Câu 4: Cho A là một ma trận vuông thực cấp n không khả nghịch và At là ma trận chuyển vị của A... --- Mỗi câu 2,5 điểm Người giới thiệu: Thạc sỹ Hoàng Huy Sơn Trưởng bộ môn Toán Trường
Trang 1BỘ GIÁO DỤC CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường ĐH An Giang Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006
MÔN: ĐẠI SỐ
Thời gian: 180 phút NỘI DUNG:
Câu 1: Cho A B, là các ma trận vuông thực cấp 2 khác 0, thỏa AB = BA và
2006 2006
0
A =B = Chứng minh (A+B)2005 =0
Câu 2: Cho
n n n
∆ =
, x y i, i∈¡,i =1, , n
Tính ∆ ∆2, 3 Từ đó tính ∆n,n≥4
Câu 3: Tìm một ma trận vuông cấp hai B=( ),b ij b ij ≠0, ,i j =1, 2 sao cho B có 2 giá trị
riêng λ1 =2,λ2 =5
Câu 4: Cho A là một ma trận vuông thực cấp n không khả nghịch và At là ma trận
chuyển vị của A Chứng minh rằng, tồn tại các số thực x x1, 2, ,x không đồng thời bằng n
0 thỏa
1 2
1 2 0
t n
n
x x
x x x A A
x
=
-
Người giới thiệu Thạc sỹ Hoàng Huy Sơn
Trưởng bộ môn Toán Trường Đại học An Giang
Trang 2Bộ Giáo Dục CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường ĐH An Giang Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006
MÔN: ĐẠI SỐ
Thời gian: 180 phút NỘI DUNG:
Câu 1: Cho A B, là các ma trận vuông thực cấp 2 khác 0, thỏa AB = BA và
2006 2006
0
A =B = Chứng minh (A+B)2005 =0
GIẢI:
Từ giả thiếtA2006 =0 suy ra detA = 0 Ký hiệu A=(a ij), ,i j=1, 2 thì ta có
11 12
11 12
,
A
Dễ thấy
11 12 11 12 11 11 12 12 11 12 2
11 12 11 12 11 11 12 12 11 12
2006 2005
11 12
A
λ
Do A2006 = 0 và A ≠0 nên (a11+λa12)2005 = ⇒0 (a11+λa12)=0 Vậy A2 = 0 Từ
đó A n = ∀ ≥0, n 2 Tương tự thì B n = ∀ ≥0, n 2
Ta có
2005
2005 2005
2005 0
n
=
Câu 2: Cho
n n n
∆ =
Tính ∆ ∆2, 3 Từ đó tính ∆n,n≥4
GIẢI:
Trang 31 1 1 2
2
2 1 2 2
1 2 1 1 1 1 1 2
2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 1 1 1 2 2 1 2 1
1 1
1 1
x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
∆ =
1 1 1 2 1 3
3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
Dùng các tính chất của định thức giống như đối với ∆2, ta có các định thức thành phần đều bằng 0 (đều có hai cột giống nhau hoặc tỷ lệ nhau) Vậy ∆ =3 0 Nhận xét đó cũng đúng cho các ∆ ∀ ≥k, k 4
Câu 3: Tìm một ma trận vuông cấp hai B=( ),b ij b ij ≠0, ,i j =1, 2 sao cho B có 2 trị riêng
1 2, 2 5
λ = λ =
GIẢI: Ma trận B cần tìm phải đồng dạng với một ma trận D = 2 0
0 5
tức là B = PDP
-1
với P là một ma trận cấp hai nào đó khả nghịch, chẳng hạn P = 2 1
1 1
, P
-1
1 2
−
Vậy B = 2 1
1 1
2 0
0 5
1 2
−
1 6
3 8
−
−
Câu 4: Cho A là một ma trận vuông thực cấp n không khả nghịch và At là ma trận
chuyển vị của A Chứng minh rằng, tồn tại các số thực x x1, 2, ,x không đồng thời bằng n
0 thỏa
1 2
1 2 0
t n
n
x x
x x x A A
x
=
GIẢI: Đặt A=(a ij n) Khi đó [ 1 2 ] 1 2
t
Trang 41 1 1
2 2
1
1
n
j j j
n
j j j
nj j j
a x x
a x x
A
x
a x
=
=
=
∑
∑
∑
M
M
1
2
t
n
x x
x
1 2
1 2 0
t n
n
x x
x x x A A
x
=
tương đương với
1
2
1
1
2 11 1 12 2 1
21 1 22 2 2 2
1
1 1 2 2 2
1
0
0
0
n
j j
j
n n n
n n
j j
j
n
nj j
j
a x
a x a x a x
a x a x a x
a x
a x a x a x
a x
=
=
=
∑
∑
∑
M
vì detA = 0 nên hệ này có nghiệm
không tầm thường
-
(Mỗi câu 2,5 điểm)
Người giới thiệu: Thạc sỹ Hoàng Huy Sơn
Trưởng bộ môn Toán Trường Đại học An Giang
Trang 5Bộ Giáo Dục CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường ĐH An Giang Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Giới thiệu đề thi: OLYMPÍC TOÁN HỌC
Môn thi : Giải Tích - Câu 1: Tìm giới hạn
1 sin lim
0
n
−
Giải : Đặt
1 sin 0
n x n
I =∫e− dx ta có I n ≥0 , hàmy y sin x
x
= trên đoạn [b,1] với
0<b 1≤ liên tục nên bị chặn trên đoạn đó và
0
sin
x
x x
→ = , do đó tồn tại số dương c sao cho sinx≥cx ∀ ∈x [ ]0,1
Do đó:
1 1
0 0
0
ncx ncx
n
=
Câu 2 : Tìm giới hạn hàm số
4
lim
2 0
→
Giải: Đặt f(x) = 42+4x+x3− 1 2+ x2
4
lim
2 0
2 2 0
lim
x
x
→
0
lim
x
x f x x
→
+ −
=
2
4sin lim
x
x
0
lim
x
→
Trang 62006f(x-1) + 2005f(1-x) = x, ∀ ∈x R
Giải :
Thay x bởi x +1 ta có 2006f(x) +2005f(-x) = x + 1 suy ra 2006f(-x) + 2005f(x) = -x +1
Do đó (2006 + 2005)(f(x) + f(-x)) = 2 ( ) ( ) 2
4011
f x f x
Vậy
2006 ( ) 2005 ( ) 1
2 ( )
2
4011 ( ) ( )
4011
f x x
f x f x
-
Giáo viên ra đề: Thạc sĩ: VÕ TIẾN THÀNH
Đại Học An Giang