giáo trình thủy khí - Nguyễn Phước Hoàng chương 2 doc

Nếu bỏ phần I ra mà vẫngiữ nguyên trạng thái của phần II thì ta phải thay sự tácdụng của phần I lên phần II bằng một lực P, P gọi làáp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt  -- Giả sử P nghiê

Chương 2: THỦY TĨNH HỌC

Mục đích: nghiên cứu qui luật cân bằng của chất

lỏng ở trạng thái tĩnh và ứng dụng các qui luật đó vàothực tế

Phân biệt hai trạng thái tĩnh:

Tĩnh tuyệt đối: chất lỏng đứng yên so với hệ tọađộ gắn liền với quả đất

Ví dụ: Nước trong bể chứa đặt cố định.

Tĩnh tương đối: các phần tử chất lỏng chuyểnđộng so với hệ tọa độ gắn liền với quả đất, còn giữacác phần tử chất lỏng không có chuyển động tươngđối

Ví dụ: Nước trong thùngchứa đặt trong 1 ôtô đang

chuyển động

Trong thuỷ tĩnh học ta có thể coi chất lỏng là lítưởng, kết quả khảo sát hoàn toàn chính xác vì không cóchuyển động nên không có lực nhớt xuất hiện

2-1 Aïp suất thủy tĩnh:

I - Khái niệm:

Do tác dụng của lực ngoài nêntrong nội bộ chất lỏng xuấthiện những ứng suất, ta gọi làáp suất thủy tĩnh

Để minh họa áp suất thủy tĩnh,

M

Trong môi trường chất lỏng ở trạng thái tĩnh ta xétriêng một thể tích chất lỏng giới hạn trong mặt .Tưởng tượng cắt đôi thể tích đó thành 2 phần I và IIbằng mặt phẳng AB.

Chất lỏng trong phần I tác dụng vào phần II qua mặtcắt  trong mặt phẳng AB Nếu bỏ phần I ra mà vẫngiữ nguyên trạng thái của phần II thì ta phải thay sự tácdụng của phần I lên phần II bằng một lực P, P gọi làáp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt 

Giả sử P nghiêng 1 góc  so với mặt , ta phân Pthành 2 thành phần P (lực tiếp tuyến) và Plực tiếp tuyến) và Pn (lực tiếp tuyến) và Plực pháptuyến) Do chất lỏng ở trạng thái tĩnh nên P phải bằng0

Vậy: Lực P phải thẳng góc với mặt cắt  (lực tiếp tuyến) và P còn gọi

là mặt phân cách)

Do chất lỏng không chịu kéo được nên chiều của P

là hướng vào mặt tiếp xúc.

Vậy: Aïp lực thủy tĩnh luôn có phương vuông góc và

hướng vào mặt tác dụng.

Định nghĩa áp suất thủy tĩnh :áp suất là lực tác

dụng lên một đơn vị diện tích bề mặt

Aïp suất thủy tĩnh trung bình : ptb P



Nếu xét 1 phân tố diện tích  chứa điểm M trên bề

mặt , lực thủy tĩnh tác dụng lên  là P Ta gọi giới

p = f(lực tiếp tuyến) và Px,y,z,t) : hàm liên tục của tọa độ không gian vàthời gian.

Đơn vị đo áp suất thủy tĩnh : lực/diện tích

 N/m2 :tương đương với pa (lực tiếp tuyến) và PPascal)

bari : 1 bari = 10-1 N/m2 = dyn/cm2

II- Hai đặc tính của áp suất thủy tĩnh :

1) Aïp suất thủy tĩnh luôn thẳng góc và hướng

vào ,mặt tác dụng (lực tiếp tuyến) và Pđã cm khi xét phương, chiều của áp

lực thủy tĩnh)

2) Tại một điểm, áp suất thủy tĩnh tác dụng

theo mọi phương đều có giá trị bằng nhau.

Xet 1 khối tứ diện OABC vô cùng bé có các cạnh dx,

dy, dz Do các mặt là vô cùng bé nên ta xem trên 1 mặt ápsuất thủy tĩnh tại mọi điểm là như nhau và kí hiệu:

px : áp suất trên mặt OBC, // Ox

py : áp suất trên mặt OAC, // Oy

pz : áp suất trên mặt OAB, // Oz

pn : áp suất trên mặt ABC,  ABC

Ta cm khi dx, dy, dz tiến tới O, nghĩa là OABC biến

thành 1 điểm thì:

Px= Py= Pz= Pn

Xét cân bằng của khối chấtlỏng OABC dưới tác dụngcủa lực khối và lực mặt:

Lực mặt: do các áp suất

px, py, pz, pn tao ra, gồm có:

Lực khối: Lực khối F tỉ lệ với khối lượng chất

lỏng trong OABC, khối lượng đó là

m =  dx dy dz  

6

Gọi Rx, Ry, Rz là hình chiếu của gia tốc lực khối tácdụng lên phần tử chất lỏng, ta có Rx // Ox, Ry // Oy, Rz // Oz.Vậy ta có:

y

z

A B

C

py

px

pz

Px - hc (lực tiếp tuyến) và PPn /Ox) + Fx = 0

Vậy: Aïp suất theo phương x,y,z,n tại một điểm M sẽ

có giá trị như nhau:

px = py = pz = pn

II-2 Phương trình Euler thủy tĩnh : (lực tiếp tuyến) và Pphương trình vi

phân tĩnh Euler) Phương trình này biểu thị mối quan hệgiữa ngoại lực (lực tiếp tuyến) và Plực khối và lực mặt) tác dụng vào 1phần tử chất lỏng với nội lực sinh ra trong đó (lực tiếp tuyến) và Páp suấtthủy tĩnh p)

Trong môi trường chất lỏng ở trạng thái tĩnh ta xét 1phân tố chất lỏng dạng hình hộp có các cạnh dx,dy,dz

Lực mặt: gồm áp lực thủy tĩnh tác dụng lên mặttrái và mặt phải (lực tiếp tuyến) và Pmặt 1234 và 5678)

Gọi p là áp suất thủy tĩnh tại trọng tâm A của khốichất lỏng hình hộp

Gọi M,N là trọng tâm của mặt trái và mặt phải

Vì dx,dy,dz là VCB nên trên 1 mặt nào đó, ta xem ápsuất thủy tĩnh tại mọi điểm trên mặt đó có giá trịbằng nhau và bằng áp suất tại trọng tâm

Vì M cách trọng tâm A của hình hộp 1 đoạn - dx2 nênáp suất thủy tĩnh tại M là:

N cách trọng tâm A của hình hộp 1 đoạn dx

2 nên ápsuất thủy tĩnh tại N là:

Dạng vectơ của phương trình :

Nhân 3 phương trình trên cho   i ; ; j k rồi cộng lại:

Dang tích phân của phương trình:

Nhân 3 phương trình trên cho dx,dy,dz rồi cộng lại:

dx

U dy

U dz

x  R y  R z 

U thỏa mãn điều kiện trên gọi là hàm số lực

II-3 Ưïng dụng phương trình Euler thủy tĩnh:

I - Mặt đẳng áp:

1) Định nghĩa: Mặt đẳng áp là 1 mặt trên đó áp

suất tại mọi điểm là bằng nhau (lực tiếp tuyến) và Phằng số)

Từ phương trình Euler dạng tích phân có thể tìm raphương trình mặt đẳng áp

2) Tính chất mặt đẳng áp:

Hai mặt đẳng áp không cắt nhau : Có 2 mặt đẳng

áp có giá trị áp suất là p1 vàp2 Giả sử 2 mặt cắt nhautại giao điểm M thì áp suất tại M đồng thời mang 2 giátrị p1, p2 : điều này không thể xảy ra (lực tiếp tuyến) và Pđặc tính 2 của ápsuất thủy tĩnh)

Lực khối tác dụng lên mặt đẳng áp thì thẳng

góc với mặt đẳng áp

Xet vi phân cung ds (lực tiếp tuyến) và Pdx,dy,dz) trên mặt đẳng áp:

Từ phương trình mặt đẳng áp Rxdx + Rydy + Rzdz = 0

ta suy ra R ds

Mặt đẳng áp là mặt đẳng thế: Vì trên mặt đẳng

áp dp = 0 do đó dU = 0  U=const

II - Giải bài toán tĩnh tuyệt đối:

1) Tìm qui luật phân bố áp suất và mặt đẳng

áp trong trường hợp tĩnh tuyệt đối.

Xét 1 bể đựng chất lỏng ở trạng thái tĩnh:

Aïp dụng phương trình vi phân Euler để tính áp suấttại 1 điểm A bất kì trong chất lỏng Trong trường hợpnày chất lỏng chỉ chịu tác dụng của trọng lực, cácthành phần gia tốc lực khối là: Rx = Ry = 0 ; Rz = -g

Phương trình dạng tích phân trở thành:

 g dz  1dp



dp = - .g.dz  p = - .g.z + KHằng số tích phân K tính theo điều kiện biên ở mặtthoáng:

z = zo : p = po  po = - .g.zo + K

K = po + .g.zo

Thay vào phương trình trên ta có:

p = - .g.z + po + .g.zo (lực tiếp tuyến) và P1) = po + .g.(lực tiếp tuyến) và P zo - z)

x O

z

y

h : trọng lượng cột chất lỏng có độ cao h, diệntích đáy bằng 1 đơn vị.

2) Dạng thứ 2 của phương trình cơ bản:

(lực tiếp tuyến) và P1) có thể viết lại dưới dạng:

 : độ cao cột chất lỏng biểu thị áp suất , gọi là

độ cao đo áp

Kết luận: Trong môi trường chất lỏng tĩnh, tổng độ cao hình học và độ cao đo áp là 1 hằng số đối với mọi

điểm và gọi là cột áp tĩnh H tĩnh

Ý nghĩa năng lượng:

Ta có : z + p

 = constNhân phương trình trên cho trọng lượng khối chấtlỏng dG:

dG.z + dG.p = const (lực tiếp tuyến) và P2)dG.z : năng lượng khối chất lỏng trọng lượng dG, do

vị trí của nó tạo ra: vị năng

dG.p : năng lượng khối chất lỏng dG do áp suất của

nó tạo ra: áp năng

Theo định nghĩa: vị năng + áp năng = thế năng

Chia (lực tiếp tuyến) và P2) cho dG ta có phương trình năng lượng của 1đơn vị trọng lượng chất lỏng, ta gọi là năng lượng đơnvị

Kêt luận: Trong môi trường chất lỏng tĩnh tuyệt đối, thế năng đơn vị tại mọi điểm là 1 hằng số

3) Mặt đẳng áp trong trường hợp tĩnh tuyệt đối:

Phương trình mặt đẳng áp :

0 dp 1 dz R dy R dx

4) Phân biệt các loại áp suất : Aïp suất tuyệt đối: kí hiệu pt là áp suất đo được vớiđiều kiện lấy số 0 làm gốc đo Trong trường hợp này ápsuất khí trời có giá trị là:

Aïp suất chân không: Khi áp suất tại điểm đo bé hơn ápsuất khí trời ta có hiện tượng chân không và ta đưa ra kháiniệm áp suất chân không pk

pck = pa -pt = -pd

Do áp suất đo bé hơn áp suất khí trời nên pd < 0 và pck > 0

Vì áp suất tuyệt đối có giá trị nhỏ nhất b òng 0 nên ápăsuất chân không có giá trị lớn nhất b òng pă a

Ta có thể dùng 1 biểu đồ biểu thị các loại áp suất:

Tại t1: p (t1) > pa

pd (t1)= p (t1) - pa

Tại t2: p (t1) < pa

pck (t1) = pa - p (t1)5) Các dụng cụ đo áp suất :a) úng đo áp: Ôúng đo áp: d  10 mm

úng đo áp hở:Ôúng đo áp hở:

1 đàu ống thông với ápsuất khí trời pa, đầu kia g õnăvào chỗ đo áp suất, do ápsuất đo tác dụng chất lỏngdâng lên trong ống 1 đoạn h

pA = pB = pa + h

ại lượng ta đọc được là h do đó ống đo áp hở dùng đểĐ

đo áp suất dư

Ôúng đo áp: úng đo áp kín:

B

Là ống thủy tinh kín mộtđầu, đầu kia g õn vào vị tríă

đo áp suất

pA = pB = po’ + + h ’ +

po’ + = 0 do đó pA = h ’ +

Thường sử dụng ống đo áp hở để đo áp suất tuyệt đối

Ôúng đo áp: úng đo áp chữ U: gồm 1 ống thủy tinh hình chữ U

thường chứa thủy ngân, sửdụng để đo độ chênh ápgiữa 2 điểm

ể đo độ chênh áp giữa 2 điểm D và A, ta g õn ống đo áp

hình chữ U như hình vẽ Do áp suất tại D lớn hơn áp suấttại A mực thủy ngân tại nhánh phải (nối với D) sẽ tụtxuống tạo nên độ chênh h giữa 2 nhánh Gọi B,C là 2 điểm tại

2 m ût thoáng thủy ngân trong ống chữ Uă

Ta tìm mối quan hệ giữa pA và pD

pA = pB - 1h1

pB = pB’ +  - Hgh = pC - Hgh

pC = pD + 2h2

pA= pD + 2h2 - Hgh- 1h1

Vậy pD - pA= Hgh+ 1h1-2h2

b) Aïp kế thủy ngân; để đo áp suất dư, là 1 ống thủy tinh

hình chữ U g õn với 1 bầuăchứa thủy ngân

h1có thể bỏ qua nếu nhỏ

 pckA = Hgh

III - Giải bài toán tĩnh tương đối:

ó là trường hợp chất lỏng đứng yên trong bình chứaĐ

còn bình chứa chuyển động

Ta xét 2 bài toán thường g ûp:ă

1) Chất lỏng đựng trong bình chuyển động th óng với giaă

tốc a=const

G õn vào bình hệ tọa độănhư hình vẽ

Coi hệ thống là đứng yên b òng cách thêm lực quán tính.ă

Xét khối chất lỏng khối lượng m

Rx.dx + Ry.dy + Rz.dz = 1

 dp =  (-a.dx - g.dz)

a x

y

O

-g -a

2) Chất lỏng đựng trong bình quay quanh trục của bình vớivận tốc góc không đổi 

G õn vào bình hệ tọa độ như hình vẽă

Coi hệ thống là đứng yên

b òng cách thêm lực quánătính

Xét khối chất lỏng khối lượng m đ ût tại M:ă

O

 H

R

Rx = 2.x

Ry = 2.y

Rz = - gPhương trình Euler thủy tĩnh dưới dạng tích phân:

II-4 Aïp lực thủy tĩnh:

Thủy tĩnh học giải quyết 2 vấn đề:

Tính áp suất tại 1 điểm trong lòng chất lỏng

Tính áp lực thủy tĩnh tác dụng lên vật ngập ho ûcătác dụng lên thành tiếp xúc

Chú ý: Thường tính với áp suất dư, m ût thoáng tiếpăxúc với không khí: po= pa

I- Aïp lực thủy tĩnh tác dụng lên thành phẳng:

1) Thành ph óng là 1 m ût ph óng ngang:ă ă ă

Tính áp lực thủy tĩnh tác dụng lên m ût ngang S ở độ sâuă

ngang có giá trị b òng áp suất thủy tĩnh tại một điểm trênă

thành nhân với diện tích S

Chú ý: Nghịch lí thủy tĩnh

Gọi G là trọng lượng khối chất lỏng chứa trong bình

Trường hợp 1: F1 =  h.S1 < G1

Trường hợp 2: F2 =  h.S2 > G2

2) Thành ph óng là m ût ph óng nghiêng:ă ă ă

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, tính áp lực thủy tĩnh tácdụng lên n õp S:ă

Nhận xét: Aïp suất thủy tĩnh tác dụng lên mỗi điểm của

m ût S dọc theo trục z có giá trị thay đổi và phụ thuộc vàoăđộ sâu của điểm xét, tuy nhiên vì là thành ph óng nên hướngăcủa các lực phân tố đều với m ût S Vậy áp lực thủy tĩnhătác dụng lên m ût S là hợp lực của các lực phân tố // nhauătac dụng lên các phân tố diện tích vô cùng bé dS

h S

Xét phân tố diện tích vô cùng bé được xác định như hìnhvẽ, do dz là VCB nên áp suất p tại mọi điểm trên dS sẽ khácnhaukhông đáng kể và coi như là b òng nhau tại mọi điểmăVậy áp lực phân tố tác dụng lên dS là:

dF = p.dS = .h.dS = .sin.z.dSGọi T : trọng tâm của S

hT : độ sâu của trọng tâm

xT, zT : tọa độ trọng tâm

b òng áp suất trọng tâm nhân diện tích n õp, không phụ thuộcă ăgóc nghiêng  của n õp.ă

Xác định điểm đ ût của F:ă

a) Trường hợp m ût S có trục đối xứng // Oză :

Gọi D là điểm đ ût của áp lực thủy tĩnh thì D sẽ n òmă ătrên trục đối xứng, vì vậy chỉ cần xác định độ sâu của điểm

đ ût, tức là xác định ză D.

Theo định lí Varinhông: moment của hợp lực đối với 1 trục

b òng tổng moment các lực thành phần đối với trục đó.ă

Moment của áp lực thủy tĩnh đối với trục Ox:

x T

 Gọi JxT là moment quán tính của m ût S đối với trục // Oxăvà đi qua trọng tâm T

Jx = JxT + zT2.SVậy z J

S z zD

xT T T



 Nhận xét: điểm D n òm dưới trọng tâm T 1 đoạn là ă J

S z

xT T

b) Trường hợp m ût S không có trục đối xứng // Oză :

Phải xác định tọa độ xD b òng cách tìm moment của ápălực đối với trục z:

xz T

Jxz : moment quán tính li tâm đối với trục x,z

3) Tìm áp lực thủy tĩnh b òng phương pháp biểuă

đồ:

Dùng nhanh gọn trong 1 vài trường hợp đơn giản

Tìm áp lực thủy tĩnh tác dụng lên thành ph óng th óngă ăđứng ABCD

Gọi dF là áp lực thủy tĩnh phân tố tác dụng lên dS, ta có:

dF = p.dS = h.b.dh (vì đường kính bé nên p (dS) =const =  h)

Aïp lực thủy tĩnh tác dụng lên toàn bộ m ût ABCD:ă

ph óng iểm đ ût của áp lực là trọng tâm của khối l ngă Đ ă ătrụ

II - Aïp lực thủy tĩnh tác dụng lên thành cong:

Aïp lực thủy tĩnh tác dụng lên thành cong bao gồm cáclực phân tố tác dụng lên các phân tố diện tích dS của thành,áp lực phân tố dFdS, do m ût cong nên các áp lực phân tốăkhông // nhau  hợp lực là một lực chính F và 1 moment Tachỉ xét lực chính F

n: vectơ pháp tuyến có chiều hướng ra m ût tiếp xúc nênă

dF mang dấu trừ (hướng vào)

Chiếu dF lên các trục tọa độ:

dFx = p.cos (n,Ox).dS = p.dSx

dFy = p.cos (n,Oy).dS = p.dSy

X S

X S

thủy tĩnh tác dụng lên các thành ph óng ă Sx, Sy (Sx, Sy là các

hình chiếu của m ût cong lên các m ût ph óng th óng góc vớiă ă ă ă

phương ngang đó)

Fz là phân lực theo phương th óng đứng của áp lựcăthủy tĩnh , có giá trị b òng trọng lượng vật áp lực Chiềuăcủa Fz phụ thuộc vào dạng thành cong

Ví du:ûTính lực kéo và c õt bulông.ă

Lực kéo: là áp lực thủy tĩnh chiếu theo phương x

Px = pTx.Sx =  H.2r.b Lực c õt: là áp lực thủy tĩnh chiếu theo phương ză

Pz =  V

Trong trường hợp này ta chia m ût cong làm 2 phần: AB, BAă ’ + để xét (chia để khi chiếu lên m ût thoáng mỗi m ût cong chỉă ăquét 1 lần.

Pz(AB) : hướng lên

Pz(BA ) ’ + : hướng xuống

Pz = Pz(BA ) ’ + - Pz(AB) =  0,5. r2.b : hướng xuống

II-5 Các nguyên lý :

I - Nguyên lý Pascal:

Xét 2 điểm A,B trong chất lỏng cân b òngă

vẹn đến mọi điểm trong lòng chất lỏng

Ý nghĩa: Nếu p rất lớn so với  hA và  hB thì pA = pB = p :mọi điểm trong chất lỏng tĩnh có tính chất như nhau Aïpdụng để tính phanh dầu, máy ép thủy lực

II - Nguyên lý Archimède:

1) Phát biểu nguyên lý : Mmột vật ngập trong chấtlỏng sẽ chịu lực đẩy của chất lỏng, lực này hướng từ dướilên theo phương th óng đứng, có gía trị b òng trọng lượng khốiă ăchất lỏng bị vật chiếm chỗ

Gọi A : lực đẩy Arch

2) iều kiện ổn định của vật nổi:Đ

Khi vật nổi (ngập không hoàn toàn trong chất lỏng) thì cótrường hợp trọng tâm T cao hơn tâm đẩy D nhưng vật vẫn cân

b òng ổn định.ă

Giả sử dưới tác dụng của ngoại lực, vật nổi nghiêng 1góc d so với vị trí ban đầu và vật chỉ chịu 2 lực: trọng lựcvà lực đẩy Arch, khi vật nghiêng tâm đẩy chuyển từ D đến D’ +

Sự lệch của tâm đẩy sẽ sinh moment do lực đẩy A tại D’ + và trọng lượng G tại T

Gọi M: tâm định khuynh của vật nổi (giao điểm OO và’ + lực đẩy mới)

M thấp hơn T: vật tiếp tục nghiêng

M trùng với T: vật cân b òng phiếm địnhă

M cao hơn T : vật cân b òng phiếm địnhă

Vậy điều kiện ổn định của vật nổi là:

rdk - a > 0

rdk : bán kính định khuynh tính từ tâm đẩy D

T ng điều kiện ổn định của vật nổi b òng cách:ă ă

Hạ thấp trọng tâm để giảm a: chất hàng n ûng dướiăđáy

T ng bán kính định khuynh b òng cách tạo kết cấuă ăthích hợp