091 đề HSG toán 7 trường nguyễn trãi 2018 2019

Tìm ba phân số đó... Từ Ckẻ CM vuông góc với Ay tại M.. Tính các cạnh ∆AKM ĐÁP ÁN Câu 1... Suy ra tích của chúng là một số chẵn.

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7

Năm học 2018-2019

Câu 1 (5 điểm)

1) Cho

c =ab

Chứng minh rằng:

2 2

2 2

2 2

2 2

)

)

a

b

+

+

2) Ba phân số có tổng bằng

213 , 70 các tử của chúng tỉ lệ với 3;4;5

, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5;1;2

Tìm ba phân số đó

Câu 2 (6 điểm)

1 Cho đa thức: f x( ) =x17 −2000x16 +2000x15−2000x14 + 2000+ x−1 Tính giá trị của đa thức tại x =1999

2 Chứng minh rằng nếu mvà nlà các số tự nhiên thì số:

(5 1 3) ( 4)

A= m n+ + m n− +

là số chẵn

Câu 3 (2 điểm)

Tìm số tự nhiên xđê phân số

7 8

2 3

x x

−

−

có giá trị lớn nhất

Câu 4 (7 điểm)

1 Cho tam giác ABCcân tại

µ 0

, 50

A B=

Gọi K

là điểm trong tam giác sao cho

· 10 ,0 · 30 0

KBC = KCB=

a) Chứng minh BA BK=

b) Tính số đo ·BAK

2 Cho

· 600

xAy=

có tia phân giác Az.Từ điểm B trên Axkẻ BH vuông góc với

Ay

tại H, kẻ BK

vuông góc với Az

và Btsong song với

,

Ay Bt

cắt Az tại C

Từ Ckẻ CM vuông góc với

Ay

tại M Chứng minh:

a) K

là trung điểm của AC b) ∆KMC

là tam giác đều c) Cho BK =2cm.

Tính các cạnh ∆AKM

ĐÁP ÁN Câu 1.

1

a) Từ

2

c =ab

a a b

+

b) Theo câu a ta có:

2 2 2 2 1 1 2 2

2 Gọi các phân số phải tìm là : a b c, ,

, ta có:

213 70

a b c+ + =

Và

3 4 5 : : : : 6 : 40 : 25

5 1 2

35 7 14

Câu 2.

1

( )

1999 1999 1999 1999 1999 1999 1999 1999 1999 1

1999 1 1998

f

2 Ta xét hiệu (5m n+ + −1) (3m n− + = =4) 2m+2n−3

Với m n, ∈¥

thì 2m+2n−3

là một số lẻ Do đó trong hai số 5m n+ +1

và

3m n− +4

phải có một số chẵn Suy ra tích của chúng là một số chẵn Vậy A

là số chẵn

Câu 3.

Đặt

2 7 8 7 2 3 5

2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3

x

A

−

Đặt B=2 2( x5 3)

−

thì A

lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất

…… GTLN của A= ⇔ =6 x 2

Câu 4.

1

a) Vẽ tia phân giác ·ABK

cắt CK ở I , ta có: ∆IBC

cân nên IB IC=

BIA CIA c c c( ) BIA CIA 120

,

do đó

( )

BIA BIK gcg

b) Từ phần a ta tính được

· 70 0

BAK =

2)

a) ∆ABC

cân tại B do

· · ( · )

CAB ACB= =MAC

và BK là đường cao nên BK là đường trung tuyến⇒K

là trung điểm của AC. b) ∆ABH = ∆BAK

(cạnh huyền –góc nhọn)⇒BH = AK

mà

AK = AC⇒BH = AC

Ta có: BH CM=

(tính chất đoạn chắn) mà 1

2

CK =BH = AC⇒CM =CK ⇒ ∆MKC

là tam giác cân (1) Mặt khác:

· 900

MCB=

và

· 300 · 600 (2)

ACB= ⇒MCK =

Từ (1) và (2) ⇒ ∆MKC

là tam giác đều c) Vì ∆ABK

vuông tại K mà

· 300 2 2.2 4

KAB= ⇒AB= BK = = cm

Vì ∆ABK

vuông tại K nên theo Pytago ta có:

AK = AB −BK = − =

Mà

1

12 2

KC = AC⇒KC =AC =

Mà

1

12 2

KC= AC⇒KC AK= =

Theo phần b)

AB BC= = AH =BK = HM =BC HBCM

là hình chữ nhật) 6