Tài liệu giảng dạy Toán rời rạc lý thuyết đồ thị (NgànhNghề Công nghệ thông tin – Trình độ Cao đẳng)

TẬP ĐOÀN DỆT MAY VIỆT NAM TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT TP.HCM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MÔN HỌC: TOÁN RỜI RẠC & LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ NGÀNH/NGHỀ: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG TP.

TẬP ĐOÀN DỆT MAY VIỆT NAM TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT TP.HCM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY

MÔN HỌC: TOÁN RỜI RẠC & LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

NGÀNH/NGHỀ: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

TP HỒ CHÍ MINH, năm 2019

LỜI GIỚI THIỆU

Tài liệu giảng dạy được biên soạn dựa trên tài liệu Toán rời rạc của GS Nguyễn Hữu Anh, trường Đại học Tổng hợp TP Hồ Chí Minh, tài liệu Lý thuyết đồ thị của Pts Nguyễn Cam, Pts Chu Đức Khánh

Tài liệu giảng dạy Toán rời rạc và lý thuyết đồ thị được dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành Công nghệ thông tin, được trình bày theo đúng chương trình môn học đã được xây dựng

Tài liệu giảng dạy này giúp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán rời rạc, Lý thuyết đồ thị

Tài liệu giảng dạy bao gồm:

Chương 4: Bài toán về con đường ngắn nhất

Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những hạn chế và một số thiếu sót nhất định, nhóm tác giả rất mong nhận được những

ý kiến đóng góp của quý đọc giả để tài liệu giảng dạy này ngày càng hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn

TP HCM, ngày … tháng … năm

Tham gia biên soạn

Ths Võ Thị Thục Hà

MỤC LỤC Phần 1: Toán rời rạc

Chương 1: CƠ SỞ LOGIC 1

I Phép tính mệnh đề 1

1 Khái niệm về mệnh đề 1

2 Phân loại mệnh đề 1

3 Các phép toán logic 1

4 Dạng mệnh đề 1

II Qui tắc suy diễn 5

III Vị từ và lượng từ 7

1 Vi từ 7

2 Lượng từ 7

IV Nguyên lý quy nạp 8

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 9

I Tập hợp 9

1 Khái niệm về tập hợp 9

2 Các phép toán trên tập hợp 10

3 Tính chất của các phép toán 10

4 Tích Descartes của tập hợp 11

II Ánh xạ 11

III Giải tích tổ hợp 13

1 Phép đếm 13

2 Giải tích tổ hợp 14

Chương 3: QUAN HỆ 17

I Quan hệ 17

II Quan hệ tương đương 18

III Quan hệ thứ tự 18

Chương 4: ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL 20

I Đại số Bool 20

II Hàm Bool 21

III Mạng các cổng và công thức tối tiểu 24

1 Các cổng logic 24

2 Tổ hợp các cổng logic 25

3 Tối thiểu hóa hàm Boole 25

IV Phương pháp bảng Karnaugh 25

Phần 2: Đồ thị Chương 1: ĐỒ THỊ 29

I Định nghĩa 29

II Biểu đồ 29

III Bậc của một đỉnh 30

1 Định lý 30

2 Hệ luận 1 30

3 Hệ luận 2 30

4 Hệ luận 3

IV Ma trận liên kết 31

V Đường và chu trình 31

VI Sự liên thông 32

VII Sự đẳng hình 32

VIII Đồ thị có hướng 33

Chương 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU TRÌNH 35

I Chu trình Euler 35

1 Euler và bài toán 7 cầu ở KONIGSBURG 35

2 Chu trình Euler 35

II Chu trình Hamilton 38

1 Định nghĩa 38

2 Quy tắc tìm chu trình Hamilton 39

3 Định lý 40

4 Định lý 40

5 Định lý (Dirac) 40

6 Định lý (Konig) 40

Chương 3: CÂY 41

I Khảo sát tổng quát 41

1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 41

2 Định lý (Daisy Chain Theorem) 41

3 Tâm và bán kính của cây 41

4 Cây m-phân 42

II Cây nhị phân và phép duyệt cây 43

1 Định nghĩa 43

2 Phép duyệt cây 43

III Cây bao trùm 44

1 Định nghĩa 44

2 Định lý 44

3 DFS và BFS 44

4 Định lý 46

IV Cây bao trùm nhỏ nhất 46

1 Định nghĩa 46

2 Định lý 53

3 Giải thuật PRIM 48

4 Giải thuật Kruskal 50

Chương 4: BÀI TOÁN VỀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT 52

I Giới thiệu bài toán 52

II Giải thuật DIJKSTRA 52

10

10

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MÔN HỌC/MÔ ĐUN

Tên môn học: Toán rời rạc và lý thuyết đồ thị

Mã môn học: MH 09

Thời gian thực hiện môn học: 45 giờ; (Lý thuyết: 43 giờ; Thực hành, thí nghiệm,

thảo luận, bài tập: 0 giờ; Kiểm tra: 2 giờ)

I Vị trí, tính chất của môn học:

- Vị trí: Môn học được bố trí sau khi người học học xong các môn học chung

- Tính chất: Là môn học cơ sở ngành bắt buộc

II Mục tiêu môn học:

- Kiến thức:

 Trình bày được các kiến thức về cơ sở logic, các quy tắc của phép suy luận

 Phân biệt được các hàm logic và mạch logic

 Trình bày được các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị; Biểu diễn đồ thị; Đồ

thị Euler và Đồ thị Hamilton; Cây và cây nhị phân; Bài toán đường đi ngắn

 Tích cực tham gia tự học, tham gia xây dựng bài, làm việc nhóm

II I Nội dung môn học:

1 Nội dung tổng quát và phân bổ thời gian:

Thực hành, thí nghiệm, thảo luận, bài tập

Kiểm tra

- Sử dụng được các quy tắc suy diễn

- Trình bày được các khái niệm vị từ, lượng tử

- Sử dụng được nguyên lý quy nạp

2 Nội dung chương:

1 Mục tiêu:

- Trình bày được khái niệm tập hợp và các phép toán

- Trình bày các khái niệm ánh xạ

- Thực hiện các bài toán giải tích tổ hợp

2 Nội dung chương:

1 Mục tiêu:

- Phân biệt được các quan hệ

- Phân biệt được quan hệ tương đương

2 Nội dung chương:

- Giải được các bài toán về đại số Bool

- Trình bày được mạch logic, công thức đa tối tiểu

- Sử dụng được phương pháp biểu đồ Karnaugh

2 Nội dung chương:

2.1 Đại số Bool

2.2 Hàm Bool

2.3 Mạch logic & công thức đa tối tiểu

2.4 Phương pháp biểu đồ Karnaugh

Phần 2: Lý thuyết đồ thị

1 Mục tiêu:

- Trình bày các khái niệm, định nghĩa đồ thị

- Trình bày được khái niệm bậc, ma trận liên kết, đường, chu trình

- Phân biệt đồ thị có hướng và vô hướng

- Thực hiện các bài toán đồ thị

2 Nội dung chương:

- Trình bày được khái niệm chu trình, đường Euler

- Biết cách tìm chu trình và đường Euler

- Trình bày được khái niệm chu trình Hamilton

- Biết cách tìm chu trình và đường Hamilton

2 Nội dung chương:

- Trình bày được các khái niệm, định nghĩa cây

- Trình bày và thực hiện được phép duyệt cây nhị phân

- Trình bày được khái niệm cây bao trùm

- Thực hiện cách tìm cây bao trùm nhỏ nhất

2 Nội dung chương:

1 Mục tiêu:

- Trình bày được khái niệm về con đường ngắn nhất

- Sử dụng được giải thuật Dijstra để tìm con đường ngắn nhất

2 Nội dung chương:

2.1 Giới thiệu bài toán

2.2 Giải thuật Dijstra

Thời gian: 3 giờ Thời gian: 3 giờ

IV Điều kiện thực hiện môn học:

1 Phòng học chuyên môn hóa/nhà xưởng: phòng học lý thuyết

2 Trang thiết bị máy móc: máy vi tính

3 Học liệu, dụng cụ, nguyên vật liệu: sách, tập, slide, máy chiếu, máy tính, giấy A4, các loại giấy dùng minh họa, các hình vẽ minh họa lý thuyết

V Nội dung và phương pháp đánh giá:

- Điểm môn học bao gồm điểm trung bình các điểm kiểm tra: tự nghiên cứu, điểm kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kỳ có trọng số 0,4 và điểm thi kết thúc môn học có trọng số 0,6

- Điểm trung bình các điểm kiểm tra là trung bình cộng của các điểm kiểm tra thường xuyên, điểm kiểm tra định kỳ và tự nghiên cứu theo hệ số của từng loại

điểm Trong đó, điểm kiểm tra thường xuyên và điểm tự nghiên cứu được tính

hệ số 1, điểm kiểm tra định kỳ tính hệ số 2

- Hình thức thi: thi viết (60 phút) (được thông báo vào đầu mỗi học kỳ)

VI Hướng dẫn thực hiện môn học:

1 Phạm vi áp dụng môn học: Chương trình môn học được sử dụng để giảng dạy cho trình độ Cao đẳng

2 Hướng dẫn về phương pháp giảng dạy, học tập môn học:

- Đối với giảng viên:

+ Trước khi giảng dạy cần phải căn cứ vào nội dung của từng bài học chuẩn bị đầy đủ các điều kiện cần thiết để đảm bảo chất lượng giảng dạy

+ Khi thực hiện chương trình môn học cần xác định những điểm kiến thức cơ bản, xác định rõ các yêu cầu về kiến thức, kỹ năng ở từng nội dung

+ Cần liên hệ kiến thức với thực tế sản xuất và đời sống, đặc biệt là các phần mềm thực tế sử dụng mạng Internet có hiệu quả

- Đối với người học:

+ Chủ động, tích cực tiếp thu kiến thức, tự nghiên cứu, chuẩn bị bài theo nội dung giảng viên hướng dẫn, yêu cầu trước khi đến lớp

+ Cần thực hiện tất cả các bài tập và tự nghiên cứu các bài toán thực tế về môn học đã có sẵn nhằm mục đích củng cố, ghi nhớ, khắc sâu kiến thức đã học + Xây dựng kế hoạch tự học, tự nghiên cứu cho cá nhân

+ Tham dự ít nhất 70% thời gian học lý thuyết và đầy đủ các bài học tích hợp, bài học thực hành, thực tập và các yêu cầu của môn học được quy định trong chương trình môn học

- Phân tích được cơ sở lý thuyết giải quyết bài toán

4 Tài liệu tham khảo:

[1] Toán rời rạc – GS Nguyễn Hữu Anh – NXB Giáo dục

[2] Lý thuyết đồ thị - PTS Nguyễn Cam, PTS Chu Đức Khánh – NXB Trẻ

[3] Đề cương bài giảng môn Toán rời rạc và lý thuyết đồ thị – Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Vinatex Tp Hồ Chí Minh

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 1: Cơ sở logic 1

Ta thường ký hiệu các mệnh đề bởi các chữ cái P, Q, R,…

Nếu P là mệnh đề đúng, ta nói P có chân trị đúng và viết P = 1

Nếu Q là mệnh đề sai, ta nói Q có chân trị sai và viết Q = 0

Ví dụ:

P : “6 là số chẵn”

Q : “Paris là thủ đô nước Anh”

R : “Hôm nay trời đẹp làm sao !”

S : “ x + 2 < 7 “

Ta có P=1, Q=0 còn R, S không phải là mệnh đề (S là vị từ, sẽ khảo sát sau)

2 Phân loại mệnh đề

Các mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại bằng

các liên từ và, hay, nếu, thì hoặc trạng từ không gọi là các mệnh đề phức hợp

Ví dụ : “Nếu trời mưa thì tôi ở nhà” là mệnh đề phức hợp

Các mệnh đề không được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ các liên từ và,

hay, nếu, thì hoặc trạng từ không gọi là các mệnh đề nguyên thủy hay sơ cấp

Ví dụ : “Sắt nặng hơn gỗ”, “Số 12 chia hết cho 5” là các mệnh đề sơ cấp

3 Các phép toán logic

Từ một hoặc nhiều mệnh đề ta có thể xây dựng những mệnh đề mới bằng các phép toán logic Sau đây là các phép toán cơ bản :

Phép phủ định

Phủ định của mệnh đề P được ký hiệu bởi P hay P (đọc “không P”) là mệnh

đề có chân trị được xác định bởi bảng sau:

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 1: Cơ sở logic 2

Q : “ Hùng đang xem tivi “

Ta có PQ : “ Hùng đang đọc báo hay (hoặc) xem ti vi “

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 1: Cơ sở logic 3

Vậy mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai, còn đúng trong các trường hợp còn lại Trong mệnh đề P Q, P được gọi là giả thiết, Q được gọi là kết luận

Ví dụ : a/b = c  a = bc (ngược lại chưa chắc đúng)

Phép kéo theo hai chiều

Mệnh đề P tương đương với mệnh đề Q được ký hiệu bởi P  Q là mệnh đề xác định bởi (P Q)  (QP), từ đó ta có bảng chân trị được xác định bởi bảng sau :

Ta thường đọc mệnh đề P Q là “ P khi và chỉ khi Q”, “P nếu và chỉ nếu Q “,

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 1: Cơ sở logic 4

Giả sử E, F là hai dạng mệnh đề, khi ấy E, E F, E  F, E  F, E  F là các dạng mệnh đề

Định nghĩa 1: Hai dạng mệnh đề E và F gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng

chân trị Khi đó ta viết E  F

Ví dụ: xây dựng bảng chân trị của các dạng mệnh đề pq, p, q, p, pq

Định nghĩa 2:

Một dạng mệnh đề được gọi là một hằng đúng nếu nó luôn lấy chân trị 1

Một dạng mệnh đề được gọi là một hằng sai hay mâu thuẩn nếu nó luôn lấy chân trị 0

Các quy luật logic

Định lý : Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai, ta có các tương

đương logic sau :

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 1: Cơ sở logic 5

II Qui tắc suy diễn

Suy luận và qui tắc suy diễn

Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có

Mệnh đề đã có gọi là tiền đề, mệnh đề mới gọi là kết luận

Trong chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p1, p2,… pn

gọilà tiền đề, ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra tính đúng của một mệnh đề q gọi là kết luận, hay nói cách khác mệnh đề p1  p2  …  pn  q là một hằng đúng

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 1: Cơ sở logic 6

Ta dùng sơ đồ sau:

p1

p2

pn _

q

Một số qui tắc suy diễn

1 Qui tắc Modus Ponens (phương pháp khẳng định)

Ví dụ 1: Tục ngữ có câu : “Trăng quầng trời hạn, trăng tán trời mưa”

2 Qui tắc Modus Tollens (phương pháp phủ định)

Qui tắc này được thể hiện bởi hằng đúng sau:

[ ( p  q )  q ]  p

Ví dụ :

Nếu Hùng chăm học thì sẽ đạt môn toán rời rạc p  q

Hùng không đạt môn toán rời rạc p .

3 Tam đoạn luận

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 1: Cơ sở logic 7

4 Qui tắc mâu thuẫn (chứng minh bằng phản chứng)

 Bản thân p(x,y,…) không phải là mệnh đề

 Nếu thay x, y,… bởi các giá trị cụ thể a  A, b  B ta sẽ được một mệnh đề p(a,b,…)

 Các biến x,y, gọi là biến tự do của vị từ

Ví dụ 1: p(n) = “ n là một số nguyên tố “ là một vị từ theo biến tự do n  N

Ví dụ 2: q(x,y) = “ x = y + 3 “ là một vị từ theo hai biến tự do x,y  R

2 Lượng từ

Dùng hai lượng từ “với mọi” và “tồn tại” để chuyển một vị từ thành mệnh đề Định nghĩa: Giả sử p(x) là một vị từ theo biến x  A

 Mệnh đề “với mọi x  A, p(x)” ký hiệu bởi “x  A, p(x)” được gọi là lượng

từ hóa của vị từ p(x) bởi lượng từ khái quát 

 Mệnh đề “tồn tại x  A, p(x)” ký hiệu bởi “x  A, p(x)” được gọi là lượng từ hóa của vị từ p(x) bởi lượng từ khái quát 

Nếu A là một tập hữu hạn phần tử A = a1, a2, …, an thì:

 x p(x) tương đương với mệnh đề p(a1)  p(a2)  …  p(an)

 x p(x) tương đương với mệnh đề p(a1)  p(a2)  …  p(an)

Ví dụ : Cho vị từ p(n) = “ n là một số nguyên tố “

Mệnh đề n  N, p(n) có chân trị là 0 (sai) Mệnh đề n  N, p(n) có chân trị là 1 (đúng)

Định lý (sự hoán vị các lượng từ ) Nếu p(x,y) là một lượng từ theo hai biến x, y thì

các mệnh đề sau là đúng:

i [ x  A, y  B, p(x,y) ]  [ y  B, x  A, p(x,y) ]

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 1: Cơ sở logic 8

ii [ x  A, y  B, p(x,y) ]  [ y  B, x  A, p(x,y) ]

iii [ x  A, y  B, p(x,y) ]  [ y  B, x  A, p(x,y) ]

Mệnh đề đảo của iii không đúng, thí dụ p(x,y) = “ x + y = 1”

n

Ví dụ 2: cô Lan cầm 1 tờ giấy và cắt thành 7 mảnh, sau đó nhặt một trong những mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh và cứ tiếp tục cắt như vậy Sau một hồi cô Lan thu những mảnh giấy đã cắt và đếm được 122 mảnh Hỏi cô Lan đếm đúng hay sai ?

Hướng dẫn : Tổng số mảnh giấy có dạng 6k+1

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 2: Phương pháp đếm 9

Tập hợp các bài thơ của Hàn Mặc Tử

Tập hợp các nghiệm số thực của phương trình x2+3x-4=0

Họ các đường tròn đồng tâm

Lớp các hàm đa thức

Hệ các phương trình tuyến tính

Diễn tả tập hợp

Cách 1: Nêu ra tính chất đặc trưng của các phần tử tạo ra tập hợp, thường được thể

hiện bởi một vị từ p(x) theo một biến x :

Tập hợp con Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói

A là tập hợp con của B, ký hiệu A  B

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 2: Phương pháp đếm 10

A

1



= A1  A2  …  An

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 2: Phương pháp đếm 11

AxB =  (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3) 

Định lý : Cho các tập hợp hữu hạn A, B, A1, A2, ,… An Ta có:

AxB = A A

 A1 x A2x … x An  = A1.A2…An

X gọi là tập nguồn, Y gọi là tập đích

Phần tử y = f(x) gọi là ảnh của x, x gọi là nghịch ảnh của y

f(X) = y  Y   x  X, y = f(x)  gọi là miền giá trị của f

i Nếu A là một tập con của X thì ảnh của A bởi f là tập hợp

f(A) = y  Y   x  A, y=f(x) 

ta cũng viết f(A) = f(x)  x  A

ii Nếu B là tập con của Y thì ảnh ngược của B là tập hợp

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 2: Phương pháp đếm 12

f -1(B) =  x  X  f(x)  B 

Định nghĩa 3 (các loại ánh xạ) Cho ánh xạ f:XY

f được gọi là đơn ánh nếu x1, x2  X , x1 ≠ x2  f(x1 ) ≠ f(x2)

f được gọi là toàn ánh nếu f(X) = Y

f được gọi là song ánh nếu f dồng thời là đơn ánh và toàn ánh

Chú ý: Nếu f: XY là song ánh, khi ấy y  Y, !x  X: f(x)=y

Do đó tương ứng yx là một ánh xạ từ Y vào X và gọi là ánh xạ ngược của f,

, f đơn ánh nhưng không toàn ánh

Cho f : R  R sao cho f(x) = x3

, f là song ánh, f-1(x) = 3 x

Cho f : R  R , f(x) = 2x+1 là song ánh và f -1

(x) =

21



x

Định nghĩa 4 (ánh xạ hợp): Cho hai ánh xạ

f : X  Y và g : Y  Z Anh xạ hợp h là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

Ta có gof : R  R xác định bởi gof(x) = g(f(x)) = g(cos(x)) = cos2x+1

Định lý: Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y, A1, A2là hai tập con tùy ý của X, B1, B2 là hai tập con tùy ý của Y Ta có:

f(A1  A2) = f(A1)  f(A2)

f(A1  A2)  f(A1)  f(A2)

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 2: Phương pháp đếm 13

cách Khi đó số cách chọn thực hiện công việc là m1 + m2 +…+ mn

Ví dụ: Cho tập hợp A = {a, b, c} Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tập con B của A

Giải: Một tập hợp con B của A có số phần tử từ 0 cho đến 3 :

Chú ý: Nguyên lý cộng có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau:

Cho A1, A2, … An là các tập hợp rời nhau, ta có:

A1  A2  …  An  = A1 + A2 + … +An 

Ví dụ: Một trường PTTH có 250 học sinh lớp 10, 200 học sinh lớp 11 và 150 học sinh lớp 12 Hỏi số học sinh tổng cộng của trường là bao nhiêu ?

Vậy theo nguyên lý nhân, có 30.29.28 = 24360 cách

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 10 ?

Giải: Đặt x = a1 a2 a3 a4 a5 là số thỏa mãn bài toán

a5 có 1 cách chọn (vì x chia hết cho 10 nên a5 = 0 )

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 2: Phương pháp đếm 14

Ví dụ 3: Có bao nhiêu dãy nhị phân có độ dài bằng 7 ?

Giải : Mỗi một bit trong dãy nhị phân có 2 cách chọn Theo nguyên lý nhân có 27

=

128 dãy nhị phân có độ dài 7

Chú ý: Nguyên lý nhân có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau:

Chú ý: Nguyên lý bù trừ có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau:

Cho A1, A2, … An là các tập hợp , ta có:

A1  A2  = A1 + A2 -  A1  A2 

A1  A2  A3  = A1 + A2 + A3  -  A1  A2  -  A1  A3  -  A2  A3 

+  A1  A2  A3 

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 180 sinh viên Trong số này có 55 sinh viên chọn học

môn Anh văn, 45 sinh viên chọn học môn Anh văn và 15 sinh viên chọn học cả hai môn Anh văn, Pháp văn Hỏi có bao nhiêu sinh viên không theo học Anh văn lẫn Pháp văn

Giải: Gọi A, B lần lượt là tập sinh viên chọn học môn Anh văn, Pháp văn

Ta có A = 55, B = 45, A  B = 15

Số SV theo học Anh hoặc Pháp văn là A + B - A  B = 55+45-15 = 85

Vậy số SV không học cả Anh lẫn Pháp văn là 180 - 85 = 95

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 2: Phương pháp đếm 15

ii Một tổ hợp chập k từ n phần tử ( 1  k  n ) là một nhóm không phân biệt thứ

tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho

1()!

A C

k n k

Ví dụ 1: Một lớp học 10 môn, mỗi ngày học hai môn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

thời khóa biểu ?

Giải: Số cách sắp xếp thời khóa biểu là số chỉnh hợp chập 2 từ 10 phần tử :

909.10

!8

!10)!

210(

!10

!

2

!6

!

3

!8

3

C

Vậy số cách chọn là 15.56 = 840

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 2: Phương pháp đếm 16

Định lý : Cho các số nguyên n, k thõa : n  1 và 0  k  n Khi đó:

k n

n

1 1



Phần 1: Toán rời rạc – Chương 3: Quan hệ 17

Chương 3

QUAN HỆ

I Quan hệ

Định nghĩa 1.1: Một quan hệ giữa tập hợp A và tập hợp B là một tập hợp con  của

AxB Nếu (a, b)  , ta viết ab Một quan hệ giữa A và A được gọi là một quan hệ trên A

Định nghĩa 1.4: Nếu  là một quan hệ trên A1, A2 , …, An thì i1,i2, …,im () được gọi

là quan hệ chiếu của 

Chú ý:

1 Quan hệ chiếu i1,i2, …,im () là một quan hệ trên Ai1, Ai2 x …x Aim

2 Trong lý thuyết về cơ sở dữ liệu mô hình quan hệ các tập hợp A1, A2 x …x An được gọi là các thuộc tính Như thế quan hệ chiếu i1,i2, …,im () chính là quan hệ ban đầu nhưng các thuộc tính không thuộc các tập hợp Ai1, Ai2 x …x Aim đã được bỏ qua

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 3: Quan hệ 18

II Quan hệ tương đương

Định nghĩa 2.1: Quan hệ  trên A được gọi là phản xạ nếu:

 x  A, x  x

Ví dụ Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ:

1 R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ vì (3, 3)  R1

2 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ vì (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)  R2

3 Quan hệ  trên Z phản xạ vì a  a với mọi a Z

4 Quan hệ > trên Z không phản xạ vì 1 > 1

Định nghĩa 2.2: Quan hệ R trên A được gọi là đối xứng nếu:

x, y  A, (x  y)  (y  x)

Ví dụ:

1 Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} trên tập

A = {1, 2, 3, 4}là đối xứng

2 Quan hệ  trên Z không đối xứng

Định nghĩa 2.3: Quan hệ R trên A có tính bắc cầu nếu

1 Các quan hệ “=, //, ” là quah hệ tương đương

2 Quan hệ “ ≤, ” không phải là quan hệ tương đương

Định nghĩa 2.5: Giả sử  là một quan hệ tương đương trên A và x  A Khi ấy lớp

tương đương chứa x là tập hợp con:

{y  A/y  x}

III Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 3.1: Một quan hệ  trên tập hợp A được gọi là phản xứng nếu:

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 3: Quan hệ 19

x, y  A (x  y)  (y  x)  x = y

Ví dụ:

1 Quan hệ “≤” trên Z hay R là quan hệ phản xứng

2 Quan hệ “, //” không phản xứng

Định nghĩa 3.2: Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là một thứ tự nếu nó phản xạ,

phản xứng và bắc cầu Khi ấy ta nói A là một tập hợp sắp thứ tự (hay có thứ tự)

Chú ý:

1 Ta thường ký hiệu một thứ tự bởi < Cặp (A, <) là một hợp có thứ tự

2 Giả sử B là một tập hợp con của tập hợp có thứ tự (A, <) Khi ấy < cảm sinh một thứ

tự trên B một cách tự nhiên: với x, y  B, ta nói x < y trong B nếu x < y trong A

Ví dụ: (R, ≤) là một tập hợp có thứ tự

Định nghĩa 3.3: Xét một tập hợp có thứ tự (A, <) và x, y là 2 phần tử bất kỳ của A:

i) Nếu x < y ta nói y là trội của x hay a được trội bởi y

ii) y là trội trực tiếp của x nếu y trội x và không tồn tại một trội z của x sao cho:

x < z <

y

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 4: Đại số Bool và hàm Bool 20

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 4: Đại số Bool và hàm Bool 21

Gọi là hàm Boole bậc n theo n biến x1,x2, ,x n

Chú ý :

o Các hàm Boole còn gọi là hàm logic hay hàm nhị phân

o Các biến xuất hiện trong hàm Boole gọi là các biến Boole

o Mỗi hàm Boole liên kết với một bảng cho biết sự phụ thuộc của hàm

theo các biến Boole, gọi là bảng chân trị của hàm Boole

Ví dụ 1: Hàm Boole hai biến f(x,y) được xác định bởi bảng sau:

Ví dụ 2: các cử tri A1, A2, A3 tham gia bỏ phiếu trong cuộc bầu cử có ứng cử viên D

Các biến Boole tương ứng là x1, x2, x3

1 nếu Ai bầu cho D Với xi =

0 nếu Aikhông bầu cho D

1 nếu D trúng cử (D được ít nhất hai phiếu bầu) Đặt f(x1,x2,x3) =

0 nếu D không trúng cử (D được ít hơn hai phiếu bầu)

Ta có hàm Boole f : B3  B tương ứng với bảng chân trị sau:

Phần 1: Toán rời rạc – Chương 4: Đại số Bool và hàm Bool 22

Định nghĩa 2.3: Phần bù của hàm Boole f :Bn B ký hiệu là f được xác định như

sau:

), ,,(), ,,(x1 x2 x n f x1 x2 x n

Định nghĩa 2.4: Tổng Boole f+g và tích Boole f.g được xác định như sau :

), ,,(), ,,(), ,,)(

(f g x1 x2 x n  f x1 x2 x n g x1 x2 x n với mọi x1,x2, ,x nB

), ,,()

, ,,(), ,,)(

Ví dụ: Nếu f(x) là hàm Boole một biến thì có 4 hàm cho theo bảng sau

Chú ý :

Mỗi biểu thức Boole biểu diễn một hàm Boole Hai biểu thức Boole biểu diễn cùng một hàm Boole thì tương đương nhau

Ví dụ : Tìm giá trị của hàm Boole được biểu diễn bởi :

f(x,y,z) = xy + z Giải: