134 đề HSG toán 7 huyện hoằng hóa 2016 2017

Chứng minh rằng AMN d Chứng minh rằng IA là phân giác của ·DIE Câu 5.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016-2017

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2017 Câu 1 (4,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức

A     

b) Tính giá trị của biểu thức B2x2 3x với 1

1 2

x 

c) Tìm 3 số , ,x y z biết rằng: 3 7 2; 5

x y y z

và x y z   110

Câu 2 (4,5 điểm)

a) Tìm tập hợp các số nguyên ,x biết rằng:

4 : 2 7 3 : 3,2 4,5.1 : 21

b) Tìm ,x biết:

x    x x  x   x  x

c) Tính giá trị của biểu thức C2x5 5y32015tại ,x y thỏa mãn:

x  y 

Câu 3 (3,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của

nó tỉ lệ theo 1: 2 : 3

b) Tìm tất cả các số tự nhiên ,a b sao cho:2a 37 b 45  b 45

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB AC .Vẽ về phía ngoài tam giác

ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của

AB và DC.

a) Chứng minh rằng : ADC  ABE

b) Chứng minh rằng: ·DIB600

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng

AMN

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của ·DIE

Câu 5 (1,5 điểm)

Cho 20 số nguyên khác 0: a a a1, , , ,2 3 a20có các tính chất sau:

* a1là số dương

*Tổng của ba số viết liền nhau bất kỳ là một số dương.

*Tổng của 20 số đó là số âm

Chứng minh rằng: a a1 14 a a14 12 a a1 12

ĐÁP ÁN Câu 1.

: 0 : 0

a A     

b) Vì

x    x

Với

1

2

x

thì

2

A     

 

  Với

1

2

x 

thì

2

A      

Vậy A với 0

1 2

x

và A với 3

1 2

x 

c) Từ 3 7 6 14 2; 5 14 35 6 14 35

x   y x y y  z y  z  x y  z

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

110

2

6 14 35 6 14 35 55

2.6 12; 2.14 28; 2.35 70

 

Vậy x 12,y 28,z 70

Câu 2.

a)Ta có:

9 18  9 41    

Lại có:

Do đó

2 5

5

x 

  

mà x      ¢ x  4; 3; 2; 1

b) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0 11x  0 x 0 Với x ta có:0

1 1 1 1 1

1 10

11 11

Vậy

10

11

x

x  y    x y  với mọi ,x y

Kết hợp

20

20

2

y y



          Giá trị của biểu thức C2x5 5y3 2015tại x1,y   là:2

 3 5

2.1 5 2 2015 2057

Vậy C 2057

Câu 3.

a) Gọi , ,a b c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm Không mất tính tổng

quát, giả sử a b c   , ta có: 19    a b c 27

Mặt khác do số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9

Do đó a b c          9 a b c 18 a b c 27

Theo đề bài ta có: 1 2 3 6

a   b c a b c 

Như vậy a b c  chia hết cho 6, nên a b c  18

Từ đó suy ra a 3,b6,c 9

Do đó số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn

Vậy hai số cần tìm là 396,936

b) Nhận xét : với x thì 0 x  x 2x

Với x thì 0 x   Do đó x x x 0.  luôn là số chẵn với b¢

Suy ra 2a  là số chẵn 237 a

 lẻ  a 0 Khi đó b45  b 45 38

Nếu b45, ta có:  b 45  b 45 38  0 38(ktm)

Nếu b45, ta có: 2b45 38 b 64( )tm

Vậy   a b,  0;64

Câu 4.

a) Ta có: AD AB DAC BAE ,· · và AC AE  ADC  ABE c g c( ) b) Từ ADC  ABE  ·ABE ADC· mà BKI·  ·AKD(đối đỉnh)

Khi đó xét BIK và DAK suy ra ·BIK DAK· 60 (0 dfcm)

c) Từ ADC  ABE CM EN ACM,· ·AEN

( )

ACM AEN c g c AM AN

· · 60 0

MAN CAE  Do đó AMN đều

d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ IB BIJđềuBJ BIvà

IBA JBD c g c AIB DJB

· 60 0

DIA

  Từ đó suy ra IA là phân giác của ·DIE

Câu 5.

Ta có:

       

Cũng như vậy:

13 14

0

Mặt khác, a12 a13 a14  0 a12 0

Từ các điều kiện a1 0;a12 0;a14  0 a a1 14 a a14 12 a a dfcm1 12( )