SKKN Giải bài toán trắc nghiệm về cực trị số phức bằng bất đẳng thức và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao kỹ năng cho học sinh lớp 12 thi THPT Quốc gia 1 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài[.]
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài
Toán học là môn học quan trọng trong chương trình giáo dục THPT hiện nay Việc giảng dạy môn Toán đối với các giáo viên không những trang bị cho học sinh những kiến thức, rèn luyện cho học sinh các kỹ năng và phương pháp
tư duy toán học cụ thể mà cần tạo cho học sinh hứng thú, phương pháp tư duy tích cực, mạch lạc và tối ưu trong khi học Qua đó học sinh có thể áp dụng chúng trong các môn học khác cũng như trong thực tiễn cuộc sống
Nghiên cứu và đổi mới phương pháp giảng dạy là những nhiệm vụ quan trọng của mỗi giáo viên luôn luôn được quan tâm và thực hiện Chính vì vậy trong những năm qua ở các trường trung học phổ thông rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiều hình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học, ứng dụng CNTT trong các các giờ dạy; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá, phát động phong trào “mỗi
thầy cô là tấm gương sáng tự học, tự sáng tạo”.
Việc nâng cao phương pháp dạy học và nghiên cứu khoa học là cần thiết
và thường xuyên đối với giáo viên của tất cả các bộ môn Đối với môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức và phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa, trong thời điểm hiện nay, với cấu trúc đề thi minh họa THPT Quốc Gia môn Toán của Bộ GD&ĐT năm 2018 có những câu hỏi vận dụng và vận dụng cao Vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, sáng tạo, tìm ra phương pháp mới
để học sinh có thể giải quyết các bài toán khó này trong các đề thi học sinh giỏi,
đề thi THPT Quốc Gia
Về bài toán tính GTLN, GTNN của môđun số phức cũng không phải là ngoại lệ Dạng toán này trong sách giáo khoa và một số tài liệu tham khảo mới
chỉ ở một số dạng đơn giản, giáo viên thì thường chưa trú trọng Tuy nhiên, trong Kì thi THPT QG năm 2018, đề thi minh hoạ môn toán thì dạng toán này có ở mức độ vận dụng và vận dụng cao cụ thể là câu 46 Nội dung của
sáng kiến kinh nghiệm này giới thiệu cách giải nhanh các bài toán tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và bất đẳng thức Bunhiacopxki mà đa phần giáo viên và học sinh ít quan tâm, mà đặc biệt là phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, qua đó học sinh có thêm một công cụ giải bài tập Với những lý do trên, tôi đã chọn đề tài:
“Giải bài toán trắc nghiệm về cực trị số phức bằng bất đẳng thức và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao kỹ năng cho học sinh lớp 12 thi THPT Quốc gia”.
Trang 21.2 Mục đích nghiên cứu.
Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học và tự nghiên cứu trong dạy - học toán
Rèn luyện kỹ năng dùng bất đẳng thức, phương pháp tọa độ trong nặt phẳng giải nhanh bài toán trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức ở mức độ vân dụng và vận dụng cao
Bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng người dạy, người học có thể tạo ra hàng loạt các bài tập trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức
1.3 Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu tài liệu, tự nghiên cứu
1.4 Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Nghiên cứu phương pháp toạ độ trong mặt phẳng để tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức
Nghiên cứu bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mặt phẳng tọa độ Oxy
1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
Nghiên cứu phương giải nhanh bài toán trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của môđun số phức
Xây dựng hệ thống các bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng và vận dụng cao về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức
Trang 32 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên hầu hết chúng
ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó
Trong giáo dục THPT hiện nay hoạt động dạy học nói chung và hoạt động dạy học môn Toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện qua phương pháp dạy - học, sự sáng tạo, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình Trong môn Toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, rồi giải nhanh, kỹ năng suy luận logic, kỹ năng tính toán và không thể thiếu kỹ năng sáng tạo các bài toán mới, khái quát các bài toán đây là những hoạt động chính của một giáo viên dạy
bộ môn này
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong giảng dạy toán lâu nay tại trường THPT Như Thanh nói riêng và tại các trường THPT nói chung đa số GV đã thực hiện rất tốt công tác chuyên môn như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học; phát động phong trào viết các chuyên đề, các đề tài SKKN, các đề tài nghiên
cứu khoa học sư phạm ứng dụng Tuy nhiên chuyên đề “Sử dụng bất đẳng thức
và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải và giải nhanh bài toán cực trị trong số phức” còn chưa được nghiên cứu một cách bài bản và có hệ thống
Trong dạy học phần số phức các bài tập chưa đa dạng và chưa có nhiều bài khó, đặc biệt là phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải, do vậy đa số giáo viên chưa nghiên cứu sâu, kỹ và có hệ thống phần này, nhất là cách khái quát bài toán cũng như cách sáng tạo bài toán tương tự hay bài toán mới
Đối với học sinh chỉ có một số ít học sinh khá giỏi có thể tiếp cận với dạng toán trắc nghiệm về cực trị số phức các em cũng chưa được nghiên cứu một cách có hệ thống các bài tập và bài tập trắc nghiệm dạng này ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, trong khi đó ở kỳ thi THPT Quốc Gia, câu hỏi về phần này là rất đa dạng và khó vì vậy các em cần được rèn luyện thêm các phương pháp đặc biệt, để trang bị cho mình kiến thức, kỹ năng hoàn thiện hơn trước khi bước vào các kỳ thi quan trọng
2.3 Giải quyết vấn đề
Trong kỳ thi THPT QG năm 2018, đề thi minh họa môn Toán có bài toán:
Câu 46 Xét các số phức z a bi a b( , R) thỏa mãn z 4 3i 5 Tính
khi đạt giá trị lớn nhất
P a b z 1 3i z 1 i
Trang 4Đây là bài tương đối khó đối với hầu hết các em học sinh phổ thông và theo tôi lí do là từ cách liên hệ giữa điều kiện z 4 3i 5 và
đạt giá trị lớn nhất khi nào Sau đây là một số cách giải
z i z i
bài toán này.
Cách 1: Ta có
2 2 2 2
z i a b a b b
P z i z i a b a b
Suy ra 2 2 2 2 2
P a b a b
2 2 a b 4b 12 8 4a 2b 7
2
8
P
2 2
2
2
8
P
Vậy Pmax 10 2 khi 4 2 32 6
Khi đó P a b 10
Cách 2: Ta có M(a; b) biểu diễn z
suy ra M thuộc đường tròn (C ) tâm
2 2
z i a b
I(3; 4) bán kính R 5
Mặt khác PMAMB A, 1;3 , B 1; 1
Suy ra P2 MA2MB2 2MA MB 2MA2 MB2
Gọi E 0;1 là trung điểm của
2
Do đó P2 4ME2 AB2 mà MEEC3 5 suy ra 2
4 3 5 2 5 200
với C là điểm giao của (C ) và đường thẳng EI
Khi đó P2 10 dấu bằng xảy ra khi MA MB M(6;4) a b 10
C M
Trang 5Cách 3:
5 cos 3
P z i z i a b a b
10 5 sinx 30 6 5 sinx 8 5 cosx 30
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
2 16 5 sin 8 5 cos 60 2 8 5 2sin cos 60 10 2
Nên Pmax 10 2 khi
2 sin
5
cos
5
x
x
Vậy P a b 10
Nhận xét: Trên đây là ba cách giải bài toán đã cho và còn nhiều cách
giải khác nữa Đối với đa số học sinh việc tiếp cận bài toán cực trị của số phức gặp nhiều khó khăn Từ đó, tôi thấy cần thiết phải xây dựng một cách có hệ thống cách giải và giải nhanh bài toán này bằng sử dụng bất đẳng Bunhiacopxki và phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, nhằm giúp học sinh giải quyết các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong đề thi trắc nghiệm THPT QG môn toán hiện nay
2.3.1 Các kiến thức cơ bản cần nhớ
a) Môđun số phức
* Số phức z a b i a b ( , R) được biểu diễn bởi điểm M a b ; trên mặt phẳng Oxy Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu
uuuur
z a bi a b
* Tính chất
+ z a2 b2 z z z OMuuuur ; + z 0, z C z, 0 z 0;
z z
z
+ z z' z z' z' z ; + k z k z k, R;
+ z2 z2 z2 z z
Lưu ý:
z z' z' z dấu bằng xảy ra khi zkz k', 0;
Trang 6 z z' z z' dấu bằng xảy ra khi zkz k', 0;
z z' z z' dấu bằng xảy ra khi zkz k', 0;
z z' z z' dấu bằng xảy ra khi zkz k', 0;
z2 z2 z z, z C;
z z z z z z
b) Một số tập điểm biểu diễn số phức z x yi x y, , R
Biểu thức liên hệ x, y Tập hợp điểm biểu diễn
0 (1)
(2)
ax by c
z a bi z c di
(1) Đường thẳng axby c 0 (2) Đường trung trực của đoạn AB với A(a; b), B(c; d).
hoặc
2 2 2
x a yb R
z a bi R
Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
Elíp có tiêu điểm F1 (-c; 0), F 2 (c; 0) và có trực lớn 2a, với 2 2 2
b c a
hoặc
2 ,
z c z c a ca Cho F 1 , F 2 cố định F 1 F 2 = 2c (0 <c < a)
khi đó điểm M thoả mãn MF 1 +MF 2 =2a
là Elíp có hai tiêu điểm F 1 , F 2 c) Một số kiến thức cần áp dụng
+) Một số bài toán cực trị trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Cho đường thẳng d và điểm A
Tìm trên d điểm M sao cho MA nhỏ
nhất.
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên d, ta có MA AH
MA nhỏ nhất bằng AH khi M trùng
với H.
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d Tìm trên d điểm
Trường hợp1: A, B nằm về hai phía đối
với d
Khi đó MA +MB AB ( không đổi)
MA +MB nhỏ nhất bằng AB khi A,
B, M thẳng hàng tức M trùng với giao
điểm I của d với đoạn thẳng AB.
Trang 7Trường hợp2: A, B nằm cùng phía đối với
d
Lấy A' đối xứng với A qua d, khi đó:
MA +MB = MA' +MB A'B (khôngđổi)
(MA+ MB) min =A'B khi A', B, M thẳng
hàng hay M trùng với giao điểm I của A'B
và d.
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d Tìm trên d điểm
M sao cho MA MB lớn nhất.
Trường hợp1: A, B nằm về cùng phía đối với d
Khi đó MA MB AB MA MB lớn nhất
bằng AB khi A, B, M thẳng hàng và M nằm
ngoài đoạn AB hay M trùng với giao điểm I của
AB và d.
Trường hợp2: A, B nằm về hai phía đối với d
Lấy A' đối xứng với A qua d Khi đó
lớn nhất bằng A'B khi A', B, M thẳng hàng và
M nằm ngoài đoạn A'B hay M trùng với M o là
giao điểm của d và A'B.
+) Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số thực
, dấu bằng xảy ra khi
2 2 2 2
a b
2.3.2 Các phương pháp chính
Phương pháp 1 Sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng để giải bài toán
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức
Trang 81 Bài toán cho tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng z
Ví du 1: Cho số phức thỏa mãn z z 2 2i z 4i Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức w z 2 i
Giải.
Gọi z x yi x y, , R
Từ z 2 2i z 4i x y 2 0 tập điểm M x y( ; ) biểu diễn là thuộc z đường thẳng d: x y 2 0
Ta có điểm I(2; 1) biểu diễn số phức z o 2 i
w z i z z MI wmin ( , ) 1
2
d I d
Ví du 2: Cho số phức z x yi x y, , R thỏa mãn z 2 2i z 4i và
Tìm biết môđun của nhỏ nhất
1
Giải
Từ z 2 2i z 4i x y 2 0 tập điểm M x y( ; ) biểu diễn là thuộc z đường thẳng d: x y 2 0
, với điểm biểu diễn số phức
1
i
khi MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
min
w
Suy ra 1 3; hay Đáp án A.
2 2
2
x y
Nhận xét: Qua Ví dụ 1, Ví dụ 2, chúng ta có thể khái quát lên phương
pháp giải bài toán dạng này như sau:
Bài toán 1 Cho số phức z thoả mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất
zz z z
của môđun số phức w z z o
+ Bước 1 Từ điều kiện suy ra được tập
điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức là z
một đường thẳng d trung trực của AB,
với A, B lần lượt biểu diễn z z1, 2
+ Bước 2 wmin z z o min d I d( , )
khi MI d ( I là điểm biểu diễn số phức
) hay M là hình chiếu vuông góc của I
o
z
lên d.
Lưu ý: Trong một số đề thi học sinh cần phải biến đổi điều kiện về dạng
hay đưa yêu cầu bài toán về dạng tìm , như:
Trang 9+ Điều kiện z 1 2i z i ; (3 4 ) i z 1 2i 5z i ; 2 2
z i z i
min
1 2
iz i 2
min
1
Ví du 3: Cho số phức thỏa mãn z z 1 z i Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 12 z 1 2i2
Giải
Từ z 1 z i x y 0 tập điểm M x y( ; ) biểu diễn là thuộc đường z thẳng d: x y 0 Với A(1; 0),B1;2 biểu diễn hai số phức z11, z2 1 2i
và I(0; 1) là trung điểm của AB.
nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên đường P
thẳng d
min
1
2
Nhận xét: Gọi A A1, 2, A n là các điểm biểu diễn số phức z z1, 2, z n , I là điểm thoả nãm a IA1uur1a IA2uuur2 a IA nuuurn 0r, a a1, 2, ,a n là các số thực, khi đó:
2
+ a1a2 a n 0 thì P nhỏ nhất khi 2 nhỏ nhất.
MI + a1a2 a n 0 thì P lớn nhất khi 2 lớn nhất.
MI
Ví du 4: Cho số phức thỏa mãn z z 1 z i Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 i z 2 4i
Giải
Từ z 1 z i x y 0 tập
điểm M x y( ; ) biểu diễn là thuộc z
đường thẳng d: x y 0 Với
biểu diễn hai số phức
(1; 1), 2; 4
z i z4 2 4i
mà A B, nằm khác phía đối với d
Trang 10Nhận xét: Tương tự như Ví dụ 4 một số bài toán tìm GTLN, GTNN của
môđun số phức sẽ đưa về bài toán sau:
Bài toán 2 Cho số phức z thoả mãn zz1 z z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z3 z z4 (hoặc tìm giá trị lớn nhất của P z z3 z z4 ) + Bước 1 Từ điều kiện suy ra được tập điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức là z một đường thẳng d trung trực của IH, với I, H lần lượt biểu diễn z z1, 2
+ Bước 2 P z z3 z z4 MA MB ( hoặc P z z3 z z4 MA MB ) với A, B là hai điểm biểu diễn hai số phức z z3, 4 Đến đây bài toán GTLN, GTNN của môđun số phức được chuyển về bài toán GTLN, GTNN trong hình học phẳng.
2 Bài toán cho tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn z
Ví dụ 5: Cho số phức thỏa mãn z z 2 4i 5 Tìm số phức môđun nhỏ z
nhất, lớn nhất
Giải
Gọi z x yi x y, , R
thuộc đường tròn (C ) tâm I(2; 4) và bán kính R 5
Ta có z OM zmin OMmin; zmax OMmax
Phương trình đường thẳng OI : 2x y 0, đường thẳng OI cắt (C ) tại hai
điểm M M1, 2.
Ta có OM1OM OM2 5 z 3 5
Suy ra zmin 5 z 1 2 ;i zmax 3 5 z 3 6i
Nhận xét: Trong cách giải trên chúng ta lưu ý nếu yêu cầu bài toán là tìm
GTLN, GTNN của môđun số phức hay z zz o thì ta có thể tổng quát bài toán như sau:
Bài toán 3 Cho số phức z thoả mãn zz1 R Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của môđun số phức w z z o (điều kiện bài toán có tập điểm biểu diễn số phức
là một đường tròn).
+ Bước 1 Xác định được điều kiện bài toán suy ra được tập điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức là một đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R; z
+ Bước 2 zz o nhỏ nhất, lớn nhất khi MA nhỏ nhất, lớn nhất ( A là điểm biểu diễn số phức ) Tức là z o zz o min IAR ; zz o max IAR