207 đề HSG toán 7 trường nguyễn trực 2017 2018

Tìm GTLN đó Câu 4.. Cho ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D... Chứng minh rằng ·IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất... d Từ câu ctrực tâm

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018

MÔN TOÁN 7 Câu 1.

1) Cho tỉ lệ thức

a c

b  d

Chứng minh rằng: ta có tỉ lệ thức sau:

a)

  2 2

) a b c d

b

2) Cho , ,a b c đôi một khác nhau và 0. Biết ablà số nguyên tố và .

ab b c

bc  Tìm abc

Câu 2

1)Tìm ,x y biết:

2

) 5 6 0

a x  x 

b) x2 6y2   ( ,x y là nguyên tố)1 2

2) Chứng minh rằng đa thức f x  x8 x5 x2 x 1không có nghiệm

Câu 3.

Tìm x ¢ để

32 2 11

x A

x





 đạt GTLN Tìm GTLN đó

Câu 4.

Cho ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D Xác định , I J sao cho AB là

trung trực của DI AC là trung trực của ;, DJ IJ cắt , AB AC lần lượt tại L và K

Chứng minh rằng

a) AIJ cân

b) DAlà tia phân giác của ·LDK

c) BK  AC CL;  AB

d) Trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác DLK

e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC Chứng minh rằng ·IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.

ĐÁP ÁN Câu 1.

1) a) Chứng minh đúng b) Chứng minh đúng

2) Từ gt hoán vị trung tỉ và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có

a b

b  c

Do ablà 1 số nguyên tố có hai chữ số nên b1;3;7;9

Do ac b ta xét các trường hợp 2

b    (loại do a c a c )

3 9 1.9

b ac  (do a c ) ab13(do 93 không là nguyên tố)

Có

13 1 3

( )

39 3 9

tm c

bc    

7, 9

b b  đều bị loại do dẫn đến a c

Vậy abc139

Câu 2.

1)

2

3

x

x



 



2) Xét từng khoảng

+xét x dẫn dến 0 f x   1 0

+Xét 0  lập luận dẫn đến x 1 f x  0

+Xét x lập luận dẫn đến 1 f x  0

Trong cả ba khoảng trên đều có f x   nên đa thức 0 f x không có nghiệm. 

Câu 3.

Biến đổi

10

11

A

x

 

 Để max

10

ax 11

x

 



0



    

Lập luận để có 11 x là số nguyên dương nhỏ nhất  x 10

Suy ra GTNN của A là 12  x 10

Câu 4.

a) Do AB AC là trung trực của ,

AD AJ

1 1 ( )

ALI ALD c c c I D

2 2 ( )

AKD AKJ c c c D J

Mà AIJ cân (cmt)  µI1 µJ1 Dµ1 ¶D2 DAlà tia phân giác của ·LDK

c) CMTT câu b: CL BK là phân giác trong của , ·LKD DLK;· của DLK

BK AC CL AB

d) Từ câu ctrực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác trong

DLK



e) Chứng minh được ·IAJ 2BAC· (không đổi)

* AIJ cân tại A có ·IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên AI nhỏ nhất

Ta có: AI  AD AH AH ( là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H

Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.