SKKN Phương pháp giải các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số y = f'(x)

SKKN Phương pháp giải các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số y = f'(x) MỤC LỤC Trang 1 Phần mở đầu 1 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 3 Đối tượng nghiên cứu 1 4 Phương pháp nghiên c[.]

MỤC LỤC

Trang

1 Phần mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài………

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4.Phương pháp nghiên cứu

1 1 1 2 2 Nội dung 2

2.1 Cơ sở lí luận của skkn

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2 2 2 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……… 16

3 Kết luận, kiến nghị 17

3.1 Kết luận

3.2 Kiến nghị

17 17

1 Phần mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Theo Nghị quyết Số 29-NQ/TW “Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường’’ của Bộ GD&ĐT Kể từ năm học 2016 – 2017 học sinh thi theo hình thức trắc nghiệm gồm 50 câu thời gian 90 phút Vì vậy học sinh cần tư duy nhanh chóng

và liên hệ kiến thức để hoàn thiện bài làm

Môn toán học THPT là môn học với lượng lý thuyết và bài tập tương đối nhiều, thời lượng học trên lớp có giới hạn Vì vậy, việc hướng dẫn cho học sinh các

kỹ năng và phương pháp giải bài tập là vô cùng cần thiết

Những bài tập mà từ đồ thị hàm số y f '(x) tìm ra hàm số y f(x), tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f(x) trên một đoạn, vv là phần bài tập có tính liên hệ cao cả lý thuyết lẫn thực hành, các dạng bài tập đa dạng phức tạp và đã xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia năm

2017, đề thi mẫu năm 2018 trong khi khả năng phân tích và xử lý các dạng bài tập này của học sinh còn yếu Trước thực trạng trên tôi đã mạnh dạn chọn đề tài

“Phương pháp giải các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số y f '(x)”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh nắm vững lí thuyết và xây dựng các cách giải bài tập liên quan đến đồ thị hàm số y f '(x)

- Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời các bài tập trắc nghiệm phần đồ thị hàm số y f '(x)

- Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học THPT, đặc biệt phần đồ thị hàm số y f '(x)

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Kiến thức:

+ Lý thuyết phần đạo hàm, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và đồ thị của hàm số

+ đặc biệt là kĩ năng đọc đồ thị hàm số

- Học sinh: lớp 12A5, 12A6 của trường THPT Đông Sơn 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu lí thuyết trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống hoá kiến thức

- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng tư duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên quan đến

đồ hàm số y f '(x)

- Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để hướng sự phát triển theo mục tiêu dự kiến của mình

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu và xem xét lại những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra kết luận bổ ích cho thực tiễn

- Phương pháp thống kê và xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử lí số liệu thu thập được

2 Nội dung.

2.1 Cơ sở lí luận của SKKN.

* Từ đồ thị sẵn có của một hàm số nào đó ta làm được

+ Tìm giao điểm của nó với trục Ox

+ Xét dấu của hàm số khi đi qua các giao điểm đó

* Hàm số y f(x)xác định và có đạo hàm là y f '(x) trên tập K

+ Nếu f '(x)0 có nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó thì hàm số đạt cực trị tại các điểm đó

(x)

y f

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Sau nhiều năm giảng dạy học sinh lớp 12 tôi nhận ra rằng:

- Phần lớn học sinh khả năng phân tích nhận dạng các dạng bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số y f '(x) còn tương đối yếu

- Rất nhiều học sinh lúng túng khi giải các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm

số y f '(x) trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi mẫu năm 2018, đề thi thử TNTHPT các trường,

2.3 Các giải pháp đã sử dụng đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để giúp học sinh hình thành kỹ năng giải quyết các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số y f '(x) tôi nghiên cứu hình thành SKKN theo các bước sau:

- Đầu tiên tôi nghiên cứu các tài liệu lí thuyết trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số

- Sau đó tôi tiến hành khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng tư duy

và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số y f '(x)

* Dạng 1: Từ đồ thị hàm số y f '(x) tìm ra hàm số hay đồ thị của hàm số

(x)

y f

- Phương pháp: Từ đồ thị hàm số y f '(x) và các giả thiết của bài toán ta lập hệ phương trình để tìm ra các hệ số của hàm số y f(x)

- Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số   4 2 với có đồ thị hàm số

yf x ax bx c a 0

như hình vẽ bên Biết rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với đường '(x)

thẳng y 2 đồng thời đi qua điểm M 2; 14   Giá trị của biểu thức P  a b c là?

P a b c

2

     P a b c 3

2

     P a b c 5

2

     P a b c 1

2

   

Giải : Từ hình vẽ của đồ thị hàm số   3 đã cho ta nhận thấy rằng:

yf ' x 4ax 2bx

 

f ' 1   4 4a2b  4 2a  b 2

Hơn thế nữa, ta có a0, b0 và đồ thị

hàm số chỉ có duy nhất 1 điểm cực đại do vậy để

đồ thị hàm số yf x  tiếp xúc với đường thẳng

thì

y 2 c 2

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm M 2; 14  

nên 16a4b c  14

Do vậy ta tìm được a 1, b 1, c 2 nên

2

      P a b c 7

2

    

Chọn đáp án A

yf x ax bx cxd a, b, c, d¡ , a0

(C) Biết rằng (C) tiếp xúc với đường thẳng y 13 tại điểm có hoành độ dương và đồ

3



thị hàm số y f '(x) cho bởi hình vẽ bên Giá trị 3a2b c d là?

Giải :

Tìm a, b, c ta tính   2 sau đó

f ' x 3ax 2bxc giải hệ sau:

 

 

 

1 a

f ' 2 0 12a 4b c 0 3

f ' 2 0 12 4b c 0 b 0

f ' 0 4

  

 Vậy   1 3 Để tìm d ta chú ý rằng (C) tiếp xúc với đường thẳng

f x x 4x d

3

   

tức là tại các điểm cực trị là hoặc (Được suy ra bởi đây

13

y

3

3

là nghiệm của phương trình f ' x  và là giao điểm của đồ thị hàm số f f ' x với trục hoành - Xem hình ban đầu)

Mặt khác (C) tiếp xúc với đường thẳng y 13 tại điểm có hoành độ dương

3



như vậy ta chỉ cần giải phương trình y 13 là sẽ tìm được

3

Chọn đáp án D

yf x ax bx cxd a, b, c, d¡ , a0 Biết rằng đồ thị hàm số y f '(x) cho bởi hình vẽ bên và điểm cực đại của đồ thị (C) nằm trên trục tung và có tung độ bằng 2 Xác định giá trị của P   a b c d

P

3

3

3

3



Gi ải :

Tương tự như bài trên, ta giải hệ: Chọn đáp án A

 

 

 

 

f ' 0 0

f ' 2 0

f ' 1 1

f 0 2









 





Ví dụ 4: (trích trong mã đề 102 thi TNTHPT năm 2017)

Cho hàm số y f x( ) Đồ thị của hàm số y f '(x) như hình bên

Đặt 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

( ) 2 ( ) ( 1)

g x  f x  x

A g( 3) g(3)g(1)

B g(1)g( 3)  g(3)

C g(3)g( 3)  g(1)

D g(1)g(3) g( 3)

y

x

3



O

4 2

3

3

1

'( ) 2 '( ) 2 2

'( ) (3) (1)



có

'( ) (2 '(x) 2 x 2)

xét hàm sốy f '(x) x 1

dựa vào công thức tính thể tích

3

1

1

( 2 '(x) 2 x 2) 0 (3) (1)

Tương tự ta sẽ có g(1) g(3)g( 3) Chọn đáp án D

Ví dụ 5: Cho hàm số yf x có đồ thị hàm số

như hình bên Biết hỏi đồ thị hàm số

'(x)

cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

 

yf x

A 4 điểm B 3 điểm

C 1điểm D 2 điểm

Giải:

Dựa vào đồ thị hàm số y f '(x) ta có BBT của hàm số yf x  có dạng như hình vẽ

 

f b

Do f a 0 nên đồ thị hàm số yf x  cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm khi f c 0

Chọn đáp án D

Ví dụ 6: Các hàm số f x , g x    và h x  xác định và có đạo hàm trên ¡ Các hàm số đó có đồ thị tương ứng trong các hình (1), (2), (3) đồng thời các hàm số

y

x

3



O

4 2

3

có đồ thị là một trong số các hình (a), (b), (c) dưới đây Hãy chỉ

     

f ' x , g ' x , h ' x

ra sự tương ứng của đồ thị hàm số và đạo hàm của nó

   

   

   













   

   

   













   

   

   













   

   

   













Đáp án D

* Dạng 2: Từ đồ thị hàm số y f '(x) tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số yf x 

- Phương pháp:

Bước 1: Từ đồ thị hàm số y f '(x) ta chỉ ra các khoảng mà

'(x) 0, '(x) 0

Bước 2: Từ đó ta tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

 

yf x

- Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Cho hàm số f x  xác định trên và có ¡

đồ thị hàm số y f '(x) là đường cong trong hình vẽ

dưới đây Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A f x  đồng biến trên khoảng 1; 2

B f x nghịch biến trên khoảng 0; 2

C f x  đồng biến trên khoảng2;1

D f x  nghịch biến trên khoảng1;1

Giải:

Dựa vào đồ thị hàm số y f '(x) ta thấy '  0 2 và

x

f x

x

 



    

 Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng

x

f x

x





    

Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số y f(x) Biết f(x) có đạo hàm f '(x) và hàm số

có đồ thị như hình vẽ sau Kết luận nào sau đây là đúng?

'(x)

y f

A Hàm số y f(x) chỉ có 2 điểm cực trị

B Hàm số y f(x) đồng biến trên khoảng  1;3

C Hàm số y f(x) nghịch biến trên khoảng ; 2

D Đồ thị của hàm số y f(x)chỉ có 2 điểm cực trị

và chúng nằm về hai phía của trục hoành

Giải:

Vì y '0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số y f(x) có 3 điểm cực trị

Do đó loại hai phương án A, D

Vì trên ; 2 thì f '(x) có thể nhận cả dấu âm và dương nên loại C

Vì trên  1;3 thì f '(x) chỉ mang dấu dương nên y f(x) đồng biến trên khoảng Chọn đáp án B

 1;3

Ví dụ 3: Cho hàm số y f(x)

xác định và liên tục trên đồng thời có ¡

đồ thị hàm số y f '(x) như hình vẽ bên

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số y f(x) đồng biến trên  2; 1

B Hàm số y f(x) đồng biến trên 1;

C Hàm số y f(x) nghịch biến trên 1; 0

D Hàm số y f(x) đồng biến trên 1; 0

Giải tương tự hai ví dụ trên ta chọn được đáp án D

Ví dụ 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên Đường cong trong hình vẽ ¡

bên là đồ thị của hàm số y f '(x) (y f '(x) liên tục trên ) ¡

Xét hàm số    2 Mệnh đề nào dưới đây sai ?

2

g x  f x 

A Hàm số g x  nghịch biến trên  ; 2

B Hàm số g x  đồng biến trên 2;

C Hàm số g x  nghịch biến trên 1;0

D Hàm số g x  nghịch biến trên  0; 2

Giải:

Xét hàm số    2 trên , có

2

Phương trình

2

2

0

2

2 2

x

f x

x x





 

Với x 2 x2 2 0 mà f ' x   0, x 2; suy ra

f x    x 

Bảng biến thiên

x  2 1 0 1 2 

' 2

f x + 0 0 0 0 0 +   

 

g x  + + + 

Chọn đáp án C

Ví dụ 5 (trích trong đề minh họa thi

TNTHPT quốc gia 2018) Cho hàm số y f(x)

Hàm số y f '(x) có đồ thị như hình bên Hỏi hàm số

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

yf 2x

A  1;3 B 2;

C 2;1  D  ; 2 

Giải:.

Ta có f 2   x' f ' 2 x 2  x '  f' 2 x 0 f ' 2 x0

Dựa vào đồ thị ta có: f ' 2 x 0 2 x 1 x 3

1 2 x 4 2 x 1

Vậy hàm số đồng biến trên 2;1 

Chọn đáp án C

* Dạng 3 : Từ đồ thị hàm số y f '(x) tìm điểm cực trị của hàm số y f(x)

hay của hàm số g(x) nào đó có liên quan đến hàm y f(x)

+ Phương pháp:

Bước 1: Từ đồ thị hàm số y f '(x) ta chỉ ra các nghiệm của phương trình '(x) 0

Bước 2: nhận xét: + Nếu qua các nghiệm đó mà f '(x) đổi dấu từ âm sang dương thì tại đó hàm số y f(x) đạt cực tiểu

+ Nếu qua các nghiệm đó mà f '(x) đổi dấu từ dương sang âm thì tại đó hàm

số y f(x) đạt cực đại

+ Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y f(x) xác định và có đạo

hàm f ' x   Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số f ' x  

Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số f(x)

A Hàm số f x  đạt cực đại tại x   1

B Hàm số f x  đạt cực tiểu tại x  1

C Hàm số f x  đạt cực tiểu tại x   2

D Hàm số f x  đạt cực đại tại x   2

Gi ải:

Dựa vào đồ thị hàm số f ' x  ta thấy f ' x  đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x  1 nên x  1 là điểm cực tiểu của hàm số f x 

không đổi dấu khi đi qua điểm nên không phải điểm cực trị

 

Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số y f(x) có đồ thị f ' x  của nó

trên khoảng K như hình vẽ bên Khi đó trên K, hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

(x)

y f

A B C D 1 4 3 2

Giải:

Phương trình f ' x 0 có 3 nghiệm, trong đó có 2 nghiệm kép do tiếp xúc Dạng phương trình     2  Do đó hàm số có duy nhất

f ' x  xx xx y f(x) một điểm cực trị

Chọn đáp án A

Ví dụ 3: Cho hàm số y f(x) liên tục trên Biết rằng đồ thị của hàm số ¡

được cho bởi hình vẽ bên Vậy khi đó hàm số có bao '(x)

y g x f x

2

nhiêu điểm cực đại ?

A 0 B 1 C 2 D 3

Gi ải :

Trước tiên ta nhắc lại kiến thức: Điểm cực đại

của hàm số g x  là điểm mà tại đó hàm số chuyển từ

đồng biến g ' x 0 thành nghịch biến g ' x 0

Mặt khác g ' x f ' x x do đó ta vẽ thêm

đường thẳng yx như ở hình vẽ bên và xét dấu của

biểu thức g ' x f ' x x như ở vẽ dưới đây

Ta nhận xét rằng hàm số g x  có duy nhất 1 cực đại Chọn đáp án B

Ví dụ 4: Cho hàm số y f(x) liên tục và có đạo hàm trên  0; 6 Đồ thị của hàm số y f '(x) trên đoạn  0; 6 được cho bởi hình bên dưới Hỏi hàm số

có tối đa bao nhiêu cực trị R

y f x 

Giải: Đáp án C

Ví dụ 5: (trích trong đề khảo sát

lần 1 của trường THPT Đông Sơn 2 năm

2018) Cho hàm số y f(x) xác định

trên Rvà có đồ thị f ' x  như hình vẽ

Đặt g x   f x x Hàm số g x  đạt

.

.

.

1 y

-1 2

cực đại tại điểm nào sau đây?

A x1 B x2 C x  0 D x 1

Giải:

Ta có:      0 00

0

x 1

g ' x f ' x 1 f ' x 1 x 2







  



g ' x  0 f ' x      1 x ; 1 2;

g ' x  0 f ' x    1 x 1;1  1; 2

Ta có BBT:

 

 

g x

Ta thấy qua x0  1 thì g ' x  đổi dấu từ dương sang âm, qua x0 1 thì g ' x 

không đổi dấu (luôn mang dấu âm) và qua x0 2, g ' x  đổi dấu từ âm sang dương Vậy x0  1 là điểm cực đại của hàm số yg x , x0 2 là điểm cực tiểu của hàm

số yg x 

Chọn đáp án D

* Dạng 4: Từ đồ thị hàm số y f '(x) tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y f(x)trên đoạn [a;b].

+ Phương pháp:

Bước 1: Từ đồ thị hàm số y f '(x) ta lập bảng biến thiên của hàm số

trên [a;b]

(x)

y f

Bước 2: Từ BBT này ta đưa ra kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f(x)trên [a;b]

+ Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số f x  có đạo hàm là

Đồ thị của hàm số được cho như

 

hình vẽ bên Biết rằng f 0       f 3 f 2 f 5

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x  trên đoạn [0;5] lần lượt là

A f 0 , f 5    B f 2 , f 0    C f 1 , f 5    D f 2 , f 5   

Giải:

Từ đồ thị y f '(x) trên đoạn [0;5], ta có bảng biến thiên của hàm số

như hình vẽ bên

(x)

y f

 

f ' x - 0 +

 

f x

CT



Suy ra

0;5

min f x f 2

Từ giả thiết, ta có f 0       f 3 f 2 f 5 f 5       f 3 f 0 f 2 Hàm số f(x) đồng biến trên  2;5

f 3 f 5 f 5 f 2 f 5 f 3 f 0 f 2 f 5 f 0

0;5

max f x  f 0 ;f 5 f 5

Chọn đáp án D

Ví dụ 2: Cho hàm số y f(x) xác định và liên tục

trên 0;7 , có đồ thị hàm số như hình vẽ bên Hỏi

2

 

 

hàm số y f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;7 tại điểm

2

 

 

 

nào dưới đây?

0

x

A x0 0 B x0 2. C x0 1 D x0 3

Giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy