SKKN Hướng dẫn học sinh bài toán thiết diện trong ôn thi học sinh giỏi và thi thpt quốc gia (phần phụ lục) 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪ[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH BÀI TOÁN THIẾT DIỆN TRONG
ÔN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA
(PHẦN PHỤ LỤC)
Người thực hiện: Trần Thị Chinh
Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2018
Trang 2Phụ lục 1
1 Một số phương pháp dựng thiết diện
1.1 Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng….
1 Phương pháp giải
Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T
(thường được gọi là giao tuyến gốc) Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao
điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện
2 Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD) Gọi
I, J là trung điểm SB, SC Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AIJ)
Giải:
Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm
không thẳng hàng A, I, J Có 2 giao
tuyến gốc là AI, IJ
Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài IJ
cắt SK tại E ta có E là điểm chung của
(AIJ) và (SAD)
Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ là
các đoạn giao tuyến tiếp theo Thiết
diện là tứ giác AIJF.
I J
K
A
B S
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn thẳng
AD, AB Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’)
Giải:
Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc Ta tìm thêm giao điểm của MN và các
cạnh hình bình hành ABCD
Trang 3Kéo dài MN cắt CB CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới Nối C’E cắt BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J
Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J
J
I E
F
B A
C
B'
A' D
M
N
Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó
thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các tam
giác DAB, DBC, ABC Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Giải:
Chưa có giao tuyến gốc giữa
mặt phẳng cắt và tứ diện Mặt
phẳng(MNP) có điểm chung P với
mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm
chung nữa ta tìm giao điểm O của
MN với (ABC) Kéo dài DM cắt AB
tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1
mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O là giao điểm của MN và M1N1
OP là giao tuyến gốc Nối OP cắt AB BC tại E, F
N 1
M 1
I
N
O
M A
B
C
D
K
P
Hình a
Trang 4Tùy theo vị trí OP trong tam
giác ABC ta có thiết diện là tứ
giác EFIK (hình a) hoặc tam giác
EFI (hình b)
Khi MN // M1N1 thì giao tuyến
gốc là đường thẳng qua P song
song với M1N1
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường hợp:
a Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD
b Đường thẳng d đi qua điểm C
Giải:
a) d là giao tuyến gốc ta tìm
thêm giao điểm của d với các
cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F
là giao điểm của AB AC, AD
với d
Xét (M, d) và (SAB) có M, H
chung nối MH cắt SB tại N ta có
một đoạn giao tuyến MN Tương
tự nối ME cắt SC tại P, nối MF
cắt SD tại Q
Thiết diện là tứ giác MNPQ
P
A
S
E
M
C
N 1
I
E
N
O A
B
C D
P
F
M
Hình b
Trang 5b) Tương tự phần a lúc này
thiết diện là tứ giác
EC
MNCQ.
E≡C
A
S
M
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi Gọi M, N là trọng tâm các tam
giác SAB và SAD; E là trung điểm CB Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNE)
Giải:
Gọi I là trung điểm SA
Ta có M thuộc BI, N thuộc DI Từ
1
/ / 3
MN BD
IB ID
Xét mặt phẳng (MNE) và mặt
phẳng (ABCD) có E chung và MN
// BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo
giao tuyến EF // BD (F CD)
G
F
E
P
K
N M
I
A
B
C D
S
Q
Ta có EF là giao tuyến gốc Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm
chung của (MNE) và (SAD) Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K,
nối KE, PF Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần
lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.
Trang 61.2 Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song
1.2.1 Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với đường thẳng l.
1 Phương pháp
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt
d và d’ // l.
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d
và (Q) dựng được ngay Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’
2 Ví dụ
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc
cạnh SC Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD
Giải:
Chọn mp (SBD) chứa BD Gọi O là
giao điểm AC và BD Đường thẳng AH
cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH
và SO Trong mp (SBD) kẻ qua I đường
thẳng song song với BD, gọi M, N là giao
điểm của đường thẳng đó và SB SD Mặt
phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN.
Thiết diện là tứ giác AMHN.
H
O
I N
B
S
A
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh CD
không trùng với C và D Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC
a Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P)
b Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành
Giải:
a Chọn mặt phẳng (ABC) BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC)
Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME.
Trang 7(P) và (BCD) có N chung và chứa
hai đường thẳng song song nên
(P) (BCD) theo giao tuyến NF //
BC (F BD), nối MF, EN
Thiết diện là tứ giác MENF.
b Theo cách dựng thiết diện ở phần
a) thiết diện là hình thang MENF
(ME // NF) ta có 1 nên để
2
ME BC
MENF là hình bình hành thì
hay N là trung điểm CD
1
2
NF BC
N
E B
C
D
A
M
F
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC
Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD
Giải:
K E
F
M
N G
J
I
B
C
D
A
K
E
F
M
N G
J
I B
C
D A
Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ Ta có mặt phẳng (IAD) chứa G và AD // (P) (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và song song với AD cắt AI, ID tại M và N
Trang 8Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K.
nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại
nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK
Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.
1.2.2 Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d và l.
1 Phương pháp
Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường thẳng qua M song song với d và l Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng.
2 Ví dụ
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng tâm
tam giác SBD Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SB AC
Giải:
Gọi O là giao điểm AC và
BD Ta có trọng tâm M thuộc
SO Mặt phẳng (M,SB) là (SBD)
trong mp này kẻ qua M đường
thẳng song song với SB cắt SD,
DB tại N, K
Mặt phẳng (M, AC) là mặt
phẳng (SAC) nên qua M kẻ
đường thẳng song song với AC cắt SA SC tại P, I vậy (P) chứa NK, PI.
Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB BC tại E, F
Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.
O
I P
F E
K
N
M
C
D S
Trang 9Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD Dựng thiết
diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’
Giải:
Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) là
(ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’)
khó xác định hơn
Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M,
BD) (P) cắt (ABCD) theo giao
tuyến qua M và song song với BD
cắt AB CB CD lần lượt tại N, F, E
(P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và
song song với AC’ (trở thành bài
toán 1)
H N
G
J
I
F
E
B A
C
B'
A'
D M
EF cắt AC tại I nên (P) (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với AC’ nó cắt CC’ tại J Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H
Thiết diện là ngũ giác MNHJG
Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d) (gọi
là mặt phẳng (P) Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l.
Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA OB
OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’ Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:
a Qua F song song với B’E và A’O
b Qua M song song với A’E và OH
Giải:
a Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng qua
F và song song với A’O khó xác định hơn
Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’ tại K (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O
Trang 10Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được OO'2OI 2 'A J nên A JIO' là hình bình hành Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ thì d cắt OA AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA AA'
Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’) Thiết diện là ngũ giác FKQJM (H1)
Q
J K
I
H
F
E
M
A'
B'
O
B
A
O'
M
L H
E
A'
B'
O
B
A O'
b Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua M
và song song với A’E khó xác định hơn Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua M
đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E.
Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)
Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB)
Nối MT cắt AB tại G
Thiết diện là tam giác MLG (H2).
Trang 111.2.3 Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q).
1 Phương pháp
Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a
Khi đó (P) (R) = a’,a’ // a a’ qua M
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R)
Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.
2 Ví dụ
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD) Điểm M thuộc
cạnh BC không trùng với B và C Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện là hình gì?
Giải:
Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN // AB (NAD)
Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao tuyến NE // SA (ESD)
Mặt phẳng (SCB) chứa M và (SCB)
(SAB) = SB
Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến
MF // SB (F SC) Nối EF, ta được thiết
diện là tứ giác MNEF.
Ta có (P) và (SCD) có MN // CD
(CD // AB) mà (P) (SCD) = EF
Suy ra EF // MN
Thiết diện MNEF là hình thang
F
M
E
A
S
B
N
Trang 12Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh
D’C’ sao choAM MD: D N NC’ : ’ Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD)
Giải:
Theo giả thiết:
MD NC' D N NC D C
Theo định lý Talet đảo MN, AD’,
DC’ cùng song song với một mặt
phẳng (P) nên MN // (C’BD)
Ta có (ABCD) chứa M
và (ABCD) (C’BD) = BD
Nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến
ME // BD (E AB)
F
I
J
E
C B
D
D' A'
N
Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’) (C’BD) = C’D nên (P) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’)
Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’
Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’
Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’
Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ.
Trang 131.3 Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc
I.3.1 Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng d.
1 Phương pháp
Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt phẳng qua M song song với a và a’
(Dựa vào tính chất: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một đường thẳng d thì a // (P) hoặc a (P)).
2 Ví dụ
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam giác BCD Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB
Giải:
Gọi I là trung điểm AB ta có
SI AB (do tam giác SAB đều),
BC AB suy ra (P) đi qua M
song song với BC, SI.
Xét mặt phẳng (P) và mặt phẳng
(ABCD) có M chung và cùng
song song với BC nên
với EF qua
P ABCDEF
M và song song với BC cắt AB
CD tại E, F
G H
F
I
D
A S
Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G
Thiết diện là tứ giác EFGH.
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc
với đáy Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC
Giải:
Trang 14Kẻ AH SC ta có AH (P).
Ta có: BD AC BD, SA
nên BDSC
Vậy (P) chứa AH và song song BD.
Gọi O là giao điểm AC và BD, E là
giao điểm của SO và AH
M
N E
O
C
B
S
H
Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB tại M, N
Ta được thiết diện là tứ giác AMHN.
Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA
= CB = a AA’ = a 2, M là trung điểm CA Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B
Giải:
Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân tại
C nên AB = a 2 Tứ giác ABB’A’ là hình
vuông AB’ A’B
Gọi H là trung điểm AB CH AB
CH (ABB’A’) CH A’B
Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.
Q
P
E
N
M
H A
C
B
B'
C' A'
Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì
P ABCMN
Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với AB’ cắt BB’ tại P Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được thiết
diện là tứ giác MNPQ.
Trang 151.3.2 Mặt phẳng (P) đi qua một đường thẳng d và vuông góc với một đường thẳng l.
1 Phương pháp
Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M.
Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt phẳng (P) là mặt phẳng (H, d).
2 Ví dụ
Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC
đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a Qua AB dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện theo a và h
Giải:
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có
khi đó , gọi M là
SO (ABC) SO AB
trung điểm AB do tam giác ABC đều nên
CM AB AB (SMC)
Trong mp(SMC) kẻ MH SC ta có mặt
phẳng (AHB) SC
Thiết diện là tam giác AHB.
Ta có : 1
2
AHB
S MH AB
H
O M
B S
Theo giả thiết AB = a ta có , ,
2
3
a
3
a
OC
SO = h,
2
3
a
SC SO OC h
Ta có: MH.SC = SO.MC
2
3
3 2
2 3 3
a h
ah MH
h
.
2
2 2
AHB
a h
h a
.
Nhận xét: Mặt phẳng (Q) trong lý thuyết là mặt phẳng (SMC)