒
b
b
a
f x a
f x a
f x b
Trang 2B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số
1 Phương pháp
a Bất phương trình mũ cơ bản
● Bất phương trình
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
a
a
éì >ïïê
ïêî ê
ê
ìê < <
ïïê
0
a
a f x g x
ì >
ïï
● Bất phương trình a f x( )< (với b b>0)
( ) ( )
1 log
log
a
a
a
a
éì >ïïê
ïêî ê
ì < <
êïïêí
● Bất phương trình a f x( )> b
( )
( )
( )
0 0
1 0 log
0 log
a
a
a b
f x a b
có nghia
a b
éìï >
ïêïêï £ íêï êïïêïîê êìï >
êïïêï
Û íêïêïï > >
êïîê êìï < <
êïïêï >
íêïêï
b Bất phương trình logarit cơ bản
● Bất phương trình
( ) ( )
1 0
a
a
éì >ïïê
ïêî
êïïêí
( )
( )
0
0
a
f x
g x
ì < ¹
ïï
ïï
ïï
Trang 3● Bất phương trình
( )
1 0 log
b a
b
a
a
éì >ïïê
ïêî
£ Û ê
ìê < <
ïïê
● Bất phương trình
( )
1 log
0
b a
b
a
a
éì >ïïê íêï >
ïêî
ìê < <
ïïêí
êï <ïêîë £ .
2 Bài tập
log x +2x+ + >2 1 log x +6x+ +5 m
Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng
( )1;3
?
Bài tập 2 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
có tập nghiệm là ¡ Tổng các phần tử của S là
Bài tập 3 Bất phương trình
2 2
x
4
T = a∪ b +∞
M = +a b bằng
Bài tập 4 Tập nghiệm của bất phương trình ( ( 2 ) )
2
là:
C S= − 5; 5
Bài tập 5 Bất phương trình ln 2( x2+ >3) (ln x2+ax+1)
nghiệm đúng với mọi số thực x khi:
A 2 2− < <a 2 2. B 0< <a 2 2 . C 0< <a 2. D − < <2 a 2.
Bài tập 6 Bất phương trình (3x−1) (x2+3x− >4) 0
có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6?
Trang 4Bài tập 7 nghiệm của bất phương trình
A
2 1;
2
− −
2 0;
2
Bài tập 8 Số nghiệm nguyên của bất phương trình
Bài tập 9 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 2m( x2+ + ≤x 3) log 3m( x2−x)
với m là
tham số thực dương khác 1, biết x=1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
A ( 2;0) 1;3
3
∪
3
∪
3
∪
Bài tập 10 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:
thỏa mãn với mọi x∈¡
A 1− < ≤m 0. B 1− < <m 0. C 2< ≤m 3. D 2< <m 3.
Bài tập 11 Bất phương trình ln 2( x2+ >3) (ln x2+ax+1)
nghiệm đúng với mọi số thực x khi:
A 2 2− < <a 2 2. B 0< <a 2 2 . C 0< <a 2. D 2− < <a 2.
Bài tập 12 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình
5
có nghiệm Tập S có bao nhiêu tập con?
Bài tập 13 Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
có nghiệm với mọi x∈ −∞( ;0) .
Bài tập 14 Nghiệm của bất phương trình log2( 3x+ + − ≥1 6) 1 log 72( − 10−x)
là
Trang 5Bài tập 15 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
1 Phương pháp
a Bất phương trình mũ
Tổng quát:
( )
0
0
g x
f t
ï
ïî
Ta thường gặp các dạng:
● m a. 2f x( )+n a. f x( )+ =p 0
● m a. f x( )+n b. f x( )+ =p 0, trong đó a b. =1 Đặt f x( ), 0
t=a t> , suy ra ( )
1
f x
b
t
=
●
( ) ( ) ( ) ( )
m a +n a b +p b = Chia hai vế cho b 2 f x( ) và đặt
( )
0
f x
a
t b
ç ÷
b Bất phương logarit
Tổng quát:
( )
log
0
a a
f t
ì = ïï
ïî
2 Bài tập
Bài tập 1 Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình log 100( 2) log 10( ) 1 log
Bài tập 2 Xét bất phương trình 2 ( )
log 2x−2 m+1 log x− <2 0 Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( 2;+ ∞)
A m∈(0;+∞). B m 34;0
3
; 4
Bài tập 3 Cho bất phương trình:9x+(m−1 3) x+ >m 0 1( ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
bất phương trình ( )1
nghiệm đúng ∀ >x 1.
A.
3 2
m≥ −
B
3 2
m> −
C m> +3 2 2. D m≥ +3 2 2
Trang 6Bài tập 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[0;10] để tập nghiệm của bất phương trình
2
log x+3log x − <7 m log x −7
chứa khoảng (256;+ ∞).
Bài tập 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
có nghiệm với mọi x≥1.
Bài tập 6 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
9 x− +x m +2.3 x − + − +x m x <3 x− có nghiệm?
Bài tập 7 Bất phương trình
2 2
2
x
x
Bài tập 8 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
Bài tập 9 Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x− 1−m(2x+ >1) 0
có nghiệm
x
∀ ∈¡
Bài tập 10 Xét bất phương trình 2 ( )
m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( 2;+ ∞)
A m∈(0;+∞) . B
3
;0 4
3
; 4
Bài tập 11 Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:
2
Trang 7A m≥2. B m≤3. C m≤5. D m≥1.
Bài tập 13 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi giá trị x∈(1;64).
Bài tập 14 Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình
2
có nghiệm duy nhất thuộc [32;+ ∞) ?
Bài tập 15 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
9 x− +x m +2.3 x− + − +x m x <3 x− có nghiệm?
Bài tập 16 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
có nghiệm với mọi x≥1.
Bài tập 17 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
Bài tập 18 Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x− 1−m(2x+ >1) 0
có nghiệm
x
∀ ∈¡
Dạng 3: Phương pháp logarit hóa
1 Phương pháp
Với bất phương tình
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
.log
.log
a
a
a
a
éì >ïïê íêï >
ïêî
> Û êì < <
êïïêí
êïïîë <
2 Bài tập
Bài tập 1 Nghiệm của bất phương trình 8 2 36.32
x
x
Trang 8A
4
x x
− < <
>
2
4
x x
− < < −
>
C
1
x x
− < < −
>
3
4
x x
− < < −
>
Bài tập 2 Bất phương trình
2 1
x
x x+ < có tập nghiệm là (−∞ − ∪ −; b) ( a a; ) Khi đó b a− bằng
Bài tập 3 Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn [−2018; 2018] sao cho bất phương trình
sau đúng với mọi x∈(1;100) : ( ) log 11log
10 10
10x m+ x ≥10 x.
Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu
1 Phương pháp
Nếu hàm số y= f x( )
luôn đồng biến trên D thì f u( )> f v( )Û u>v u v D, " , Î
Nếu hàm số y= f x( ) luôn nghịch biến trên D thì f u( )> f v( ) Û u<v u v D, " , Î .
2 Bài tập
Bài tập 1.Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 22x2−15x+100−2x2+10x−50+x2−25x+150 0<
Bài tập 2.Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình
log x + + +x 1 2x ≤3x +log x m+ −1
(ẩn x ) có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 3.Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2− + +x 2 aln(x2− + ≥x 1) 0
nghiệm
đúng với mọi x∈¡ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A a∈(2;3]. B a∈(8;+ ∞). C a∈(6;7]. D a∈ − −( 6; 5].
Bài tập 4.Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4sin2x+5cos2x ≤m.7cos2x có
a m b
∈ +∞÷ với a b, là các số nguyên dương và
a
b tối giản Tổng S a b= + là:
Trang 9A m≤4. B. m≥4. C. m≤1 D. m≥1.
Bài tập 6.Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình
log x + + +x 1 2x ≤3x +log x m+ −1
(ẩn x ) có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 7 Biết tập nghiệm của bất phương trình ( 2 ) ( 2 )
log x − + + +x 4 1 2log x − + <x 5 3
là
( )a b;
Khi đó tổng a+2b bằng
Bài tập 8 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a (a 0> )
thỏa mãn
2017
2017 2017
a a
a
A 0< <a 1. B 1< <a 2017. C a≥2017. D 0< ≤a 2017.
Bài tập 9 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi giá trị x∈(1;64).
Bài tập 10 Giả sử S =(a b, ] là tập nghiệm của bất phương trình
Khi đó b a− bằng
A
1
7
5
Bài tập 11 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (−9;9) của tham số m để bất phương trình
3logx≤2log m x x− − −1 x 1−x
có nghiệm thực?