Tính Giải Được Và Các Tính Chất Của Nghiệm Cho Một Số Phương Trình Phi Tuyến Chứa Số Hạng Phi Địa Phương Dạng Kirchhoff-Carrier

Quá trình tìm kiếmlời giải cho các bài toán này đã có sự góp phần rất lớn của nhiều kết quả lý thuyết trong giảitích hàm lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ HỮU KỲ SƠN

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA

NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

CHỨA SỐ HẠNG PHI ĐỊA PHƯƠNG DẠNG

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Bích Huy

vào hồi 9 giờ 00, ngày 06 tháng 08 năm 2022

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM

2 Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM

3 Thư viện Trung tâm ĐHQG-HCM

Mở đầu

Lý thuyết phương trình vi phân và đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọngcủa toán lý thuyết và áp dụng Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý, cơ học, sinhhọc, , và đã được nghiên cứu một cách rộng rãi bởi nhiều nhà toán học Quá trình tìm kiếmlời giải cho các bài toán này đã có sự góp phần rất lớn của nhiều kết quả lý thuyết trong giảitích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, ) vàgiải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn, )

Một trong những bài toán thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứusâu rộng bởi nhiều nhà toán học là bài toán giá trị biên cho phương trình đạo hàm riêng nóichung và cho phương trình sóng nói riêng Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu cáclớp bài toán này đã được đăng trên các tạp chí khoa học uy tín của nhiều tác giả nổi tiếngnhư J.L Lions, H Brézis, F.E Browder, Số lượng các tạp chí có công bố các kết quả liênquan đến lĩnh vực này chiếm một tỷ lệ rất lớn trong đó có các tạp chí chuyên về lĩnh vực nầy

ở nhiều nhà xuất bản lớn như nhà xuất bản Elsevier, Springer, Taylor & Francis, Ngoài

ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung và lýthuyết bài toán biên nói riêng đã được sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trong vàngoài nước

Hiện nay có rất nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các phương trình vi phân

và phương trình đạo hàm riêng với những điều kiện biên khác nhau như phương pháp biến

tổng quát để tiếp cận mọi bài toán biên phi tuyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng Việc lựachọn phương pháp thích hợp để nghiên cứu các bài toán là một yếu tố rất quan trọng Chính

vì vậy, vấn đề khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết

và có ý nghĩa thực tiễn

Luận án này nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm và một số tính chất của nghiệm củacác phương trình sóng phi tuyến trong hình vành khăn có chứa số hạng phi địa phương códạng như sau

trong đó µ, f , g, ˜u0, ˜u1, g0, g1là các hàm cho trước; ρ, ζ là các hằng số cho trước, với 0<ρ<1,

ζ 0 Các số hạng phi tuyến xuất hiện ở hai vế của (1) chứa các số hạng phi địa phương dạngtích phân như sau

trong đó dao động của màngΩ1 chỉ phụ thuộc vàox=q

Điều kiện biên (3) trên đường tròn lớn Γ1, tức là ux(1, t) +ζu(1, t) = 0, mô tả các ràng

buộc đàn hồi, trong đó ζ là hằng số cơ học Trong khi đó, điều kiện biên trên đường tròn nhỏ

Γρ đòi hỏiu(ρ, t) =0, có nghĩa là trên đường tròn nhỏΓρ của màng được giữ cố định.Trong G.F Carrier, Quart J Appl Math.3 (1945) 157-165, Carrier đã thành lập phương

trình mô tả dao động của một sợi dây đàn hồi có kể đến lực căng có thay đổi nhỏ xuất hiện

ρutt 1+LTEA

0

Z L

0 u2(y, t)dy uxx=0, (5)trong đóu(x, t)là độ dịch chuyển theo phươngx, T0 là lực căng tại các vị trí của sợi dây,E làmôđun Young,A là thiết diện của sợi dây, L là chiều dài của sợi dây và ρ là khối lượng riêng

của vật liệu cấu tạo sợi dây Rõ ràng, nếu tính chất của một loại vật liệu khác nhau thay đổitheo x và t, khi đó ta có phương trình thuộc dạng hyperbolic (N.A Larkin, Math Problems

in Engineering,8 (2002) 15-31).

utt B(x, t,

Z1

0 u2(y, t)dy)uxx=0 (6)Với f =0, µ =µ(kux(t)k20), phương trình (1) thuộc dạng Kirchhoff đã nhận được nhiều

sự chú ý Vào năm 1876, G.R Kirchhoff, Teuber, Leipzig, 1876, Section29.7.đã khảo sát dao

động ngang nhỏ của một sợi dây đàn hồi có độ dàiL, khi giả sử lực căng tại mỗi điểm của sợidây, chỉ có thành phần theo chiều dọc, có mô hình toán học

vớiu(x, t)mô tả sự dịch chuyển theo biến không gianx tại thời điểm t, và ρ là khối lượng riêng

của vật liệu cấu tạo nên sợi dây,h là thiết diện sợi dây, L là chiều dài sợi dây, E là modulusYoung của sợi dây,P0 là lực căng dây tại thời điểm ban đầu

Việc nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất nghiệm của phương trình sóng nói chung vàphương trình sóng phi tuyến dạng Kirchhoff-Carrier nói riêng nhận được nhiều sự chú ý.Trong Hongwei Zhang, Changshun Hou, Qingying Hu, Boundary Value Problems, 2013,

2013:166, H Zhang và các cộng sự đã khảo sát bài toán

utt+ut+uxxxx M(kuxk2)uxx=0, 0<x<L, t>0,

với điều kiện biên động8

âm thu được nhờ sử dụng bổ đề hàm lồi Các công trình nghiên cứu điều kiện biên động củaphương trình sóng Kirchhoff có thể nêu như: Park và các cộng sự trong J.Y Park S.H Park,Electronic J of Differ Equations2003 (80) (2003) 1-7, Larkin và Doronin trong G.G Doronin,

N.A Larkin, Nonlinear Anal 8, 1119-1134 (2002), Gerbi và Said-Houari trong S Gerbi, B.

Said-Houari, Adv Differ Equations13 (2008) 1051-1060 Ngoài ra phương trình sóng chứa số

hạng nguồn phi tuyến có dạng

cũng nhận được nhiều sự quan tâm, khi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đánh giátính tắt dần của nghiệm toàn cục và tính bùng nổ của nghiệm với một số điều kiện thíchhợp như Wu và Tsai trong S.T Wu, L.Y Tsai, Taiwan J of Math.13B (6) (2009) 2069-2091.

Santos cùng các đồng sự trong M.L Santos, M.P.C Rocha, D.C Pereira, Electronic J Qual.Theory Differ Equ.6 (2015) 1-28 khảo sát sự tồn tại và tính tắt dần mũ của hệ Kirchhoff với

điều kiện biên phi địa phương Guedda và Labani trong M Guedda, H Labani, Bull Belg.Math Sci.9 (2002) 39-46 đã đưa ra một điều kiện đủ để nghiệm của phương trình (8) bùng nổ

vớig(ut) =ut với điều kiện biên động Trong N.T Long, T.M Thuyet, Demonstratio Math

32 (4) (1999) 749-758, N.T Long và T.M Thuyết đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất

nghiệm toàn cục trong trường hợp hàmM có thể nhận giá trị không âm

Trong Yang Zhijian, Wang Yunqing, J Differ Equations, 249 (2010) 3258-3278, Yang

Zhijian, Wang Yunqing đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán dạngKirchhoff8

Trong L.T.P Ngoc, N.A Triet, N.T Long, Boundary Value Problems (2016) 2016: 20,

Ngọc, Triết, Long đã nghiên cứu bài toán biên phi địa phương và giá trị đầu

vớiΩ là miền bị chặn trongRN với ∂Ω là biên trơn, ν là vector đơn vị hướng ra ngoài biên

∂Ω; a= 1, K, λ, p là các hằng số cho trước, và u0, u1, f , g, h là các hàm cho trước Trongtrường hợpa=1, các tác giả đã sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin để chứng minh

sự tồn tại nghiệm mạnh và các lý luận trù mật cho sự tồn tại nghiệm yếu Vớia=1, g=0,

K>0, λ>0, và 2< p 2N 2N 2, N 3 cùng một số điều kiện của dữ kiện đầu, điều kiện cáchàm f , h thích hợp các tác giả đã chứng minh được nghiệm tắt dần mũ bằng cách thiết lậpmột phiếm hàm Lyapunov thích hợp

Tính tắt dần và bùng nổ của các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điềukiện biên khác nhau, như biên phi địa phương, biên phi tuyến hay điều kiện biên nhiều điểm

cũng được nghiên cứu Trong L.T.P Ngoc, N.A Triet, A.P.N Dinh, N.T Long, NumericalFunctional Analysis and Optimization,38 (9) (2017) 1173-1207, Ngọc và các cộng sự đã xét

i=0hki(0), u0iu0(i) >0cùng năng lượng ban đầu, các hàm f , ki, Hiđủ nhỏ thì năng lượng của nghiệm sẽ tắt dần mũkhit !∞ Tuy nhiên trong trường hợp a = 1, thì bài toán có duy nhất nghiệm toàn cục

có năng lượng tắt dần mũ khit!∞ mà không cần dữ liệu ban đầu(u0, u1)đủ nhỏ Kết quảnày có thể xem là một mở rộng của L.T.P Ngoc, N.T Long, Comm on Pure and Appl Anal

12 (5) (2013) 2001-2029 Trong N.T Long, L.T.P Ngoc, J Math Anal Appl 385 (2) (2012)

1070-1093, Long, Ngọc đã xét bài toán sóng phi tuyến với điều kiện biên hai điểm8

và điều kiện đầuu(x, 0) =u˜0(x), ut(x, 0) =u˜1(x), với hi, λi, ˜hi, ˜λi là các hằng số cho trước

và µ, f , F, gi (i=0, 1)là các hàm cho trước Các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại duynhất nghiệm yếu và bằng cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov cùng các điều kiện thích hợp,tính tắt dần mũ của nghiệm toàn cục được chứng minh Kết quả này cũng là một mở rộngcủa L.X Truong, L.T.P Ngoc, A.P.N Dinh, N.T Long, Nonlinear Anal TMA 74 (18) (2011)

6933-6949 trong trường hợp µ=1, f(u, ut) =Ku+λut, K, λ>0

Ngoài ra, phương trình sóng Kirchhoff chứa số hạng đàn hồi nhớt có dạng

J Math Anal Appl.364 (2) (2010) 609-617, Wu đã cải tiến kết quả tắt dần với một điều

kiện yếu hơn của hàmg (g0(t) 0 với mọi t 0) Khi h(ut) =αut, α là một hằng số dương

và f(u) =0, Santos và các cộng sự trong J Ferreira, M.L Santos, M.P Matos, W.D Bastos,Math and Computer Modelling,39 (2004) 1285-1295 đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm

toàn cục và tính tắt dần của nghiệm

Với trường hợp M = 1 và g 6= 0, Cavalcanti cùng các cộng sự trong M.M Cavalcanti,V.N Domingos Cavalcanti, J.A Soriano, Electronic J of Differ Equations,2002 (44) (2002)

14 pages đã nghiên cứu phương trình

Zt

g(t s ∆u( )ds+a(x)ut+ jujγu=0, (x, t)2Ω (0,∞), (10)

với điều kiện đầu và điều kiện biên như ở (9) và các tác giả đã chứng minh được tính tắt dầncủa nghiệm.

Ngoài tính chất tắt dần của nghiệm, thì tính bùng nổ nghiệm trong thời gian hữu hạncũng được dành nhiều sự quan tâm Trong S.A Messaoudi, Mathematische Nachrichten,260

(2003) 58-66, Messaoudi đã xét phương trình

Zt

0 g(t s ∆u( )ds+autjutjm 2=bjujr 2u, (11)

(x, t)2Ω (0,∞), ở đó, tác giả đã chứng minh được mọi nghiệm yếu với năng lượng đầu âm

sẽ bùng nổ tại thời gian hữu hạn nếuZ∞ r>m và

0 g( )ds r 2+1/rr 2 , (12)

và nếu dữ kiện ban đầu thuộc vào các không gian hàm thích hợp vàm r thì tác giả chứngminh được sự tồn tại của nghiệm toàn cục Kết quả này được chính Messaoudi cải tiến trongS.A Messaoudi, J Math Anal Appl.320 (2) (2006) 902-915, với điều kiện năng lượng ban

đầu dương và một số điều kiện thích hợp của hàm g, m, và r

Trong W Liu, Topological Methods in Nonlinear Anal.36 (1) (2010) 153-178, Liu đã nghiên

cứu phương trình

Zt

0 g(t s ∆u( )ds ω∆ut+µut= jujr 2u, (13)

(x, t)2Ω (0,∞), với cùng điều kiện đầu và điều kiện biên như ở (9) Sử dụng kỹ thuật hàmlồi cùng điều kiện

Dưới đây chúng tôi cũng đề cập đến các tính chất bùng nổ và tắt dần của nghiệm cho một

số hệ phương trình sóng phi tuyến

(2009) 5427–5450, với Ω là miền bị chặn với biên ∂Ω trơn trongRn, n=1, 2, 3 Dưới các giảthiết thích hợp ở các hàm fi, gi(i=1, 2), dữ liệu đầu và các tham số trong (15), các tác giả đãchứng minh được sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, và tính bùng nổ (khi nănglượng đầu E(0) < 0) Kết quả bùng nổ của nghiệm sau đó được Messaoudi và Said-Houaritrong S.A Messaoudi, B Said-Houari, J Math Anal Appl.365 (1) (2010) 277-287 đã phát

triển trong trường hợp năng lượng ban đầu dương

Liang và Gao trong F Liang and H Gao, Boundary Value Problems, vol.2011, article 22,

(2011) 19 pages đã xét bài toán:

hàm fi, gi(i=1, 2)và dữ liệu ban đầu nằm trong một tập ổn định, các tác giả đã chứng minhđược nghiệm tắt dần mũ Ngược lại, nếu dữ liệu ban đầu nằm trong tập không ổn định, cáctác giả đã chứng minh được nghiệm với năng lượng ban đầu dương sẽ bùng nổ tại thời gianhữu hạn.

Hệ phương trình sóng chứa số hạng đàn hồi đa thức dạng(

với điều kiện biên

u(0, t) =u(1, t) =0,

vx(0, t) +Kjv(0, t)jp 2v(0, t) =µjvt(0, t)jq 2vt(0, t), v(1, t) =0,

cũng thu được các kết quả tương tự

Trong N.T Long, H.H Ha, L.T.P Ngoc, N A Triet, Comm Pure and Appl Anal.19 (1)

(2020) 455-492, Long và các cộng sự đã khảo sát hệ phương trình8

Trong Wenjun Liu, Gang Li, Linghui Hong, Journal of Function Spaces, Vol.2014, Article

ID 284809, 21 pages, Wenjun Liu cùng các cộng sự đã nghiên cứu một hệ sóng Kirchhoff chứa

với Ω là miền bị chặn trongRn, n 1 với biên trơn ∂Ω, M là hàm số dương Lipschitz địa

phương và gi:R+ ! R+ (i=1, 2),(f1, f2):R2 ! R2 Các tác giả đã chứng minh được haikết quả bùng nổ: một là cho nghiệm với điều kiện năng lượng ban đầu không dương cũng nhưtrường hợp năng lượng ban đầu dương, trường hợp còn lại là điều kiện năng lượng ban đầudương tùy ý Cuối cùng là kết quả tắt dần của nghiệm toàn cục dưới một số điều kiện thíchhợp của hàmgi (i=1, 2)

Nội dung chính của luận án gồm 3 chương 2, 3 và 4 được đề cập như dưới đây

Trong Chương 2, chúng tôi khảo sát Bài toán (1) với f f x, t, u, ux, ut,ku(t)k20 liên kếtvới điều kiện biên Robin-Dirichlet như sau

Diem, J Math Anal Appl.267 (1) (2002) 116-134, N.T Long, L.T.P Ngoc, Demonstratio

Math.40 (2) (2007) 365-392,.N.T Long, A.P.N Dinh, T.N Diem, Boundary Value Problems

2005 (3) (2005) 337-358, N.H Nhan, L.T.P Ngoc, T.M Thuyet, N.T Long, Lithuanian Math.

J.57 (1) (2017) 80-108 Việc xây dựng một thuật giải nhằm giúp tăng tốc độ hội tụ về nghiệm

bài toán cũng được quan tâm, như trong L.T.P Ngoc, B.M Tri, N.T Long, FILOMAT, 31 (6)

(2017) 1755-1767

Tiếp nối các ý tưởng và mô hình của các công trình liên quan, trong Chương 2 chúng tôi

đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương Bài toán (19) bằng cáchkết hợp thuật giải xấp xỉ tuyến tính, phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, và các kỹ thuật vềtính compact Hơn nữa, nhằm xây dựng một thuật giải hội tụ về nghiệm yếu bài toán nhanhhơn, chúng tôi xét Bài toán (19) với các hàm

và một số điều kiện thích hợp, để thiết lập một thuật giải lặp cấp cao mà tại đó, tốc độ hội

tụ đạt đến cấpN Trong [S2], chúng tôi đã thu được kết quả này với hàm µ và µ0bị chặn bởi

một hàm lũy thừa như sau

0<µ µ(z) C1(1+zp), 8z 0,

jµ0(z)j C2(1+zp 1), 8z 0, (21)

trong đó µ >0, p>1, C1>0, C2>0 là các hằng số Trong phần này, chúng tôi cải tiến kếtquả và cũng thu được kết quả về thuật giải lặp cấp N mà không cần phải sử dụng điều kiện

(21) cho hàm µ Kết quả này tổng quát hơn [S2] và đã được công bố trong [S3].

Ngoài ra, chúng tôi cũng khảo sát khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé ε

đến cấpN+1 Các kết quả của chương này là tổng quát hơn so với các công bố ở [S1].Trong Chương 3 của luận án, chúng tôi khảo sát Bài toán (1) trong trường hợp hàm

µ µ(t,ku(t)k0,kux(t)k0)với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất như sau

cứu bài toán Dirichlet cho phương trình sóng dạng Kirchhoff8

α 0 và dữ liệu ban đầu thích hợp thì Bài toán (25) tồn tại nghiệm toàn cục tắt dần mũ Mặtkhác, nếu điều kiện các hàmM, g và dữ liệu đầu phù hợp, thì nghiệm u của (25) bùng nổ tạithời gian hữu hạnT

Việc nghiên cứu nghiệm toàn cục, tính tắt dần và tính bùng nổ của nghiệm trong cácphương trình sóng Kirchhoff-Carrier nhận được nhiều sự quan tâm Ta có thể kể ra một sốcông trình, như Cavalcanti và các cộng sự trong M.M Cavalcanti, V.N Domingos Cavalcanti,J.A Soriano, Comm Contemp Math 6 (5) (2004) 705-731, Miranda và các cộng sự trong

Miranda, M Milla, Jutuca, L.P San Gil, Comm Partial Differ Equations,24 (9-10) (1999)

1759-1800, J Y Park và các cộng sự trong J.Y Park, J.J Bae, I.H Jung, Nonlinear Anal.TMA.50 (2002) 871-884, J.Y Park, J.J Bae, Appl Math Comput 129 (2002) 87-105, Santos

và các cộng sự trong M.L Santos, J Ferreira, D.C Pereira, C.A Raposo, Nonlinear Anal.TMA.54 (2003) 959-976, Takeshi Taniguchi trong Takeshi Taniguchi, J Math Anal Appl.

361 (2010) 566-578, Tokio Matsuyama và Ryo Ikehata trong Tokio Matsuyama, Ryo Ikehata,

J Math Anal Appl 204 (1996) 729-753 Đặc biệt, Zhijian Yang và các cộng sự trong các

công trình Pengyan Ding, Zhijian Yang, Comm on Pure and Appl Anal 18 (2) (2019)

825-843, Z.J Yang, J Differ Equations, 242 (2007) 269-286, Z.J Yang, P.Y Ding, J Math Anal.Appl 434 (2016) 1826-1851 đã nghiên cứu tính tắt dần của nghiệm trong các phương trình

dạng Kirchhoff trên toàn không gianRN

Cuối cùng, với việc khai thác một lớp bài toán đặc trưng ở Chương 2, cụ thể là8

chúng tôi đã chứng minh được tính tắt dần và bùng nổ tại thời gian hữu hạn của nghiệm Các

ý tưởng chứng minh được thừa hưởng ở Chương 3, và kết quả này được chúng tôi công bố ở

[S5] khi xét ζ =0 Tuy nhiên khi xét ζ >0 và hàm µ µ(kux(t)k20) chúng tôi vẫn chưa thểchứng minh được tính tắt dần và bùng nổ của nghiệm lúc này Đây vẫn là vấn đề mở đối vớichúng tôi

Toàn bộ các kết quả được trình bày trong luận án đã được công bố trong [S1]-[S5] Ngoài

ra một phần kết quả đã được báo cáo tại các hội nghị: Toán học miền Trung và Tây nguyênlần 2, Trường Đại học Đà Lạt, 09-11/12/2017; Dại hội Toán học toàn quốc lần thứ 9, NhaTrang 14-18/8/2018; Khoa học lần thứ 11, tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCMngày 9-10/11/2018; Toán học miền Trung và Tây nguyên lần 3, Trường Đại học Tây Nguyên,2-4/8/2019; Khoa học lần thứ 12, tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCM ngày18-19/12/2020

Chương 1

Bổ túc công cụ

Định nghĩa các không gian hàm thông dụng được nêu trong nhiều tài liệu giải tích Luận

án sử dụng các không gian hàm sauWm,p(0, T), Lp(0, T) =W0,p(0, T), Hm(0, T); Wm,p(QT),

Lp(QT), Hm(QT), , QT=Ω (0, T), và có viết lại ký hiệu cho gọn hơn trong trường hợp

Ω= (ρ, 1):

Wm,p=Wm,p(ρ, 1), Lp=Lp(ρ, 1), Hm=Wm,2(ρ, 1), 1 p ∞, m=0, 1,

Có thể xem định nghĩa các không gian hàm này trong hai tài liệu Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev space and Partial Differential Equations, Springer, 2011, và J.L Lions, Quelques méthodes de résolution des problems aux limites non-linéares, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969.

Xét riêng không gian L2, chuẩn được ký hiệu bởik k Ký hiệu(, ) để chỉ tích vô hướngthông thường trongL2

Ngoài ra, ta cũng chú ý rằng L2, H1, H2 là các không gian Hilbert lần lượt đối với các tích

Không gianLp(0, T; X),1 p ∞

Cho không gian Banach X với chuẩnk kX, và X0 là không gian đối ngẫu của nó Ta kýhiệu Lp(0, T; X), 1 p ∞, để chỉ không gian Banach của các hàm u :(0, T)!X đo được,sao chokukL p (0,T;X)< +∞, trong đó

tục, Xi phản xạ vớii =0, 1 và phép nhúng X0 ,! X là compact Ta định nghĩa không gian

W(0, T)như sau

W(0, T) =n

v2Lp0(0, T; X0): v0=dvdt 2Lp1(0, T; X1)o

,với1 pi ∞, i=0, 1 Không gian W(0, T) được trang bị bởi chuẩn

trong đó µ, f , ˜u0, ˜u1 là các hàm cho trước; ρ2 (0, 1)và ζ 0 là các hằng số

Nội dung của chương được trình bày ở 4 mục, từ Mục 2.2 đến Mục 2.5 Nội dung Mục2.2 giới thiệu về không gian hàm và các phép nhúng được dùng xuyên suốt chương, Mục 2.3trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của Bài toán (2.1), bằng phương pháp xấp

xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Faedo-Galerkin và các phương pháp compact yếu,

ta chứng minh Bài toán (2.1) có duy nhất nghiệm yếu địa phương Tiếp theo, ở Mục 2.4 với

µ µ(ku(t)k20)và f f(x, t, u,ku(t)k20), một thuật giải lặp cấp cao được xây dựng để thuđược một dãy lặp hội tụ cấpN về nghiệm yếu của Bài toán (2.1)

Cuối cùng, trong Mục 2.5, bằng cách khai triển Taylor của các hàm cho trước µ, µ1, f và

f1 đến cấpN+1, chúng tôi thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u=uε đến cấp

N+1 theo một tham số bé ε cho bài toán

Ta đặtV= v2H1: v(ρ) =0

Rõ ràngV là không gian con đóng trong H1 và trênV hai chuẩnkvkH 1 và kvxklà tươngđương Mặt khác,V nhúng liên tục và trù mật trong L2 Ta đồng nhất L2với L2 0 (đối ngẫucủaL2), ta cóV,!L2,!V0 Ta ký hiệuh, ilà cặp tích đối ngẫu củaV và V0

Ta có các bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Phép nhúng V,!C0 Ω là compact và với mọi v2V, ta có

(i) kvkC 0(Ω)

p

1 ρkvxk, (ii) kvk 1 ρp

2 kvxk,(iii) kvk0

1 ρ

p

2ρkvxk0, (iv) kvxk20+v2(1) kvk20,(v) jv(1)j p3kvk1

Với hằng số ζ 0, ta định nghĩa dạng song tuyến tính

a(u, v) =ζu(1)v(1) +

Z1

ρ

Chú ý 2.1 Trên L2, hai chuẩn v7! kvkvàv7! kvk0 là tương đương Tương tự hai chuẩn

v7! kvkH 1vàv7! kvk1tương đương trênH1, và sáu chuẩn v7! kvkH 1, v7! kvk1, v7! kvxk,

v7! kvxk0,v7!

q

kvxk20+v2(1), và v7! kvka=p

a(v, v)tương đương trênV

Bổ đề 2.2 Dạng song tuyến tính a(, )được định nghĩa như (2.2) là liên tục trên V V và cưỡng bức trên V , nghĩa là,

Hơn nữa,fwj/q

λjgcũng là một cơ sở Hilbert của V đối với tích vô hướng a(, )

Mặt khác, ta cũng có wjlà nghiệm của bài toán biên sau

hu00(t), vi +µ(t, u(1, t),ku(t)k20,kux(t)k20)a(u(t), v) =D

f(x, t, u, ux, u0,ku(t)k20), vE

,với mọiv2V, a.e t2 (0, T)và điều kiện đầu

u(0) =u˜0, u0(0) =u˜1,

trong đóa(, )được xác định bởi (2.2)

Cho trướcT >0, ta thành lập các giả thiết sau:

Định lý 2.5 Giả sử(H1) (H3)thỏa Khi đó tồn tại các hằng số dương M , T sao cho, với u0 0

thì dãy lặpfumg W1(M, T)cho bởi (2.5), (2.6).

Để chứng minh Định lý 2.5 ta sử dụng xấp xỉ Faedo-Galerkin với cơ sở Hilbertfwjgcủa

V như trong Bổ đề 2.3 Đặt u(k)m (t) = ∑k

j=1c(k)mj(t)wj, trong đó, các hàm số c(k)mj(t) là nghiệmcủa hệ phương trình vi phân cấp hai

Bổ đề 2.6 Hệ (2.7), (2.8) có duy nhất nghiệm c(k)mj(t), 1 j k trên đoạn[0, T]

Định lý 2.7 Giả sử(H1) (H3)thỏa Tồn tại các hằng số M>0 và T>0 được chọn như ở Định

lý 2.5 sao cho:

(i)Bài toán (2.1) có duy nhất nghiệm yếu u2W1(M, T)

(ii) Dãy xấp xỉ tuyến tínhfumgđược xác định bởi (2.5)-(2.6) hội tụ mạnh về u trong không gian Banach W1(T) = fu2L∞(0, T; V): u02L∞(0, T; L2)gvà có đánh giá