SKKN Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức để nâng cao hiệu...

SKKN Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức để nâng cao hiệu quả giải các bài toán trong chương trình THPT 1 MỤC LỤC Trang PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài 2[.]

MỤC LỤC Trang PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

1.5 Những điểm mới của SKKN……… ………… 3

PHẦN 2: NỘI DUNG 4 2.1 Cơ sở lí luận của đề tài……… 4

2.2 Thực trạng của đề tài……… 5

2.3 Giải pháp thực hiện đề tài……… 5

2.3.1.Cách giải các bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất khi tập hợp các số phức là đường tròn……… 5

2.3.2 Cách giải các bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất khi tập hợp các số phức là đường thẳng……… 6

2.3.3 Ví dụ áp dụng……… 7

2.3.4 Một số dạng toán liên quan……… 16

2.4 Kết quả thực nghiệm……… 20

PHẦN 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận……… 22

3.2 Kiến nghị …….……… 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 23

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Nếu văn học là môn học với những lí lẽ sâu sắc, những cảm xúc mạnh mẽ Vật lí nghiên cứu những vấn đề thực tế thì toán học lại cần công thức, lí luận và

cả thực tiễn nữa Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng đòi hỏi người thầy phải là người thực sự dẫn dắt, định hướng và khơi dạy trong học sinh niềm đam mê, hứng thứ học tập để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và giải quyết vấn đề

Năm học 2016-2017, do yêu cầu của thực tiễn, bộ giáo dục đã đổi mới hình thức thi THPT quốc gia, chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm Vì vậy người giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp Trong mỗi tiết dạy cần dạy cho học sinh học được vấn đề gì, chứ không phải giáo viên dạy được gì Hiện nay chương trình SGK giải tích lớp 12, chương vI: Chương

số phức chỉ nêu phần lí thuyết và một số dạng toán cơ bản về số phức mà có rất

ít ví dụ về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức Trong khi cấu trúc đề thi THPT quốc gia và các đề thi thử của các trường, các sở giáo dục thường xuyên có câu hỏi về dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

mô đun số phức Là một giáo viên dạy toán, nhằm cung cấp cho học sinh có được cơ sở để giải các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô

đun số phức, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Một số phương pháp tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức để nâng cao hiệu quả giải các bài toán trong chương trình THPT”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức nhằm phát huy năng lực của học sinh góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thi THPT quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học 2017-2018 Cụ thể là lớp 12C1, 12C6

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử THPT

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 10, 12 (phần tam thức bậc hai, số phức)

2 Phương pháp chuyên gia

- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

3 Phương pháp thống kê toán học

- Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được sau khi tiến hành nghiên cứu

4 Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá)

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm đã nêu bật được cách dạy học sinh trung bình, học sinh yếu cách làm bài tập trắc ngiệm dạng các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức Học sinh được dạy cách xây dựng lý thuyết, làm chắc tự luận để củng cố lại lý thuyết, và cách làm bài tập trắc nghiệm sao cho đúng và nhanh nhất

PHẦN 2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí,đào tạo nhân lực,bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông, đặc biệt là môn toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trong đời sống con người

Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là

bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động trong thời đại mới

Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hoàn thiện, có sức khỏe dẻo dai, rất hiếu động và thích thể hiện mình Các em nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng

sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ Vì vậy người giáo viên phải tạo

ra hứng thứ trong học tập và thường xuyên được tập luyện Người dạy cần phải chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh

Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sung vào năm 2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm các kiến thức mới, các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lại những chuyển biến nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng thú chú ý hơn vào nội dung bài học Nhất là trong thời đại ngày nay, thông tin bùng nổ với tốc độ chóng mặt, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm cần thiết

Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài toán

về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức

2.2 Thực trạng của đề tài

Năm học 2016-2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề thi thử của bộ GD-ĐT và các đề thi thử của các trường THPT,

học sinh thường gặp một câu về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến

mô đun số phức như: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó (điều kiện có thể là đường thẳng hay đường tròn) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môdun số phức z

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Nguyễn Hoàng nói riêng (chất lượng đầu vào thấp),tư duy hệ thống, logic và khái quát của các em còn hạn chế, điều kiện kinh tế của gia đình còn nhiều khó

khăn, rất nhiều sinh viên học đại học ra trường không xin được việc làm Vì vậy 75%

số học sinh trong trường không có nhu cầu học đại học, các em chủ yếu lựa chọn học nghề vừa mất ít thời gian, lại có tay nghề tốt, xin việc lại dễ hơn Vì vậy khi dạy học, giáo viên cần phải phân dạng rất rõ và cho và cho các em luyện tập để tăng tính tập trung và các em vận dụng kiến thức tốt hơn Có thể làm bài tốt trong kỳ thi THPT

quốc gia

Đặc biệt, hiện nay trong SGK chỉ có định nghĩa và một vài bài tập về tìm môdun theo định nghĩa, không có bài tập nào về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môdun số phức cả, khiến học sinh vô cùng lúng túng khi gặp các bài toán này trong các đề thi thử THPT quốc gia Phần này thậm chí còn mới đối với giáo viên Vì vậy

cần có phương pháp phù hợp để học sinh có thể tiếp thu và vận dụng, sau đó là làn nhanh ,chính xác đáp án Trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia thường có một vài câu về chương số phức,câu về lãi suất ngân hàng, dạng này được các sở

GD-ĐT, các trường THPT liên tục ra trong đề thi thử Vì vậy cần phải rèn luyện thành kỹ năng dạng toán này cho các em học sinh

Tuy nhiên với đối tượng học sinh như trường THPT Nguyễn Hoàng tôi không dạy hết các dạng tìm giá trị max, min của mô đun số phức mà chỉ tập trung vào hai dạng chính (chiếm 2/3 số bài toán tìm giá trị max, min của các đề thi) để học sinh đi sâu và thành thạo dạng bài tập này

2.3 Giải pháp thực hiện

Để hiểu và vận dụng được bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môdun số phức vào làm đề thi THPT quốc gia, trước hết giáo viên cần xây dựng các dạng bài thường gặp

2.3.1 Bài toán 1: ( Tập hợp các số phức z là một đường tròn) Cho số phức

thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

z x yi z a bi k

Bài giải

z c di P

Cách 1: Dùng phương pháp lượng giác hóa.

z a bi     k x yi a bi  k xa  y b k

Đặt sin , thỏa mãn điều kiện (1)

cos

  



   

 t0; 2 x y,

Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

P  x c  yd    a c k t    b d k t

P   a c   b d k  k  a c t  b d t

P   a c   b d k  k  a c   b d t

cos

a c

sin

b d

    

khi

P   a c   b d k  k  a c   b d sin(t) 1 

khi

P   a c   b d k  k  a c   b d sin(t)   1

Cách 2: Dùng phương pháp hình học

z a bi     k x yi a bi  k xa  y b k

Đây là phương trình đường tròn tâm I(  a; b) bán kính bằng k

z c di  P 2 2 2 (2)

P  x c  yd

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (  c; d) bán kính bằng P

Yêu cầu bài toán là tìm bán kính Pmax ;Pmin để hai đường tròn trên có giao điểm chung

khi hai đường tròn tiếp xúc trong

max 1

P II k

khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài

min 1

P  II k

Cách này thường được dùng nhiều trong các dạng tính nhanh của bài tập trắc nghiệm

Chú ý: Bài toán trên còn có thể mở rộng thành Cho số phức z x yi thỏa mãn mz a bi k Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nz c di P .

thức, tuy nhiên với đối tượng học sinh như trường tôi thì cần hình thành phương

2.3.2 Bài toán 2: ( Tập hợp các số phức z là một đường thẳng)

Cho số phức z x yi thỏa mãn z a bi   z c di Tìm giá giá trị nhỏ nhất của z c di P Bài giải

Từ điều kiện của đề bài ta có tập hợp các cố phức thỏa mãn z

z a bi   z c di AxBy C  0 

Ta có : 2 2 2 2 2 đây là tam thức bậc hai

A

 

với hệ sô dương ; khi

2

0

2 2

min

4 4

n mr P

m



2

n y m





Chú ý: Học sinh có thể tính nhanh Pmin d I( ; ) 1  khi đường thẳng tiếp xúc 

với đường tròn tâm I1

2.3.3 Ví dụ áp dụng

Sau khi xây dựng công thức xong, giáo viên cho học sinh những bài tập vận dụng, dạng tự luận để các em ghi nhớ công thức.

Bài 1: Số phức z thay đổi sao cho |z| = 1 tìm giá trị bé nhất m và giá trị lớn nhất

M của |z – i | Bài giải

Những ví dụ đầu tiên này tôi cho học sinh làm cả hai cách đề các em vận dụng thành thạo lí thuyết.

Cách 1

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡  Ta có:   2  2 

Đặt x sin ;t y cos ;t t 0; 2.

  2  2   2  

sin cos 1 2 2 cos

0 z i 2 z i 2; z i 0

Cách 2

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡ 

Ta có   2  2 

Đây là phương trình đường tròn tâm I(0; 0) bán kính bằng 1

   2   2  2.

1

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0; 2) bán kính bằng P

1 1

II  Pmax II1k 1 1   2;Pmin    1 1 0

Bài 2: Cho số phức thỏa mãn z z  1 2i  3 Tìm môđun lớn nhất của số phức

2

z i

A 26 6 17  B 26 6 17  C 26 8 17  D 26 4 17 

| Bài giải

Cách 1

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡  z 2i x y 2i Ta có:

     2   2 

Đặt x  1 3 sin ;t y   2 3 cos ;t t 0; 2

2 1 3 sin 4 3 cos 26 6 sin 4 cos 26 6 17 sin ;

max

26 6 17 z 2i 26 6 17 z 2i 26 6 17

Cách 2

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡  z 2i x y 2i

Ta có:       2   2 

Đây là phương trình đường tròn tâm I(1; 2)  bán kính bằng 3

   2  2  2

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0; 2) bán kính bằng P

1 17

II  Pmax II1k 17   3 26 6 17  

Bài 3:

: Cho số phức z thỏa mãn z 12 5  i  3 Tìm giá trị lớn nhất của |z|

Bài giải

Bài tập này tôi không yêu cầu học sinh làm cả hai cách, mà cho các em lựa

chọn một trong hai cách làm Sau đó tôi trình bày cả hai cách lên bảng để các

Cách 1

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡  z 12 5   i x 12 y 5i Ta có:

     2   2 

Đặt x 12 3 sin ;  t y  5 3 cos ;t t 0; 2

12 3 sin 5 3 cos 178 6 12 sin 5 cos 178 6.13 sin ;

max

10 z 16 z 16.

Cách 2

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡  z 2i x y 2i

Ta có:       2   2 

Đây là phương trình đường tròn tâm I(12;5) bán kính bằng 3

  2  2  2.

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0; 0) bán kính bằng P

1 13

II  Pmax II1k 13 3 16   

Bài 4: (Để thi thử trường THPT Phan Bội Châu) Cho số phức thỏa mãn z

Giá trị lớn nhất của là

2 3 1

  

A 13  2 B .4 C 6 D. 13 1 

Bài giải

Cách 1

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡      z 2 3i x 2 y 3i Ta có:

     2   2 

Đặt x  2 sin ;t y  3 cos ;t t 0; 2.

1 3 sin 2 cos 14 2 3 sin 2 cos 14 2 13 sin ;

max

14 2 13 z 1 i 14 2 13 13 1 z 1 i 13 1.

Cách 2

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡      z 2 3i x 2 y 3i

Ta có:       2   2 

Đây là phương trình đường tròn tâm I(2;3) bán kính bằng 1

     2   2  2.

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 ( 1;1)  bán kính bằng P

1 13

II  Pmax II1 1 13 1  

Bài 5:

Cho số phức thỏa mãn z z  1 2i  2 Tìm môđun lớn nhất của số phức z.

A 9 4 5  B 11 4 5  C 6 4 5  D 5 6 5 

Bài giải

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡  Ta có:   2 2

z  i   x  y 

Đặt x  1 2 sin ;t y   2 2 cos ;t t 0; 2

Lúc đó:

1 2 sin 2 2 cos 9 4 sin 8 cos 9 4 8 sin ;

2

đạt được khi

max 9 4 5

Chọn đáp án A.



Bài 6: Cho số phức thỏa mãn z  1 i z  6 2i  10 Tìm môđun lớn nhất của

số phức z.

Bài giải

Gọi z x yi; x ¡ ;y ¡ 

Ta có:

1

i

i

 



Đặt x  2 5 sin ;t y  4 5 cos ;t t 0; 2

Lúc đó:

2

2 5 sin 4 5 cos 25 4 5 sin 8 5 cos 25 4 5 8 5 sin

2

đạt được khi

max 3 5

Chọn đáp án B.



ngiệm , một số đề cần vài bước biến đổi mới về dạng quen thuộc để các em phân

dạng được bài toán và áp dụng công thức thành thạo.

Bài 7: (Để thi thử trường THPT Hậu Lộc 3)

Gọi z x yi x y  ,  R là số phức thỏa mãn hai điều kiện 2 2 và

z  z 

đạt giá trị lớn nhất Tính tích

4

2

9

2

xy 

Bài giải

Học sinh cần xác định được đây là bài toán dạng 1

Đặt z x iy x y  ,  R. Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 2 2

36.

x y 

Đặt x 3 cos , t y 3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có



18 18 sin 6.

4

Dấu bằng xảy ra khi sin 1 3 3 2 3 2 .

          

Chọn đáp án D.



Bài 8: (Để thi thử trường THPT Bỉm Sơn)

Trong các số phức thỏa z z+ + 3 4i = 2, gọi là số phức có mô đun nhỏ nhất z0

Khi đó

A Không tồn tại số phức z0 B z =0 2

Bài giải

Đặt z= x+ yi ( ,x yÎ ¡ ) Khi đó 2 2

z+ + i = Û x+ + y+ =

Suy ra biểu diễn hình học của số phức là đường tròn tâm z I  3; 4

và bán kính R 2

  2  2  2.

Đây là phương trình đường tròn tâm I1 (0; 0) bán kính bằng P

1 5

II  Pmin II1    2 5 2 3 

Bài 9: (Để thi thử trường THPT chuyên KHTN)

Cho số phức thỏa mãn điều kiện : z z  1 2i  5 và w  z 1 i có môđun lớn nhất Số phức có môđun bằng:z

Bài giải

Gọi z x yi x y,  ¡     z 1 2i x  1 y 2i

z  i   x  y   x  y 