7 điểm Cho tam giác cân ABC AB AC, = .Trên cạnh BClấy điểm D.. Trên tia đối của tia BClấy điểm E sao cho BD BE=.. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AClần lượt ở M v
Trang 1TRƯỜNG THCS PHƯƠNG TRUNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Năm học 2018-2019 Câu 1 (3 điểm) Tìm số hữu tỉ x,
biết:
( )5
)
a x
b
− = −
+ + + + + = + + +
Câu 2 (3 điểm)
a) Tìm số nguyên
,
x y
biết:
4 8
y
x + =
b) Tìm số nguyên xđể A
có giá trị là một số nguyên, biết:
( )
1
0 3
x
x
+
−
Câu 3 (5 điểm)
1) Cho
a− =b+ = c−
và 5a− −3b 4c=46.
xác định a b c, ,
2) Cho tỉ lệ thức
a c
b = d
Chứng minh
, với điều kiện mẫu thức xác định
Câu 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2001 1
A= −x + −x
Trang 2Câu 5 (7 điểm) Cho tam giác cân ABC AB AC, =
Trên cạnh BClấy điểm D Trên tia đối của tia BClấy điểm E
sao cho BD BE= .
Các đường thẳng vuông góc với
BC
kẻ từ D và E cắt AB
và AClần lượt ở M
và N.Chứng minh:
a) DM =ED
b) Đường thẳng BCcắt MNtại điểm I
là trung điểm của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MNtại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi
D
thay đổi trên BC.
Trang 3ĐÁP ÁN Câu 1.
( ) ( )
( )
11 12 13 14 15
4
2 0
x x
− = − ⇒ − = − ⇔ = −
− = ⇔ − = ⇒ − = ⇔ =
Câu 2.
a)
5 1 5 2 1 5 1 2
−
(1 2 ) 40 1 2
x − y = ⇒ − y
là ước lẻ của 40.Ước lẻ của 40là ± ±1; 5 ( ) (x y; { 40;0 ; 40;1 ; 8; 2 ; 8;3) ( ) ( ) ( ) }
b)
1
x A
+
A nguyên khi
4 3
x −
nguyên ⇒ x − ∈3 U(4)= − − −{ 4; 2; 1;1;2;4}
Các giá trị nguyên của xlà: 1;4;16;25;49
Câu 3.
3; 11; 7
2) Chứng minh:
Đặt
;
a c
k a kb c kd
Thay vào các biểu thức:
0
dfcm
Trang 4Câu 4.
Vậy biểu thức đạt GTNN là 2000⇔ ≤ ≤1 x 2001
Câu 5.
a) ∆MDB= ∆NEC⇒DN =EN
b) ∆MDI = ∆NEI ⇒IM =IN ⇒BC
cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN c) Gọi H là chân đường cao vuông góc kẻ từ A xuống BC, ta có:
Gọi Olà giao AH với đường thẳng vuông góc với MNkẻ từ I thì
OAB OAC c g c OBA OCA
Từ (1) và (2) suy ra
· · 900
OCA OCN= = ⇒OC⊥ AC
Vậy điểm O cố định