Toán học mới, một hiện tượng đặc biệt trong lịch sử giáo dục toán học thế giới

Từ năm 1955, Uỷ ban phụ trách tuyển sinh đại học CEEB: College Entrance Examination Board bao gồm cả các nhà toán học, GV giáo viên phổ thông và giảng viên đại học đã làm việc liên tục

Educational Sciences 2022, Volume 67, Issue 1, pp 160-175

This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn

TOÁN HỌC MỚI, MỘT HIỆN TƯỢNG ĐẶC BIỆT

TRONG LỊCH SỬ GIÁO DỤC TOÁN HỌC THẾ GIỚI

Trần Cường

Khoa Toán Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Tóm tắt Bài báo này trình bày hai kết quả nghiên cứu lí luận về phong trào Toán học mới

(NewMath - THM), một hiện tượng đặc biệt trong lịch sử giáo dục toán học (GDToH) thế giới Trước hết, một bản lược sử của phong trào được làm rõ theo một mạch logic chặt chẽ: bắt nguồn từ nhu cầu của việc dạy toán cao cấp ở bậc đại học, phong trào được kích hoạt nhờ hoàn cảnh đặc biệt của thời kì hậu chiến tranh thế giới thứ hai Dưới sự lãnh đạo của giới toán học, THM đã góp phần thay đổi bộ mặt của việc dạy và học toán trong nhà trường từ nửa sau thế kỉ XX Mặc dù hứng chịu khá nhiều chỉ trích và dần đi vào bước thoái trào,

nhưng di sản của Toán học mới là không thể phủ nhận Ngoài ra, việc hệ thống hoá một số

bài học đã được giới nghiên cứu tổng kết còn nguyên giá trị đối với công cuộc cải cách chương trình giáo dục ở nước ta hiện nay

Từ khoá: Toán học mới, lịch sử giáo dục toán học, cải cách chương trình

1 Mở đầu

Trong công cuộc đổi mới giáo dục (GD) phổ thông hiện nay, nói riêng trong khuôn khổ môn Toán, chương trình (CT) mới có những thay đổi căn bản, sâu sắc đòi hỏi việc triển khai phải đúng đắn, thống nhất về định hướng, cụ thể về giải pháp và đồng bộ, thận trọng trong triển khai Việc tìm hiểu rõ để có thể học hỏi những bài học, kinh nghiệm từ những cuộc cải cách trước đây là hết sức quan trọng Trong bài báo này, tác giả tìm về một điểm mốc quan trọng đã thay đổi bộ mặt GDToH trên toàn thế giới từ nửa sau thế kỉ XX là phong trào THM

THM được phát động và triển khai rầm rộ theo những văn bản chính thức phát hành bởi Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD: Organization for Economic Cooperation and

Development, [1, 2], 1961) Những nhà toán học chuyên nghiệp lãnh đạo phong trào, trong nỗ lực nhân rộng phong trào rất coi trọng “mặt trận tuyên truyền”, họ công bố khá thường xuyên trong lĩnh vực dạy học môn Toán trong hai thập niên 1960, 1970, chẳng hạn: Wooton, [3], 1965; Begle, [4], 1969 hay Dieudonné, [5], 1971;… Nỗ lực này đã đưa THM thành phong trào rộng khắp, phát triển mạnh mẽ trên nhiều châu lục, trong khoảng 2 thập kỉ

Tuy vậy, ngay trong những thời điểm cao trào nhất, THM cũng không thắng thế tuyệt đối Luôn có một làn sóng ngọn lửa phản đối, từ âm ỉ đến quyết liệt, cả trong số những toán học chuyên nghiệp và trong cộng đồng GDToH đối với THM, mà tiêu biểu là chuỗi phản biện của phe đối lập, đứng hàng đầu là Kline, M ([6], 1958; [7], 1961 và [8], 1973)

Ngày nhận bài: 19/12/2021 Ngày sửa bài: 19/1/2022 Ngày nhận đăng: 26/1/2022

Tác giả liên hệ: Trần Cường Địa chỉ e-mail: trancuong@hnue.edu.vn

161

Giá trị và ảnh hưởng của THM là không thể phủ nhận, nhưng trên thực tế, từ cuối thập kỉ

1970, phong trào dần đi vào bước thoái trào một cách lặng lẽ, hầu hết các CT có khuynh hướng THM đều dần bị thay thế Mặc dầu vậy, THM không bị lãng quên trong bầu không khí sôi nổi của một ngành GDToH non trẻ Những nghiên cứu đều đặn, tiêu biểu giúp lật lại hồ sơ, rút ra

nhiều luận điểm, đưa ra những đánh giá và bài học kinh nghiệm quý báu hậu THM, có thể kể ra

rất nhiều, chẳng hạn Freudenthal ([9], 1978a; [10], 1978b, [11], 1979); Moon ([12], 1986); Malaty ([13], 1999); Terese & Douglas ([14], 2001) hay Karp & Vogeli ([15], 2010);…

Năm 2012, J Kilpatrick đã công bố [16], bài báo thuộc dạng siêu nghiên cứu (meta-study)

có viện dẫn một thư mục tài liệu tham khảo gồm 62 công trình từ khi giai đoạn THM ra đời,

sớm nhất là tài liệu Dạy học môn Toán của nhóm sáng lập viên (Gồm những tên tuổi lớn: Piaget, J., Beth, E W., Dieudonné, J., Lichnerowicz, A., Choquet, G., & Gattegno) Hiệp hội quốc tế về nghiên cứu và cải thiện việc giảng dạy Toán học (CIEAEM: Commission

Internationale pour l'Étude et l'Amélioration de l'Enseignement des Mathématiques) để đưa ra cái nhìn toàn cảnh về THM Công trình này được trích dẫn gần 70 lần trên hệ thống Google Scholar, và ảnh hưởng tới những lĩnh vực thời sự của GDToH hiện nay như: Công nghệ thông tin với dạy học môn Toán (Törner, Potari, Zachariades, [17], 2014), GD STEM (Ruthven và cs., [18], 2016), Lịch sử GDToH (De Bock & Van Paemel, [19], 2018), và đặc biệt thời sự là về Giáo dục toán học thực tiến (RME, M van den Heuvel-Panhuizen, M van Zanten, [20], 2020)

Không chỉ trọng đại trong lĩnh vực GDToH, THM còn được nhìn nhận như một hiện tượng nổi bật trong lịch sử khoa học Xem THM như một trong những CT cải cách lớn và gây tranh cãi nhất trong lịch sử khoa học nói chung, lịch sử toán học nói riêng, Phillips C.-J ([21], 2014)

đã phân tích cả mặt tiêu cực - bị phê phán chỉ trích nặng nề của THM cũng như mặt tích cực - công trạng to lớn của phong trào đối với việc đổi mới nội dung dạy học, thúc đẩy sự phá triển của khoa học công nghệ Cuộc tranh luận về CT học, vai trò của các nhà toán học trong thiết kế

CT rốt cuộc quy về những quan điểm khác nhau về bản chất của khoa học toán học

Từ những ngày đầu tiên bước chân vào nhà trường sư phạm, tác giả bài báo này đã được

nhiều lần nghe chuyện kể hấp dẫn từ các bậc thầy của mình nên có một ấn tượng mạnh về Toán học mới và Bourbaki Tuy nhiên, dù đã rất cố gắng tìm kiếm, nhưng những công bố khoa học

bằng tiếng Việt về hai từ khoá này dường như khá hiếm hoi Do đại dịch COVID 19 nên rất khó khăn để tiếp cận những kho lưu trữ dạng bản cứng, nỗ lực tìm kiếm tiếng Việt trên Internet chỉ giúp thu một số bài viết trên những báo đại chúng, mặc dù thông tin cũng rất thú vị, phong phú nhưng thiếu nguồn tư liệu đảm bảo và rất khó kiểm chứng

Bài báo này đưa ra một bức tranh toàn cảnh, hệ thống, logic, có đủ căn cứ, dữ liệu lịch sử

về Toán học mới, từ lịch sử hình thành và phát triển, lên tới đỉnh cao, thoái trào cho tới những di

sản và bài học lịch sử mà phong trào để lại, nhằm đóng góp một tiếng nói tới những nhà cải cách CT, những nhà quản lí và những tác giả viết SGK (sách giáo khoa) ở nước ta hiện nay

2 Nội dung nghiên cứu

Khởi điểm của nghiên cứu là hai câu hỏi hoàn toàn tự nhiên: (1) Những kiến thức Toán chúng ta đã học trong suốt 12 năm phổ thông từ đâu ra? (2) Ai, làm thế nào mà hàng trăm ngàn thứ có vẻ rất phức tạp, lộn xộn, lại có thể được sắp xếp chặt chẽ, quy củ, lớp lang một cách kì diệu như vậy? Tác giả, trước tiên, đã tiến hành tổng kết kinh nghiệm của cá nhân và nhiều nhà khoa học tiền bối, đồng nghiệp tại khoa Toán Tin trường ĐHSP Hà Nội cũng như một số cơ sở

GD khác để đưa ra những lí giải đầu tiên Tiếp sau đó là quá trình nghiên cứu lí luận dựa vào bản toàn văn công trình [16]: hầu hết (hơn 50 trên tổng số 62) tài liệu tham khảo và một số công trình trích dẫn tới đó, một số công trình liên quan khác (tổng cộng hơn 70 công trình) đã được tập hợp, điểm, sắp xếp và đọc kĩ những nội dung cần thiết để bảo vệ cho những trình bày trong bản thảo

Những cứ liệu lịch sử thu thập được cho thấy phong trào THM khởi phát vào cuối thập niên 1950, có liên quan chặt chẽ đến tình hình chính trị sau Chiến tranh thế giới thứ hai Thời gian kéo dài của THM trong khoảng 2 thập kỉ, và đến nay, mặc dù đã thoái lui, vẫn để lại rất nhiều di sản quan trọng cũng như những bài học lịch sử quý báu cho GDToH trên khắp thế giới

2.1 Nhu cầu của giới học thuật

Ở phương Tây, các trường Đại học chính là công xưởng tái sản xuất sức lao động, cần phải

cho ra lò một lớp nhân lực có trình độ cao đáp ứng được đòi hỏi của xã hội Để đáp ứng được

nhiệm vụ này, những công xưởng Đại học phải không ngừng tạo ra tri thức mới bằng hoạt động

nghiên cứu khoa học Từ nghiên cứu khoa học để tạo ra tri thức mới cho nhân loại, tới công đoạn tạo lập những yếu tố công nghệ để triển khai những kĩ thuật sản xuất, không thể thiếu vai trò của Toán học Trong bối cảnh phát triển mạnh mẽ của nền sản xuất ở phương tây giữa thế kỉ

XX, nhu cầu nhân lực chất lượng cao của các ngành khoa học, công nghệ, kĩ thuật nói chung và lực lượng nghiên cứu khoa học - toán học nói riêng có sự tăng đột biến

GDToH trong các nhà trường phổ thông không còn đáp ứng được nhu cầu của thượng tầng đại học

2.1.1 Tại đại học Illinois

Tại Đại học Illinois, Hội đồng Đánh giá về Toán phổ thông (UIC-SM: University of

Illinois Committee on School Mathematics) tập hợp thành viên là các giảng viên toán trong trường đã được thành lập để khảo sát những vấn đề liên quan tới nội dung và phương pháp dạy

học Toán bậc phổ thông để công bố ấn phẩm Yêu cầu về trình độ Toán học cho tân sinh viên trường Công nghệ năm 1951

Từ năm 1955, Uỷ ban phụ trách tuyển sinh đại học (CEEB: College Entrance Examination

Board) bao gồm cả các nhà toán học, GV (giáo viên) phổ thông và giảng viên đại học đã làm

việc liên tục để đưa ra Báo cáo 9 điểm năm 1959, khuyến nghị nhà trường phổ thông những điểm mới, chẳng hạn cần chuẩn bị tốt cho học sinh (HS) về tính chất cấu trúc đại số của các tập

số (N, Z, Q, C) để có thể theo học được các khoá Hình giải tích và Giải tích ở đại học Báo cáo cũng đề nghị nhà trường phổ thông dạy các ý tưởng về sự thống nhất trong toán học thông qua ngôn ngữ tập hợp, hàm số, biến số và quan hệ hai ngôi, dạy phương trình, bất đẳng thức, bất phương trình và khảo sát các hàm thực sơ cấp, xác suất - thống kê ở lớp cuối cấp Hai nguyên

tắc được khuyến nghị là (1) ngôn ngữ toán học được sử dụng phải chính xác và (2) người học phải được khám phá các khái niệm tổng quát

2.1.2 CIEAEM - tiền thân của ICMI tại châu Âu

Bên kia bờ Đại tây dương, CIEAEM đã được sáng lập bởi Caleb Gattegno từ năm 1950 dù

chưa có dự án nào do các chính phủ tài trợ Hiệp hội tập hợp chuyên gia từ các ngành Toán học,

Triết học, Tâm lí, Sư phạm và cả GV Trung học, nhóm họp thường kì để thảo luận về nỗ lực cải

thiện việc giảng dạy Toán học Trong ấn bản đầu tiên L’enseignement des mathématiques

(Piaget, Dieudonné et al., 1955) Lichnerowicz (nhà toán học, chuyên gia về Hình học vi phân)

đã đọc tham luận về một nỗ lực thực nghiệm nhằm đưa tinh thần của toán học hiện đại vào số học, đại số, hình học sơ cấp bằng cách chỉ ra các cấu trúc đại số như nhóm - vành - trường - không gian vectơ nhằm điều chỉnh ngôn ngữ trong giảng dạy Toán học, Với nguồn gốc tư tưởng

của Bourbaki từ nước Pháp, những nhà nghiên cứu lịch sử GD ở châu Âu, đã nhìn nhận sự kiện

này cùng với những nỗ lực đầu tiên của UNESCO vào đầu những năm 1950, đưa chủ đề dạy Toán học trong trường Tiểu học vào CT nghị sự của Uỷ ban quốc tế về giáo dục (IBE:

International Bureau of Education) như sự khởi đầu của một cuộc cải cách song song hai bên bờ Đại tây dương, chứ không coi là hệ quả của một sự tái du nhập từ nước Mỹ ([22], 1986)

163

2.2 Sự kiện Sputnik

Chiến tranh lạnh giữa phương Tây và khối Đông Âu, đứng đầu là Liên bang cộng hoà xã hội chủ nghĩa Soviet đã thúc đẩy một cuộc đua gay cấn về khoa học công nghệ giữa hai phe, mà

ở đó tầm quan trọng của khoa học công nghệ, của Toán học được khẳng định Có thể nói, chiến tranh lạnh chính là một động lực thúc đẩy Toán học và GDToH phát triển mạnh mẽ [23]

Sự kiện Liên Xô lần đầu tiên đưa được tàu vũ trụ không người lái Sputnik vào quỹ đạo trái đất, tháng 10/1957 đã đẩy Hoa Kỳ và phương tây vào thế bị dẫn trước về khoa học công nghệ, đặc biệt là bị đe dọa về vị thế quân sự, chính trị

2.2.1 Nước Mỹ: từ UIC-SM đến SMSG

Do rất cần nâng cao sự chuẩn bị về Toán học hiện đại cho các ứng viên vào đại học cũng như bổ sung gấp lực lượng nghiên cứu toán học và khoa học theo đặt hàng của chính phủ, hai

hội nghị toán học lớn lần lượt tổ chức vào năm 1958, kéo theo sự ra đời của Nhóm nghiên cứu

về toán phổ thông (SMSG: School Mathematics Study Group) được tài trợ bởi quỹ khoa học

quốc gia, ban đầu chủ trì bởi nhà toán học Edward G Begle, sau đó là Trường Đại học Yale Cho đến nay, SMSG vẫn được coi là dự án lớn và nhiều ảnh hưởng nhất về cải cách CT GDToH của Mỹ Dự án đã cung cấp hơn 60 ấn bản định hướng cho việc viết SGK, tập trung vào các chủ đề: phương trình và bất phương trình, cấu trúc đại số và các phép chứng minh, phương pháp toạ độ, đại số và lượng giác, hàm thực sơ cấp

Ở cấp trung học cơ sở (THCS), SMSG chú trọng các khái niệm trừu tượng được định nghĩa chặt chẽ, tính suy diễn khi xây dựng nội dung - thay vì chỉ tập trung vào các tri thức ứng dụng: Lớp 7 và lớp 8, các chủ đề toát lên những ý tưởng trình bày về cấu trúc đại số của các tập số, quá trình mở rộng các tập hợp số, ứng dụng của hình học, độ đo, toán thống kê

Ở cấp Tiểu học, SGK của SMSG bỏ môn Số học, thay bằng tên môn Toán học và đã bắt đầu giới thiệu ngôn ngữ tập hợp, mệnh đề đại số, tính chất giao hoán - kết hợp - phân phối của các phép toán số học; bắt đầu giới thiệu hệ ghi số với cơ số khác 10; Những chủ đề đầu tiên và mới mẻ được thêm thuộc đầy đủ các lĩnh vực hình học, xác suất thống kê, đồ thị, phương trình, bất phương trình (NACOME, [24], 1975)

Thông qua các dự án phát triển CT, SMSG đã tạo ra hơn 4 triệu bản của gần 30 cuốn SGK khác nhau Tại đỉnh điểm của phong trào, gần 75% HS trung học và 40% HS tiểu học trên toàn nước Mỹ đã sử dụng SGK THM

2.2.2 Toán học mới ở châu Âu

Gần như ngay lập tức, Khối hợp tác kinh tế châu Âu (OEEC: Organisation for European

Economic Co-operation), sau mở rộng là OECD đã tổ chức hàng loạt sự kiện, nhóm họp, hội thảo, trong đó có séminaire về Hiện đại hoá CT GDToH và Đào tạo GV toán ở phổ thông từ ngày 23/11 đến 4/12/1959 tại Royaumont, Asnières-Sur-Oise (CH Pháp) Tại đây, chính Jean

Dieudonné đã công bố tuyên ngôn nổi tiếng Đả đảo Euclid! Các tam giác, chết đi (À bas,

Euclid! Mort aux Triangles!), lớn tiếng yêu cầu loại bỏ hình học Euclide khỏi vị trí trung tâm của nó trong GDToH ở bậc phổ thông (Kilpatrick, [16], 2012 và Herrera, Owens, [25], 2001)

Thành viên sáng lập của Bourbaki tin rằng: Để vào đến đại học, tân sinh viên nên là những người thành thạo về Đại số tuyến tính, Hình học giải tích, một số yếu tố của Giải tích - mặt khác cũng phải được trang bị bước đầu nhưng cơ bản về Logic hình thức và đã có những ý niệm về Phương pháp tiên đề , cũng vậy, một ngôn ngữ mới của toán học hiện đại - ngôn ngữ có tính

cấu trúc của lí thuyết tập hợp, ánh xạ, nhóm, không gian véctơ - theo phong cách Bourbaki nên được bắt đầu trang bị ở trường phổ thông Những đề xuất mang nặng ảnh hưởng của Bourbaki tại séminaire Royaumont chính là điểm khởi phát cho hàng loạt nỗ lực cải cách về GDToH ở bậc phổ thông diễn ra trên nhiều quốc gia OECD Nhiều nỗ lực đã được tiến hành ở các quốc gia OECD nhằm hiện thực hoá những đề xuất cải cách ở séminaire Royaumont

Tháng 8, 9 năm 1960, Nhóm chuyên gia họp ở Dubrovnik (Nam Tư) để soạn thảo CT khung cơ bản nhất cho môn Toán ở phổ thông ở châu Âu Mặc dù kết quả của Nhóm chuyên gia chỉ dừng lại ở từng phần của CT (Đại số, Hình học, Thống kê), và hướng tới một nhóm đối tượng chưa mở rộng (một nửa, nhóm HS ưu tú hơn ở Trung học phổ thông) nhưng đã là những căn cứ, động lực quan trọng thúc đẩy các nước thành viên OECD trên con đường cải cách

Sau một Hội nghị tại Đại học Southampton năm 1961, Dự án Toán học phổ thông (SMP:

School Mathematics Project) đã được thiết lập để biên soạn SGK Toán - ban đầu cho nước Anh

- về sau được điều chỉnh để phổ biến trên toàn khối Liên hiệp Anh Một dự án song song, thậm chí còn hiện đại hoá hơn, có tên

+gọi là Thực nghiệm miền Trung (MME: Midlands Mathematics Experiment) cũng được

khởi động trong khuôn khổ Vương quốc Anh

Hà Lan đã thành lập Hội đồng cải cách chươnh trình toán phổ thông (CMLW là từ viết tắt

tiếng Hà Lan của Commission Modernisation of the Mathematics Curriculum) vào năm 1961

với tham vọng không chỉ hạn hẹp ở mức phát triển SGK mà còn đưa ra Hướng dẫn dạy học cũng như đào tạo GV

Ở Bỉ, cải cách được bắt đầu với sáu tập Toán học hiện đại (Mathématique Moderne, danh

từ Mathématique ở dạng số ít ngụ ý một toán học thống nhất) được xuất bản năm 1963 Tháng

12 năm này, tại Hội nghị đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở Athens, OECD đã có hàng

loạt báo cáo khoa học về những cải cách trong GDToH từ năm 1960 từ 20 thành viên trong khối (Áo, Bỉ, Canada, Đan Mạch, Pháp, Đức, Hy Lạp, Iceland, Ireland, Italy, Luxembourg, Hà Lan, Norway, Bồ Đào Nha, Tây Ban Nha, Thuỵ Điển, Thuỵ Sĩ, Thổ Nhĩ Kỳ, Vương quốc Anh và Mỹ) Tại Pháp, năm 1967, chính phủ đã tổ chức một uỷ ban gồm 18 nhà toán học và nhà GD do André Lichnerowicz đứng đầu Ủy ban đã đề xuất một CT giảng dạy, có hiệu lực từ năm 1969, với tư tưởng xây dựng nội dung lấy nền tảng dựa trên lí thuyết tập hợp và cấu trúc toán học theo Bourbaki (Munson, [26], 2010 cho rằng CT 1969 của Pháp này đã sinh ra các SGK quán triệt

Bourbaki mạnh mẽ hơn nhiều so với SGK Mỹ) Các nhà cải cách Pháp nhìn nhận: Toán học hoàn toàn là một khoa học suy luận chứ không phải một khoa học thực nghiệm Chẳng hạn, HS

cần được dạy hình học affine trước hình học Euclid (mặc dù hình học affine có nhiều khái niệm

trừu tượng, tách rời hẳn khỏi thế giới; Vai trò chính của Toán học là động lực phát triển và dẫn đường cho của khoa học, cho cải cách xã hội; Cần cung cấp cho tất cả HS - dù trong tương lai làm nghề nghiệp gì - những tư tưởng mới nhất của toán học hiện đại Với quan điểm này, CT mới đã đưa về phổ thông những khái niệm, từ vựng và biểu tượng của đại số hiện đại, ưu tiên giới thiệu các cấu trúc toán học và phương pháp tiên đề Ở trường trung học, chẳng hạn trong môn hình học, các khái niệm và tính chất cần ưu tiên tính chặt chẽ - logic hơn là trực giác (thậm

chí nên cố gắng loại trừ con đường hình thành kiến thức từ trực giác, như Dieudonné đã tuyên ngôn) Ngay từ lứa tuổi THCS, HS cũng được yêu cầu sử dụng những thuật ngữ toán học chính xác cho mỗi đối tượng toán học - hầu như không có chỗ cho mô tả và nhận biết nhờ trực giác (D’Enfert và Gispert, [27], 2012)

Trong nội bộ OECD, sự phát triển và lan toả rộng rãi của phong trào THM được Kilpatrick

([16, p.565]) mô tả là rất nhanh và rộng rãi: từ cấp học thấp tới cấp học cao, từ CT chuyên biệt dành cho một nhóm đặc thù tới CT phổ cập

2.2.3 Toán học mới phiên bản Anh - Mỹ ở ngoài khối OECD

Báo cáo của Uỷ ban quốc tế về giáo dục toán học (ICMI - Commission on Mathematical Instruction, [10]), khi điểm những sự thay đổi quan trọng trong GDToH thế giới qua hai thập

kỉ, đã kể ra 16 quốc gia, phần lớn ngoài OECD, đã tiến hành những nỗ lực để thay đổi CT giảng

dạy toán học Với những cách làm khác nhau, đạt tới nhiều mức độ ảnh hưởng bởi bối cảnh xã hội, hệ thống GD, nhưng tất cả đều được tính trong phong trào THM: Úc, Bangladesh, Pháp,

165

Anh, Hungary, Ấn Độ, Iran, Hà Lan, Nigeria, Ba Lan, Sierra Leone, Sri Lanka, Sudan, Thái Lan, Hoa Kỳ và Tây Ấn

CT toán học Châu Phi, thông qua một số dự án tài trợ bởi các chính phủ Phương Tây (tiêu biểu như dự án Entebbe (tên của dự án đến từ thành phố Entebbe, Uganda là nơi tổ chức ba hội

thảo mùa hè đầu tiên), [28, 29]) nhằm cải cách CT GDToH bằng cách nhập khẩu tài liệu giảng

dạy theo THM từ phương Tây Trung tâm Phát triển GD Hoa Kỳ đã đưa các nhà phát triển CT giảng dạy từ Mỹ, Vương quốc Anh hoặc những người đã được đào tạo ở đó tới Ghana, Ethiopia, Liberia, Kenya, Malawi, Nigeria, Uganda, Sierra Leone, Tanzania và Zambia cùng với các học giả bản địa tiến hành những Trại viết mùa hè hàng năm trong giai đoạn 1962-1968, xuất bản được 67 bộ SGK và Tài liệu hướng dẫn Zimmerman ([30, pp 11], 2011) ước tính đã có khoảng

2 triệu HS châu Phi được học trọn vẹn theo sách ‘Entebbe Math’ hoặc bản dịch của một số cuốn sách Những tài liệu này gần như là những phiên bản sao lại của sách Mỹ - Anh

Một nỗ lực tương tự đã dược UNESCO tiến hành với thế giới Ả rập vào năm 1966 Nhận được đề nghị của Liên đoàn Ả rập, một nhóm tác giả với 8 / 22 người đến từ Anh - Mỹ đã viết toàn bộ SGK Toán trung học bằng tiếng Anh, rồi sau đó dịch ngược sang tiếng Ả rập (Jacobse, [31], 1996)

2.3 Cải cách giáo dục toán học tại Liên Xô

Nền học thuật tại Liên Xô, có một truyền thống đặc biệt là mối gắn kết chặt chẽ giữa nhà trường phổ thông với các nhà khoa học: từ đầu thế kỉ XX, các nhà toán học hàng đầu đã thường xuyên được mời tham dự - thậm chí làm giám khảo - những kì thi tốt nghiệp THPT [15, pp 63] Người lãnh đạo đổi mới CT GDToH, không ai khác chính là nhà toán học vĩ đại A Kolmogorov, người được xem là đại diện của văn hoá phương Tây tại Liên bang Soviet: nhà toán học vĩ đại nhất, cha đẻ của phong trào thi Olympic Toán, của hệ thống trường chuyên Toán

Lí trứ danh tại Liên Xô, không chỉ quan tâm sâu sắc, viết rất nhiều về GDToH mà còn trực tiếp lãnh đạo cải cách CT với những ảnh hưởng rõ rệt từ THM Mang theo những suy tư về học toán

từ khi còn theo học trong trường của Lusin, khi còn ở đỉnh cao của nghiên cứu toán học, Kolmogorov đã quyết định dành phần đời còn lại để toàn tâm toàn ý cho GDToH bậc phổ thông Ông viết về kế hoạch hiện thực hoá ước mơ của mình vào trước sinh nhật thứ 60: Đặt nền tảng logic để có thể dạy Toán học thực sự cho lứa tuổi 14 - 15; Xoá bỏ khoảng cách giữa phương pháp nghiêm ngặt của toán học với phương pháp không nghiêm ngặt trong các ngành thực nghiệm

Công cuộc cải cách của Kolmogorov, ban đầu, hoàn toàn thuận lợi vì về mặt chính sách: Trung ương Đảng cộng sản Liên Xô đã đồng ý về mặt chủ trương để Hội đồng bộ trưởng Liên

Xô thông qua Quyết sách đổi mới vào tháng 12 năm 1966 Đây là sản phẩm đề xuất của Uỷ ban Trung ương về Cải cách CT GD thành lập vào đầu năm 1965, do một nhà Toán học thân thiết với Kolmogorov là A I Markushevich đứng đầu Trưởng Ban CT Toán chính là Kolmogorov, Trưởng ban CT các môn học khác cũng là những nhà khoa học Soviet nổi tiếng trong chuyên

ngành Ấn bản đầu tiên, Phạm vi kiến thức của CT Toán tám năm (1965) hoàn toàn là sản phẩm

của các nhà toán học lỗi lạc: Kolmogorov, Gelfand, Markushevich, Myshkis, Faddeev, Yaglom

- hoàn toàn không có sự đứng tên của bất kỳ nhà sư phạm hoặc GV phổ thông nào

CT toán được thông qua năm 1968 là cơ sở cho những bộ SGK Toán được viết dưới ảnh hưởng sâu sắc về tư tưởng Toán học - GDToH của Kolmogorov thể hiện trong hàng loạt bài viết, sách, tài liệu hướng dẫn CT và các bộ SGK đã được triển khai rộng khắp từ trung ương

đến địa phương trên đất nước Liên Xô rộng lớn Viện nghiên cứu Trung ương về CT và Giảng dạy có một Trường đào tạo Sau đại học rất mạnh, hoạt động với năng suất rất cao cung cấp nhân lực cho công cuộc Cải cách Khi công việc CT đã ổn định, năm 1970, Ủy ban Trung ương giải

thể, công việc tiếp theo được bàn giao trong cuộc họp liên tịch giữa Đoàn chủ tịch Viện Hàn

lâm khoa học Liên Xô và Học viện khoa học sư phạm Liên Xô, dưới sự chủ trì của Chủ tịch

Viện Hàn lâm khoa học M V Keldysh Một hội đồng phương pháp luận khoa học mới - bao gồm các ủy ban theo những chủ đề khác nhau - được thành lập tại Bộ GD để giám sát việc xuất bản SGK mới và các tài liệu về phương pháp dạy học Uỷ ban toán học do Kolmogorov đứng đầu và

chỉ được thay thế vào năm 1980 bởi viện sĩ A D Aleksandrov cũng là một cộng sự (trẻ hơn Kolmogorov 9 tuổi), đồng tác giả trong nhiều công trình nổi tiếng của ông về Lí thuyết Xác suất

(Hội đồng phương pháp luận khoa học còn tồn tại cho đến năm 1991 khi Liên Xô sụp đổ, rồi

được tổ chức lại thành một hội đồng chuyên gia, vẫn hoạt động tích cực với nhiều đóng góp đáng kể cho nền GD Nga và chỉ mới giải thể vào đầu năm 2003) Cho đến giữa những năm

1970 thì những bộ SGK cơ bản đầy đủ, ổn định

Trong CT Tiểu học, môn Số học được đổi thành Toán học: Cô đọng hơn các phần truyền thống của Số học và đưa thêm một số chủ đề mới chuẩn bị cho Đại số và Hình học ở THCS SGK lớp 4-5 hệ 10 năm của Moro (còn được dùng cho tới tận những năm 1990) còn rất ít yếu tố

số học, đã giới thiệu khái niệm tập hợp và các phép toán tập hợp, phân số và số âm; Đại số với

ký hiệu và phương trình tuyến tính đã được chuyển từ lớp 6 cũ xuống; Các chủ đề về hình học cũng được mở rộng, HS đã được làm quen với phương pháp toạ độ trên đường thẳng và trong mặt phẳng, phép đối xứng và phép quay; Số học được nâng tầm với khái niệm đồng dư; Các bài tập cũng được nâng cao độ khó

Ở bậc THCS, hình được định nghĩa bởi tập hợp điểm, chính thức hoá phương pháp tiên đề, các phép biến hình (với định nghĩa ánh xạ) được dạy một cách hệ thống (ở lớp 7, đã có phép phép đồng dạng, đặc biệt là phép vị tự); SGK cũng chủ động chuẩn bị tâm thế để HS có thể học những hình học khác, ngoài hình học Euclid thông qua giới thiệu các tính chất của hàm khoảng cách (lớp 6); Khái niệm vectơ được dạy ở lớp 7 và đến lớp 8 đã có các hàm lượng giác với miền xác định chiếm hết cả đường tròn lượng giác; Lớp 8 đã có một chương giới thiệu hình học không gian và mặt phẳng toạ độ (tới phương trình đường thẳng và đường tròn);

Kolmogorov nhấn mạnh vai trò của phương pháp tiên đề (Hệ tiên đề Kolmogorov nổi tiếng của Hình học Euclid được đưa ra chính trong thời kì tác giả viết SGK Hình học 8, với mục đích đưa vào CT phổ thông): tất cả các khái niệm đều phải được định nghĩa, tất cả các kết luận đều phải được chứng minh; Trong trường hợp chưa thể làm chính xác hoá (vì thời lượng, độ khó, ), những chỗ "chưa chính xác" như vậy cũng phải được nói rõ Đối với ông, khả năng làm việc với các định nghĩa chặt chẽ chính là biểu hiện không thể thiếu của người có GD

Trong không gian, các khái niệm khó như vectơ, diện tích, thể tích, đa diện, đều được cố gắng định nghĩa chặt chẽ; CT đã đề cập đến phân loại các phép biến hình; Các công thức diện tích, thể tích được xây dựng nhanh chóng bằng tích phân (chẳng hạn diện tích mặt cầu)

SGK phần Đại số và Giải tích bớt hàn lâm hơn do được biên soạn bởi các nhà sư phạm hoặc nhà Toán học có quan điểm ôn hoà hơn (chính Markushevich), nhưng cũng quán triệt quan điểm xoay quanh hàm số và đồ thị (được định nghĩa bằng ngôn ngữ tập hợp); Phần giới hạn và hàm số liên tục được đích thân Kolmogorov hiệu chỉnh, phỏng theo cách viết giáo trình giải tích

ở bậc cao đẳng

Theo Malaty ([32], 1988), THM (1) trở thành phong trào quốc tế rộng khắp vào nửa đầu thập kỉ 70 của thế kỉ XX, (2) được mô tả như động lực nội tại thúc đẩy sự phát triển của Toán

học cũng như các ngành khoa học công nghệ và ứng dụng Ba kỳ hội nghị đầu tiên của ICME (International Congress on Mathematical Education) vào các năm 1969, 1972 và 1976 thuộc về Toán học mới

167

2.4 Toán học mới thoái trào

Trên thực tế, không phải quốc gia phát triển nào cũng có thái độ tích cực hưởng ứng THM

Mặc dù Hiệp hội GDToH Nhật Bản (JSME: Japan Society of Mathematical Education) đã

tổ chức khoảng 15 chuyến tham quan mô hình THM ở phương Tây từ năm 1966 đến năm 1981; hơn 100 nhà nghiên cứu về GDToH Nhật Bản đã tiếp đón và nghe báo cáo chi tiết từ hai nhà toán học làm việc trong dự án SMSG tại Hội nghị Quốc tế về GDToH tổ chức tại Kyoto năm 1964; Năm 1971, 9 học giả Mỹ cũng có dịp trình bày cặn kẽ về triết lí, mục tiêu, CT và phương pháp dạy học môn Toán theo THM trước và 20 nhà GDToH hàng đầu Nhật Bản trong khuôn khổ một seminar liên quốc gia Mỹ - Nhật Cũng đã có một số tiếng nói đơn lẻ tới các cơ quan quản lí GD quốc gia của Nhật, nhưng hầu như không có phản ứng nào đáng kể

Một ví dụ điển hình khác của việc đứng ngoài THM là Hà Lan Freudenthal, nhà GDToH

hàng đầu của Hà Lan, người khởi xướng lí thuyết Giáo dục toán học thực tiễn (RME: Realistic

Mathematics Education) đã đánh giá: THM giống với một cuộc cãi vã om sòm trong một nhóm không thiếu cả những chuyên gia và những người ngoại đạo, mà hệ quả chỉ là một thứ nội dung mặc dù sang trọng, thuần khiết nhưng thiếu ý nghĩa, không thể dạy được, không thể học được đối với trẻ em Người chịu thiệt thòi chính là trẻ em trong các lớp học Ở Hà Lan, việc dạy toán,

CT toán cho trẻ em không bao giờ trở thành đề tài cho những cuộc bút chiến trên mặt báo, trở thành tâm điểm chỉ trích của cha mẹ HS ([10] - 1978 và [11], 1979)

Ngay tại những quốc gia tiên phong về THM cũng có những tiếng nói phản biện ngày càng mạnh mẽ

2.4.1 Phong trào chống Toán học mới ở những trung tâm lớn

Ở Mỹ, học giả hàng đầu của phe chống THM là Morris Kline (Nhà toán học, nhà phản biện

nổi tiếng) Không chỉ phản đối THM, ông còn kịch liệt chỉ trích thái độ cực đoan toán học vị toán học của những nhà nghiên cứu thuần tuý lí thuyết cũng như slogan công bố hay là chết của giới khoa học, mà ông cho là một tôn chỉ huỷ hoại nền học vấn hàn lâm trong sáng Trong 15

năm, Kline đã viết hàng loạt công trình từ [6] (1958), [7], khởi đầu từ bài thuyết trình được thực hiện trước NCTM24, nơi ông lập luận chống lại những gì được coi là hai quan điểm cơ bản của CEEB về Toán học: (i) toán học truyền thống trong nhà trường đã quá lỗi thời, (ii) cái trừu tượng nên được dạy trước cái cụ thể Mặc dù uỷ viên Albert Meder (1958), phản hồi rằng Kline

đã hiểu sai quan điểm của Ủy ban và quá vội vã khi công kích CT từ khi nó chưa ra đời, nhưng Kline vẫn kiên định với cuộc chiến của mình Ông phát động cuộc chiến ([33], 1962) với tuyên

ngôn cải cách giảng dạy toán học là mối nguy hại được coi là nguy hiểm cho sự tiến bộ khoa học của Hoa Kỳ

Năm 1962, bản ghi nhớ Về CT Toán trường trung học do Kline và Lipman Bers từ Đại học

New York, George Polya và Max Schiffer của Đại học Stanford chắp bút đã lấy được ý kiến của

61 nhà toán học nổi tiếng của Mỹ và Canada đã công bố trên cả American Mathematical Monthly và Mathematics Teacher, nhắc lại và nhấn mạnh thêm những lập luận của Kline:

- CT giảng dạy phải đáp ứng nhu cầu của tất cả sinh viên chứ không chỉ hướng tới bộ phận nhỏ trẻ em có thiên hướng nghề nghiệp về toán;

- Không được bắt buộc trẻ em làm quen với kiến thức trừu tượng quá sớm;

- Toán học có mối quan hệ chặt chẽ, thân thiết với các ngành khoa học, chứ không phải là một thiên đường tinh khiết tách biệt;

- Trực giác và phỏng đoán phải có trước những phép chứng minh chính thức;

- Toán học có ở khắp mọi nơi trong cuộc sống, xuất phát từ, làm công cụ cho cuộc sống;

- Trong nhà trường, hoàn toàn không có thứ toán học truyền thống nào lỗi thời đến nỗi cần phải thay thế hoàn toàn bằng toán học hiện đại

Bản ghi nhớ được bổ sung ba năm sau đó bằng việc cập nhật thêm những công trình mới

chống THM [34] (Moise và cs., 1965), cho tới và “phát súng” đanh thép cuối cùng là [8]: Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math “Bản luận tội” này, theo Malaty ([13, pp 233], 1999), những lời chỉ trích về THM của Kline và những người cùng chiến tuyến, hoàn toàn tương tự những tiếng nói phản đối khác ở châu Âu, chỉ có điều là đến sớm hơn và mạnh mẽ hơn Ngay trong nội bộ các nhà cải cách cũng không phải không có những mối nghi ngại M

Beherman, người đứng đầu dự án UICSM đã tự đánh giá sự chuyển động của môn Toán mới từ lớp trung học đến lớp tiểu học ở Hoa Kỳ là vội vàng và thiếu khôn ngoan; Nuôi dạy một thế hệ những đứa trẻ không biết tính toán số học là một điều thực sự nguy hiểm; GV tiểu học thực sự

sợ hãi với CT mới ([35], 1964)

Bên kia bờ Đại Tây dương, sự khởi đầu thuận lợi và êm ả hơn nhiều đối với các nhà cải

cách Ở Pháp, không có một cuộc chiến toán học nào, sự phản đối hầu như không đến từ giới

học thuật mà chủ yếu từ dư luận xã hội từ lo lắng, bối rối tới thực sự quan ngại Những tiếng nói

này tương đối lẻ tẻ khi Uỷ ban cải cách của Lichnerowicz bắt đầu hoạt động (1966), có phần rộ

lên khi Bộ GD Pháp cam kết triển khai CT mới (1970) nhưng cơ bản, dư luận nhanh chóng được trấn an Dieudonné, khi trả lời phỏng vấn với phóng viên American Scientist đã khẳng

định: Chúng tôi không thể chấp nhận việc các nhà quản lí, kỹ thuật viên tương lai dành hầu hết những năm tháng quý giá của tuổi trẻ để tiếp thu những kiến thức vô bổ, được dạy bằng những phương pháp lỗi thời Khi một thế hệ trôi qua, các bậc cha mẹ sẽ không còn lo lắng nữa Với sự giúp đỡ của các nhà toán học chuyên nghiệp, những nhà GD có thể tham gia vào việc giảng dạy Toán học hợp lí từ bậc phổ thông tới cao học ([22, pp 19], 1986)

Tại Bỉ, đất nước hàng xóm, rất gần gũi về văn hoá, giáo dục và là một trong những đồng minh đầu tiên về THM với CH Pháp, những thực nghiệm cải cách đầu tiên được tiến hành còn trước cả sự kiện Sputnik Trên diễn đàn hai hội nghị quan trọng đầu tiên đánh dấu sự quốc tế hoá phong trào THM (Dubrovnik - 1960 và Athens - 1963), hai nhà toán học Bỉ Willy Servais

và đặc biệt là Georges Papy (được coi là nhà toán học và nhà GDToH người Bỉ nổi trội nhất trong kỉ nguyên THM, đã bắt đầu những thử nghiệm kéo dài hơn 10 năm từ cuối những năm

1950 Ông giữ chức Chủ tịch Uỷ ban quốc tế về nghiên cứu và cải tiến giảng dạy toán học CIEAEM - Commission Internationale pour l’Étude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques từ năm 1960) đã lần lượt trình bày những thực nghiệm toàn diện ủng hộ mạnh

mẽ cho tư tưởng của THM Những thử nghiệm này được triển khai từ đầu những năm 1950 theo

gợi ý của Lichnerowicz để điều chỉnh ngôn ngữ, mang tinh thần của toán học hiện đại vào số học, đại số, hình học ở phổ thông, bằng cách chỉ ra cấu trúc nhóm - vành - trường - không gian vectơ [19] Mặc dù bộ SGK Toán học hiện đại (Mathématique Moderne, Papy, 1963 - 1967) đã

trở nên rất nổi tiếng, được dịch ra nhiều thứ tiếng, cũng như vai trò nổi bật của diễn giả tại các diễn đàn nghiên cứu quốc tế đã đưa Papy trở thành một học giả tiên phong của phong trào, nhưng ảnh hưởng của ông đối với giới học thuật trong nước lại không được như vậy Các nhà

tâm lí học, giáo dục học ở Bỉ phản ứng rất dè dặt với các thử nghiệm được cho là thành công

của Papy Đối với họ, những thử nghiệm này còn thiếu kiểm soát và đo lường khách quan, ít kết nối với khoa học GD và được tiến hành bởi một số quá ít ỏi những GV tinh hoa và dù vậy, rất khó có thể nhân rộng (chẳng hạn, theo Hotyat, [36], 1961)

Tại Bắc Âu, Skovsmose ([37], 1979) nhận định THM đã giúp phá vỡ một hệ thống trì trệ ở Iceland cũng như ở Đan Mạch Việc hiện đại hoá nội dung môn Toán đã mở rộng phạm vi toán học ở cấp THCS cho lứa tuổi 13 - 15, hồi sinh không khí và đem lại ảnh hưởng tích cực cho sự phát triển về toán học ở hai nước Tuy nhiên không có bằng chứng nào đủ để kết luận rằng hiệu quả giảng dạy được cải thiện chỉ đơn thuần nhờ cải cách về nội dung, chương trình

Tình hình ở Liên Xô không giống hoàn toàn với phương Tây Việc CT cải cách của Kolmogorov bị tấn công là vì lí do chính, hoặc ít nhất về mặt hình thức, liên quan tới mặt trận

169

chính trị - tư tưởng (Kilpatrick, [16], 2012) Năm 1978, Kolmogorov và CT của mình bị chấn chỉnh (Nhà topo học nổi tiếng Lev Pontryagin lên án: “Những điều này có thể gây nên không gì khác hơn là sự phẫn nộ”, “Đây là một thảm họa Là một hiện tượng chính trị”; Báo chí thì lên án kịch liệt: các tác giả của cuộc cải cách CT giảng dạy đã “gục ngã dưới ảnh hưởng của hệ tư tưởng tư sản từ nước ngoài” về lí thuyết tập hợp) trong một cuộc họp toàn thể của ngành Toán

học tại Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô: Từ những thuật ngữ hiện đại như tương đẳng, những khái niệm khó như vectơ tới việc giới thiệu lí thuyết tập hợp làm nền tảng của xây dựng CT đều được gán ghép cho sự chuyển hoá tư tưởng của Kolmogorov hướng về phương Tây đang ở chế

độ thù địch Trước cuộc tấn công này, Kolmogorov hoàn toàn suy sụp (Gessen, M., [38], pp 61)

2.4.2 Những vấn đề lớn được chỉ ra của Toán học mới

Vào nửa sau thập kỉ 1970, khi phong trào THM lan rộng ra nhiều quốc gia, bắt đầu có

những sự đánh giá về hiệu quả của phong trào, khi so sánh giữa quy mô của các dự án, sự ồn ào của các cuộc tranh cãi hay những khẩu hiệu to tát với hiệu quả về mặt giáo dục đạt được

Trong những khảo cứu của mình về thời kỳ chuyển giao hậu THM, Cowle ([39], 1974), Malaty ([32], 1988) hay Bossé ([40], 1995) đã tổng hợp một số vấn đề của việc dạy và học Toán

từ nhiều nước trực tiếp triển khai hoặc chịu ảnh hưởng của phong trào:

(1) Những dự án phát triển CT được triển khai quá dàn trải, quản lí kém hiệu quả;

(2) Chuyên gia THM phải làm việc quá tải, chồng chéo;

(3) Kết quả của những dự án trên cho ra nhiều CT thiếu đồng bộ (giữa các lớp, các khối, các khu vực, giữa hai CT cũ - mới);

(4) Có những bộ SGK được phát triển quá vội vã, nhiều sai sót;

(5) GV chưa được đào tạo chu đáo để chuẩn bị cho CT mới, vì vậy chưa ngấm để hiểu hết được ý muốn;

(6) HS yếu tính toán và suy giảm kĩ năng toán học;

(7) Thời gian kiểm tra không đầy đủ, phương pháp đánh giá không phù hợp

Dưới áp lực của dư luận, cộng đồng GV và tiếng nói ngày càng mạnh mẽ của các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực GDToH, các CT THM dần dần lung lay, mất vị thế và bị thay thế một phần hoặc hoàn toàn

2.4.3 Toán học mới dần bị thay thế

Kỉ nguyên THM ở Mỹ được cho là kết thúc vào cuối những năm 1970 Dưới áp lực của công luận xung quanh những vấn đề liên quan đến học đường (kết quả học tập - tuyển sinh, thái

độ của HS và GV với môn Toán mới, ), trước sự tấn công từ những học giả phản biện, trước đòi hỏi cần chú trong gia tăng trách nhiệm giải trình trong GD, Hội đồng GV Toán quốc gia (NCTM: National Council of Teachers of Mathematics) đã phát triển những bản khuyến nghị đa dạng về nhiều mặt của quá trình dạy học môn Toán trong trường phổ thông từ đầu những năm

1980 Các báo cáo được thu thập khắp nơi, những cuộc khảo sát được tổ chức rộng khắp trong

GV, nhân viên trường học, nhà khoa học, nhà quản lí, phụ huynh, HS CT hành động (NCTM, 1980), đưa ra một số khuyến nghị cốt lõi: giải quyết vấn đề nên là trọng tâm trong toán phổ thông; nhóm kỹ năng toán học cơ bản nên mở rộng ra ngoài phạm vi tính toán số học và đại số đơn giản; máy tính và phương tiện dạy học hiện đại nên được sử dụng rộng rãi Kỉ nguyên mới hậu THM được thay thế bằng back-to-basis (Fey & Graeber, McLeod, O’Shea, [41, 42, 43] - 2003)

Ở Pháp, ngay trong nội bộ Uỷ ban cải cách đã mất dần sự nhất trí và nhiệt huyết ban đầu

Phần lớn GV trung học không được tập huấn đầy đủ đã không thể thích nghi với CT mới Tiếng nói phản biện từ cộng đồng GV cũng như các hiệp hội nghề nghiệp liên quan ngày càng sắc bén, gay gắt cả về toán học và dạy học Chính một số chuyên gia Toán - Lí cả trong và ngoài Uỷ ban bắt đầu chỉ trích chủ nghĩa hình thức và trừu tượng thái quá của THM - dần được cho là chống lại số đông, thậm chí cũng không thực sự chứng minh hiệu quả đối với cả nhóm HS có thiên hướng nghề nghiệp khoa học Vấn đề bất bình đẳng xã hội cũng được đặt ra khi người ta nhận thấy,