Một Số Vi Phân Suy Rộng Và Ứng Dụng Trong Tối Ưu Không Trơn

Do đó các kết quả và phương pháp của Giải tích cổđiển không thể sử dụng để nghiên cứu các bài toán này và vì vậy cần thiết phải mởrộng khái niệm đạo hàm hay vi phân theo nghĩa cổ điển..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Thái Doãn Chương

2 PGS.TS Nguyễn Lê Hoàng Anh

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, vào hồi giờ ngày tháng năm

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Phản biện 2: PGS.TS Lê Thanh Tùng

Phản biện 3: TS Phạm Duy Khánh

Phản biện độc lập 1: TS Phạm Duy Khánh

Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Hồng Quân

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1 Thư viện Tổng hợp Quốc gia TP.HCM

2 Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM

3 Thư viện Trung tâm ĐHQG-HCM

5.1 Phân tích cấp hai cho tập nghiệm vững của hệ không chắc chắn và

áp dụng 145.2 Phân tích cấp hai cho hệ hợp hữu hạn và áp dụng 17

Cụ thể, chúng ta hãy điểm qua một vài vấn đề nghiên cứu và bài toán ứng dụng như:(xem [1])

- Các vấn đề tối ưu hoá liên quan đến tối ưu véc-tơ/đa mục tiêu, ví dụ: tối đa lợinhuận trong khi tối thiểu các yếu tố như rủi ro trong đầu tư, thời gian sản xuất, chiphí sản xuất thiết bị; hoặc tối đa việc kiểm soát khối u trong điều trị ung thư đồngthời giảm thiểu các biến chứng trong điều trị xạ trị

- Tối ưu vững: Tối ưu vững có thể được áp dụng cho các vấn đề mà ở đó cần cómột giải pháp bảo vệ để ngăn chặn trường hợp xấu nhất có thể xảy ra Ví dụ, xétvấn đề đặt một bệ hạ cánh cho trực thăng cứu hộ tại một khu nghỉ mát trượt tuyết

Vị trí của bệ hạ cánh nên được lựa chọn theo cách mà thời gian bay đến tất cả cácsườn dốc của khu nghỉ mát là ngắn nhất, mặc dù thời gian bay đến các sườn dốc làkhông chắc chắn do điều kiện thời tiết không rõ ràng trong tương lai

Các dữ liệu vào của bài toán này hầu hết là các hàm không có đạo hàm Fréchetthậm chí có dữ liệu tập (đa trị) Do đó các kết quả và phương pháp của Giải tích cổđiển không thể sử dụng để nghiên cứu các bài toán này và vì vậy cần thiết phải mởrộng khái niệm đạo hàm (hay vi phân) theo nghĩa cổ điển

Việc mở rộng khái niệm đạo hàm và vi phân (sẽ được chúng tôi gọi là vi phânsuy rộng trong luận án này) đã thu hút nhiều nhà Toán học, đặc biệt trong các lĩnhvực Lý thuyết tối ưu, Giải tích biến phân và đã đạt nhiều kết quả quan trọng khôngnhững trong Toán học mà còn trong việc giải quyết các bài toán từ thực tế

Vì lý do đó, chúng tôi lựa chọn nội dung chính của luận án này là nghiên cứu một

số tính chất, công thức tính và quy tắc ước lượng cho một số vi phân suy rộng cấpmột và cấp hai được giới thiệu gần đây Áp dụng các kết quả đạt được vào việc tínhtoán vi phân suy rộng này cho hàm chỉ của một số hệ ràng buộc Từ đó đạt được cácđiều kiện cần, điều kiện đủ bậc nhất và bậc hai cũng như tính ổn định nghiệm củamột số bài toán tối ưu không trơn

2 Ý nghĩa khoa học của vấn đề nghiên cứu

Vi phân suy rộng là công cụ để nghiên cứu nhiều bài toán trong Toán học và nhiềubài toán trong thực tế Vì vậy, việc thiết lập các công thức tính và quy tắc ước lượngcho các vi phân suy rộng sẽ rất cần thiết trong tính toán, phân tích các bài toán thực

tế Cuối cùng, việc vận dụng các vi phân suy rộng và các quy tắc tính của chúng vàocác bài toán tối ưu không trơn vừa là minh chứng để kiểm chứng sự hiệu quả của viphân suy rộng đó vừa giải quyết được một số bài toán mà các công cụ trước đó chưagiải quyết được

CHƯƠNG 2 TỔNG QUAN VỀ VI PHÂN SUY RỘNG

ra từ một đoạn thẳng” và được trình bày trong [2] (xem [3]) Ý tưởng của Fermat sau

đó được mở rộng nghiên cứu và tổng quát, một cách độc lập, bởi Newton (xem [4]) vàLeibnitz (xem [5]), sau đó tiếp tục được phát triển bởi Euler, Lagrange [6], Cauchy

và gần như hoàn chỉnh như ngày nay bởi Weierstrass (xem [7]) Một trong những kếtquả nổi bật trong lý thuyết vi phân cổ điển là Định lý Fermat về điều kiện cần chocực trị của một hàm số khả vi Tuy nhiên, trải qua sự phát triển của Toán học và

từ nhu cầu giải quyết các bài toán trong thực tế, khái niệm đạo hàm theo nghĩa cổđiển ở trên không còn phù hợp và cần thiết được mở rộng Một ví dụ đơn giản cóthể nhận thấy là hàm số ϕ(x) = |x| không có đạo hàm theo nghĩa cổ điển (và do đókhông thể áp dụng Định lý Fermat với đạo hàm theo nghĩa cổ điển) mặc dù dễ dàngnhận ra x = 0 ¯ là cực tiểu của ϕ.

Việc mở rộng khái niệm đạo hàm và vi phân (sẽ được chúng tôi gọi là vi phânsuy rộng trong luận án này) đã thu hút nhiều nhà Toán học, đặc biệt trong các lĩnhvực lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân và đã đạt nhiều kết quả quan trọng khôngnhững trong Toán học mà còn trong việc giải quyết các bài toán từ thực tế Trong sốnhững kết quả đạt được theo hướng này, phải kể đến lý thuyết vi phân cho các hàmlồi được phát triển lần lượt bởi Minkowski (1911), Fenchel (1951), Moreau (1963) vàRockafellar (1963) Trong đó kết quả trung tâm của hướng nghiên cứu này là Định

lý Moreau-Rockafellar về quy tắc tổng cho các dưới vi phân lồi (một loại vi phân suyrộng cho các hàm lồi) Kết quả này đạt được trên cơ sở của nguyên lý tách các tập lồi

và là cảm hứng của nhiều lý thuyết vi phân suy rộng khác Về cơ bản, có hai hướngcho việc phát triển khái niệm vi phân suy rộng

(a) Lý thuyết vi phân suy rộng trên không gian nền với các khái niệm cơ bản lànón tiếp tuyến của một tập và các đạo hàm (theo hướng) của một hàm số Trong

số các nón tiếp tuyến cho một tập đã được xây dựng, nón tiếp tuyến contingent(hay nón tiếp tuyến Bouligand), được giới thiệu một cách độc lập vào năm 1930 bởiBouligand [8] và Severi [9], đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu khôngtrơn và lý thuyết điều kiển tối ưu không trơn Việc xấp xỉ tập trên đồ thị (epigraph)của một hàm số bởi các tiếp tuyến của nó tương ứng với việc xấp xỉ hàm số đó vớiđạo hàm theo hướng của nó Cụ thể hơn, việc xấp xỉ tập trên đồ thị của một hàm

ϕ : X → (−∞, ∞] trên một không gian Banach tại x ¯ thuộc miền hữu hiệu (domain)của ϕtương ứng với việc xấp xỉ hàm số ϕxung quanh x ¯bởi các đạo hàm theo hướng

cổ điển tại x ¯ được xác định như sau:

cổ điển này để xử lý các trường hợp không lồi (địa phương) Trong số những đạo hàmtheo hướng suy rộng, đạo hàm theo hướng ra đời từ những năm 1970 đến 1980, địnhnghĩa bởi

sử dụng tên “dưới đạo hàm” để gọi ϕ0−(·, ·) như trong [19] Đặc điểm nổi bật của dướiđạo hàm dưới là nó luôn tồn tại và có đặc trưng hình học “tương đương” với nón tiếptuyến contingent theo biểu thức sau:

ϕ0−(x; v) = inf {ν ∈ R| (v, ν) ∈ T ((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ)} (2.2)Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp dưới đạo hàm là hàm không lồi tương ứng với v

và theo nhận định của Mordukhovich [20, trang 135], sự không lồi này là một hạn chếtrong việc thiết lập các quy tắc tính Tuy nhiên, ta cần lưu ý rằng trong trường hợpϕ

là hàm Lipschitz địa phương xung quanh x ¯ thì phần tử z trong (2.1) có thể được lấyđúng bằng v và vì vậy các quy tắc tính có thể sẽ dễ dàng đạt được Bên cạnh đó, quytắc hợp (composite) của dưới đạo hàm của một hàm khả vi và một hàm Lipschitzđịa phương đã được thiết lập bởi chính Mordukhovich và cộng sự [21] Cũng trongtrường hợp hàm ϕlà Lipschitz địa phương, một loại đạo hàm khác có nhiều áp dụng

đã được giới thiệu trong luận án năm 1973 của Clarke [22] dưới sự hướng dẫn củaRockafellar được định nghĩa như sau:

ϕ↑+(¯ x; v) := lim sup

t↓0,x→¯ x

ϕ(x + tv) − ϕ(x)

Giá trị ϕ↑+(¯ x, v) được gọi là đạo hàm suy rộng theo nghĩa Clarke tại x ¯ theo hướng

v. Đạo hàm này đã được chứng minh trong [23] là lồi theo mọi hướng và có nhiều

áp dụng trong điều khiển tối ưu Tuy nhiên, đạo hàm suy rộng theo nghĩa Clarke cóthể không trùng với đạo hàm theo hướng cổ điển ngay cả khi cả hai tồn tại Trườnghợp ϕ thoả mãn ϕ↑+(¯ x; v) = ϕ0(¯ x, v) với mọi v, ta gọi ϕlà hàm chính quy Clarke tại x ¯

và có biểu diễn tương đương hình học là T ((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ) = TC((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ), trong

đó TC((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ) là nón tiếp tuyến Clarke (xem [19, Definition 6.1] và [23]) Mặc

dù có nhiều áp dụng trong Lý thuyết điều kiển tối ưu, đạo hàm suy rộng theo nghĩaClarke có một hạn chế là nó thường có một sai số lớn trong việc xấp xỉ tốt nhất củahàm số nếu thiếu điều kiện chính quy Clarke của hàm số đó

(b) Lý thuyết vi phân trên không gian đối ngẫu với các khái niệm cơ bản nhưnón pháp tuyến, dưới vi phân và đối đạo hàm Cách tiếp cận này lần đầu tiên đượcxây dựng cho lớp hàm lồi trên không gian hữu hạn chiều và được giới thiệu một cáchchi tiết bởi Rockafellar trong quyển sách chuyên khảo năm 1969 Cách tiếp cận nàysau đó được Clarke phát triển cho lớp hàm Lipschitz địa phương Ý tưởng chung củacách tiếp cận này là mỗi khi có một đạo hàm (suy rộng) theo hướng, ϕ•(¯ x, v), ta cóthể định nghĩa một loại dưới vi phân tương ứng như sau:

(2) Nón pháp tuyến Fréchet cho tập đóng địa phương Ω tại x ¯

ˆ

N (¯ x; Ω) := {x∗ ∈ X∗| hx∗, vi ≤ 0, ∀v ∈ T (¯ x; Ω)} , (2.7)trong đó T (¯ x; Ω) là nón tiếp tuyến contingent của Ω tại x ¯

(3) Nón pháp tuyến Clarke cho tập đóng địa phương Ω tại x ¯

NC(¯ x; Ω) :=x∗ ∈ X∗| hx∗, vi ≤ 0, ∀v ∈ TC(¯ x; Ω) , (2.8)trong đó TC(¯ x; Ω) là nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x ¯

Một phương pháp khác để định nghĩa cho nón pháp tuyến thể hiện rõ mối quan

hệ giữa nón pháp tuyến của một tập và các dưới vi phân của một hàm số như sau:

N•(¯ x; Ω) := ∂•δΩ(¯ x),

trong đó δΩ là hàm chỉ của tập Ω.

Các dưới vi phân và nón pháp tuyến là những công cụ quan trọng trong nghiêncứu bài toán tối ưu Cụ thể hơn, phần lớn các dưới vi phân ∂• đều thoả mãn Định lýFermat suy rộng, nghĩa là 0 ∈ ∂•ϕ(¯ x) nếu x ¯ là cực tiểu của hàm số ϕ. Dưới vi phân

∂• được gọi là vững nếu

∂C(ϕ1+ ϕ2)(¯ x) ⊂ ∂Cϕ1(¯ x) + ∂Cϕ2(¯

và Định lý Fermat suy rộng 0 ∈ ∂Cϕ(¯ x) cho cực tiểu x ¯ của ϕ, dưới vi phân Clarke

là “nhỏ nhất” (theo nghĩa bao hàm) Mặc dù vậy, nó vẫn còn khá lớn cho một số ápdụng, đặc biệt, cho điều kiện cần tối ưu Một hạn chế khác trong Lý thuyết vi phâncủa Clarke nằm ở độ lớn của các nón pháp tuyến Clarke Ví dụ nếu ta lấy Ωlà gph ϕ

với ϕ(x) = |x|. Khi đó NC((0, 0), Ω) =R2.

Như đã trình bày ở trên, vì không thể cải thiện cấu trúc vi phân suy rộng củaClarke bởi một cấu trúc vi phân suy rộng lồi và vững với những tính chất tốt về ápdụng và quy tắc tính, nên cách duy nhất để tránh được những hạn chế nêu trên là

“loại bỏ tính lồi” của dưới vi phân và nón pháp tuyến Để làm điều đó, cần thay đổicách tiếp cận xem nón pháp tuyến là đối ngẫu âm của nón tiếp tuyến Ý tưởng nàylần đầu tiên được trình bày bởi Mordukhovich trong một bài báo bằng Tiếng Nganăm 1975 và sau đó được dịch sang Tiếng Anh năm 19761 Động lực cho nghiên cứu

đó của Mordukhovich là tìm ra điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưuvới ràng buộc hình học điểm cuối (endpoint geometric) Cụ thể định nghĩa gốc củanón pháp tuyến qua giới hạn (limiting normal cone), trong không gian hữu hạn chiềuđược Mordukhovich giới thiệu vào năm 1975 như sau:

trong đó P(x; Ω) là phép chiếu Euclide của x đến Ω và cone(M ) là nón sinh bởi M.

Dưới vi phân qua giới hạn của ϕđược định nghĩa thông qua nón pháp tuyến như sau

∂ϕ(¯ x) := {x∗ ∈Rn | (x∗, −1) ∈ N ((¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ)}

Sau đó, Kruger và Mordukhovich đã cải tiến định nghĩa này để định nghĩa nón pháptuyến qua giới hạn trong không gian vô hạn chiều thông qua các tập -pháp tuyếnFréchet như sau: cho  ≥ 0, tập -pháp tuyến của Ω ⊂ X tại x ¯ được xác định bởi:

Bên cạnh việc mở rộng các vi phân suy rộng cấp một cho ánh xạ đơn trị, nhiều tácgiả quan tâm đến việc mở rộng khái niệm vi phân suy rộng cho ánh xạ đa trị, vi phânsuy rộng cấp cao cho ánh xạ đa trị và đơn trị Những kết quả nổi bật trong hướngphát triển này có thể tìm thấy trong [8, 17, 23],[34]-[41] Trong số các vi phân suyrộng cấp cao cho ánh xạ đơn trị, đạo hàm epi cấp hai (second-order epiderivative)được giới thiệu năm 1988 bởi Rockafellar trong [39] có nhiều áp dụng quan trọngtrong việc nghiên cứu điều kiện cần và đủ cấp hai và nghiên cứu tính ổn định côlập cho tập nghiệm của một số bài toán tối ưu (xem [19, 21, 39, 42]) Chi tiết hơn,Rockafellar đã định nghĩa đạo hàm epi cấp hai cho ánh xạ ϕ : Rn → (−∞, ∞] tại

¯

x ∈ dom f cho y ∈ ¯ Rn như sau:

d2ϕ(¯ x, ¯ y)(v) := lim inf

t→0 + ,v 0 →v ∆2tϕ(¯ x, ¯ y)(v0) với v ∈Rn, (2.9)

với mọi v ∈Rn, trong đó

∆2tϕ(¯ x, ¯ y)(v) := ϕ(¯x + tv) − ϕ(¯1 x) − th¯y, vi

Sử dụng khái niệm đạo hàm epi cấp hai, Rockafellar đã đặc trưng điều kiện cần,điều kiện đủ cấp hai cho cực tiểu địa phương của các hàm số (chi tiết xem [19, 39]).Bên cạnh đó, các quy tắc tính toán và một số áp dụng của đạo hàm epi cấp hai vàobài toán tối ưu với ràng buộc hàm hợp của hàm fully amenable với hàm lồi, chínhthường, tuyến tính-cấp hai từng mảnh đã được trình bày rất chi tiết trong [19] Bêncạnh sự hiệu quả trong việc thiết lập các điều kiện tối ưu bậc hai, đạo hàm epi cấphai còn là cầu nối thể hiện mối liên hệ giữa các vi phân suy rộng trên không gian nền

và vi phân suy rộng trên không gian đối ngẫu (xem [19, Theorem 13.40]) Sử dụng ýtưởng này, một số tác giả đã thiết lập công thức tường minh để tính đạo hàm đồ thịcho ánh xạ nón pháp tuyến của một tập Từ đó áp dụng vào nghiên cứu sự ổn địnhnghiệm cho bài toán tối ưu với ràng buộc nhúng có dạng

Γ := {x ∈Rn | q(x) ∈ Ω}

trong đó q :Rn → Rm là các hàm khả vi liên tục cấp 2 và Ω là tập lồi đa diện trong

Rm (xem [33],[43]-[45]) và với Ω là hình cầu [46] hay nón cấp hai [47] Câu hỏi tựnhiên được đặt ra là: có thể thiết lập các kết quả tương tự cho các trường hợp khác,nghĩa là khi Ω không là tập lồi đa diện hoặc hình cầu hoặc nón cấp hai, hay không?Gần đây, Mohammadi và cộng sự [21] đã thiết lập công thức tính củad2δΓ(¯ x, ¯ y)(v)

trong trường hợp Ω là tập chính quy và dẫn suất cấp hai Tuy nhiên, công thức đókhá tổng quát vì d2δΓ(¯ x, ¯ y)(v) được tính thông qua một giá trị chưa biết và khó xácđịnh là d2δΩ(¯ x, ¯ y)(v). Vì vậy việc tìm ra công thức tường minh của d2δΓ(¯ x, ¯ y)(v) trongmột số trường hợp cụ thể là cần thiết và có ý nghĩa về mặt áp dụng và tính toán.Trong luận án này, chúng tôi sẽ thiết lập công thức tường minh cho d2δSq(¯ x, ¯ y)(v) với

Sq là:

(i) tập nghiệm của hệ không chắc chắn

x ∈Rn, a>q(x) − b ≤ 0,

ở đây (a, b) là tham số không chắc chắn và nằm trong một tập cho trước

(ii) tập nghiệm của hệ nhúng rời rạc

ở đây Ki là các các tập chính quy cấp hai

Hai hệ ràng buộc này là sự tổng quát của nhiều hệ ràng buộc khác như hữu hạnbất phương trình, hệ nửa vô hạn, hệ bù, và đang được quan tâm nghiên cứu trongthời gian gần đây [43],[48]-[53]

CHƯƠNG 3 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số quy ước và kiến thức cơ sở về giảitích biến phân trên không gian Banach được sử dụng trong các chương sau

vi phân tương ứng với tập và các dưới đạo hàm tương ứng với tập.

4.1.2 Quy tắc tính của dưới vi phân tương ứng với một tập

4.1.23 Định lý Giả sử ϕ : X → ¯R và giả sử x ∈ X ¯ là một cực tiểu địa phươngtương ứng với Q của ϕ Khi đó ta có 0 ∈ ∂QGϕ(¯ x) và ϕ0−(¯ x, Q) ≥ 0. Thêm vào đó nếu

ϕ0−(¯ x, Q) = 0 thì ta có ϕ00−(¯ x, Q) ≥ 0.

4.1.25 Định lý Giả sử ϕ : X → ¯R là hữu hạn và x ∈ X ¯ Khi đó x ¯ là một cực tiểuchặt địa phương tương ứng với Q của ϕ nếu một trong các điều kiện sau đúng:(i) ϕ0−(¯ x, Q) > 0.

(ii) ϕ0−(¯ x, Q) = 0 và ϕ00−(¯ x, Q) > 0.

Giả sử Ω là một tập con đóng, khác rỗng của X và I := {1, , p} Giả sử rằng

f, g i , i ∈ I, là các hàm liên tục trên Ω. Chúng ta xét bài toán tối ưu sau

min f (x) sao cho gi(x) ≤ 0, i ∈ I. (P)4.1.30 Định lý Giả sử x ∈ locS ¯ u(P ) với u ∈ X \ {0}, trong đó f, gi, i ∈ I, được giảthiết là khả vi chặt địa phương theo hướng u tại x ¯ Khi đó tồn tại những nhân tửλ ≥ 0

và µi ≥ 0, i ∈ I, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ∂uGf (¯ x) +P

i∈I µi∂uGgi(¯ x), (4.40)

µigi(¯ x) = 0 với mọi i ∈ I. (4.41)