PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN 7 Câu 1.
a) Thực hiện phép tính:
3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75
11 12
0,265 0,5 2,5 1,25
+
b) So sánh: 50 + 26 1+
và 168
Câu 2
a) Tìm xbiết:
2 3 2 2 1
x− + − x = x+
b) Tìm
,
x y∈¢
biết:
xy+ x y− =
c) Tìm
, ,
x y z
biết:
2x=3 ;4y y=5z
và
4x−3y +5z =7
Câu 3
a) Tìm đa thức bậc hai biết f x( ) − f x( − =1) x
Từ đó áp dụng tính tổng
1 2 3
S = + + + +n
b) Cho
bz cy cx az ay bx
Chứng minh : 2 3
a = b = c
Câu 4
Cho tam giác
· ( 90 ,0)
ABC BAC <
đường cao AH.Gọi E F,
lần lượt là điểm đối xứng của H
qua AB AC, ,
đường thẳng EF
cắt AB AC,
lần lượt tại M
và N. Chứng minh rằng:
a) AE AF=
b) HA
là phân giác của ·MHN
Chứng minh CM / /EH BN, / /FH
Trang 2Câu 5 Cho ba số dương 0≤ ≤ ≤ ≤a b c 1
.Chứng minh rằng:
2
bc +ac +ab ≤
Câu 6 Cho m n, ∈¥ *
và
p
là số nguyên tố thỏa mãn:
(1) 1
+
=
−
Chứng minh rằng:
2 2
p = +n
ĐÁP ÁN Câu 1.
3 3 3 3 3 3 3
8 10 11 12 2 3 4
)
53 5 5 5 5 5 5
100 10 11 12 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 165 132 120 110
3
100 10 11 12 2 3 4 100 660
263
3
1320
= −
263 3
3 1320 3 3945 3 1881
53 49 5 1749 1225 5 5948 5 29740
5
100 660 3300
−
−
−
b) Ta có: 50 > 49 7; 26= > 25 5=
Vậy 50+ 26 1 7 5 1 13+ > + + = = 169 > 168
Câu 2.
a) Nếu x>2
ta có: x− +2 2x− =3 2x+ ⇔ =1 x 6
Trang 3Nếu
3
2
2 ≤ ≤x
ta có:
2− +x 2x− =3 2x+ ⇒ = −1 x 2(ktm)
Nếu
3 , 2
x<
ta có:
4
5
Vậy
4 6;
5
x= x=
b) Ta có: xy+2x y− = ⇔5 x y( + −2) ( y+ = ⇔2) 3 ( x−1) ( y+ =2) 3
( y 2) ( x 1) 3.1 1.3 ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 1
2
1
c) Từ
2x=3 ;4y y=5 ;8z x=12y =15z
12
12 ; 12 1; 12
− +
Vậy
; 1;
x= y= z=
Câu 3.
a) Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x( ) =ax2 +bx c a+ ( ≠0)
Ta có: ( ) ( )2 ( )
f x− =a x− +b x− +c
Trang 4( ) ( )
1
1 2
2
a a
b a
b
=
=
− =
Vậy đa thức cần tìm là
f x = x + x c+
(clà hằng số tùy ý)
Áp dụng:
Với x=1,
ta có: 1= f ( )1 − f ( )0
Với x=2
ta có: 1= f ( )2 − f ( )1
Với x n=
ta có: n= f n( ) − f n( −1)
n n
2 2 2
)
0
4 9
3 2
3
bz cy cx az ay bx
b
abz acy bcx abz acy bcx
abz acy bcx abz acy bcx
bz cy
x z
cx az
Từ (1) và (2) suy ra : 2 3
a = b = c
Câu 4.
Trang 5a) Vì AB
là trung trực của EH
nên ta có:
(1)
AE AH=
Vì AClà trung trực của HF
nên ta có:
(2)
AH = AF
Từ (1) và (2) suy ra AE AF=
b) Vì M ∈AB
nên MB
là phân giác ·EMH ⇒MB
là phân giác ngoài góc M
của tam giác MNH
Vì N∈AC
nên NClà phân giác ·FNH ⇒NC
là phân giác ngoài µN
của tam giác MNH
Do MB NC,
cắt nhau tại A
nên HA
là phân giác trong góc H
của tam giác
HMN
hay HA
là phân giác của
· .
MHN
Trang 6c) Ta có:
( )
AH ⊥BC gt
mà HM
là phân giác ·MHN⇒HB
là phân giác ngoài của µH
của tam giác HMN
MB
là phân giác ngoài của ¶M
của tam giác
· ( )
HMN cmt ⇒NB
là phân giác trong góc N của tam giác HMN ⇒BN ⊥ AC
(hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)⇒BN / /HF
(cùng vuông góc với
)
AC
Chứng minh tương tự ta có:
/ /
Câu 5.
Vì 0≤ ≤ ≤ ≤a b c 1
nên:
Tương tự:
Do đó:
(4)
bc + ac +ab ≤ b c +a c + a b
Mà
2
2 (5)
a b c
+ +
Từ (4) và (5) suy ra:
2
dfcm
bc + ac + ab ≤
Câu 6.
+Nếu m n+
chia hết cho p⇒ p mM( −1)
do p là số nguyên tố và m n, ∈¥* 2
m
⇒ =
hoặc
1
m p= +
khi đó từ (1) ta có:
2 2
p = +n
Nếu m n+
không chia hết cho p, từ (1) ⇒(m n m+ ) ( − =1) p2
Do
p
là số nguyên tố và
2
m n∈¥ ⇒ − =m p
và m n+ =1
Trang 72 2 1
và
2 0( )
n= − <p ktm
Vậy
2 2
p = +n