Từ một điểm B trên tia Axvẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C.. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD HC=.. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
Trang 1UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN 7 Bài 1 (4,0 điểm)
a) So sánh : 17+ 26 1+
và 99
b) Chứng minh:
1+ 2 + 3 + + 99 + 100 >
c) Cho
1
2 3 4 2013 2014 2015
và
1008 1009 1010 2014 2015
Tính ( )2016
S P−
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Một số nguyên tố
p
chia cho 42 có số dư r
là hợp số Tìm hợp số r
b) Tìm số tự nhiên absao cho 2 ( )3
ab = +a b
Bài 3 (6,0 điểm)
a) Cho
, , 0
x y z ≠
và
0
x y z− − =
Tính giá trị biểu thức
B
= − ÷ − ÷ + ÷
b) Cho
x− y = z− x = y− z
Chứng minh rằng: 2 3 4
x = =y z
c) Cho biểu thức
5 2
x M
x
−
=
− Tìm xnguyên để M
có giá trị nhỏ nhất
Trang 2Bài 4 (3,0 điểm) Cho
· 60 ,0
xAy=
vẽ tia phân giác Az
của góc đó Từ một điểm B
trên tia Axvẽ đường thẳng song song với
Ay
cắt Az
tại C Kẻ
BH ⊥ Ay
tại H,
CM ⊥ Ay
tại M, BK ⊥ AC
tại K Chứng minh
a) KC KA=
b) 2
AC
BH =
c) ∆KMC
đều
Bài 5 (3,0 điểm) Cho ∆ABC
có
µ 2µ 900
B= C <
Vẽ AH
vuông góc với BCtại H Trên tia AB
lấy điểm D sao cho AD HC= .
Chứng minh rằng đường thẳng DH
đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
ĐÁP ÁN Bài 1.
a) Ta có:
17 > 16; 26 > 25⇒ 17 + 26 1+ > 16 + 25 + 1 4 5 1 10= + + =
Mà 10= 100 > 99
Vậy 17 + 26 1+ > 99 b) Ta có:
1 > 100 2 > 100 3 > 100 99 > 100
Suy ra :
100 10
1 + 2 + 3 + + 100 > 100 =
Vậy
10
1+ 2 + 3 + + 100 >
c) Ta có:
1008 1009 1010 2014 2015
Trang 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 1006 1007 1008 2014 2015 2 3 1006 1007
2 3 1006 1007 1008 2014 2015 2 4 6 2012 2014
1
2 3 4 2013 2014 2015 S
Do đó ( )2016
0
S P− =
Bài 2.
a) Vì
p
chia cho 42 có số dư là r nên p =42k r+ (0< <r 42,r∈¥) Hay
2.3.7
p= k r+
Vì
p
là số nguyên tố nên r
không chia hết cho 2;3;7
r
⇒
là hợp số không chia hết cho 2,3,7
và r<42
, Vậy hợp số r =25 b) Ta có: ( )3 2
a b+ = ab
là số chính phương nên a b+
là số chính phương
Đặt a b x x+ = 2( ∈¥*)
, suy ra 2 ( )3 6
ab = +a b =x
x ab
⇒ = <
và
3
ab> ⇒ < <x ⇒ < < ⇒ =x x
vì x∈¥*
Vậy ab=27
Bài 3.
Trang 4a) Ta có:
1 z 1 x 1 y x z y z z y
B
= − ÷ − ÷ + ÷=
Từ
x y z− − = ⇒ − =x z y y x− = −z y z x+ =
Suy ra
1 , , 0
y z x
x y z
−
b) Ta có:
4 3 2 3 2 4 2 4 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
4 3 2 3 2 4 2 4 3 4(3 2 ) 3 2 4 2 4 3
0
+ +
Từ (1) và (2) suy ra : 2 3 4
x y z
= =
c) Ta có:
1 2
x x
− −
−
M nhỏ nhất
3 2
x
⇔
− nhỏ nhất ⇔ −x 2
lớn nhất và x− < ⇔2 0 x
lớn nhất và x<2
1
x do x
Khi đó GTNN của M là
3
1 2
M = − = − ⇔ =x
−
Trang 5Bài 4.
a) Ta có:
·yAz zAx=· =30 (0 Az
là tia phân giác của
· )
xAy
Mà
·yAz ACB Ay=· ( / /BC slt, ) ⇒zAx ACB· =· ⇒ ∆ABC
cân tại B Trong tam giác cân ABCcó BK
là đường cao ứng với cạnh đáy ⇒ BK
cũng
là đường trung tuyến của ∆ABC ⇒KC KA=
b) Ta có:
· 900 · 30 (0
ABH = −xAy = ∆ABH
vuông tại H) Xét hai tam giác vuông ∆ABH
và ∆BAK
có:
AB
chung;
· · ( 300)
zAx ABH= = ⇒ ∆ABH = ∆BAK⇒BH = AK
Mà
( )
AK = cmt ⇒BH =
Trang 6c) Ta có: ∆AMC
vuông tại M có MK
là trung tuyến ứng với cạnh huyền (1)
2
AC KM
mà
(2) 2
AC
AK =KC =
Từ (1) và (2) ⇒KM =KC⇒ ∆KMC
cân tại K (3)
Mặt khác ∆AMC
có
· 90 ,0 · 300 · 900 300 60 (4)0
AMC = yAz = ⇒MCK = − =
Từ (3) và (4) suy ra ∆AMC
đều
Bài 5.
Ta có:
µ 2µ µ µ
B= C⇒ >B C
nên AC> AB⇒HC HB>
Trên đoạn thẳng HClấy điểm I sao cho IH =IB⇒ ∆AHI = ∆AHB
Trang 7AI AB
và
·AIB ABC= · =2·ACB
Mặt khác :
AIB ACB IAC= + ⇒IAC ACB=
Do đó: IA IC HC= <
hay AB HC AD< = Gọi K là giao điểm của DH
với AC.
Vì AD HC AB IC= , =
nên BD HI HB= = ⇒ ∆DBH
cân tại B
Do đó:
2
BDH =BHD= ABC= ACB
KHC ACB BHD KAH KHA
(phụ hai góc bằng nhau)
Suy ra KA KH= =KC
hay K
là trung điểm của đoạn thẳng AC Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC