Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận - Định thức

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận - Định thức. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: định nghĩa và ví dụ của ma trận; phép biến đổi sơ cấp trên ma trận; ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn; ma trận khả nghịch; định nghĩa định thức; khai triển định thức theo cột k; các tính chất cơ bản của định thức;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!

Trang 1

Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân

Chương I

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

§1 : MA TRẬN

1 Định nghĩa và ví dụ.

Trang 2

Definition 1.1 Ma trận cấp (cở) m × n là một bảng hình chữnhật gồm m hàng, n cột có m.n phần tử Nếu kí hiệu phần tử aij

là phần tử hàng i, cột j thì ma trận A được biểu diễn

aij là các phần tử thuộc trường K nào đó

Nếu m = n, nghĩa là A = (aik)nn = (aik)n, thì A được gọi là matrận vuông cấp n

Trang 3

Definition 1.1 Ma trận cấp (cở) m × n là một bảng hình chữnhật gồm m hàng, n cột có m.n phần tử Nếu kí hiệu phần tử aij

là phần tử hàng i, cột j thì ma trận A được biểu diễn

aij là các phần tử thuộc trường K nào đó

Nếu m = n, nghĩa là A = (aik)nn = (aik)n, thì A được gọi là matrận vuông cấp n

Chú ý:

Trang 4

hay tập các đa thức

+ Tập các ma trận cấp m × n xác định trên K thường được kíhiệu là Mmn(K)

Trang 5

i

là ma trận cấp 1 × 1;b) A = h−1 4 x 1





cos x sin xsin x sin x



là ma trận vuông cấp 2

Trang 6

Trang 7

là ma trận vuông cấp 3 (ma trận đơn vị cấp 3)

Definition 1.2 (Ma trận chéo - Ma trận đơn vị- Ma trận tam giác).

Trang 8

1) Đối với mỗi ma trận vuông A = (aik)n, các phần tử có hai chỉ

số bằng nhau a11, a22, , an nằm trên một đường chéo của hình

vuông mà ta gọi là đường chéo chính của ma trận A Đườngchéo còn lại của hình vuông gọi là đường chéo phụ của A

Trang 9

1) Đối với mỗi ma trận vuông A = (aik)n, các phần tử có hai chỉ

số bằng nhau a11, a22, , an nằm trên một đường chéo của hình

vuông mà ta gọi là đường chéo chính của ma trận A Đườngchéo còn lại của hình vuông gọi là đường chéo phụ của A

2) Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần

tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 Như vậy nếu A là

Trang 10

Trang 11

3) Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là In (hay đơn giản là I khi cấp n

đã được chỉ rõ), là ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trênđường chéo chính đều bằng 1 Tức là:

Trang 12

0 nếu i 6= k là kí hiệu Kronecker

4) Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận vuông cấp n màtất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đềubằng 0

Trang 13

0 nếu i 6= k là kí hiệu Kronecker

4) Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận vuông cấp n màtất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều

Trang 14

Như vậy A = (aik)n là một ma trận tam giác trận khi và chỉ khi nó

Trang 15

Tương tự A = (aik)n là một ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi

Trang 16

Tương tự A = (aik)n là một ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi

Trang 17

5) Ma trận đối xứng cấp n là ma trận vuông cấp n mà các phần

tử đối xứng với nhau qua đường chéo chính bằng nhau Ma trận

phản xứng cấp n là ma trận vuông cấp n mà các phần tử nằm đốixứng nhau qua đường chéo chính đối nhau Vậy:

A = (aik)n đối xứng ⇔ aik = aki, ∀i, k = 1, n;

A = (aik)n phản xứng ⇔ aik = −aki, ∀i, k = 1, n

Trang 18

2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.

Trang 19

Definition 2.1 Các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma

trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng:

Trang 20

(i) Nhân tất cả các phần tử của một hàng với cùng một số khác 0

(Nếu nhân các phần tử hàng thứ i cho α 6= 0 ta viết hi → αhi)

Trang 21

(ii) Cộng các phần tử của một hàng đã được nhân cho cùng một

số vào các phần tử tương ứng của hàng khác (Nếu cộng cácphần tử của hàng thứ i đã được nhân α vào các phần tử tươngứng của hàng k ta viết hk → hk + αhi)

Trang 22

(ii) Cộng các phần tử của một hàng đã được nhân cho cùng một

số vào các phần tử tương ứng của hàng khác (Nếu cộng cácphần tử của hàng thứ i đã được nhân α vào các phần tử tươngứng của hàng k ta viết hk → hk + αhi)

(iii) Đổi vị trí hai hàng (Nếu hai hàng thứ i và thứ k đổi vị trí chonhau ta viết hi ↔ hk)

Trang 23

Example 2.1 Nhân hàng thứ hai cho 3 (phép biến đổi sơ cấp

Trang 24

Example 2.1 Nhân hàng thứ hai cho 3 (phép biến đổi sơ cấp

Example 2.2 Cộng hàng thứ nhất đã được nhân cho (−2) vàohàng thứ hai

Phép biến đổi trên thường được phát biểu dưới dạng: Lấy hàng

Trang 25

thứ hai trừ hai lần hàng thứ nhất

Trang 26

Trang 27

3 Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn.

Trang 28

3 Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn.

Ta có một số khái niệm cần thiết sau:

Trang 29

+ Một hàng của ma trận được gọi là hàng không nếu tất cả cácphần tử của nó bằng 0 (Như vậy một hàng khác không nếu có ítnhất một phần tử khác 0)

+ Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang)được gọi là phần tử chính hoặc phần tử cơ sở của hàng đó

Trang 30

Definition 3.1 Ma trận được gọi là có dạng bậc thang nếu thoả

mãn các điều kiện sau:

1 Các hàng bằng không ở dưới các hàng khác không

2 Phần tử cơ sở của một hàng phải nằm phía phải so với phần tử

cơ sở của hàng trên (so sánh theo cột)

Trang 31

Definition 3.1 Ma trận được gọi là có dạng bậc thang nếu thoả

mãn các điều kiện sau:

1 Các hàng bằng không ở dưới các hàng khác không

2 Phần tử cơ sở của một hàng phải nằm phía phải so với phần tử

cơ sở của hàng trên (so sánh theo cột)

Example 3.1 Các ma trận sau đây không có dạng bậc thang:

Trang 32

Các ma trận thứ nhất và thứ ba không thoả điều kiện thứ hai, matrận thứ hai không thoả điều kiện thứ nhất

Trang 33

Example 3.2 Các ma trận sau đây có dạng bậc thang:

Trang 34

Theorem 3.1 Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang

nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.

Trang 35

Theorem 3.1 Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang

nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.

Chứng minh Cho ma trận A = (aij) Giả thiết rằng a11 6= 0 (nếu

a11 = 0 và ai1 6= 0, ta đổi vị trí hàng 1 và hàng i, nếu cột thứ nhấtbằng không thì coi như bước một đã hoàn thành)

Trang 36

Trang 37

Bước 2: Biến đổi từ hàng 2 trở đi Giả thiết b22 6= 0 (nếu b22 = 0

thì đổi hàng, nếu 0 = b22 = b32 = = bm2 thì bước 2 đã hoànthành)

Khử tất cả các phần tử thứ hai ở dưới b22 bằng phép biến đổi

Trang 38

Tiếp tục quá trình trên, dễ dàng đưa ma trận A về dạng bậcthang

Trang 39

Tiếp tục quá trình trên, dễ dàng đưa ma trận A về dạng bậcthang

Trang 40

Example 3.3 Đưa các ma trận sau về ma trận bậc thang:

Trang 41

Example 3.3 Đưa các ma trận sau về ma trận bậc thang:

Trang 42

Trang 43

Trang 44

Trang 45

Trang 46

Trang 47

Example 3.4 Các ma trận sau có dạng bậc thang rút gọn:

Trang 48

Theorem 3.2 Mọi ma trận có thể đưa được về dạng ma trận bậc

thang rút gọn nhở các phép biến đổi sơ cấp hàng.

Trang 49

Chứng minh Trước hết đưa ma trận về dạng bậc thang Dùng

phép biến đổi thứ nhất đưa các phần tử cơ sở thành 1 Cuối cùngdùng phép biến đổi thứ hai làm cho các số ở cùng cột với phần tử

cơ sở (ở trên và ở dưới) bằng 0

Trang 50

Chú ý: Trong quá trình đưa ma trận bậc thang về ma trận bậcthang rút gọn chúng ta đi từ cột chứa phần tử cơ sở cuối cùng

Trang 51

Chú ý: Trong quá trình đưa ma trận bậc thang về ma trận bậc

Trang 52

Example 3.5 Đưa ma trận (ở dạng bậc thang) về dạng bậc

Trang 53

Example 3.5 Đưa ma trận (ở dạng bậc thang) về dạng bậc

Trang 54

Example 3.6 Đưa ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn

Trang 55

Lưu ý ở đây có 3 phần tử cơ sở a11 = 2, a23 = 3 và a34 = 1 Dùngphép biến đổi sơ cấp hàng ta có:

Trang 56

Lưu ý ở đây có 3 phần tử cơ sở a11 = 2, a23 = 3 và a34 = 1 Dùngphép biến đổi sơ cấp hàng ta có:

Trang 57

Trang 58

Chú ý: Phương pháp đưa ma trận về dạng bậc thang rút gọn nêutrên được gọi là phương pháp Gauss-Jordan

Trang 59

4 Các phép toán đối với ma trận.

Trang 60

Definition 4.1 (Hai ma trận bằng nhau).

Hai ma trận A = (aik), B = (bik) cùng cấp được gọi là bằngnhau nếu aik = bik, ∀(i, k)

Trang 61

Definition 4.1 (Hai ma trận bằng nhau).

Hai ma trận A = (aik), B = (bik) cùng cấp được gọi là bằngnhau nếu aik = bik, ∀(i, k)

Definition 4.2 (Tổng hai ma trận).

Tổng hai ma trận cùng cấp A = (aik), B = (bik) là một ma trậncùng cấp với A được kí hiệu là C = A + B, với

cik = aik + bik, ∀(i, k)

Trang 62

Definition 4.3 (Tích ma trận với một số).

Tích của ma trận A = (aik) với một số λ là một ma trận cùngcấp, được kí hiệu λA với các phần tử hàng i, cột k là λaik, tức là

λA = (λaik)

Trang 63

Trang 64

Trang 65

Trang 66

A và B là ma trận cấp m × p được kí hiệu là AB, với phần tửhàng thứ i, cột thứ k là

ai1.b1k + ai2.b2k + + ain.bnk;

AB = (ai1.b1k + ai2.b2k + + ain.bnk)mp

Trang 67

A và B là ma trận cấp m × p được kí hiệu là AB, với phần tửhàng thứ i, cột thứ k là

Tiêu đề	Ma trận - Định thức
Tác giả	ThS. Đặng Văn Cường
Trường học	Đại Học Duy Tân
Chuyên ngành	Toán học - Đại số tuyến tính
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Quảng Nam

Định dạng
Số trang	397
Dung lượng	624,99 KB