CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) - 4 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - 67 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) - 4 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - 67 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) - 4 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - 67 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) - 4 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - 67 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) - 4 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - 67 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) - 4 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - 67 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I

CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu

Kiến thức

+ Biết, hiểu công thức, quy tắc tính đạo hàm

+ Nắm vững tính đơn điệu của hàm số

+ Thấy được mối liên hệ về sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm của nó

+ Biết quy tắc xét dấu đã học ở lớp 10

+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số khi biết bảng biến thiên của hàm số y= f x( ),

+ Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản

+ Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể

+ Vẽ được bảng biến thiên, đồ thị các hàm số cơ bản, các hàm chứa trị tuyệt đối

+ Vận dụng được tính chất của các hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, các hàm hữu tỷ vào giải

nhanh toán trắc nghiệm

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f x( ), y=f u x( ( ) ), y=f u x( ( )±h x( ) )

khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y= f x( ) (y=f′( )x )

Dựa vào đồ thị ta thấy

Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1 )

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K

Nếu f′( )x >0,∀ ∈x K thì hàm số đồng biến trên

- Hàm số f x( ) nghịch biến trên K thì đồ thị hàm

số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống

từ trái sang phải

Xét dấu tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx+ c

dấu như sau:

x −∞ 1

Ta thấy Hàm số đồng biến trên các khoảng

Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K

f′ x ≥ ∀ ∈x K và dấu bằng tại hữu hạn điểm

trên K thì hàm số đồng biến trên K

Hàm số đồng biến Định lí thuận

f′ x ≤ ∀ ∈x K và dấu bằng tại hữu hạn điểm

trên K thì hàm số nghịch biến trên K

Thực hiện các bước như sau:

Bước 1 Tìm tập xác định D Bước 2 Tính đạo hàm y′=f′( )x

Bước 3 Tìm các giá trị x mà f′( )x = hoặc 0những giá trị làm cho f′( )x không xác định

Bước 4 Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp

y=x + x − x+ Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3;1) B Hàm số đồng biến trên (− −9; 5)

C Hàm số đồng biến trên ℝ D Hàm số đồng biến trên (5;+∞ )

Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai

−

=+ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x y x

−

=+ đồng biến trên từng khoảng của miền xác định

y= x − x+ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+∞ )

B Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞ )

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;3)

Chú ý: Dấu hiệu mở rộng khi kết luận khoảng đồng biến (−∞; 0).

Ví dụ 8 Cho hàm số f x( )=x3+x2+8x+cosx Với hai số thực ,a b sao cho a< Khẳng định nào sau b

2 2

Thực hiện theo ba bước như sau:

Bước 1 Tìm các giá trị x mà f′( )x = hoặc 0những giá trị làm cho f′( )x không xác định

Bước 2 Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞ )

A Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (0; 2 )

B Hàm số f x( ) không đổi trên khoảng (1; 2 )

C Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) ( )1;3

D Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) (0;3 )

Hướng dẫn giải

Vì f′( )x = , 0 ∀ ∈x (1; 2) nên f x( ) là hàm hằng trên khoảng (1; 2 )

Trên các khoảng (0; 2 , 1;3 , 0;3 hàm số ) ( ) ( ) y=f x( ) thỏa f x( )≥ nhưng 0 f′( )x = , 0 ∀ ∈x (1; 2) nên

Khi cho bảng biến thiên:

- Trên khoảng (a b nếu ; ) f′( )x mang dấu +

(dương) thì ta kết luận f x( ) đồng biến trên (a b; )

Ví dụ: Cho hàm số y=f x( ) có bảng biến thiên như sau:

- Trên khoảng (c d nếu ; ) f′( )x mang dấu − (âm):

thì ta kết luận f x( ) nghịch biến trên (c d; ) Khi cho đồ thị:

Hàm số y=f x( ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Ví dụ 2 Cho hàm số y=f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho

đồng biến trên khoảng dưới đây nào?

A (−2; 2) B (0; 2 )

C (−1;1) D (1; 2 )

Hướng dẫn giải

- Xét đáp án A, trên khoảng (−1;1) (⊂ −2; 2) đồ thị hướng đi xuống hay hàm nghịch biến trên khoảng đó

- Xét đáp án B, trên khoảng (0;1) (⊂ 0; 2) đồ thị có đoạn hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên đó

- Xét đáp án C, trên khoảng (−1;1) đồ thị có hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên khoảng đó

- Xét đáp án D, trên khoảng (1; 2 đồ thị có hướng đi lên hay hàm số đồng biến trên khoảng đó nên chọn )

Khẳng định đúng là

A Hàm số đồng biến trên ℝ\ 1{ }

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (− +∞ 1; )

D Hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞ 1; )

Hướng dẫn giải

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng (− +∞ đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái qua phải) nên 1; )

hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞ 1; )

Chọn D

Chú ý: Kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng không viết ở dạng ℝ\{ }−1

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên (a b; ) Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A Hàm số y=f x( ) đồng biến trên (a b khi ; ) f′( )x ≥ , 0 ∀ ∈x (a b; )

B Hàm số y=f x( ) đồng biến trên (a b; ) khi f′( )x < , 0 ∀ ∈x (a b; )

C Hàm số y=f x( ) đồng biến trên (a b khi ; ) f′( )x ≤ , 0 ∀ ∈x (a b; )

D Hàm số y= f x( ) đồng biến trên (a b; ) khi f′( )x ≥ , 0 ∀ ∈x (a b; ), trong đó f′( )x = tại hữu hạn 0giá trị x∈(a b; )

Câu 2: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a b; ) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Nếu f′( )x < với mọi x thuộc 0 (a b; ) thì hàm số f x( ) nghịch biến trên (a b; )

B Nếu hàm số f x đồng biến trên ( ) (a b thì ; ) f′( )x > với mọi x thuộc 0 (a b ; )

C Nếu hàm số f x đồng biến trên ( ) (a b thì ; ) f′( )x ≥ với mọi x thuộc 0 (a b ; )

D Nếu f′( )x > với mọi x thuộc 0 (a b; ) thì hàm số f x( ) đồng biến trên (a b; )

Câu 3: Cho hàm số f x( ) đồng biến trên tập số thực ℝ , mệnh đề nào sau đây đúng?

A Với mọi x1>x2∈ℝ⇒f x( )1 <f x( )2 B Với mọi x x1, 2∈ℝ⇒f x( )1 >f x( )2

C Với mọi x x1, 2∈ℝ⇒f x( )1 <f x( )2 D Với mọi x1<x2∈ℝ⇒f x( )1 < f x( )2

Câu 4: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Nếu f′( )x ≥ , 0 ∀ ∈x (a b; ) thì hàm số y=f x( ) đồng biến trên (a b ; )

B Nếu f′( )x > , 0 ∀ ∈x (a b; ) thì hàm số y=f x( ) đồng biến trên (a b; )

C Hàm số y=f x( ) đồng biến trên (a b khi và chỉ khi ; ) f′( )x ≥ , 0 ∀ ∈x (a b; )

D Hàm số y=f x( ) đồng biến trên (a b; ) khi và chỉ khi f′( )x > , 0 ∀ ∈x (a b; )

Câu 5: Cho hàm số 3 2

y=x − x + + Khẳng định nào sau đây đúng? x

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞ ) B Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

3

 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

y= − x +x − + Mệnh đề nào sau đây đúng? x

A Hàm số đồng biến trên (−∞;1) và nghịch biến trên (1;+∞ )

−

=+ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞ ; )

B Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ +∞ ; )

−

=+

Câu 12: Cho hàm số y= 3x−x2 Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

x

=+ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 4 )

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3;+∞ )

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;3)

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; 4 )

Câu 16: Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm ( ) 2

f′ x = x+ −x x+ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− − và 3; 1) (2;+∞ )

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 2)

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 3) và (2;+∞ )

D Hàm số đồng biến trên khoảng (−3; 2) Câu 18: Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên ℝ và có đạo hàm ( ) ( )( )2018( )2019

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 3)

B Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (1; 2 và ) (2;+∞ )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2 )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 2)

Câu 19: Cho hàm số y=f x( ) xác định trên ℝ\ 2{ } và có bảng biến thiên như hình vẽ

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A f x( ) nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 2) và (2;+∞ )

B f x đồng biến trên từng khoảng ( ) (−∞; 2) và (2;+∞ )

A Hàm số đồng biến trên (−∞ − ∪; 1) (1;+∞ và nghịch biến trên ) (−1;0) (∪ 0;1)

B Hàm số đồng biến trên (−∞ − ∪; 1) (11;+∞ và nghịch biến trên ) (−1;11)

C Hàm số đồng biến trên (−∞ − ∪; 1) (1;+∞ và nghịch biến trên ) (−1;1)

D Hàm số đồng biến trên (−∞ − ∪; 1) (1;+∞ và nghịch biến trên ) (−1;0) và (0;1 )

Câu 21: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Bước 2 Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: a= , thay trực tiếp vào (1) để xét 0

Trường hợp 2: a≠ , tính 0 ∆ =′ b2−3ac Hàm số nghịch biến trên 02

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−20; 2] để hàm số 3 2

y=x −x + mx− đồng biến trên ℝ ?

Ví dụ 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số ( 2 ) 3 ( ) 2

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞ ⇔; ) y′ ≤ với x0 ∀ ∈ ℝ

Với m= ta có 1 y′ = − < với x1 0 ∀ ∈ ℝ nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞ Vậy ; ) m= là giá 1

1 0

m x

112

m m

Thực hiện theo các bước sau

−

=+ nghịch biến trên từng khoảng xác định

m y x

+

′ =+ Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì 2+m< ⇔0 m< − 2

Mặt khác m là số nguyên dương nên không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Các giá trị của tham số m để hàm số 1

1

mx y x

+

=+ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó là

m y

−

′ =+

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

2 210

m y

Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên K và

( )

min

Khi đó bất phương trình f x( )≥m nghiệm đúng

với mọi x∈K khi và chỉ khi m≤A

Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên K và

( )

max

Khi đó bất phương trình f x( )≤m nghiệm đúng

với mọi x∈K khi và chỉ khi m≥B

thì y′ sẽ đổi dấu khi đi qua điểm x= ⇒ hàm số sẽ có khoảng đồng biến và nghịch biến Do đó để hàm 0

số đồng biến trên ℝ thì điều kiện cần là g( )0 = 0

m m m

Chọn A

Lưu ý: Nếu g( )0 ≠ thì y′ luôn đổi dấu khi x qua 0, do đó nếu 0 g x( )= vô nghiệm thi sẽ luôn có một 0

khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến

Ví dụ 2 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Do đó điều kiện cần để hàm số đồng biến trên ℝ là x= là nghiệm của 0

A 2018 B 2019 C 2020 D 2017

Xét hàm f x( )=sinx−cosx trên ℝ

Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (α β; ) cho trước

Bài toán 2.1 Hàm số y=ax3+bx2+cx+ đơn điệu trên khoảng cho trước d

αα

ββ

00

Để hàm số nghịch biến trên đoạn [2; 3 thì phương ]

trình (1) có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2

1 2 3 2

x≤ < ≤x Điều này xảy ra khi và chỉ khi

( ) ( )

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞ thì ta xét hai trường hợp )

- Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên ℝ⇒y′≥0,∀ ∈x ℝ

Lưu ý: - Hàm số đồng biến trên ℝ thì sẽ đồng biến trên khoảng (2;+∞ )

- Bảng biến thiên của hàm số f x( )=y′ khi phương trình y′ = có hai nghiệm 0 x x 1, 2

Ví dụ 2 Các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 ( ) 2 ( )

3

y= − x + m− x + m+ x− đồng biến trên khoảng (0;3 là )

Bước 2 Hàm số đơn điệu trên (x x1; 2)⇔y′= có 0

hai nghiệm phân biệt { 0

x x a

Thực hiện theo các bước sau

khi 4− m< ⇔0 m> (* *) 0

Từ (*) và (* *) suy ra m∈(0;3]

Mà m nguyên nên m∈{ }1; 2 Vậy m∈{1; 2;3} là các giá trị cần tìm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 3

4

x y

+

=+ nghịch biến trên khoảng

+

=+ trên khoảng (−∞ −; 10)?

2

m m

m m

Bước 2 Chuyển về bài toán tìm tham số về một bất

phương trình nghiệm đúng với mọi x∈D

+

⇔ ≤ − , ∀ ∈x [ ]1; 2

[ ] 2 1;2

Kết hợp với m nguyên không âm suy ra m∈{0;1; 2}

Vậy có ba giá trị nguyên không âm của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

+∞

( )1 5 5

⇔ −m≤ ⇔m≥ −

Mà m là số nguyên âm nên m∈ − −{ 2; 1}

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn

Chọn A

Ví dụ 3 Cho hàm số 1( 3 ) 4 3 ( ) 2

4

y= m − x − x + m− x − x+ với m là tham số Số các giá trị

nguyên m thuộc đoạn [−2018; 2018] để hàm số đã cho đồng biến trên 1; 1

g x g x y

′

- Hàm số y=ax3+bx2+cx+d đồng biến trên [α;+∞ khi và chỉ khi ) y′ > với 0 ∀ ∈x [α;+∞ )

+

=+ đồng biến trên từng khoảng xác định?

+

=+ đồng biến trên từng khoảng xác định?

A 2935144 B 2035145 C 2035146 D 2035143

Câu 21: Có bao nhiêu giá tri nguyên của tham số m để hàm số 10

2

mx y

+

=+ nghịch biến trên khoảng

−

=+ đồng biến trên khoảng ;

Dạng 3: Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bài toán 1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y= f x( ), y= f u x( ( ) ),

Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm

phương trình f′( )x = , nghiệm của bất phương 0trình f′( )x ≥ và nghiệm của bất phương trình 0

Ví dụ 1 Cho hàm số y=f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số y= f x( 2+2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( ) 22

2

11

x

x x

Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f′( )x → xác định được nghiệm của bất phương trình f′( )x ≥ và 0

nghiệm của bất phương trình f′( )x ≤ 0

- Hàm số y=g x( ) nghịch biến → đánh giá y′ ≤ 0

Với dạng toán này cần tìm những giá trị của x sao cho ( )

( ) 0

f′ x = , nghiệm của bất phương trình f′( )x ≥ 0

và nghiệm của bất phương trình f′( )x ≤ ) 0

Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

A (1; 2 ) B (2;3 )

C (−1; 0) D (−1;1)

Hướng dẫn giải

Hàm số y= −f x( ) có y′= −f′( )x Hàm số y= −f x( ) đồng biến khi và chỉ khi

( )

y′≥ ⇔ f′ x ≤ Dựa vào đồ thị ta có f′( )x ≤ với mọi 0 x∈[0; 2] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2 )

Chọn A

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số y=f x( )=ax3+bx2+cx+d (a b c d, , , ∈ ℝ có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị như )

hình vẽ Đặt hàm số y=g x( )= f(2x−1) Hàm số y=g x( ) nghịch biến trên khoảng

A (−1;0) B (− − 8; 1) C (1; 2 ) D (0;1 )

Hướng dẫn giải Cách 1: Hàm số y=g x( )=f(2x−1) có y′=g x′( )=2f′(2x−1)

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi

A g x( ) nghịch biến trên khoảng (0; 2 )

C g x( ) nghịch biến trên khoảng 1;0



=

+ =

- Hàm số f x đồng biến trên ( ) (0; 2)→ Hàm số y= −f mx( +1) nghịch biến trên 0 1 2 1

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y=f u x( ( ) ),

nghiệm phương trình f′( )x = , nghiệm của bất 0

phương trình f′( )x ≥ và nghiệm của bất phương 0

00

x a



= −

+ =

y=g x = f x + x − x Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số y=g x( ) đồng biến trên khoảng (−∞;1)

B Hàm số y=g x( ) đồng biến trên khoảng (1; 2 )

C Hàm số y=g x( ) đồng biến trên khoảng (0;1 )

D Hàm số y=g x( ) nghịch biến trên khoảng (−2;1)

Câu 6: Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Câu 8: Cho hàm số bậc ba y=f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hàm số f(3x−2) nghịch biến trên khoảng

(α β; ) Khi đó giá trị lớn nhất của β α− là

A g x( ) nghịch biến trên khoảng (0; 2 )

B g x đồng biến trên khoảng ( ) (−1;0)

C g x( ) nghịch biến trên khoảng 1;0

D g x đồng biến trên khoảng ( ) (−∞ − ; 1)

Câu 10: Cho hàm số y=f x( ) có đồ thị như hình dưới đây Hàm số

Câu 11: Cho hàm số y=f x( ) có đồ thị dưới đây Số giá trị nguyên

của tham số m để hàm số y= f x( 2+ +x m) nghịch biến trên (0;1 là )

A 0

B 1

C 2

D 3

Câu 12: Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị hàm f′( )x như hình vẽ dưới đây Hàm

số g x( )= f x( 2−x) đồng biến trên khoảng nào?

Câu 15: Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên ℝ Biết đồ thị hàm

số y=f′( )x như hình vẽ Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham

số m thoả mãn m∈ −( 2019; 2019) sao cho hàm số g x( )= f x( −m) đồng biến trên khoảng (−2;0) Số phần tử của tập S là

x

nghịch biến trên khoảng

A 1;32

y= f x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A 1;32

Câu 19: Cho hàm số y=f x( ) Đồ thị hàm số y= f′( )x như hình

bên và f( )2 = f( )−2 = Hàm số 0 ( ) ( ) 2

3

g x =f −x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A (−2; 2) B (1; 2 )

C (2;5 ) D (5;+∞ )

Câu 20: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hàm số y=f′(2−x) như hình vẽ

bên Hàm số y=f x( ) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Đặt ( ) ( ) 1( )2

1 20192

g x =f x−m − x−m− + với m là tham số thực Gọi S là tập các giá trị nguyên

dương của m để hàm số y=g x( ) đồng biến trên khoảng (5;6 Tổng các phần tử của S bằng )

Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình

Bài toán 1 Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình

+ −

=+

So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là S=[ ]1; 4 ⇒ + = a b 5

Ví dụ: Cho hàm số f x( )=x3+ Có bao nhiêu x

giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f x =x + −x Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(f x( ) )= x

có nghiệm trên đoạn [ ]1; 4 là

2

t − t=m có nghiệm trên [ ]0;1 Xét hàm số ( ) 2

2

g t =t − t, t∈[ ]0;1

Ta có g t′( )=2t−2;g t′( )= ⇔ = 0 t 1Suy ra

[ ] ( )

[ ]0;1 ( )

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1− ≤m≤ 0

Mà m∈ ℤ nên m=0;m= − 1

Chọn D

Ví dụ 4 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình

3

2 2

3

m

f x m

Dựa vào hình vẽ thì phương trình (3) vô nghiệm (vì f x( )>0,∀ ) x

Do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ⇔( )2 có ba nghiệm phân biệt hay

+ −

=+

x c

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 2

2019m+ 2019m+x =x có nghiệm?

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình 3m+33m+3sinx=sinx có nghiệm?

Câu 13: Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình

vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

sinx 2−cos x2 −2 2cos x+m+1 2cos x+m+2=3 2cos x+m+ Có 2

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng một nghiệm 0;2

3

∈ ?

Câu 15: Cho hàm số f x liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ ( )

Các giá trị của tham số m để phương trình

3

2 2

DẠNG 2 Các bài toán chứa tham số

11-A 12-C 13-D 14-A 15-D 16-A 17-A 18-D 19-D 20-D 21-C 22-C 23-B 24-C 25-A 26-A 27-C

DẠNG 3 Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

11-B 12-C 13-C 14-C 15-C 16-C 17-B 18-D 19-C 20-D 21-A 22-B 23-C 24-C 25-C

DẠNG 4 Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình

11-A 12-A 13-D 14-C 15-C

BÀI 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Mục tiêu

Kiến thức

+ Nắm vững định nghĩa cực trị của hàm số, khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số;

điểm cực trị của đồ thị hàm số

+ Hiểu và vận dụng được các định lí về điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

+ Trình bày và vận dụng được các cách tìm cực trị của một hàm số

+ Nhận biết được các điểm cực trị trên đồ thị hàm số

Kĩ năng

+ Thành thạo tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số đã biết

+ Biết cách khai thác bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị để tìm cực trị

số f

b) x đượ0 c gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu

tồn tại một khoảng (a b; )⊂Kchứa điểm x sao 0

chof x( )>f x( )0 ,∀ ∈x (a b; ) { }\ x0 Khi đó f x đượ( )0 c gọi là giá trị cực tiểu của

hàm số f

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x Khi đó, 0

nếu f có đạo hàm tại điểm x0thìf′( )x0 =0

Chú ý:

1) Điều ngược lại có thể không đúng Đạo

hàm f ′ có thể bằng 0 tại điểm x nhưng hàm số f 0

không đạt cực trị tại điểmx 0

Chú ý:

1) Điểm cực đại (cực tiểu) x được gọi chung là 0

điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )0 của hàm số được gọi chung là cực trị Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K 2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )0

không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

2) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà

tại đó hàm số không có đạo hàm

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

a) Nếu f′( )x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi

qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực 0

tiểu tại điểmx 0

b) Nếu f′( )x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi

qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực 0

đại tại điểmx 0

Định lí 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên

khoảng(a b; )chứa điểmx0,f′( )x0 = và f có đạo 0

hàm cấp hai khác 0 tại điểmx 0

a) Nếuf′′( )x0 < thì hàm số f đạt cực đại tại 0

điểmx 0

b) Nếuf′′( )x0 > thì hàm số f đạt cực tiểu tại 0

điểmx 0

Nếuf′′( )x0 = thì ta chưa thể kết luận được, cần 0

lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm

II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các bài tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị Bài toán 1: Tìm điểm cực trị của hàm số cụ thể

Bước 3 Xét dấu f′( )x Nếuf′( )x đổi dấu khi x

qua điểmx thì hàm số đạt cực trị tại điểm i x i

Cách 2: Dùng định lý 3 Bước 1: Tìm f′( )x

Bước 2: Tìm các nghiệm x i i( =1, 2, )của phương trìnhf′( )x =0

A x= − 1 B x=3

C x=1 D x= − 3

Hướng dẫn giải Cách 1:

Vậy hàm số đạt cực điểm tại điểmx=3

Vậy hàm số có hai điểm cực đại

.1

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm 5, ( )5 4

3

1

11

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm 3

= − + là điểm cực đại

Chọn A

Bài toán 2 Tìm cực trị của hàm số khi biết đồ thị

Phương pháp giải

+) Nếu đề cho đồ thị của hàm ( )f x , xem lại lý thuyết

+) Nếu đề cho đồ thị của đạo hàm, để ý các điều sau để có thể lập được bảng xét dấu đạo hàm:

Đồ thị f x nằm phía trên trục hoành: '( ) f'( )x >0

Đồ thị f x nằm phía dưới trục hoành: '( ) f'( )x <0

y=f như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số f trên

khoảng ( ; )a b là

A 5 B 3

Hướng dẫn giải Cách 1: Trong khoảng ( ; ) a b , đồ thị f'(x) cắt (không tiếp xúc) trục hoành tại 5 điểm nên có 5 điểm cực trị trên ( ; )a b

Chọn A

Cách 2: Nhìn vào hình vẽ dưới đây, f'(x)đổi dấu tổng cộng 5 lần trong khoảng ( ; )a b nên có 5 điểm cực

trị trên ( ; )a b

Chọn A

Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm đến cấp hai trên ℝ và có đồ thị hàm số y= f′′( )x như hình vẽ

dưới đây (đồ thị y=f ′′(x) chỉ có 3 điểm chung với trục hoành như hình vẽ) Số điểm cực trị tối đa của

hàm số là

Hướng dẫn giải

Ta có bảng biến thiên của hàm số y= f ′(x) như sau

Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số y=f ′(x)tại tối đa 2 điểm nên f ′(x)= có tối đa 2 nghiệm phân 0

biệt Vậy hàm sốy=f(x) có tối đa 2 điểm cực trị

Chọn D

Bài toán 3 Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng biến thiên

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y= f(x)có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số có hai cực trị

C Cực đại bằng – 1 D Cực tiểu bằng – 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ví dụ 2: Cho hàm số y=f(x)có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số có ba cực trị B Hàm số có một cực tiểu

C ( 2)f − =f(2) D ( 1)f − <f(2)

Hướng dẫn giải Chọn A

Bài toán 4 Tìm (điểm) cực trị thông qua đạo hàm Phương pháp giải

Đếm số nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm

A Hàm số có đúng một điểm cực trị trên ℝ

B Hàm số có ít nhất một điểm cực trị trên (0; +∞ )

C Hàm số không có điểm cực trị nào trên (0; +∞ )

D Hàm số có đúng hai điểm cực trị trên ℝ

Hướng dẫn giải

Với x∀ > ta có: 0

2 3

có đồ thị như hình vẽ dưới đây ( (x)g đồng biến trên (−∞ − và ; 1)

trên (2;+∞ Số điểm cực trị của hàm số ) y= f(x) là

Bài toán 5 Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng xét dấu, bảng biến thiên của đạo hàm

Ví dụ 1: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây Số

điểm cực tiểu của hàm sốy=f(x) là

số liên tục trên ℝ nên (0)f xác định Vậy hàm số có tổng cộng 4 điểm cực trị

Bài toán 6 Tìm (điểm) cực trị thông qua đồ thị f f, ,′ f ′′

Ví dụ 1: Cho hàm số y= f(x) là hàm đa thức Trên hình vẽ là đồ thị hàm

số y=f(x) trên (−∞; ]a (và hàm số y=f(x)nghịch biến trên(−∞ − ), ; 1]

đồ thị của hàm số y=f ′(x) trên [a b; ] (và f ′(x )0 = ), đồ thị của hàm số 0

Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau:

* Hàm số y=f(x)nghịch biến trên (−∞ − nên ; 1) f ′(x)<0, x∀ ∈ −∞ − và đồng biến trên ( ; 1) (−1; a)nên

Lại có f ′′(x)>0, x∀ ∈(x ;1+∞ Vậy trong khoảng ) (x ;1+∞ , phương trình ) f ′(x)= có tối đa 1 nghiệm, 0

và nếu có đúng 1 nghiệm thì f ′(x)đổi dấu khi qua nghiệm ấy

Vậy f ′(x)có tối đa 3 nghiệm (bội lẻ) nên hàm số y=f(x)có tối đa 3 điểm cực trị

Ví dụ 2: Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm cấp hai liên tục trên ℝ Trên hình vẽ là đồ thị hàm số (x)

y=f trên đoạn[−2;3], đồ thị của hàm số y=f ′(x)trên(−∞ − , đồ thị của hàm số ; 2] y=f ′′(x)trên[3;+∞ Hỏi hàm số ) y=f(x) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau:

+ Đồ thị của hàm số y=f ′′(x)trên [3;+∞ cắt trục hoành tại điểm ) x=5,f ′′(x)< khi 0 x∈(3;5)và (x) 0

f ′′ > khi x∈(5;+∞ )

+ Đồ thị của hàm số y= f x′( )trên (−∞ − cắt trục hoành tại điểm x; 2] = −5,f ′(x)< khi 0 x∈ −∞ −( ; 5)và ( ) 0

f x′ > khi x∈ − −( 5; 2) + Đồ thị hàm số y=f(x)trên đoạn [−2;3]: hàm số đồng biến trên (− − và2; 1) (2; 3 ; hàm số nghịch biến )

Câu 1: Hàm số y=2x3−x2+ có điểm cực đại là 5

A x = 1

Câu 2: Hàm số y=x4−4x3− 5

A nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu B nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu

C nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại D nhận điểm làm điểm cực đại

Câu 3: Cho hàm số y= f(x)liên tục trên đoạn [−4;3]và có đồ thị

trên đoạn [−4;3]như hình vẽ bên Đồ thị hàm số có bao nhiêu

Câu 5: Cho hàm số y=f(x)có bảng biến thiên như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

B Hàm số đã cho có một điểm cực đại và có một điểm cực tiểu

C Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

Bài tập nâng cao

Câu 7: Cho hàm số y= f(x)có đạo hàm cấp hai liên tục trên ℝ Trên hình vẽ là đồ thị hàm số y=f(x)

trên đoạn (−∞; a] (và hàm số y= f(x)nghịch biến trên(−∞ − ), đồ thị của hàm số ; 2] y=f ′(x)trên [ ]a;1

đồ thị của hàm số y=f ′′(x)trên [1;+∞ (và hàm số ) y=f ′′(x)luôn đồng biến trên[b;+∞ ) Hàm số )

Dạng 2: Cực trị hàm bậc ba Bài toán 1 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm cho trước Phương pháp giải

Ví dụ 1:

Bước 1 Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm

0

xthìf′( )x0 = , tìm được tham số 0

Bước 2 Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào

hàm số ban đầu để thử lại

Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc

nghiệm như sau:

+) Hàm số đạt cực tiểu tại ( )

( )

0 0

0

0.0

0

0.0

Ví dụ 2: Hàm số f x( )=ax3+bx2+cx+dđạt cực tiểu tại điểm x=0,f( )0 = và đạt cực đại tại 0

điểmx=1,f( )1 = Giá trị của biểu thức 1 T= +a 2b−3c+dlà

Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có

cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y′ = có hai nghiệm phân biệt 0

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số 3 2

73

7

y=x + + , đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị x

Vậy m= thỏa mãn yêu cầu 0+) Xétm≠ , để hàm số có cực trị thì 0 y′= có hai nghiệm phân biệt0 ⇔ ∆ > ′ 0

⇔ − > ⇔ < Hợp cả hai trưởng hợp, khi m< thì hàm số có cực trị 1

Chọn B

Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba (bậc cao nhất) có chứa tham số thì nên chia hai

trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0

+) Vớim= , hàm số trở thành 0 y= + là hàm đồng biến trên ℝ nên không có cực trị, nhậnx 2 m= 0

+) Xétm≠ , hàm số không có cực trị khi 0 y′= có nghiệm kép hoặc vô nghiệm 0

Nhắc lại các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn:

Cho tam thức bậc haif x( )=ax2+bx+ Xét phương trìnhc f x( )=0 * ( )

(*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ac< hay0 P< 0

(*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

S P

S P

(*) có hai nghiệm phân biệt ( 1 )( 2 )

1 2

1 2

0.2

Chọn A

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 3 ( ) 2 ( )

y=mx +m m− x − m+ x− có hai điểm cực trị đối nhau?

m m

40