(SKKN HAY NHẤT) một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN

Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn

xoay trong ôn thi THPTQG

Lĩnh vực sáng kiến: Phương pháp dạy toán Tác giả:

Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Nơi công tác: Trường THPT Điện thoại liên hệ: O937-351-107 Địa chỉ thư điện tử:

Đề nghị công nhận sáng kiến cấp : sở

Năm 2020 - 2021

§

2

I – MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn sáng kiến

Qua thực tế dạy học nội dung ứng dụng của tích phân tính diện tích của cáchình phẳng và thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12, họcsinh gặp rất nhiều khó khăn Năng lực tính toán và vận dụng các công thức tínhcòn hạn chế, khả năng vẽ hình và đọc đồ thị của hàm số còn yếu Các em thườngvận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, tư duy thực tế và trựcquan nên bị nhầm lẫn Trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo viết rất

ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục những sailầm khi giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích mặttròn xoay

Bài tập về tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chươngtrình Giải tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản Tuy nhiên các em học sinhthường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra nhữnglời giải sai, chưa chính xác Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một sốsai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhấtquán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránhđược những sai lầm khi giải các bài toán về tính diện tích hình phẳng và thể tíchvật thể tròn xoay

Xuất phát từ thực tế giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân và ứngdụng ” và dạy học giải toán liên quan đến ứng dụng của tích phân trong tính diệntích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay cho học sinh lớp 12 Để giúp cho họcsinh 12 khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán thực tế tính diện tíchhình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay, giúp cho quá trình giải toán được dễdàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạocủa học sinh khi học tập môn toán Đó là lí do tôi chọn đề tài “Một số giải pháp rèn

kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vậtthể tròn xoay trong ôn thi THPTQG”

2 Mục tiêu của sáng kiến

Giải pháp mới được xây dựng dựa trên cơ sở thực tiễn của quá trình dạy học,các bài toán ứng dụng của tích phân liên quan đến thực tế như tính diện tích hìnhphẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay Giải pháp đưa ra làm rõ cách tính diện tíchhình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số, tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra

những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tínhthể tích của vật thể tròn xoay Với dạng toán này học sinh thường gặp những khókhăn, sai lầm sau:

+ Không hình dung được hình phẳng, vật thể tròn xoay (nếu không có hình vẽ)

+ Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít, chưa đủ đểgiúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan

Sáng kiến hệ thống kiến thức lý thuyết liên quan đến nguyên hàm, tích phânđặc biệt là các kiến thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng vàthể tích khối tròn xoay mà học sinh đã được học Đưa ra ví dụ minh họa (có hình

vẽ minh họa cho từng ví dụ cụ thể) có phân tích, kèm hướng dẫn giải chi tiết vàtrình bày theo cách khác nhau, rèn luyện cho học sinh sự vận dụng linh hoạt trongquy trình giải toán, phát huy tính sáng tạo của học sinh Bằng kinh nghiệm của bảnthân, tôi đưa ra các giải pháp sau:

Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giớihạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành

Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giớihạn bởi hai đồ thị hàm số

Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoayCác bước thực hiện giải pháp

Bước 1: Trình bày kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu (Cáckiến thức liên quan đến nội dung nguyên hàm, tích phân và đặc biệt chú ý tới cáccông thức sử dụng tích phân để tính diện tích, thể tích)

Bước 2: Trình bày ví dụ minh hoạ, phân tích, hướng dẫn giải, đồ thị minh hoạcủa các ví dụ (Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không

có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó)

Bước 3: Phân tích, nhận xét, hướng dẫn giải (tìm cách giải mới nếu có)

(Hướng dẫn giải, rèn luyện kỹ năng khử dấu giá trị tuyệt đối, phương phápđổi biến số, tích phân từng phần một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng bài tập cụthể)

Bước 4: Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân (Các bài tập vậndụng ứng dụng của tích phân giải các bài toán thực tế trong đời sống thường ngày)

3 Phạm vi của sáng kiến

Sáng kiến có thể áp dụng cho học sinh các lớp 12 THPT Hoàng Văn Thụ nóiriêng và học sinh các trường THPT nói chung

4

II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN

Qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Hoàng Văn Thụ bản thân tôi nhậnthấy HS rất cần được tiếp cận các giải pháp để rèn luyện các năng lực vận dụngtoán học vào ứng dụng thực tiễn Chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

” lớp 12 là một chương vô cùng quan trọng và có nhiều bài toán có ứng dụng thực

tế hay mà học sinh còn lúng túng trong việc tìm hướng giải Vì vậy sáng kiến đượcthực hiện nhằm rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân trong hình học

Sáng kiến được thực hiện trên cơ sở dựa trên các văn bản chỉ đạo của Sởgiáo dục và đào tạo Lạng Sơn về việc dạy học theo hướng phát huy khả năng tưduy sáng tạo và năng lực của học sinh Thông qua các kiến thức liên quan về

“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ” Đề tài đưa ra những giải pháp cụ thể đểrèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tíchvật thể tròn xoay

Sáng kiến được viết vào thời gian từ 20/9/2017 đến 25/03/2018 và tiến hànhdạy thử nghiệm lần đầu vào ngày 20/2/2018 thời điểm giữa học kỳ II của năm học

2017 - 2018 tại lớp thử nghiệm 12A8 và lớp đối chứng 12A9 trường THPT HoàngVăn Thụ Thành phố Lạng Sơn Dạy thử nghiệm và dạy đối chứng được tiến hànhtrong cùng một nhà trường Sau giáo án thử nghiệm chúng tôi tiến hành cho HSlàm bài kiểm tra 45 phút có phân tích, đánh giá kết quả bài kiểm tra Lớp dạy thửnghiệm và lớp dạy đối chứng có sỹ số và kết quả học tương đương nhau thuộcTrường THPT Hoàng Văn Thụ

2 Cơ sở thực tiễn

Chủ đề ứng dụng của tích phân trong hình học là một trong những nội dungkiến thức có nhiều ứng dụng trong thực tế và thuộc nội dung chương “Nguyênhàm, tích phân và ứng dụng” - chương trình Toán giải tích lớp 12

Đã từng có rất nhiều sáng kiến làm về ứng dụng của tích phân trong hìnhhọc, nhưng các sáng kiến ấy chỉ đơn thuần là nêu ra kiến thức chung, sau đó lấy ví

dụ minh hoạ mà chưa đưa được các giải pháp cụ thể nào để khắc phục những khókhăn, hạn chế của học sinh Hoặc có sáng kiến cũng đã đề cập đến rèn luyện kỹnăng giải toán nguyên hàm và tích phân nhưng cũng chỉ đưa ra hai phương pháptính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phântừng phần

Khi vận dụng ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế tronghình học, đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn và

có những sai lầm nhất định chẳng hạn: Nếu không có hình vẽ thì học sinh thườngkhông hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay) dẫn đến không tính đượcdiện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể Vì thế học sinh có cảm giác “xa lạ” sovới khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây (diện tích đa giác, thể tíchcác khối đa diện)

Ngoài ra hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít

“chưa đủ” để giúp học sinh trực quan Các em thường chỉ nhớ công thức tính diệntích hình phẳng ở các lớp dưới với các hình quen thuộc như: diện tích tam giác, tứgiác, ngũ giác, lục giác… Các công thức tính thể tích các khối như: khối chóp,khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ đã được học trong chương 1hình học 12.;

Vì vậy việc học nội dung ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng,thể tích vật thể tròn xoay làm học sinh gặp khó khăn, không phát huy tính linh hoạtsáng tạo, đặc biệt là khả năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chianhỏ” hình phẳng để tính, kỹ năng cộng, trừ diện tích, cộng, trừ thể tích

Học sinh thường gặp khó khăn và bị mắc sai lầm trong việc xây dựng côngthức tính từ giả thiết của bài toán và tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chẳng hạn, thường áp dụng sai công thức b ( ) b ( )

6

III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1 Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay

1.1 Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành

1.1.1 Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành

a Năng lực tổng hợp các công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồthị hàm số y  f x( ) trục hoành và hai đường thẳng x a x b , 

Bài toán : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trênđoạn , trục hoành và hai đường thẳng , được xác định:

Để tính diện tích S ta phải tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, muốn vậy taphải “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối

 Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y f x( ) nằm phía “trên” trục hoành thì

y f x

y 0 H

 b

a

S f x dx( )

 Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y f x( ) nằm phía “dưới” trục hoành thì

Cách 3 Nếu f x( ) không đổi dấu trên thì ta có : b ( ) b ( )

S  f x dx  f x dx

Nhận xét: Trong khi giải toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, họcsinh thường không kiểm tra điều kiện không đổi dấu của f(x) trên [a;b] mà đưa ra

công thức ngay dẫn đền sai lầm

b Rèn kĩ năng phân tích, tổng hợp giải một số ví dụ về tính diện tích của hìnhphẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành

Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trụchoành, các đường thẳng

Phân tích: Ở ví dụ này các em chỉ cần nhớ công thức tính diện tích hìnhphẳng là có thể tính được diện tích Hoặc sử dụng công thức tính diệntích tam giác vuông Cần chú ý: Nếu f x( ) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :

Gọi S là diện tích cần tìm :

8

Cách 3: Sử dụng máy tính điện tử tính tích phân

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng

Phân tích: Rõ ràng bài này các em chỉ cần áp dụng công thức tính diện tíchhình phẳng , tuy nhiên để khử trị tuyệt đối có hai cách (Dùng đồ thịhoặc xét xem trên đoạn hàm số có đổi dấu hay không)

Bài giải: Cách 1: Nhận xét: ; Gọi S là diện tích cần tìm :

Cách 2: (không dựa vào đồ thị)

không đổi dấu trên đoạn Gọi S là diện tích cần tìm:

(đvdt)

Chú ý: Cho phương trình tìm nghiệm trên giả sử các nghiệm đó là

( với ) thì trên mỗi khoảng biểu thức không đổi dấu

Khi đó

Khắc phục: Học sinh phải nắm rõ: Nếu f x( ) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): vớitrục hoành (Ox).

Phân tích: Xác định giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là nghiệm của PT:

Giả sử là diện tích hình phẳng Chọn công thức đúng trong các phương án

cho dưới đây?

Lời giảiChọn BGiải theo phương pháp tự luận+ Nhìn đồ thị ta thấy:

Đồ thị cắt trục hoành tại Trên đoạn , đồ thị ở dưới trục hoành nên Trên đoạn , đồ thị ở trên trục hoành nên + Do đó:

Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ ở bênvà có diệntích Tính tích phân

12

A B C D .Lời giải:

Từ đồ thị suy ra

Do tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm nên

1.2 Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

1.2.1 Rèn năng lực tổng hợp kiến thức tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Cho hai hàm số có đồ thị là (C1), có đồ thị là (C2) Nếu hai

đồ thị (C1) và (C2) có điểm chung là điểm M thì cặp số là nghiệmcủa hệ phương trình (1)

- Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình (*)+ Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ của giao điểm của hai đồ thị

+ Phương trình (*) được gọi là PT hoành độ giao điểm của hai đồ thị Thay x = x0vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm

Ví dụ 8: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:

Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt ;

1.2.2 Rèn năng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

14

Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì hàm số cần rèn luyệncho các em biến đổi theo các bước.

+) Bước 1: Tìm hoành độ giao điển của hai đồ thị (bước này thực hiện để tìm cậncủa tích phân)

+) Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

-3 -2 -1

3 2 1

Cách 1: Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:

Cách 2: Sử dụng máy tính để nhận được kết quả của tích phân rồi so sánh với cácđáp án

Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số trụctung và đường thẳng

Lời giải:

Cách 1: Từ hình vẽ: Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Vì

16

Nên Cách 2: Sử dụng máy tính để tính

Kết luận: Giải theo phương pháp tự luận ta có thể vẽ hình và nhìn thấy rõ trên đoạn

đồ thị hàm số nào nằm trên đồ thị hàm số nào nên có thể phá dấu giá trị tuyệt đốingay; nếu không vẽ hình, ta đẩy dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài nếu trên đoạn đangxét biểu thức trong dấu trị tuyệt đối không đổi dấu; còn trong trường hợp giải theotrắc nghiệm, ta chỉ cần bấm máy có cả dấu giá trị tuyệt đối

1.3 Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoay

1.3.1 Rèn năng lực tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục

hoànhThể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi mộthình phẳng giới hạn bởi các đường: , trụchoành, hai đường thẳng và quayquanh trục , được tính theo công thức:

Ví dụ 12: Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giớihạn bởi các đường: và quay quanh trục hoành

Hướng dẫn giảiGọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

d

x y

2

-2 4

-3

-4 -1

3 2 1

Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là ; ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Lời giảiChọn C

1.3.2 Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân

Bài toán 1 Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đếnđỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét Giá thuê mỗi métvuông là 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A 33750000 đồng B 12750000 đồng C 6750000 đồng D.3750000Hướng dẫn giải

Gắn parabol và hệ trục tọa độ sao cho đi qua Gọi phương trình củaparbol là (P):

Theo đề ra, đi qua ba điểm ,

Từ đó, suy ra Diện tích phần Bác Năm xây dựng:

x y

Lời giảiChọn B

Khi vật dừng lại thì

Suy ra:

20

Bài toán 3 Một khối cầu có bán kính là

, người ta cắt bỏ hai phần của khốicầu bằng hai mặt phẳng song song cùngvuông góc đường kính và cách tâm mộtkhoảng để làm một chiếc lu đựngnước (như hình vẽ) Tính thể tích mà chiếc

lu chứa được

Hướng dẫn giải: Cách 1: Trên hệ trục tọa độ , đường tròn

Ta thấy nếu cho nửa trên trục của quay quanh trục ta được mặt cầu bánkính bằng 5 Diện tích giới hạn bởi nửa trên trục của , trục , haiđường thẳng quay xung quanh trục ta sẽ được khối tròn xoay chính

là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài Ta có Nửa trên trục của có phương trình Thể tích vật thể tròn xoay khi cho quay quanh là:

Thể tích khối cầu là:

……

Chọn DCách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể