Khéo tay hay làm Khéo tay hay làm Khéo tay hay làmkl mai thi phuong

Cụ thể, luận văn trình bày các định nghĩa, tính chất cơ bản và các bài tập có liên quan của tập hợp, ánh xạ, phép toán hai ngôi, đồng cấu, nhóm, nhóm con chuẩn tắc, nhóm hoán vị, và sâu

Lu ận Văn Cử Nhân Khoa Học Toán Ứng Dụng

Gi ảng viên hướng dẫn luận văn : Th.S ỹ TRẦN THỊ PHƯỢNG

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2007

L ời cảm ơn

Quyển Luận Văn này là thành quả đúc kết của quá trình học tập và nghiên cứu trong suốt 4 năm ngồi trên ghế giảng đường Đại Học Luận Văn này sẽ không bao giờ được hoàn thiện nếu chỉ có sự cố gắng của riêng bản thân em Những thành

quả ngày hôm nay của em còn có sự giúp sức của các Thầy Cô giáo và bạn bè xung quanh

Đầu tiên em xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện vật chất và tinh thần để cho em có thể theo học cho đến ngày hôm nay

Em xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến cô hướng dẫn của em là cô Trần Thị Phượng Với trách nhiệm và sự nhiệt tình của mình, cô đã hết lòng tạo điều kiện và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện Luận Văn Tốt Nghiệp

Em xin cảm ơn tất cả các quý Thầy Cô cùng ban giám hiệu nhà trường, đặc biệt là quý Thầy Cô trong khoa Công Nghệ Thông Tin và Toán Ứng Dụng, trường Đại Học Bán Công Tôn Đức Thắng đã dùng tất cả tâm huyết, kinh nghiệm của mình

để truyền đạt và trang bị cho em những kiến thức trong quá trình học tập tại trường

Bên cạnh đó em cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên phản biện, người sẽ có những đóng góp ý kiến và nhận xét cho bài Luận Văn của em được hoàn chỉnh Với những ý kiến góp ý chân thành của các Thầy Cô sẽ giúp em có thêm nhiều kiến thức vô cùng quý báu để rút kinh nghiệm cho những lần nghiên cứu sau

Với những dòng chữ ngắn ngủi này không thể diễn đạt hết tấm lòng biết ơn

của em đối với gia đình, đối với các quý Thầy Cô Một lần nữa em xin chân thành

Tóm lược

Luận văn này tìm hiểu về lý thuyết Nhóm Cụ thể, luận văn trình bày các định nghĩa, tính chất cơ bản và các bài tập có liên quan của tập hợp, ánh xạ, phép toán hai ngôi, đồng cấu, nhóm, nhóm con chuẩn tắc, nhóm hoán vị, và sâu hơn nữa là tìm hiểu

về nhóm con Sylow Về chi tiết, luận văn được chia làm ba phần : phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Phần nội dung được trình bày trong hai chương :

Chương 1 : Tập hợp – Anh xạ – Quan hệ: trình bày lại một số khái niệm và

định nghĩa cơ bản của tập hợp, ánh xạ, quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

Chương 2 : Nửa nhóm và nhóm : giới thiệu một số khái niệm mở đầu liên

quan đến tập hợp có trang bị phép toán hai ngôi và giúp làm quen với vấn đề “thuật ngữ và ký hiệu ” Ký hiệu nhân và ký hiệu cộng của phép toán được nhấn mạnh ngay

từ định nghĩa nhóm và quy tắc tính trong nhóm Phân hoạch nhóm theo nhóm con Tìm hiểu về định nghĩa Đồng cấu, sau đó nói đến Định lý Lagrange về nhóm hữu hạn, trong đó có định nghĩa về nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương Cuối cùng là các hệ quả

về Tác động của một nhóm lên một tập hợp, Tác động liên hợp và các Định lý Sylow được áp dụng vào để chứng minh nhóm là một p-nhóm con Sylow và nhóm giải được Ngoài ra ta có thể sử dụng Định lý Sylow làm công cụ để tìm các p-nhóm con Sylow

M ục lục

Trang

Các ký hiệu trong luận văn 2

PHẦN MỞ ĐẦU 3

1 Mục đích nghiên cứu của đề tài 4

2.Đối tượng và phạmvi nghiên cứu của đề tài 4

PHẦN NỘI DUNG 5

Chương 1 Tập hợp – Anh xạ – Quan hệ 6

1.1 Tập hợp 6

1.2 Ánh xạ 16

1.3 Phép thế 25

1.4 Quan hệ hai ngôi 30

Chương 2 Nửa nhóm và nhóm 36

2.1 Nửa nhóm 36

2.1.1 Phép toán hai ngôi 36

2.1.2 Nửa nhóm 38

2.2 Nhóm 42

2.2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của nhóm 42

2.2.2 Nhóm con 45

2.2.3 Đồng cấu 49

2.2.4 Định lý Lagrange 53

2.2.5 Các Định lý đẳng cấu 61

2.2.6 Tác động của một nhóm lên một tập hợp 64

2.2.7 Tác động liên hợp 66

2.2.8 p-nhóm 67

2.2.9 Các Định lý Sylow 69

2.2.10 Nhóm giải được 73

PHẦN KẾT LUẬN 81

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 83

Các ký hi ệu trong luận văn

X : Tập thương của X trên A

< M > : Nhóm con của X sinh ra bởi tập con M

< a > : Nhóm con xiclic sinh bởi phần tử a

e (hoặc 1) : Phần tử trung hoà của nhóm

a-1

X≃Y : Nhóm X đẳng cấu với nhóm Y : Phần tử nghịch đảo của phần tử a

Kerf : Nhân của đồng cấu f

Imf : Ảnh của đồng cấu f

[X : A] : Chỉ số của A trong X

Ax

A⊳X : A là nhóm con chu: Nhóm con liên hợp với A ẩn tắc của X

NX

[x, y] (A) : Hoán t: Chuẩn hoá tử của A trong X ử của x và y

[X, X] : Nhóm con hoán tử của X

Aut(X) : Nhóm các tự đẳng cấu của X

A char X : A là nhóm con đặc trưng của X

PH ẦN MỞ ĐẦU

1 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi Trong đó Đại số là một ngành Toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ thống số đếm và các phép tính giữa chúng

Đại số được xem như là ngành Toán học mở rộng hoá và trừu tượng hoá của

bộ môn Số học Chúng ta đã được học môn Đại số sơ cấp trong trường phổ thông, chủ yếu liên quan đến các phép tính trên số thực, các hàm số, phương trình và đồ thị

sơ cấp

Nền tảng của Đại số là các cấu trúc: Nhóm, Vành, Trường Việc tìm hiểu các cấu trúc cơ bản này giúp chúng ta hiểu biết thêm về những cấu trúc đại số tổng quát,

kiến thức nền tảng của Đại số, trên cơ sở các kiến thức đã được học về phép toán, số

tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, v.v…

Luận văn này tìm hiểu về cấu trúc Nhóm

2 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Có rất nhiều cấu trúc Toán học khác nhau được quy về cấu trúc nhóm Trong

đó bao gồm cả cấu trúc của tập hợp các số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức Nhóm thường được nghiên cứu là nhóm các hoán vị Nhóm được ứng dụng để giải các phương trình đại số giải được

Lý thuyết nhóm được ứng dụng rộng rãi trong toán học và các ngành khoa

học kỹ thuật khác

Luận văn này tìm hiểu về các Nhóm cơ bản, đặc biệt tìm hiểu các p_nhóm, p_nhóm con Sylow (p là số nguyên tố), nhóm giải được

PH ẦN NỘI DUNG

tập theo một tính chất chung nào đó tạo thành những tập hợp Các ví dụ sau đây có

thể giúp ta hình dung rõ hơn về tập hợp:

- Tập hợp N các số tự nhiên

- Tập hợp Z các số nguyên

- Tập các học sinh trong một lớp học

Các vật, các đối tượng Toán học tham gia tạo nên một tập hợp được gọi là

các ph ần tử của tập hợp ấy Các tập hợp thường được ký hiệu bằng các chữ in hoa

A, B, C…, X, Y, Z,… còn các phần tử của một tập thường được ký hiệu bằng các

chữ in thường a, b, c…, x, y, z,…

Để biểu thị a là phần tử của tập A, ta viết a ∈ A ( đọc là : a thuộc A ) Để

biểu thị a không là phần tử của tập A, ta viết a ∉ A (đọc là : a không thuộc A)

Hai tập A và B được xem là bằng nhau, ký hiệu là A = B nếu mọi phần tử

thuộc tập A đều thuộc tập B và ngược lại

Một tập hợp được xem là xác định nếu ta xác định được tất cả các phần tử của tập hợp đó

Thông thường các phần tử của tập hợp X được xác định bởi tính chất chung

p nào đó Khi đó ta viết : X = { x / x có tính chất p } và nói rằng X là tập tất cả các

Một tập hợp cũng có thể không chứa một phần tử nào Tập như vậy gọi là tập

h ợp rỗng và ký hiệu là Ơ Chẳng hạn tập các nghiệm thực của phương trình x

Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa trên :

Khi tập X đã cho, ta có thể xét một tập mới mà các phần tử là các tập con của

X, ký hiệu P (X) Như vậy :

Cho A và B là hai tập tùy ý

1-Hợp của A và B là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập đó, ký

Nếu A ∩ B = Ơ thì ta nói A và B không giao nhau hay rời nhau

3-Hi ệu của A và B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký

hiệu là A ∖ B Tức là :

A ∖ B = { x / x ∈ A và x ∉ B }

Đặc biệt nếu B là tập con của A thì hiệu A ∖ B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu là CA(B)

Các tính chất cơ bản của phép toán trên được phát biểu trong định lý sau : 1.1.2.2 Định lý Với các tập A, B, C và X tùy ý, ta có :

2-Chứng minh tính chất giao hoán

 CMVới ∀x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B : A ∩ B = B ∩ A

Cho hai tập hợp A và B, tập hợp các cặp (a, b) với a ∈ A và b ∈ B được gọi

là tích Descartes của A và B, ký hiệu là A x B

Như vậy A x B = { (a, b)*

/ a ∈ A , b ∈ B }

1.1.3.2 Khái niệm tích Descartes có thể mở rộng cho trường hợp nhiều tập hợp Cho A1, A2,…An là n tập hợp Với mỗi ai ∈ Ai ta lập bộ n phần tử (a1,…,an ) Hai

bộ n phần tử (a1,…,an ) và (a’1,…,a’n ) được xem là bằng nhau khi và chỉ khi ai = a’i ∀i = 1, 2,…, n Tập tất cả các bộ n phần tử gọi là tích Descartes của các tập A1,

⊂Β

∩

Α

Β

∩Α

⊂ΒΑ

Α

⇔

)

\(

\

)

\(

∈

Α

∈

⇔ Β Α

∉

Α

∈

⇔ Β Α Α

∈

\ )

\ (

x

x x

⊂Β

∩Α

⇒ΒΑΑ

∈

⇒ΒΑ

∉

Α

∈

⇔Β

∈

Α

∈

⇔Β

∩Α

\)(

)

\(

)(

\)(

\)

\()

C A B A C B

A

C A B A x C A x

B A x C x

B x

A x C B x

x C

∩Α

(

\)(

)

\(

\)

(

\)(

)

C B A C A B

A

C B A x C B x

A x C

x

B x

A x C A x

B A x C

A B A

c) CM : A ∖ ( B ∩ C ) = (A ∖ B ) ∪ (A ∖ C )

)

\()

\()(

\

)

\()

\(

\

\)

(

\)

C A B A C B A

C A B A x C A x

B A x C x

B x A x C B x

A x C

B A x

B A x C

A B A x

\

\)

\()

\()

A x

B x

A x

B x

A x

)(

\ B C A

x∈ ∩

⇒

)(

\)

\()

\(A B ∪ A C ⊂ A B∩C

\(

\)

\

B x

A x

C x

A x

C x

B x

A x C B x

A x C

\()

\(

\

\

\)

\()

\

(

)

C B A C B C

A

C B A x C B x

A x

C x

B x

C x

A x

C B x

C A x C B C

b) CM : A ( B × ∪ C ) = (A × B ) ∪ (A × C )

Ta có : (x, y) ∈ A × ( B ∪ C ) ⇔ x ∈ A, y ∈ ( B ∪ C )

⇔ x ∈ A, y ∈ B hoặc y ∈ C ⇔ x ∈ A, y ∈ B hoặc x ∈ A, y ∈ C ⇔ (x, y) ∈ A× B hoặc (x, y) ∈ A×C ⇔ (x, y) ∈ (A× B) ∪ (A×C)

Vậy A × ( B ∪ C ) = (A × B ) ∪ (A × C )

c) CM : A × ( B ∖ C ) = ( A × B ) ∖ ( A × C )

Ta có : (x, y) ∈ A × ( B ∖ C ) ⇔ x ∈ A, y ∈ (B ∖ C)

⇔ x ∈ A, y ∈ B và y ∉ C ⇔ x ∈ A, y ∈ B và x ∈ A , y ∉ C

⇔ (x, y) ∈ ( A × Y ) và (x, y) ∈ ( X × B ) ⇒ x ∈ A, y ∈ Y và x ∈ X, y ∈ B

⇔ (x, y) ∈ CX(A) Y ho× ặc (x, y) ∈ X× C(B) Y ⇔ (x, y) ∈ CX(A) Y × ∪ X× CY (B)

∈

Α

∩Β

∈

Α

∪Β

C C

∈

Α

∩Β

⇒ Β∩Α ⊂  (Β∩Α )

∩Β

∈

Α

∩Β

∈

Α

∪Β

∪Β

Ι

∈

Α

∪Β

Ι

∈ Ι

∈

Α

∪Β

⇒ x ∈ B hoặc x ∈ A , ∀ ∈ I ⇒ x ∈ B hoặc x ∈ 

∪Β

∈

Α

∪Β

C C

1.2 ÁNH X Ạ

1.2.1.KHÁI NI ỆM ÁNH XẠ

1.2.1.1 Định nghĩa ánh xạ

Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý đã cho Ánh xạ f từ X đến Y là một quy

tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất, ký hiệu f(x), thuộc

Y Ta viết :

f : X → Y

x → f(x)

Tập hợp X gọi là tập nguồn hay miền xác định, tập hợp Y gọi là tập đích hay

mi ền giá trị của ánh xạ f tại x.Với mỗi x ∈ X, f(x) ∈ Y gọi là ảnh của x bởi f hay giá

tr ị của f tại x

Hai ánh xạ cùng tập nguồn và cùng tập đích f : X → Y và g : X → Y gọi là

b ằng nhau, ký hiệu f = g nếu f(x) = g(x) với mọi x ∈ X

Cho ánh xạ f : X → Y, tập con Γf của X x Y gồm các cặp (x,f(x)) với x ∈ X gọi là

đồ thị của ánh xạ f Từ định nghĩa ánh xạ ta có với mỗi x ∈ X có một và chỉ một y ∈

Y sao cho (x,y) ∈ Γf Ngược lại cho trước tập Γ ⊂ X×Y có tính chất trên thì tồn tại duy nhất một ánh xạ f : X x Y sao cho Γf = Γ

1.2.1.4 Ảnh và tạo ảnh

Cho f : X → Y là một ánh xạ, A là tập con của X, B là tập con của Y Khi đó :

Đặc biệt khi B = {b} ⊂ Y ; f -1

Để đơn giản ký hiệu ta viết f -1({b}) = { x ∈ X / f(x) = b }

(b) thay cho f -1({b}) và gọi là tạo ảnh toàn phần của

b bởi f Mỗi phần tử x ∈ f -1(b) gọi là một tạo ảnh của b bởi f

1.2.1.5.Định lý

Cho f : X → Y là một ánh xạ A, A1, A2 là các tập con của X B, B1, B2

1- A ⊂ f

là các tập con của Y Khi đó ta có :

Vậy B ⊃ f(f -1

(B)) (ĐPCM)

CM : f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2

Với ∀y, y ∈ f(A1 ∩ A2) ⇒∃x ∈ A1) ∩ A2

Vậy : f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A) 2) (ĐPCM)

CM : f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2

Với ∀y, y ∈ f(A1 ∪ A2) ⇔ ∃x ∈ A) 1 ∪ A2

1.2.2.2.Ta nói f là toàn ánh, nếu với mọi y ∈ Y có ít nhất một x ∈ X sao cho f(x) =

y, hay nói cách khác f(X) = Y Như vậy f là toàn ánh khi và chỉ khi với mọi y ∈ Y,

f-1(y) có không ít hơn một phần tử

1.2.2.3.Ta nói f là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh Như vậy f là

một song ánh khi và chỉ khi với mọi y ∈ Y, f-1

Một song ánh từ X đến X còn gọi là một phép thế trên X

(y) có đúng một phần tử (tức là có duy nhất một x ∈ X sao cho f(x) = y)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/e/e0/Anh_xa.JPG

1.2.2.4.Ví dụ : Xét lại các ví dụ ở mục 1.2.1.2, ta có :

1- Giả sử X = {1, 2} ; Y = {a, b, c} Tương ứng

1 ↦ a ; 2 ↦ b Cho ta ánh xạ f : X → Y là đơn ánh

Xác định ánh xạ k : R ↦ R không là đơn ánh, và không là toàn ánh

Ngoài ra ta còn xét thêm các ví dụ đáng chú ý sau đây :

1-Cho X là tập hợp Khi đó ánh xạ

1X

x : X → X ↦ x

là một song ánh và gọi là phép đồng nhất của X

2-Cho X là tập con của Y Khi đó ánh xạ :

iX

x : X ↦ x → Y

là một đơn ánh và gọi là đơn ánh chính tắc từ X vào Y, ký hiệu là iX : X ↪ Y

gọi là hợp thành hay tích của g và f, ký hiệu là gof hoặc gf

Chú ý rằng tích gof chỉ xác định khi tập đích của f trùng với tập nguồn của g

2-Ta có ∀z ∈ Z , z ∈ (gf)(A) ⇔ ∃a ∈ A ; z = (gf)(a)

⇔ ∃a ∈ A, z = g(f(a)) ⇔ z ∈ g(f(A))

⇒ f(x1) =f(x2) (vì g là đơn ánh) ⇒ x1 = x2 (vì f là đơn ánh).Vậy g f là đơn )) 

ánh.Ngược lại giả sử gf là đơn ánh, khi đó :

∀x1, x2 ∈ X : f(x1) = f(x2) ⇒ g (f(x 1)) = g (f(x 2))⇒(g f)(x 1) = (g f)(x 2)⇒

x1 = x2 (vì gf là đơn ánh) Vậy f là đơn ánh

5-Giả sử f, g là các toàn ánh, khi đó áp dụng 2) ta có : (gf)(X) = g(f(X)) = = g(Y) = Z Vậy gf là toàn ánh Ngược lại, giả sử gf là toàn ánh, khi đó với mỗi z

∈ Z tồn tại x∈X để (gf)(x) = z, tức là tồn tại y = f(x) ∈ Y sao cho g(y) = g(f(x)) = (gf)(x) = z Vậy g là toàn ánh ■

Từ định lý ở 1.2.3.2 Ta có hệ quả sau :

1.2.3.3 Hệ quả: Tích của hai song ánh là một song ánh

1.2.3.4 Thu hẹp và mở rộng ánh xạ:

Cho f : X ↦ Y là một ánh xạ, A là tập con của X và iA

Ta nói f là ánh xạ khả nghịch nếu có ánh xạ g : Y → X sao cho g

) Khi đó ánh xạ g gọi là ánh xạ ngược trái (ngược phải) của

f

f = 1X và f g = 

1Y Khi đó ánh xạ g gọi là ánh xạ ngược của f

1.2.4.2.Định lý Cho f : X → Y là ánh xạ Khi đó :

1-f là ánh xạ khả nghịch trái khi và chỉ khi f là đơn ánh

2-f là ánh xạ khả nghịch phải khi và chỉ khi f là toàn ánh

Chứng minh:

1-Nếu f khả nghịch trái thì f là đơn ánh theo Định lý ở 1.2.3.2, 4).Ngược lại

giả sử f đơn ánh, khi đó với mỗi y ∈ f(X) có duy nhất một x sao cho f(x) = y Lấy x0

∈ X bất kỳ và xác định ánh xạ g : Y → X như sau :

( ) ( )

x f y u e n x y

g

ˆ

ˆ)

(

0

Khi đó g là ánh xạ ngược trái của f

2-Nếu f : X → Y khả nghịch phải thì f là toàn ánh theo Định lý ở 1.2.3.2, 5) Ngược lại giả sử f là toàn ánh, khi đó với mỗi y ∈ Y tập f-1

(y) ≠ Ơ Với mỗi y ta

chọn một x ∈ f-1

Từ Định lý ở 1.2.4.2, ta có hệ quả quan trọng sau :

(y) và xác định ánh xạ g : Y → X như sau : g(y) = x với mỗi y ∈ Y

Khi đó g là ánh xạ ngược bên phải của f ∎

1.2.4.3 Hệ quả.Cho f : X → Y là ánh xạ, khi đó các khẳng định sau là tương đương

1.2.4.4.Hệ quả : Nếu f : X → Y, g : Y → Z là các song ánh thì (gf)-1 = f-1g

chỉ số hoá ) bởi tập chỉ số I, ký hiệu là (x) ∈ I Nếu các x , x , x là các tập hợp thì

họ (x) ∈ I

Như vậy, họ (x) gọi là họ các tập hợp được đánh số (hay chỉ số hóa) bởi tập chỉ số I ∈ I

Bởi vậy hai họ (x) ∈ I thực chất là một cách biểu thị khác của ánh xạ f:I→X và (y) ∈ I được xem là trùng nhau nếu x = y với mọi ∈

2-Giao của họ đó, ký hiệu là 

Ngược lại, với mỗi y ∈ Y, hoặc f (f(A)) = A -1

(y) = ∅ hoặc ∃x ∈ f -1(y) Khi đó theo giả thiết f 1

Ngược lại, với B = Y theo giả thiết ta có : f(X) ⊃ f(f -1

1.3.1.1.Nhắc lại rằng một phép thế trên một tập hợp X là một song ánh từ X lên

chính nó Khi X là tập có n phần tử thì một phép thế trên X gọi là một phép thế bậc

n Để tiện lợi mà vẫn không mất tính tổng quát, ta thường lấy tập n phần tử là X = {

1, 2,…, n } Khi đó mỗi phép thế f bậc n thường được viết dưới dạng :

2()1(

21

n f f

f

n f

Vì f là song ánh nên các phần tử f(1), f(2),…, f(n) ở dòng dưới đều khác nhau do đó chúng là một hoán vị của n phần tử 1, 2,…, n Như vậy mỗi một hoán vị xác định một phép thế bậc n nên số các phép thế bậc n bằng số các hoán vị của tập

()(

2 1

2 1

n

n i f i f i f

i i i f

trong đó i1, i2,…, in

Theo các kết quả ở 1.2, nếu f, g là các phép thế bậc n thì tích f là hoán vị của n phần tử 1, 2,… n g, gf (tích

của hai ánh xạ), ánh xạ ngược f-1

13421342

4321

34121234

4321

4321

.g f

)4(.2)1(1)4(

4) 3 ( 4 ) 2 ( 2 ) 3 (

3 ) 2 ( 3 ) 3 ( 3 ) 2 (

1 ) 1 ( 1 ) 4 ( 4 ) 1 (

g f

g f f

g

g f f

g

g f f

g

g f f

4321

f g

4 3 2 1 4

) 4 ( 4 ) 1 ( 1 ) 4 (

2 ) 3 ( 2 ) 3 ( 3 ) 3 (

1 ) 2 ( 1 ) 4 ( 4 ) 2 (

3 ) 1 ( 3 ) 2 ( 2 ) 1 (

f g

f g g

f

f g g

f

f g g

f

f g g

f

Vì

2314

43214321

1342

21

211

1.3.2 PHÂN TÍCH PHÉP THẾ THÀNH TÍCH CÁC VÒNG XÍCH ĐỘC LẬP 1.3.2.1 Vòng xích và chuy ển trí

Cho f là một phép thế bậc n Nếu f viết được dưới dạng :

n m

m

i i

i i

i

i i

i i

i f

2

1 2

Vòng xích độ dài 2 gọi là phép chuyển trí = (1) = (2) = … = (n)

Hai vòng xích f = (i1 … im ) và g = (J1 … Jk) gọi là độc lập nếu {i1,…, im} ∩ {J1,…, Jk

Dễ thấy rằng phép nhân các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán } = Ơ

1.3.2.2 Định lý Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được

duy nhất (không kể thứ tự) thành tích các vòng xích độc lập độ dài lớn hơn hoặc

bằng 2

Chứng minh:

Giả sử f là phép thế khác phép thế đồng nhất, khi đó có i1 sao cho f(i1) = i2 ≠ i1 do

f là song ánh f(i2) = i3 ≠ i2 ; f(i3) = i4 ≠ i2, i3 … và cuối cùng f(im1) = i1

Đặt f1 = (i1 i2 … im), đây là vòng xích có độ dài m 1 ≥ 2 và f(ik) = f1(i k) với k = 1, 2, , m1

Nếu trong tập {1, 2,…, n} \ {i1,…, im } có J1 sao cho f(J1) = J2 ≠ J1 thì lặp lại quá trình trên ta sẽ có vòng xích f2 = (J1 J2 … Jm2) với độ dài m2 ≥ 2 và f(Jk) =

f2(Jk) với k = 1, 2,…, m2

Tiếp tục, nếu trong tập {1, 2,…, n} \ {i 1,…, im1, J1,…, Jm2 } có sao cho l1

f(l1) = l2 ≠ l1 thì tương tự như trên ta sẽ có vòng xích f3 = ( l1 l2 … l m3 ) với độ dài

Tiếp tục lặp lại quá trình trên, cuối cùng ta sẽ có r = s và f i = gi

1.3.2.3 Hệ quả: Mọi phép thế đều phân tích được thành tích các chuyển trí

với mọi i = 1, 2,…, r và Định lý được chứng minh

Chứng minh:

Theo định lý ở 1.3.2.2 ta chỉ cần chứng minh đối với phép thế đồng nhất 1X và các vòng xích Thật vậy ta có 1X = (i J) (i J) Nếu f là vòng xích, thì bằng kiểm tra trực tiếp ta có : f = (i1 i2 … im) = (i1 im) (i1 im-1) … (i1 i3) (i1 i2)

1.3.3 DẤU CỦA PHÉP THẾ

1.3.3.1 Hàm d ấu Nhắc lại rằng Sn

Hàm d ấu là ánh xạ Sign : S

là tập các phép thế bậc n trên tập X = {1, 2, …, n}

J i f

Sign

) (

Sau này ta sẽ thấy rằng Sign(f) ∈ {1, -1} với mọi f ∈ Sn

1.3.3.2 Định lý : Dấu của một phép chuyển trí bằng -1

Bởi vậy Sign (f) gọi là dấu của phép thế f Các tính chất của hàm dấu được phát biểu trong các định lý sau:

Chứng minh: Giả sử f = (k l) Khi đó :

{ } { } { }

1

)

( )

(

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

( )

(

, ,

, , ,

,

, , ,

,

, , ,

k

i

J i

l k J i J

i

l l k J

i

J i

k l k J i J

i

l k J

i

l k J i J

i X J i

k i

l i l

i

k i

J i

J i k

l

l k J

f i f

J i

J f i f

J i J

f i f

J i

J f i f

J i J

f i f

J i f

Sign

φ φ

)1(

)(

)1(

f

n g g

J g i g f

Sign

) ( ) ( )

)()(

.)()

(

)()()

()

(

,

, ,

g f Sign J

g f i g f

J i

J g i g

J i J

g f i g f

J g i g g

i X J i

Sign (f) = Sign (f1) … Sign (fr

1.4 QUAN H Ệ HAI NGÔI

1.4.1 KHÁI NIỆM VỀ QUAN HỆ HAI NGÔI

1.4.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp Một quan hệ hai ngôi (hay quan hệ)

trong X là tập con R của bình phương Descartes X2

Nếu (x, y) ∈ R thì ta nói x có quan hệ với y và ta thường viết x R y Như vậy:

x R y ⇔ (x, y) ∈ R

1.4.1.2 Các tính chất thường gặp

Cho R là quan hệ trên tập hợp X

1- Tính chất phản xạ : R gọi là phản xạ nếu x R x với mọi x ∈ X, tức là (x,

x) ∈ R với mọi x ∈ X

2- Tính chất đối xứng : R gọi là đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X : x R y thì y

R x Nói cách khác nếu (x, y) ∈ R thì (y, x) ∈ R

3-Tính chất phản đối xứng : R gọi là phản đối xứng (hay phản xứng) nếu

với mọi x, y ∈ X : x R y và y R x thì x = y Nói cách khác nếu (x, y) ∈ R và (y, x) ∈

Quan hệ này phản xạ, đối xứng và bắc cầu ∕ x ∈ R }

2- Xét Z là tập các số nguyên, m là một số nguyên dương cho trước Quan hệ

đồng dư mod m trong Z được định nghĩa như sau:

x ≡ y (mod m) ⇔ x – y ⋮ m

Hiển nhiên đây là quan hệ hai ngôi trong Z Ở đây

R = { (x, y) ∈ Z2

Quan hệ này có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu ∕ (x – y) ⋮ m}

3- Quan hệ ≤ thông thường trên R cũng là một quan hệ hai ngôi trong R, trong trường hợp này R = { (x, y) ∈ R 2∕ x y} ≤

Quan hệ này có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu

4- Quan hệ bao hàm ⊂ giữa các tập con của tập hợp X là quan hệ hai ngôi trong tập P (X) ( tập các tập con của X ) Ở đây

R = { (A, B) ∈ [P (X)]2

Quan hệ này có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu / A ⊂ B }

1.4.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

1.4.2.1 Định nghĩa : Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là một quan hệ tương

đương nếu nó là phản xạ, đối xứng và bắc cầu Thay cho R, quan hệ tương đương

thường được ký hiệu là ∼ Các ví dụ 1, ví dụ 2, 1.4.1.3 là các ví dụ về quan hệ

tương đương

1.4.2.2 Lớp tương đương – tập thương

Cho ∼ là một quan hệ tương đương trên tập hợp X

Với mỗi x ∈ X, tập con của X gồm các phần tử có quan hệ ∼ với x gọi là lớp tương

đương của x theo quan hệ ∼, ký hiệu là x Như vậy : x = { y ∈ X / y ∼ x}

Mỗi y ∈ x gọi là một đại diện của lớp x

Tập hợp tất cả các lớp tương đương gọi là tập thương của X theo quan hệ

tương đương ∼ , ký hiệu là X / ∼ Như vậy : X / ∼ = { x / x ∈ X }

Các tính chất cơ bản của lớp tương đương được phát biểu trong định lý sau:

Với mọi x1, x2 ∈ X nếu x1 ∩ x2 ≠ ∅ thì x1 = x2

4- X là hợp rời của các lớp tương đương



X x

x X

Ta nói một họ các tập con khác rỗng của X làm thành một sự chia lớp trong

X nếu mỗi phần tử của X thuộc một và chỉ một tập hợp của họ đó

Nói cách khác một họ các tập con khác rỗng của X làm thành một sự chia lớp trong X nếu và chỉ nếu hợp của họ đó bằng X và giao của hai tập bất kỳ của họ bằng rỗng

Từ Định lý ở 1.4.2.3 ta có tập các lớp tương đương của một quan hệ tương đương trong X làm thành một sự chia lớp trong X Điều ngược lại cũng đúng, ta có định lý sau:

1.4.2.5 Định lý Giả sử ta có một sự chia lớp trong tập hợp X Thế thì có một quan

hệ tương đương duy nhất trong X sao cho các lớp tương đương của tập X theo quan

hệ tương đương đó chính là các tập hợp của họ chia lớp

Ch ứng minh:

Ta định nghĩa quan hệ trong tập hợp X như sau : x ∼ y ⇔ x, y thuộc cùng một tập hợp của họ chia lớp Dễ thấy đó chính là quan hệ tương đương duy nhất thoả các điều kiện của định lý

(a, b) xác định như sau: ℛ (c, d) khi và chỉ khi ad = bc Chứng minh :

a) ℛ là một quan hệ tương đương

b) Có m ột song ánh từ tập thương Z×N* ∕R đến tập các số hữu tỷ Q

 c ≠ 0 thì ta có ngay af = be, tức là (a, b) ℛ (e, f)

⇒ ℛ có tính bắc cầu

Vậy ℛ là một quan hệ tương đương

b) Xét tương ứng : Z×N∗R → Q

),

( b a 

b a

Ta có ( b a, ) = ( d c, ) ⇔ (a, b) ℛ (c, d) ⇔ ad = bc ⇔

d

c b

a =

Vậy tương ứng trên là ánh xạ và là đơn ánh Hiển nhiên tương ứng trên cũng là một toàn ánh

Xét quan hệ ℛ trên tập số thực R định nghĩa như sau:

Vậy ℛ là một quan hệ tương đương

= {x ∈ X ∕ x > 0}

={-1, -2, …} = Z - Vậy tập thương : X ∕ R = {[1], [-1] , … }

1.4.3 QUAN H Ệ THỨ TỰ

1.4.3.1 Cho X là tập hợp và R là quan hệ hai ngôi trong nó R gọi là một quan hệ

th ứ tự trong X nếu R là phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Thay cho R, ta thường

dùng ký hiệu ≤ để chỉ một quan hệ thứ tự Ta cũng nói X được sắp thứ tự bởi ≤

Với hai phần tử x, y ∈ X, nếu x có quan hệ với y ta viết x ≤ y (đọc là : “x bé

hơn hay bằng y”) hoặc viết y ≥ x (đọc là “y lớn hơn hay bằng x”)

Khi x ≠ y thì thay cho x ≤ y (hay y ≥ x) ta viết x < y (hay y > x) và đọc là “x

bé hơn y” (hay “y lớn hơn x”)

Quan hệ thứ tự ≤ trong X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến

tính) nếu với mọi x, y ∈ X ta đều có x ≤ y hoặc y ≤ x Một quan hệ thứ tự không toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận (hay từng phần)

Các ví dụ 3 và ví dụ 4, 1.4.1.3 là các ví dụ về quan hệ thứ tự, trong đó ví dụ 3

là một ví dụ về quan hệ thứ tự toàn phần

Nếu X có lớn hơn 1 phần tử thì ví dụ 4 cho ta một quan hệ thứ tự bộ phận

1.4.3.2 Các phần tử đặc biệt Quan hệ thứ thự tốt

1- Cho X là tập được sắp thứ tự bởi ≤ và A là một tập con của X

Phần tử a ∈ A gọi là phần tử bé nhất (lớn nhất) của A nếu với mọi x ∈ A a

2- Quan h) ệ thứ tự ≤ trong X gọi là một quan hệ thứ tự tốt nếu mọi tập con

khác rỗng của X đều có phần tử bé nhất Khi đó X gọi là được sắp tốt bởi ≤

3- Ví dụ :

- Tập các số tự nhiên N với quan hệ thứ tự thông thường, có phần tử bé nhất

là 0, không có phần tử lớn nhất Đây là một quan hệ thứ tự tốt

- Trong tập các số tự nhiên lớn hơn 1, sắp thứ tự theo quan hệ chia hết (quan

hệ | ) các phần tử tối tiểu là các số nguyên tố

- Trong ví dụ 4, 1.4.1.3 phần tử bé nhất chính là tập hợp ∅, phần tử lớn nhất

là tập X

1.4.3.3 Vài nguyên lý tương đương

Liên quan đến tập hợp sắp thứ tự có một số nguyên lý tương đương hay được sử dụng để giải quyết một lớp các vấn đề của toán học

1- Tiên đề chọn : Với mọi họ không rỗng (X)∈I các tập hợp khác rỗng X



Ι

∈

→Ι

X

f :

, ∈

I đều có một ánh xạ sao cho f () ∈ X với mọi ∈ I

2- Nguyên lý s ắp tốt : Mọi tập hợp không rỗng đều có thể được sắp tốt (tức

là tồn tại một quan hệ thứ tự tốt trên tập đó)

3- B ổ đề Zorn : Cho X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bởi ≤ Nếu mọi tập con A của X, được sắp toàn phần bởi ≤, đều có can trên thì X có phần tử tối đại

Vậy S là một quan hệ thứ tự trong R

Cho X là tập không rỗng Một phép toán hai ngôi trong X là một ánh xạ từ

X2 đến X Nói cách khác, một phép toán hai ngôi trong X là một quy tắc cho tương ứng mỗi cặp phần tử (x, y) ∈ X2

Cái hợp thành của x và y thường được ký hiệu bằng cách viết x và y theo thứ

tự đó rồi xen vào giữa chúng một dấu đặc trưng cho phép toán Chẳng hạn : x* y , x

với một phần tử xác định của X gọi là hợp thành

của x và y bởi phép toán đó

y , x y , x + y , x ⊕ y …

Khi dùng ký hiệu x + y, (x y hay xy) thì ph ép toán gọi là phép cộng (phép nhân) và x + y, (x y) gọi là tổng (tích) của x và y

2.1.1.2 Các ví dụ :

1- Phép c ộng và phép nhân thông thường trong tập các số tự nhiên N là

những phép toán hai ngôi

2- Tích các ánh xạ là một phép toán hai ngôi trong t ập các ánh xạ từ tập X đến chính nó

3- Tích các ma trận là một phép toán hai ngôi trong tập các ma trận vuông

cấp n hệ số thực

4- Phép trừ ma trận là một phép toán hai ngôi trong tập các ma trận vuông

cấp n hệ số thực

2.1.1.3 Các tính chất thường gặp

Giả sử ∗ là một phép toán hai ngôi trong tập X

1- Tính chất kết hợp : Phép toán ∗ gọi là kết hợp nếu với mọi x, y, z thuộc

X đều có :

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) 2- Tính ch ất giao hoán : Phép toán ∗ gọi là giao hoán nếu với mọi x, y

thuộc X đều có :

x * y = y ∗ x 3- Luật giản ước : Phép toán ∗ gọi là có luật giản ước bên trái (bên phải)

nếu với mọi x, y, z thuộc X đều có :

Nếu x ∗ y = x ∗ z thì y = z

tương ứng, nếu y ∗ x = z ∗ x thì y = z

Phép toán ∗ gọi là có luật giản ước nếu nó có luật giản ước trái và phải

4- Tính phân phối : Giả sử ngoài ∗ còn có phép toán thứ hai  trong X Khi

đó phép toán ∗ ọi là phân phối bên trái (bên phải) đối với phép toán ếu với

x ∗ (y  z) = (x ∗ y)  (x ∗ z) ((y  z) ∗ x = (y ∗ x)  (z ∗ x)) Phép toán ∗ gọi là phân phối đối với phép toán  nếu nó phân phối cả bên trái và bên phải đối với phép toán 

2.1.1.4 Các phần tử đặc biệt :

Giả sử ∗ là một phép toán hai ngôi trong tập X

1- Phần tử trung hoà : Phần tử e ∈ X gọi là phần tử trung hòa trái (phải)

của phép toán ∗ nếu với mọi x ∈ X e∗ x = x (x∗ e) = x Phần tử e ∈ X gọi là

phần tử trung hòa của ∗ nếu nó là phần tử trung hòa trái và phải của ∗ Tức là e∗x

= x∗e = x với mọi x ∈ X

Nếu phép toán ∗ trong tập X có phần tử trung hòa trái e’ và phần tử trung hòa phải e’’ thì e’ = e’’ Thật vậy xét tích e’∗e’’ Vì e’ là phần tử trung hòa trái nên e’∗ e’’ = e’’ Mặt khác, vì e’’ là phần tử trung hòa phải nên e’ ∗ e’’ = e’ Từ đây suy ra :

Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung hòa

2- Ph ần tử đối xứng

Giả sử ∗ là một phép toán hai ngôi trong tập X có phần tử trung hoà là e và x

là phần tử tùy ý của X Ta nói X là phần tử khả đối xứng nếu có một x’ ∈ X sao cho

x’∗ x = x∗ x’ = e Khi đó phần tử x’ gọi là phần tử đối xứng của x (đối với ∗)

N ếu phép toán ∗ k ết hợp thì phần tử đối xứng của x (nếu có) là duy nhất

Thật vậy nếu x’ và x’’ là hai phần tử đối xứng của x, khi đó do tính kết hợp của ∗ ta

có :

x’ = x’∗ e = x’∗ (x ∗ x’’) = (x’ ∗ x) ∗ x’’ = e ∗ x’’ = x’’

Khi phép toán (∗ ) được ký hiệu theo lối cộng + (lối nhân) thì phần tử trung

hoà thường được ký hiệu là 0 (e hay 1) và gọi là phần tử không (phần tử đơn vị),

phần tử khả đối xứng còn gọi là khả đối (khả nghịch) thường được ký hiệu là –x (x 1

-) và gọi là phần tử đối (phần tử nghịch đảo) của x

2.1.1.5 T ập con ổn định Phép toán cảm sinh

Giả sử là một phép toán hai ngôi trong tập X Tập con khác rỗng A của X

g ọi là ổn định (đối với phép toán ) nếu với mọi x, y ∈ A thì x y ∈ A

Nếu A là tập con ổn định thì phép toán thu hẹp trên A sẽ xác định trong A

một phép toán hai ngôi (cũng được ký hiệu là ) gọi là phép toán cảm sinh trong A

bởi phép toán trong X

Ví dụ 1:

a) Phép cộng trên Z ổn định trên tập con N, ổn định trên tập con C các số

nguyên chẵn Do đó phép cộng trên N va C cảm sinh bởi phép cộng trên Z

b) Phép trừ trên Z không ổn định trên tập con N Do đó phép trừ trên Z

không cảm sinh một phép toán trên N

2.1.2.1 Khái niệm nửa nhóm

1- Định nghĩa : Tập hợp không rỗng X cùng với phép toán hai ngôi kết hợp

đã cho trong X gọi là một nửa nhóm Một nửa nhóm có phần tử trung hoà gọi là một

v ị nhóm Một nửa n hóm gọi là giao hoán nếu phép toán hai ngôi của nó là giao

hoán

2- Ví dụ :Các ví dụ 1-, 2-, 3- trong 2.1.1.2 là các ví dụ về các nửa nhóm 2.1.2.2 Tính chất

Giả sử X là nửa nhóm, x1, x2, x3

x

là các phần tử của X Khi đó ta định nghĩa:

1 x2 x3 = (x1 x2) x3 gọi là tích của ba phần tử x1, x2, x3 lấy theo thứ

tự đó Một cách tổng quát ta định nghĩa tích của n phần tử x1, x2, …, xn

là n phần tử bất kỳ (phân biệt hay không)

của một nửa nhóm X Khi đó :

1 … xn = (x1 … xi).(xi+1 … xJ) … (xl+1 … xk).(xk+1 … xnTrong nửa nhóm X tích của n phần tử đều bằng a gọi là luỹ thừa bậc n của