2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1.. Chứng minh rằng điểm M
Trang 1WWW.TOANCAPBA.NET KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 04 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - -
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 2 1
1
x y x
-=
-1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
– 4
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: log22x - log (44 x2)- 5= 0
2) Tính tích phân: 3
0
sin cos cos
x
p
+
= ò
3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây đạt cực tiểu tại điểm x =0 2
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA C = 30· 0 ,SA = AC = a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính V S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1 Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ ( , , , )O i j kr r r , cho OM = 3i + 2k
, mặt cầu ( )S có phương trình: (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z- 3)2 = 9
1) Xác định toạ độ tâm I và bán kính của mặt cầu ( ) S Chứng minh rằng điểm M
nằm trên mặt cầu, từ đó viết phương trình mặt phẳng ( )a tiếp xúc với mặt cầu tại M
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu, song song với mặt
phẳng ( )a , đồng thời vuông góc với đường thẳng
:
Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức:
2
Trang 22 Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ
các đỉnh là
A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1)
1) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
ln
y = x , trục hoành và x = e
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Trang 3
y
1
2
2,5
3
3 2
BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I:
1
x y
x
-=
- Tập xác định: D = ¡ \ {1}
Đạo hàm:
2
1 0, ( 1)
x
-¢= < " Î
- Hàm số đã cho NB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị
Giới hạn và tiệm cận: lim 2 ; lim 2 2
® - ¥ = ® + ¥ = Þ = là tiệm cận ngang
;
= - ¥ = + ¥ Þ = là tiệm cận đứng
Bảng biến thiên
y 2
–
+
2
Giao điểm với trục hoành: 0 2 1 0 1
2
y = Û x - = Û x = Giao điểm với trục tung: cho x = 0Þ y = 1
Bảng giá trị: x –1 0 1 2 3
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:
1
x
x
-=
- Tiếp tuyến có hệ số góc bằng –4 nên f x¢( 0) = - 4
2 0 2
0
1
4
x
3 2
2
3
4
3
2
y - = - æççx- ö÷÷÷Û y = - x +
Với
1 2
2
1
0
- pttt là:
1
2
y - = - æççx - ö÷÷÷Û y = - x +
Vậy, có 2 tiếp tuyến thoả mãn ycbt là : y = - 4x + 2 và y = - 4x + 10
Câu II:
Điều kiện: x > 0 Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
Trang 4a a
A B
C S
log x - (log 4+ log x )- 5= 0Û log x- log x - 6= 0 (*)
Đặt t = log2x , phương trình (*) trở thành
3
2 2
-é
ê
ê
(nhận cả hai nghiệm)
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm :x = 8 và 1
4
x =
1
÷
sin cos
x dx I
x
p
= ò , ta đặt t = cosx Þ dt = - sin x dx Þ sin x dx = - dt
Đổi cận: x 0
3
p
2 Thay vào:
1 2
1
2
1
2
1
2
æ- ö
÷
0
2 0 1
3
p
p
p
Vậy, 1 2 ln 2
3
y = x - m x + m - x + có TXĐ D = ¡
- y¢¢= 6x - 6m
Hàm số đạt cực tiểu tại
0
2
x
ì
¢¢
ï > ï - >
hoac 2
1 2
m m
m
ï
ïî
Vậy, với m = 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x =0 2
Câu III Theo giả thiết, SA ^ A B , BC ^ A B , BC ^ SA
Suy ra, BC ^ (SA B) và như vậy B C ^ SB
cos 30
2
a
2
a
2
Trang 5
.
2
SBC
3
3
S A BC
SB C
D
D
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa:
OM = 3i + 2k Þ M(3; 0;2)
và ( ) : (S x - 1)2 + (y + 2)2+ (z - 3)2 = 9
Mặt cầu có tâm (1; 2; 3)I - và bán kính R = 3
Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt cầu:
(3- 1) + (0+ 2) + (2- 3) = 9 là đúng
Do đó, M Î ( )S
( )a đi qua điểm M, có vtpt n = IM = (2;2; 1)
-uuur r
2(x - 3)+ 2(y- 0)- 1(z - 2)= 0Û 2x + 2y- z - 4= 0
Điểm trên d: (1; 2; 3) I
- ( )a có vtpt n =r (2;2; 1)- và D có vtcp urD = (3; 1;1)- nên d có vtcp
ç
r r r
Vậy, PTTS của d là:
1
ìï = + ïï
í
ïï = -ïïî
¡
Câu Va: - z2+ 2z - 5= 0 (*)
2 4.( 1).( 5) 16 (4 )i
Vậy, pt (*) có 2 nghiệm phức phân biệt
1
2 4
1 2 2
i
2 4
1 2 2
i
-THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:
Ta có, A B = (0;1; 0)
uuur
và CD = (1;1; 1) -uuur
Gọi M,N lần lượt là điểm nằm trên AB và CD thì toạ độ của M,N có dạng
-uuuur
Trang 6 MN là đường vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi
t t
CD MN
ïî
uuur uuuur uuur uuuur
Vậy, 1; ;1 ,3 3 3 3; ; 1; 0; 1
M æççç ö÷÷÷Næççç ö÷÷÷Þ MN = -æççç - ö÷÷÷
uuuur
hay u =r (1; 0;1) là vtcp
của d cần tìm
PTCT của đường vuông góc chung cần tìm là:
1 3
2 1
ìï = + ïï
ïï
ïï
ïïî
¡
Phương trình mặt cầu ( )S có dạng: x2+ y2+ z2- 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Vì A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) thuộc ( ) S nên:
/ 2
3 / 2
a
ìï ïï ïï ï ïï
ïï = ïïî
Vậy, phương trình mặt cầu là: 2 2 2
Câu Vb: Cho y = lnx = 0 Û x = 1
Diện tích cần tìm là:
Đặt
1 ln
x
ìï
Thay vào công thức tính S ta được:
1
e
S = x x - ò dx = e e- - x = e- - e+ = (đvdt)
Vậy, diện tích cần tìm là: S = 1 (đvdt)