Cho hàm số y = f x có đạo hàm trên tập số thực và có bảng biến thiên như hình vẽ bên.. * Các nghiệm của phương trình 1 không trùng với các nghiệm của phương trình 2.. Vậy phương trình đã
Trang 1Chọn đáp án B
Câu 47 Gọi S là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn (2n+ 3n)2020 < (22020+ 32020)n Số phần tử của S là
- Lời giải
Với mọi số tự nhiên n có 4 chữ số, ta có: (2n+ 3n)2020 < (22020+ 32020)n ⇔ lnÄ(2n+ 3n)2020ä <
ln (22020+ 32020)n ⇔ 2020 ln (2n+ 3n) < n ln (22020+ 32020) ⇔ ln (2
n+ 3n)
n <
ln (22020+ 32020)
2020 (∗). Xét hàm số f (x) = ln (2
x+ 3x)
x trên (999; +∞).
Ta có: f0(x) = 1
x2
Å (2xln 2 + 3xln 3) x
2x+ 3x − ln (2x+ 3x)
ã
= 1
x2
Å 2xln 2x+ 3xln 3x− (2x+ 3x) ln (2x+ 3x)
2x+ 3x
ã
x2(2x+ 3x)
Å
2x ln
Å 2x
2x+ 3x
ã + 3x ln
Å 3x
2x+ 3x
ãã Với ∀x > 999 ta có: 2
x
2x+ 3x < 1 và 3
x
2x+ 3x < 1 ⇒ ln
Å 2x
2x+ 3x
ã
< 0 và ln
Å 3x
2x+ 3x
ã
< 0
⇒ f0(x) < 0, ∀x > 999 ⇒ f (x) là hàm nghịch biến trên (999; +∞)
Do đó (∗) ⇔ f (n) < f (2020) ⇔ n > 2020
Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên n ∈ {2021; 2022; ; 9999}
Vậy có S có 7979 phần tử
Câu 48 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên tập số thực
và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Số nghiệm phân biệt của
phương trình f
Å
x − 1
ln x
ã
= 1 là
x
f0(x)
f (x)
−∞
2
−∞
- Lời giải
+ Từ bảng biến thiên hàm số y = f (x) ta có: f
Å
x − 1
ln x
ã
= 1 ⇔
x − 1
ln x = x1 < 0
x − 1
ln x = x2 > 0
+ Xét hàm số y = x − 1
ln x.
* Tập xác định: D = (0; +∞) \ {1}
* y0 = 1 + 1
x ln2x, y
0 > 0, ∀x ∈ D
* Giới hạn: lim
x→0 +y = 0; lim
x→1 +y = −∞; lim
x→1 −y = +∞; lim
x→+∞y = +∞
* Bảng biến thiên:
Vị trí hình tại đây
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y = x − 1
ln x ta có: * Phương trình x −
1
ln x = x1(1) với x1 < 0 có duy nhất 1 nghiệm
* Phương trình x − 1
ln x = x2(2) với x2 > 0 có 2 nghiệm phân biệt.
* Các nghiệm của phương trình (1) không trùng với các nghiệm của phương trình (2)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
ĐỀ SỐ 15 - Trang 14