Tính góc giữa 2 mặt phẳng SCB và ABC để thể tích khối chóp lớn nhất.. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho OA+3OB nhỏ nhất.. Chứng tỏ hai đường
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 12
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 3 2
y x m x m (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm m để (C m) và trục hoành có đúng 2 điểm chung phân biệt
Câu II: (2 điểm)
1) Giải phương trình: (sin 2 sin 4) cos 2 0
2sin 3
x
8x 1 2 2x 1
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân:
2
3 0
sin (sin cos )
xdx I
Câu IV: (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA (ABC), ABC vuông cân đỉnh C
và SC = a Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất
Câu V: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
2 x 2 x (2 x)(2 x) m
II PHẦN RIÊNG (3 điểm):
A Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z 1 0 để MAB là tam giác đều
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm hệ số của 20
x trong khai triển Newton của biểu thức
5
3
x
( 1)
n
B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : 3x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) 1 có phương trình x 2 ;t y t z; 4; ( 2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) :x y 3 0 và
( ) : 4x 4y 3z 12 0 Chứng tỏ hai đường thẳng 1, 2 chéo nhau và viết
Trang 2phương trình mặt cầu nhận đoạn vuơng gĩc chung của 1, 2 làm đường kính
Câu VII.b: (1 điểm) Cho hàm số
2( )
y
mọi m, hàm số luơn cĩ cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị khơng phụ thuộc m
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: 2) (Cm) và Ox cĩ đúng 2 điểm chung phân biệt
CĐ CT
y có CĐ, CT
y 0 hoặc y 0 1
m
Câu II: 1) PT (2cos 1)(sin cos 2) 0
2sin 3 0
x
2 3
2) Đặt 2x u 0; 2 3 x 1 1 v
PT
3
0
2 1 0
u v
u u
0
1 5 log
2
x x
Câu III: Đặt
2
(sin cos ) (sin cos )
I
4 2
cot( ) 1
(sin cos )
sin ( )
4
x
1 2
I
2
SCA
3
3
(sin sin ) 6
SABC
a
0;
3 ( )
SABC
3 , 0;
2
2 2 2 2
t
( )
t t x nghịch biến trên [ 2; 2] t [ 2; 2] Khi đĩ: PT 2m t2 2t 4
( ) 2 4
f t t t với t [ 2; 2]
2
Câu VI.a: 1) PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y 1
a b
(a,b>0)
M(3; 1) d 1 3 1 2 3 1 12
Cơ si
ab
3
6
2 2
a b
a
OA OB
b
a b
6 2
x y
x y
2) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB (Q): x y z 3 0
Trang 3d là giao tuyến của (P) và (Q) d: x 2;y t 1;z t
M d M(2;t 1; )t AM 2t2 8t 11
Vì AB = 12 nên MAB đều khi MA = MB = AB
2 8 1 0
2
M
(1 x)n C n C x C x n n ( 1)n C x n n n B
Vì 1
0
1 (1 )
1
n
x dx
0
( 1)
12
12
0
n k
k
1 12k.2 k. k k
Hệ số của 20
x là: 7 5
12 2 25344
C
Câu VI.b: 1) Phương trình tham số của :
3 5
x t
y t M M(t; 3t – 5)
( , ) ( , ).
3
t t ( 9; 32), ( ; 2)7
3
2) Gọi AB là đường vuông góc chung của 1, 2: A t t(2 ; ;4) 1, B(3 s; s; 0) 2
AB 1, AB 2 A(2;1; 4), B(2;1;0)
Phương trình mặt cầu là: (x 2) 2 (y 1) 2 (z 2) 2 4
Câu VII.b: Hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 m 2, x2 m 2 Khoảng cách giữa