Chứng minh rằng f là liên tục đều trên a, b.. Tìm tất cả các hàm f để đẳng thức xảy ra... Theo giả thiết, vế trái không âm và vế phải nhỏ hơn π.
Trang 1HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006
ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180’
Câu 1:
Với mỗi n ∈ N, cho un = n4 +2n4n2 +9 Đặt
Sn = u1+ u2+ + un
Tìm lim
n→∞Sn
Câu 2:
Cho f là một hàm có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên (a, b) Giả sử có
M > 0 để |f00(x)| ≤ M với mọi x ∈ (a, b) Chứng minh rằng f là liên tục đều trên (a, b)
Câu 3:
Cho f :
−π
2, π2
→ (−1, 1) là một hàm số khả vi, f0 không âm và liên tục Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ −π
2,π2
sao cho (f (x0))2+ (f0(x0))2 < 1
Câu 4:
Cho hàm f liên tục trên R thỏa mãn f (0) = 0 và
|f (x) − f (y)| ≤ | sin x − sin y|, x, y ∈ R
Chứng minh rằng
π 2
Z
0
f (x)2− f (x)
dx ≤ π
4 + 1.
Tìm tất cả các hàm f để đẳng thức xảy ra
Câu 5:
Cho hàm f khả vi đến cấp 2 trên [a, b] và f0(a) = f0(b) = 0 Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
|f00(c)| ≥ 4
(b − a)2|f (b) − f (a)|
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1:
Ta có
n2 − 2n + 3−
1
n2+ 2n + 3 =
1 (n − 1)2+ 2 −
1 (n + 1)2+ 2, n ∈ N.
Đặt ϕ(x) = x21+2 thì un = ϕ(n − 1) − ϕ(n + 1) Do đó với n ≥ 2,
Sn = ϕ(0) − ϕ(2) + ϕ(1) − ϕ(3) + + ϕ(n − 1) − ϕ(n + 1)
= ϕ(0) + ϕ(1) − ϕ(n + 1) − ϕ(n)
= 1
2 +
1
3−
1 (n + 1)2+ 2 −
1
n2+ 2.
Từ đó ta có lim
n→∞Sn = 56
Câu 2:
Cố định x0 ∈ (a, b) Theo định lý Lagrange, với mỗi x ∈ (a, b) \ {x0} tồn tại
cx ∈ (a, b) sao cho f0(x) − f0(x0) = f00(cx)(x − x0) Do đó
|f0(x)| ≤ |f0(x) − f0(x0)| + |f0(x0)| ≤ M |x − x0| + |f0(x0)| ≤ M (b − a) + |f0(x0)|
Đặt K = M (b − a) + |f0(x0)| > 0, ta có |f0(x)| ≤ K với mọi x ∈ (a, b) Lúc
đó với x, x0 ∈ (a, b), dễ thấy
|f (x) − f (x0)| ≤ K|x − x0|
Với ε > 0 tùy ý cho trước, chọn δ = ε
K Nếu |x − x0| < δ thì |f (x) − f (x0)| < ε Vậy f liên tục đều trên (a, b)
Câu 3:
Xét hàm số g(x) = arcsin(f (x)) Khi đó g :
−π
2, π2
2,π2
liên tục trên
−π
2,π2
, khả vi trên −π2,π2
Theo định lý Largange, tồn tại x0 ∈ −π
2,π2
sao cho
g(π
2) − g(−
π
2) =
f0(x0)
p
1 − (f (x0))2.π
Theo giả thiết, vế trái không âm và vế phải nhỏ hơn π Vì vậy
0(x0)
p
1 − (f (x0))2 < 1
Trang 3Từ đây dễ dàng nhận được
(f (x0))2+ (f0(x0))2 < 1
Câu 4:
Với mỗi x ∈ R, ta có
|f (x)| = |f (x) − f (0)| ≤ | sin x − sin 0| = | sin x|
và
|f (x)2− f (x)| = |f (x)||f (x) − 1| ≤ | sin x|(| sin x| + 1)
Vậy
π 2
Z
0
f (x)2− f (x)
dx ≤
π 2
Z
0
sin x(sin x + 1) = π
4 + 1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f liên tục trên R và với mỗi x ∈ [0,π2],
|f (x)| = sin x và |f (x)−1| = sin x+1, tức là f liên tục trên R và f (x) = − sin x trên [0,π2]
Câu 5:
Áp dụng khai triển Taylor của hàm f đến cấp 2 tại a và b ta có:
f
a + b
2
= f (a) + f
00(x1) 2!
b − a
2
2
và
f
a + b
2
= f (b) +f
00(x2) 2!
b − a
2
2
, với x1 ∈
a,a+b2
và x2 ∈
a+b
2 , b
Do đó
|f (b) − f (a)| =
b − a
2
2
.1
2|f
00
(x2) − f00(x1)| ≤
b − a
2
2
|f00(c)|,
trong đó |f00(c)| = max{|f00(x1)|, |f00(x2)|} (c = x1 hoặc c = x2) Vậy tồn tại
c ∈ (a, b) sao cho
|f00(c)| ≥ 4
(b − a)2|f (b) − f (a)|