chuyen de 11 chung minh bat dang thuc va tim gtln, gtnn

 là số âm lớn nhất ứng với n nguyên... Tìm x để phân số có giá trị lớn nhất... Tìm giá trị nhỏ nhất đó... Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số nhỏ nhất trong dấungoặc đó,

b n c



 với a, b, c là các số nguyên đã biết.

+ Nếu a ∈ Z+ thì:

A có GTLN khi b n c  là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên

A có GTNN khi b n c  là số nguyên âm lớn nhất ứng với n nguyên+ Nếu a ∈ Z- thì:

A có GTLN khi b n c  là số âm lớn nhất ứng với n nguyên

A có GTNN khi b n c  là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên

Bài 1 Cho phân số

20192020

P x

P x

 Xảy ra P 2019 khi x 2020 1  x2021

Vậy với x 2021 thì giá trị lớn nhất của P 2019

Bài 2 Tìm số tự nhiên n để A =

159

n  có giá trị lớn nhất khi n  9 0 và có giá trị nhỏ nhất (1)

Ta lại có: n N  n 9Z (2)

Từ (1) và (2)  n 9 có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi đó n = 10

Vậy với n = 10 thì thỏa mãn đầu bài

Bài 3 Tìm x để phân số có giá trị lớn nhất

b n c có GTLN hoặc có GTNN (Bài toán dạng 1)

n  > 0

1

12



x

Với n < 3 thì

43

Cách giải tương tự Bài tập 2:

Như vậy bài toán đưa về tìm số tự nhiên a để 4a – 23 là số dương nhỏ nhất ứng với

số tự nhiên a = 6

Vậy

5 176

4 23

a a

2   2 khi n = 3

Bài 5 Cho

4215

x M

x



 nhỏ nhấtXét x 15 0 thì

27015

x Xét x 15 0 thì

270

15

x  Vậy

2715

x  nhỏ nhất khi x 15 0

Phân số

2715

x  có tử dương mẫu âm

Khi đó

2715

x  nhỏ nhất khi x 15là số nguyên âm lớn nhất hay

n A n

n  có GTNN, do đó n  2 là số nguyên âm lớn nhất.

Với n  2  1 suy ra n 1.

Khi đó A  2 7  5

Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng  5 khi n 1.

Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 2

x B x

x

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức

12



x

là 0 đạt được khi

102

 

x

hay

1.2



x

Vậy giá trị nhỏ nhất của

12



x

là 0 khi

1.2



x

b) Ta có:

103

x

1

2 23

  

x

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

123

 

x

là 2 đạt được khi

103

 

x

hay

13



x

Vậy giá trị nhỏ nhất của

123

 

x

là 0 khi

13

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  3x1 0

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  3x1

là 0 đạt được khi 3x 1 0 hay

13



x

b) Ta có:  x2 0

Suy ra: 6 x2 6

Giá trị lớn nhất của biểu thức 6 x2

là 6 đạt được khi x 2 0 hay x2Vậy giá trị lớn nhất của 6 x2

là 6 khi x2c) Ta có: x6 2 2 

2 đạt được khi x 6 0 hay x6

Vậy giá trị lớn nhất của

là 3 đạt được khi x 1 0 hay x1

Vậy giá trị lớn nhất của

là 3 khi x1

Bài 3 Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = | x - y | + | x + 1 | + 2016 đạt giá trị nhỏ

nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Hướng dẫn giải

Vì |x - y |  0 với mọi x, y ; |x + 1 |  0 với mọi x

 A  2016 với mọi x,y

Vậy với x = y = - 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2016

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2017 2018

2017 2019

x C x

Từ đó tìm được

20; 28; 3020; 28; 30

A  0, mà A = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30)

Vậy MinA = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30)

A 

b)

58

A 

Hướng dẫn giải

a) Ta chọn biểu thức B làm trung gian sao cho A B , còn

712

Xét mẫu của 50 phân số trong dấu ngoặc, theo câu a thì 101.200 có giá trị nhỏ

nhất,150.151 có giá trị lớn nhất, suy ra trong 50 phân số trong dấu ngoặc thì

1

101.200 lớn nhất,

1150.151 nhỏ nhất

Do đó:

301 .50101.200 404 404 4

Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số nhỏ nhất trong dấungoặc đó, ta được:

1

15 lớn hơn

1161

2 2 2

So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan

hệ Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫulớn hơn, và ngược lại

A 

4 9 16

n P

4 9 16

n P

n



    

2 2

n n

A 

các mẫu đều chẵn Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tửđều chẵn, các mẫu đều lẻ Thêm 1 vào tử và mâu của mỗi phân số của A, giá trị

mỗi phân số tăng thêm, do đó

2 4 6 200 .

3 5 7 201

A 

(2)Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:

2 1 3 5 199 2 4 6 200

1.3 2.4 3.5 2017.2019

= 2.3.4 2018 2.3.4 2018

1.2.3 2017 3.4.5 2019

=2

Lưu ý: Trước khi áp dụng các bất đẳng thức về tỉ số ta phải chứng minh.

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

2) Trước hết ta chứng minh với x, y, k là các số dương và

x1

y thì

y thì

Vậy A có giá trị không nguyên

Bài 4 : Cho a b c , , là độ dài ba cạnh của một tam giác

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Bài 5: Cho ba số dương 0     a b c 1.Chứng minh rằng: 2

Hướng dẫn giải

khi đó

5 3

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 10: Cho các số a b c , , không âm thỏa mãn : a  3 c  2016; a  2 b  2017.Tìm giá

Vì a b c , , không âm nên P  2016 1 2 2  c  2016 , 1 2 MaxP  2016 1 2  c  0

Bài 1 1 : Cho 20 số nguyên khác 0: a a a1, , , ,2 3 a20