Tuyển tập các bài toán olympic sinh viên potx

Tìm điều kiện cần và đủ đối với hàm ƒ#x sao cho nghiệm của phương trình đã cho hội tụ đến Ö vx —> 0khi x— +œo.. Cho _ƒx-là hàm liên tục không âm trên |0.. Cho hàm ƒx khả vi vô hạn trên

Tuyén Tap Olympic Sinh Vién

Cộng đông mathvn org Phân 1 Giải tích

1.1 Day s6, dao ham, chudi, tich phan

1 ChoM = {f c C[0.zl| ƒ ƒ(x)sin xá& = [ f(x) cos xdx = i}

Tim min J ƒ (x)dx

2 Tén tai hay khéng ham sé f(x) 1ién tuc trén (1, +00) sao cho

J fat =1,VxE (I.+œ)?

3.Cho phuong trinh vi phan y’ = xy + f(x)trong do ƒ# : R —> Rlà một hàm

liên tục bị chặn Tìm điều kiện cần và đủ đối với hàm ƒ#(x) sao cho nghiệm của

phương trình đã cho hội tụ đến Ö (v(x) —> 0)khi x— +œo

4 Cho _ƒ(x)-là hàm liên tục không âm trên |0 +00) déng thoi | f(x)ax <T

f(x)

„ có giới hạn hữu hạn trên |0 +00) l+x

với mọi 7 > 0 Chứng minh hàm

5 Cho hàm ƒ(x) khả vi vô hạn trên ” Xét là một chu tuyến mở nào đó sao

cho

[LALO geay <oora = LOI — quy y—

Chứng minh ƒ{(x)là hàm hằng trên 7.

6 Dãy {x, } được xác định bởi x, là số tuỳ ý thuộc khoang (0,1),

x,„ =In(I+x,) khi n=1,2,3, Tính limwx,

7.Cho ƒ# € C”[0,1 | Chứng minh

b <JI7@+ [J/'(x®

S.Chứng minh

x>+eco n=l (n° +x) 2

9 Tìm tat ca cac ham f: R, — R_thoa man phuong trình hàm sau

⁄()/@/(x)=/(x+y) — VEVER,

10 Cho f € C[0,1]va Vx, y € [0,1]thoả mãn bất đăng thức

Xf (y) + yf(x) <1

Chứng minh răng J7“ < 1

le

e n

12.Xác định số nghiệm thực của phương trình sau

11 Ching minh day s6 a, = , n=1,2,3, hdi tu dén mot gid

trị hữu hạn

(x +1)e” =2

13.Cho f: R— Rla ham khả vi liên tục thoả mãn

f(0)=1, f'(0) <0,0< f(x) <1 Vr E(0,])

14 Tinh

lim(xJ2009%/2009%/2009 “”/2009)

#—>œo

15 Tén tai hay khong ham sé f(x) = Olién tuc trên [- 1,1]sao cho

[fat = | fdi,Yxe [—LI]?

16 Cho ham ƒ(x) dương, liên tục và đơn điệu giảm trên đoạn |a,b] Chứng

minh rằng

Jar onde S| f seas

17 Cho f(x) la ham kha vi hai lan và giả sử ƒÍ(x) đơn điệu và tồn tại À sao

cho với mọi # ta có ƒ“(x) > À Chứng minh với bất kì hai số thực đ, bbất đăng thức sau đúng

<4

À

[sin(/@))&

18 Chứng minh với mọi hàm ƒ(*x)liên tục trên đoạn [0.1] „ khả vi trên (0.1)

thoả mãn

#(0)<2,/(1) >1 Chứng minh ƒ“(x) < 2 f(x) +2x—5 Vx € (0,1)

19 Tinh lim` Š`(I +e")

A->OO n k=0

20 Tìm nghiệm của bài toan Cauchy sau

2y”+(y} =z.y(0)= y'0)=1

21 Tính limỀ——“—=——

noo TW + ni +1994

22.Cho f(x) la ham khả tích trên đoạn [0,2]thoa man [ f?(x)dx <6.

Chứng minh | xf (x)dx <4

23 Dãy {x, } được xác định bởi với mỗi Ø € |0, 1|thì

x, =0,x,, =x, +0.5(0—x)(n>1)

Chứng minh lim x, ton tai va tìm giới hạn đó

#—>œo

24 Tổn tại hay không hàm số /(x)không âm xác định trên tập x > Ú vả thoả mãn phương trình sau

1

25 Tính lim| 5 +43 - 1)

nO

26.Ham ƒ(x)có đạo hàm voi moi x > 1 va thoa man diéu kién

MAL #@)|<x' x>I

Chứng minh tổn tại một điểm ø sao cho ƒÍ(đ) = —đ ”

5/4

27.Tính fin(x+ ve —1)dr

28 Cho dãy số {a, } thoa man

i) Vn a, >0

ii) Vmjna.<a +a 2 m+n m n

Chimg minh lim — ton tai

A->OO n

-1/+?

sin xX

29 Tinh in|

30, Tinh lim 2 —

we (2x) —]

31 Day {x, } được xác định bởi công thức truy hồi sau

x, =a,x,, =2x° —-I(n>1)

Tim 5 gia tri khac nhau của ø để dãy đã cho có giới hạn

32 Dãy {x, } được xác định bởi công thức truy hồi sau

x=L#,,=vJI+2x, (>1)

Chứng minh dãy đã cho có giới hạn và tìm nó

33 Cho x, =a,x, = b,x, = II] ty n= 2,3

Tinh lim x,

H->O00

wn

34 Cho day {a, } sao cho dãy LẺ a |i tụ Chứng minh rằng với mọi

c > 0thì chuỗi S`

n=|

a A¿

“hội tụ

I+ €

35.Chứng minh với bất kì nghiệm y(x) nào của phương trình vi phân

y" +sin y =Othi lim 2

tốn tại

36 Cho x, = J6 + {J6 + + 4/6 (n lan).Tinh lim6” (2 — x, )

x wax, i \ "

37.GI1ả sử với œ € (0.1) thì chuỗi 2q nội tuva x, > x,,, 20 với mọi &

k=l

Chứng minh chuỗi Ð `x “””` cũng hội tụ

k=1

38 Có thê hay không biểu dién s6 7 dưới dạng

lim fk, — fm, }

Trong đó {k,}, {m, Hà các dãy số tự nhiên?

/2

39 Chứng minh { cosax(cos x) &=0 a>l

40 Giả sử C (œ)là hệ số của x' “trong khai triển Maclaurin của hàm (I + x)’

Tinh [C(-y—)|——+ + ——_l¢

A->OO k=l

n JT) A1.Tinh lim} in Sa `——

4? Cho {yp (x)} là hệ các hàm lien tục trực chuẩn trên đoạn [0.1] Chứng minh có ít nhất một hàm trong hệ trên thoả mãn bất đăng thức

S| fend =

k=l | £_1

vn

43 Tén tai hay khong mét ham f : R > Rkha vi lién tuc thoa man

If (x)|<2, f(x) f"(x)>sinx VxE R?

44 Cho ƒ €C”"(R)và

"(flay + fia) ++ fa)

Chimg minh ton tai c € (a,b) sao cho f""(c) = f(c)

n-l

45 Tinh limy/a, néu a, =a>0,a,=a’,a,= laa, n>3

i=l

HOO

46 Tính pre a

47 Day {x, } được cho bởi công thức truy hôi sau

2

*,=LX,u=%X,—~—

" 200

l

<=

Chứng minh x,,,, 2

48 Cho ham (x) liên tục và tuần hoản với chu kì 7” J I (x)dx = 0.Ching

minh ta tìm được một số a@sao cho voi moi thi bat dang thức sau đúng

[fdr >0

s7]

49 Chứng minh ea <1.1

50 Dãy {x, } được xác định boi x, =1,x,,, = arctgx, (n > 1)

Chudi 57x, hdi tu hay không?

51 Tinh J x In + e* )dx

52 Tính ]im(!1e —[m1!e]) trong đó [đ]— phần nguyên của a

#—>œo

1

53 Chuỗi È `đ, có hội tụ hay không trong đó a, = J arcignx 4

54 Cho hàm f :[0,+-00) > [0,1]lién tuc thoa man f (x+y) < f(x) f(y)

voi moi x, y > 0 Chimg minh bắt đăng thức sau đúng

[Zœ“ >x,/ f(2x).v6i moi x > 0

55 Cho day số thực {a, } được xác định bởi công thức truy hồi sau

4 =3, 4, =a —3a +4 Vn>I

a) Chứng minh dãy {a, Hãng và bị chặn

1 1 + + +

œ—L a,-1 á„T—]

A

b) Chitng minh day 5, = „ V#>], cũng hội tụ và

tìm giới hạn đó

56 Cho hàm f :[0,1] > Rlién tuc va thoa man | f (x)dx =1, | Xƒ(x)& =1

1

Chứng minh [ f?(x)dx > 4

0

57 Cho F’-tap hop cac ham /f 1ién tuc trén doan [0.1], ƒ: [0,1] — [0,-+oo) va

s6 tu nhién n Xác định gia tri nho nhất của hằng số € sao cho

f £@lx)dx <c f f(x)dx voi moi ham ƒ € F

58 Cho ham f : R— Rkha vi ba lan Ching minh ton tai a € (— 1,1) sao cho

Z#”(a)=3Œ@)~ #(—1)—2/(0))

59 Tính [ Vacost—dsinz at, néu a>0,b>0,a=arctg(b/a)

60 Chứng minh với ø đủ lớn bất đăng thức sau đúng

Trong đó {a} -phan lé ctia đ

61 Dãy 1đ _‡cho bởi công thức truy hôi, =Ï,ø,,=—— L—,

Tinh lim oo

H->O00

62 Tén tai hay khong day cac ham lién tuc f, :R > R sao cho đối với mỗi số

vô tỉ x tổn tại giới hạn hữu hạn lim ƒ,(x)và đối với các x hữu tỉ thì

noo

i) lim f(x) = +00;

nao

ii) day f (x) bi chan va phan ki

63 Dãy sô {x,} xác dinh boi x, =Lx,, =x, + 2„ với mọi #> Ì

x

HOO in

65.Cho f :(0,+00) — R-ham kha vi ba lan Biét rang

lim f(x) = 4€ R, lim ƒ”(x)=0

x—+oo

Chứng minh rằng lim f(x), lim f"(x)tén tai va bang 0

66 Ham /: [0,1] —> (0,-+00)la hàm giảm không ngặt Chứng minh rang

ƒ xf *(x)dx f f(x)dx < [of (x)4 ƒ St (x)dx

67.Tinh Himyit2yieayieavia

68 Giả sử tích ] [(I-+/2,),a, € Rhội tụ với ít nhất hai giá trị thực khác Octia

n=l

69 Chứng minh phương trình đối với hàm #(x) có dạng

u(x)=1+ rf u(y )u(y — x)dy khong có nghiệm thực trên đoạn [0,1] khi

ysl

2

70 Hàm ƒ{(x) liên tục trên đoạn |0 alva voi moi x € |0 a] thoả mãn đăng thức

x 1 2 „

y(x)= +? (t)dt Ching minh a< 5

71 Dãy số {a, } cho bởi công thức truy hồi sau

a =La =-——->*~*+ + °(n>1

Tính » a,x" (

n=0 x| < 1)

72 Tìm tất cả các hàm f(x) thoa man

2006

73 Tinh J x(x — ])(x — 2) (x — 2006)

74 Dãy {c, } xác định dưới dạng truy hồi sau

œ=0,c,,=J+e,)/2(n>1)

Chứng minh lim(2" Jl-c ltên tại và tính nó

75 Cho f(x), g(x), ñ(x) là các hàm liên tục trên đoạn |a.b|và khả vi trên

khoảng (a,b) Chimg minh tén tai € € (a,b) sao cho

f(a) f(b) f) g(a) g(b) g(g)/=0 h(a) hb) Hh(€)

+ BS)

- a (k+ p\k

76 Cho p,q,r,51a cac so tu nhién Tinh tim |! P

noo 74 a(k+r)(k+s)

77 Tim x dé limjI+vx+ ýy + +x =2

78 Chứng minh rang

| cos 2xcos3xcos4x cos2005x dx > 0

79 Chứng minh dãy số thực {x,„# > l} hội tụ khi và chỉ khi

A>CO M>0O

80 Cho f €C(R)va a, <a, <a, <b <b, <b, Co thé tim duge hay

khéng ba sé c, <c, <c, G c [a, |) sao cho

81 Tinh —

" 2 n(3n +1)(3n +2)

82 Tinh lim VN (1- max {Vn}), {x} -phân lẻ của x

N—-oo l<n<N

83 Chứng minh bất đăng thức 424134 4 {j < 2,n>2

cà xử + vỶ 2

84 Tính tông chuỗi so tle)

nm l]—xX gn voi xl

85 a) Chứng minh bất đăng thức

ppt aD vltu <1+“

VỚI mọi ? € [0,1],z N,

b) Tinh

lim Vine" f |xn xf dx

c) Tinh limvi'e" [si + xIn x|'dx — 1

86 Cho a> 0,|b|<a va

F(a,b) = FEC [0.1], £0) =0.f) =b.max| f'09|= a}

Tinh sup f f(xddx, inf [ ƒ(x)äk

feF (ab) "0 ƒ€F(a,b)

87 a) Cho S (x)= » COs hor chứng minh hàm S_(x) + S (x) đơn điệu

trên đoạn [0,7]

b) Chứng minh Š (x) > — lvới moi x € |0,] vàn N

c) Tính lim inf { min Ss (x)}

n—>oo x€[ 0,7 ]

88 Cho dãy ø ,# = l,2, và 4 >0 Dãy 6 được xác định bởi

b =djJb_.+a ,n=1,2.3 và b >0

a) Ching minh dãy {b,}` hội tụ khi và chỉ khi dãy {Z,} ` hội tụ

b) limb = +00 © limza = -+cc đúng hay sai?

| hf

89 Tinh lim—In sin +t at

90 Dãy {đ, } được xác định dưới dạng truy hồi đ, = Ï,đ,, = đ) +đ,

x Ị|

> 4 +Ì

sin| 7

V5 4] 6n+5

2

91 Tinh lim hos | 541 6ntH1 \ °

S1N| 7

92 Cho ham f/f: [0,1] —> [0,1 là hàm liên tục Chứng minh dãy {x, } được xác

định bởi x, €|0,1],x,, = ƒ(x,),w€ Nhội tụ khi và chỉ khi

lim(x,., — x, ) =0

#—>œo

ml ị KT

93 Với 0< g< ltính limø `4” `sin——

A->OO k=0 H

94 Cho „là các số tự nhiên và x € [0,1] chứng minh rằng

(I~x}Ÿ'+(I~d-z#}Ÿ >1

95 Cho hàm f/f: [0,1] —> là hàm liên tục Dãy hàm {7,}./, :|0,1] — Ñ xác

Ching minh rang néu_f (1) = Ovéi moi n thi f(x) =0

96 Tinh limn ƒ ;

" ox 7 +]

vn

1

6413

3-+X13

2

97 Cho 4 =7

Các dãy {sin 44 }` ,{/g⁄4,}` có hội tụ hay không?

_-

98 Cho Ũ <€ <c, < <€, < là dãy số thoả lim-”

A->OO H

=c>(0) Tính

lim(1— x)}` *

mm 2— x

99 Tính lim’ lÍ đl+x4- |

100 Chứng minh tổn tại một hăng số Œ > 0thoả mãn bất đăng thức

j lj /04|« <€ j f (ade

với mọi hàm ƒ : [0,1] — Rlién tuc

101 Cho hàm ƒ :(0,-+oo) —> Rlà hàm khả vi hai lần và thoả mãn

lim (f"(x) — f'(x)) = b0 Chứng minh tổn tại x„ sao cho

ƒ(x)z=0,Vx€Í(x,, +).