Sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán Hình học: Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia - Phần 1

Cuốn sách Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tập 2: Hình học là sản phẩm của đội ngũ giáo viên đầy nhiệt huyết của CCBook. Sách bao gồm kiến thức 3 lớp 10, 11,12 với mong muốn hỗ trợ học sinh ôn thi THPT đạt điểm số môn Toán cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia. Phần 1 chúng ta sẽ tìm hiểu về phần hình học lớp 12. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo.

CHƯƠNG 3 CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG

- Hệ trục tọa độ nằm trên 3 đường thẳng đôi một vuông góc

- Gốc tọa độ thường là chân đường cao của hình chóp, lăng trụ có đáy là hình vuông, hình chữ nhật,tam giác vuông hoặc có thể là trung điểm của cạnh nào đó, hoặc theo giả thiết của bài toán

Một số cách chọn hệ trục tọa độ:

 Tứ diện

 Hình chóp đáy là tứ giác lồi

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA OB a;OC 2a   Gọi

M là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng:

3

2a 55

2a2

2a3Hướng dẫn

Gắn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau

Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V

37aHướng dẫn

Do AB; AC; AD đôi một vuông góc với nhau chọn hệ trục tọa độ Oxyz theo hình vẽ

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SAABCD và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM).

A a 2 B a 3 C a 3 D

2

a 22Hướng dẫn

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AS Khi đó:

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và

Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của DC, BC, SB, SD Tính khoảng cách

a 56

a 512Hướng dẫn

Gọi O là trung điểm của AD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó:

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S

và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 4 3 Tính

a3khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

3

4a3

8a3

3a4

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SC tạo với đáy

một góc 45 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

3

a 23

a3

a 33Đáp án

Dạng 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong bài toán hình lăng trụ

1 Bài tập tự luyện

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

AD và BB’ Tính thể tích của khối tứ diện A’CMN

A a3 B C D.

4

3a8

3a16

3a32Hướng dẫn

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:

A 0;0;0 , B a;0;0 ,C a;a;0 , D 0;a;0 ,

A ' 0;0;a , B' a;0;a ,C ' a;a;a , D ' 0;a;a

Thể tích của khối tứ diện A’CMN là:

3 3

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân,

Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ I là tâm

53a41

54a41Hướng dẫn

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ A O 0;0;0  

Khi đó tọa độ của các điểm là:

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M

là điểm thuộc đường thẳng OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ) Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng:

A 6 13 B C D.

65

6 8585

17 1365

7 8585

Hướng dẫnKhông giảm tính tổng quát, giả sử cạnh hình lập phương bằng 6 Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B’ Khi đó, C ' 6;0;0 , D ' 6;6;0 , M 3;3;1 , A 0;6;6 , B 0;0;6         .

Câu 1 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ trên

mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy là 60 Tính theo

a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’)

13

13a13

3a13

1 - C 2 - B

Phần 2: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,

góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là 45 Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là:

10

15

510

105

Câu 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính

theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC)

2

Câu 3 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi các cạnh AB AD a, AA'=a 3 và

a 1520

a 1515

Câu 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C1 1 1 có đáy là tam giác đều cạnh a, có AA1 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D là trung điểm của BB1 Lấy điểm M di động trên AA1 Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MC1D

4



Câu 5 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và mặt phẳng (C’AB) hợp với

mặt đáy (ABC) một góc bằng 0   90 Tìm để hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) vuông gócvới nhau

Câu 7 Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC vuông tại C Độ dài của cạnh

Gọi M là trung điểm của các cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M Tính

SA 4, AC 3, BC 1  

góc tạo bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC)

A.  82 35'57 '' B.  97 24'2'' C.  63 30' D.  15 14'13''

Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và SC Xác định tâm I và bán kính R của

PHẦN 2: LỚP 10 & 11

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa véc tơ

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm

đầu, điểm nào là điểm cuối

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu: AB

Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y,    

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu là 0

2 Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng, hai vec tơ bằng nhau.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ

Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài vectơ AB, kí hiệu Ta có

AB

AB AB Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là vectơ cùng phương

Hai vectơ cùng hướng Hai vectơ ngược hướng Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Chú ý: Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ

3 Các quy tắc về vec tơ

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB AC CB   

Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có: AC AB AD   

Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB, M là điểm bất kì: 2MI MA MB   

Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC: GA GB GC 0     

(M là điểm bất kỳ)3MG MA MB MC     

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ: với ba điểm bất kì A, B, C ta có: AB CB CA   

Vec tơ đối của vectơ kí hiệu là a Đặc biệt

Ví dụ 1: Cho 7 điểm không thẳng hàng, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm

đầu và điểm cuối là các điểm trên?

Hướng dẫnLấy 2 điểm bất kì trong 7 điểm ta được một đoạn thẳng, do đó có C27 21 đoạn thẳng

a

B

Mỗi một đoạn thẳng tạo thành 2 vectơ, ví dụ đoạn thẳng AB sẽ tạo ra hai vectơ AB và

BA



Vậy số vectơ được tạo ra là 2C27 42

→ Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Khẳng định

nào sau đây là sai?

Câu 1 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với có điểm đầu

và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

Câu 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Hỏi cặp vectơ nào

sau đây cùng hướng?

Câu 3 Hai vectơ gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:

A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.

B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.

C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.

D Chúng cùng hướng và và độ dài của chúng bằng nhau.

A M là trung điểm của BC B M là trung điểm của AB.

C M là trung điểm của AC D ABMC là hình bình hành.

Hướng dẫn

        

Vì M là trung điểm của BC nên theo quy tắc trung tuyến ta có:

IB IC 2IM   

Mặt khác I là trung điểm AM nên IA IM 0   

Suy ra IB IC 2IA 2IM 2IA 2 IM IA        0

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC 300 và BC a 5 Tính độ dài của vectơ AB AC 

Hướng dẫnGọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD   

Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra

Quỹ tích vectơ: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó đưa

về các tập hợp điểm cơ bản đã biết

Nếu phương trình có dạng MA  MB , trong đó A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Nếu phương trình có dạng MA a  , trong đó A cố định, a là độ dài đã biết thì tập hợp điểm M là đường

Tập hợp những điểm cách đều 2 đường thẳng cắt nhau là đường phân giác của góc được tạo bởi hai đường thẳng đó.

Vì M là trung điểm của BC nên AB AC 2AM    (1)

Mặt khác I là trung điểm của AM nên 2AI AM  (2)

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM 2AB  và

Tính vectơ theo hai vectơ

A Trung trực của đoạn thẳng AB B Trung trực của đoạn thẳng AD.

C Đường tròn tâm I, bán kính AC D Đường tròn tâm I, bán kính

2

AB BC2



Hướng dẫnGọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD Khi đó theo công thức đường trung tuyến ta có:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có 2MA 3MB 4MC 2 MI IA 3 MI IB 4 MI IC              

Chọn điểm I sao cho 2IA 3IB 4IC 0     3 IA IB IC IC IA 0         

Mà G là trọng tâm của tam giác ABCIA IB IC 3IG     

Khi đó 9IG IC IA 0      9IG AI IC 0      9IG CA 

B Đường tròn đường kính AB.

C Đường trung trực của đoạn thẳng AB.

D Đường trung trực của đoạn thẳng IA.

Câu 2 (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c Khi đó:

A Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB và cùng phương

Câu 7 (ID:13288) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đường trung trực của đoạn thẳng BC B Đường tròn đường kính BC.

C Đường tròn tâm G, bán kính a D Đường trung trực của đoạn thẳng AG

3

Câu 9 (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB Tìm tập hợp các

điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA MB MA 2MB     

A Đường trung trực của đoạn thẳng AB B Đường tròn đường kính AB.

C Đường trung trực của đoạn thẳng IA D Đường tròn tâm A, bán kính AB.

Đáp án:

1 – C 2 – A 3 – A 4 – D 5 – D 6 – B 7 – B 8 – A 9 – A

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Trục và độ dài đại số trên trục

• Định nghĩa: Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e

• Điểm O gọi là gốc tọa độ

• Hướng của vectơ đơn vị là hướng của trục

• Ta kí hiệu trục đó là O; e

• Cho M là một điểm tùy ý trên trục O; e Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM ke  Ta gọi số k

đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

• Cho hai điểm A và B trên trục O; e Khi đó có duy nhất số a sao cho AB ae  Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu

a AB

2 Hệ trục tọa độ

Hệ gồm hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc với nhau

Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là , O là gốc i

j

tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung

3 Tọa độ của vectơ

u  x; y u x; y  u xi yj  

x gọi là hoành độ của vectơ u

y gọi là tung độ của vectơ u

2 2

u kv

• Tích vô hướng: u.v    u v cos u, v  

13

Hướng dẫn

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; 2 , v1; 3  Góc giữa hai vectơ là:

Vectơ cùng phương với vectơ a b a kb 

n5

Câu 1 (ID: 9106) Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A Hai vectơ a 6;3 và b 2;1 ngược hướng với nhau

B Hai vectơ a  5;0 và b   4;0 cùng hướng với nhau

C Vectơ c 7;3 là vectơ đối của vectơ d 7;3 

D Hai vectơ a 6;3 và b 2; 2 cùng phương với nhau

Câu 2 (ID:9204) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a 0;1 , b   1; 2 , c    3; 2 Tọa độ của vectơ u 3a 2b 4c     là:

A M 4;0  B M 5;3  C M 0; 4  D M 0; 4  

Hướng dẫnGọi tọa độ điểm M là M x ; y M M

Vì tam giác MAB cân tại M nên ta có:

MA MB   1 1 y   9 3 y 4y 16 0   y 4

Vậy M 0; 4 

Câu 3 (ID:9192) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 1;0 , B 1;0    Tìm tọa độ điểm N để tam giác ABN vuông cân tại A.

12

A  0; 2 B  1;3 C  2;3 D  0;3

Hướng dẫnGiả sử A x; y 

Vì tam giác CAB vuông cân tại C

IA a 1 b 3 , IB a 4 b 1 , IC a 2 b 3

Câu 2 (ID:8702) Tích vô hướng của hai vectơ a, b a, b 0     là số dương khi:

A và cùng chiều.a b B và cùng phương C D

Câu 9 (ID:9235) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; 2 , B 0; 4 , C 3; 2       Tìm tọa độ điểm

D sao cho ABCD là hình bình hành

2

a 32



Câu 11 (ID:8937) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2; 1 , B 3; 4 , M m;0       Giá trị của

m để MA2MB2 đạt giá trị

11 – D 12 – C 13 – C 14 – A

CHƯƠNG 1 : VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

sin A sinBsin C

3 Độ dài trung tuyến

Cho tam giác ABC với m , m , ma b c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có :

4 Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h ,h ,ha b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;

R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p a b c là nửa chu vi tam giác; S

A 5 B 6 C 3 D 4.

2Hướng dẫn

Áp dụng công thức hàm số sin ra có:

1sin A 2sin A 2.sin150 2.sin30 2.

vỡ Dựa vào các tài liệu đã có, người ta đo được kích thước của tam giác ABC trên đĩa là AB = 4,3cm,

BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Các nhà khảo cổ muốn tạo lại 1 chiếc đĩa có kích thước như vậy Hãy giúp nhà khảo cổ tìm bán kính chiếc đĩa?

,7.3,4.2

7,35,73,4

.2cos

2 2 2 2

2 2

AB AC AB

BAC

Như vậy, sinBAC  1(cosBAC )2 0,323

47,11323,0

7,3sin

2

 

tìm được đáp án là 5,735(cm)

Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a2 3,b2,C 300 Tính cạnh c, góc A

A 4 và 1200 B 2 và 1100 C 2 và 1200 D 4 và 1100

Hướng dẫnTheo định lí côsin ta có: c2 a2b22ab cosC 12 4 2.2 3.2.cos30   0 4

Vậy c = 2 và tam giác ABC cân tại A có b = c = 2

,53

87sin.32sin

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC a,CA b,AB c   thỏa mãn hệ thức c b 1. Hãy tính số

.sin

.sin

0 0

3

34.94sinsin

sin.sin

AD DBA

AD

D

AB

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC 2sinBcosA. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

A ABC cân B ABC đều C ABC vuông D ABC tù.

Ví dụ 4: Tam giác ABC có a + b2 2 c2 36r2 thì có tính chất gì?

A Tam giác cân tại B B Tam giác cân tại A.

C Tam giác đều D Tam giác vuông tại A.

4 a b c a c b

A Tam giác vuông tại B B Tam giác cân tại A.

C Tam giác đều D Tam giác vuông tại A.

Câu 2 (ID:14475) Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: b b 2 a2 c a2 c 2 Tính số đo góc A

A 4 B C 1 D

abc

Câu 7 (ID:14433) Tam giác ABC có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên

3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:

A Tam giác ABC là tam giác nhọn B AB 1800.

C Tam giác ABC vuông tại A D A 600

Câu 11 (ID:14469) Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m đồng thời thẳng hàng với chân A của

tháp hải đăng ở trên bờ biển Từ P và Q, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới góc 150và 750 Tính chiều cao AB của tháp hải đăng?

Câu 12 (ID:14468) Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (Hình vẽ) Biết

Tính 0

45,

20,

Câu 14 (ID:14460) Cho ABC có BC 5,AC 6,AB 3.   Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm

11 – B 12 – A 13 – B 14 – B

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Vectơ chỉ phương

Vectơ u 0  được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc

trùng với .

Nhận xét:

 Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

 Nếu là vectơ chỉ phương của thì u cũng là vectơ chỉ phương của

 ku k 0  



2 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và u  a; b là vectơ chỉ phương Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

, .0

3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và u  a; b (với , ) là vectơ chỉ phương Khi đó

a 0 b 0phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

4 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n 0  gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của nếu giá của nó vuông góc với

Nhận xét:

 Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến

 Nếu là vectơ pháp tuyến của thì n cũng là vectơ pháp tuyến của

5 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và có vectơ pháp tuyến n  a; b Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: a x x  0 b y y 00

Chú ý:

Nếu đường thẳng : ax by c 0   thì n  a; b là vectơ pháp tuyến của



6 Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

song song hoặc trùng với trục Ox

song song hoặc trùng với trục Oy