Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CAlấy điểm Nsao cho AM + AN =2AB... a Chứng minh rằng: BM CN=b Chứng minh rằng: BCđi qua trung điểm của đoạn thẳng MN c Đường trung trực củ
Trang 1UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Môn TOÁN 7
Bài 1 (4 điểm)
a) So sánh hai số : ( )39
5
−
và ( )91
2
− b) Chứng minh rằng : Số
11n 12 n
A= + + +
chia hết cho 133,
với mọi n∈¥
Bài 2 (4 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số ( )x y;
thỏa mãn ( )2012 2013
2x y− +7 + −x 3 ≤0 b) Tìm số tự nhiên nvà chữ số abiết rằng: 1 2 3 n aaa+ + + + =
Bài 3 (4 điểm) Ba lớp 7 ở trường K
có tất cả 147 học sinh Nếu đưa
1 3
số học sinh
của lớp
1
1
7 ,
4
A
số học sinh của lớp 7 A2và
1 5
số học sinh của lớp 7 A3đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABCcó
µ 3µ 6µ
A= B= C
a) Tính số đo các góc của ∆ABC
b) Kẻ AD⊥BC D BC( ∈ )
Chứng minh : AD BD CD< <
Bài 5 (4 điểm) Cho tam giác ABCcân ở A Trên cạnh AB
lấy điểm M,
trên tia đối của tia CAlấy điểm Nsao cho AM + AN =2AB
Trang 2a) Chứng minh rằng: BM CN=
b) Chứng minh rằng: BCđi qua trung điểm của đoạn thẳng MN
c) Đường trung trực của MNvà tia phân giác của ·BAC
cắt nhau tại K Chứng minh rằng KC ⊥ AC
Trang 3ĐÁP ÁN Bài 1.
a) Ta có:
( )39 39 ( )3 13 13 ( )91 91 ( )7 13 13
Ta thấy : 13 13 13 13 ( )39 ( )91
125 <128 ⇒ −125 > −128 ⇒ −5 > −2
b) Ta có:
( )
11 12 11 11 12 12 121.11 12.144
133 12 11 12.144 133.11 12.11 12.144
133.11 12 144 11
n
Ta thấy :
133.11 133
144 11 144 11 133 12 144 11 133
n
M
Do đó suy ra 133.11n +12 144( n −11n)
chia hết cho 133 Vậy: số
11n 12 n
A= + + +
chia hết cho 133, với mọi n∈¥
Bài 2.
a) Ta có 2012là số tự nhiên chẵn ( )2012
2x y 7 0
Và
2013
x− ≥ ⇒ −x ≥
Do đó, từ ( )2012 2013
2x y− +7 + −x 3 ≤0
suy ra: ( )2012 2013
2x y− +7 =0 & x−3 =0
b) Ta có:
( 1)
1 2 3
2
n n
+ + + + =
và aaa a= .111=a.3.37
Do đó, từ 1 2 3 + + + + =n aaa⇒n n( + =1) 2.3.37a
Trang 4( 1)
n n
chia hết cho số nguyên tố 37
n
⇒
hoặc n+1
chia hết cho 37 (1) Mặt khác:
999 1 1998 45 (2) 2
n n
+
Từ (1) và (2)⇒ =n 37
hoặc n+ =1 37 Với
37.38
2
n= ⇒aaa= = ktm
Với
36.37
2
n+ = ⇒aaa= = tm
Vậy n=36
và a =6
Bài 3.
Goi tổng số học sinh của 7 ,7 ,7A1 A2 A3lần lượt là a b c a b c, , ( , , ∈¥*) Theo bài ra ta có:
(*)
a− a b= − b c= − c
và a b c+ + =147
Từ (*)
3 4 5 18 16 15 18 16 15
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
147
3 54, 48, 45
18 16 15 18 16 15 49
+ +
+ + Vậy tổng số học sinh của 1 2 3
7 ,7 ,7A A A
lần lượt là 54;48;45
Bài 4.
Trang 5a) Từ
µ µ µ µ µ µ µ µ µ 1800 0
6 2 1 6 2 1 9
+ +
µ 120 ,0 µ 40 ,0 µ 200
Vậy
µA=120 ,0 Bµ =40 ,0 Cµ =200
b) Trong ∆ACD
có:
ADC = C = ⇒ A = ⇒ =A
Xét ∆ABD
có
µ 400 µ 200 2 2( )*
B= > =C ⇒AB AC< ⇒ AB < AC
Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB ADC,
có:
AB =AD +BD
và
AC = AD +CD
Do đó, từ (*)
⇒ + < + ⇒BD2 <CD2 ⇒BD CD< (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AD BD CD< <
Bài 5.
Trang 6a) Theo giả thiết, ta có:
2AB AB AB AB AM BM= + = + +
AM +AN = AM + AC CN+
, ∆ABC
cân ở A⇒ AB AC=
Do đó, từ AM +AN =2AB⇒BM =CN
b) Qua M kẻ ME / /AC E BC( ∈ )
ABC
∆
cân ở A⇒ ∆BME
cân ở M⇒EM =BM CN= ( )
MEI NCI g c g IM IN
Vậy BCđi qua trung điểm của MN
c) K thuộc đường trung trực của
(1)
MN ⇒KM = KN
ABK ACK c g c KB KC ABK ACK
Trang 7Kết quả chứng minh câu a:
(3)
BM CN=
Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 ⇒ ∆BMK = ∆CNK c c c( − − ⇒) ·ABK =·NCK(**)
Từ (*) và (**)
90 2