Mở đầu Khi giải bài toán ổn định, ta phải thiết lập các phương trình cân bằng của nó, phương trình này có dạng giống như phương trình cân bằng của bài toán bền.. Điểm khác nhau giữa hai
Trang 1BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA KẾT CẤU VỎ THOẢI MẶT BẰNG
PGS TS LÊ NG ỌC THẠCH, ThS MAI CHÂU ANH
Trường Đại học Xây dựng
1 Mở đầu
Khi giải bài toán ổn định, ta phải thiết lập các phương trình cân bằng của nó, phương trình này
có dạng giống như phương trình cân bằng của bài toán bền Song những điều kiện cân bằng này chưa nói lên được dạng cân bằng đó ổn định hay không ổn định Điểm khác nhau giữa hai loại bài toán này là đối với bài toán bền, từ các phương trình này ta sẽ tìm được các giá trị nội lực, ứng suất, chuyển vị Còn bài toán ổn định thì từ điều kiện mất ổn định của hệ, ta sẽ tìm được các thông số lực tới hạn biểu thị độ an toàn về mặt ổn định của kết cấu đối với một nhóm lực nhất định
Trên cơ sở lý thuyết tổng quát về sự cân bằng và cân bằng ổn định của hệ đàn hồi, người ta phân loại bài toán ổn định thành hai trường hợp: loại I và loại II Đối với bài toán ổn định loại I, từ hệ phương trình ổn định thiết lập các điều kiện để cho hệ mất ổn định ta sẽ tìm ngay được tải trọng tới hạn tương ứng Để tìm giá trị của lực tới hạn trong bài toán ổn định loại II không áp dụng được cách giải trực tiếp như trên, ở đây ta sẽ tìm cách thiết lập trực tiếp các điều kiện cực trị của phiếm hàm bằng các phương pháp trực tiếp: phương pháp Ritz - Timosenko, phương pháp Buovnov - Galerkin Khi giải bài toán ổn định của vỏ thoải thì việc quan trọng đầu tiên là chọn hàm độ võng sao cho thoả mãn các điều kiện biên Các phương trình ổn định rất phức tạp về mặt toán học cho nên giải những bài toán
cụ thể rất khó Để có thể tìm được các giá trị lực tới hạn mà không gặp nhiều khó khăn, cần thiết phải làm giảm bớt bậc của các phương trình vi phân Cách tìm nghiệm được quy về hai nhóm chủ yếu: chính xác và gần đúng Nhóm lời giải chính xác gồm nhiều phương pháp: bài toán tìm nghiệm Navier dưới dạng chuỗi lượng giác kép, bài toán tìm nghiệm Levy dưới dạng chuỗi lượng giác đơn, phương pháp biến phân của Ritz - Timoshenko, của Buovnov - Galerkin Nhóm lời giải gần đúng có các phương pháp: phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn 1, 2 Trong bài báo này, các tác giả dùng phương pháp của Buovnov - Galerkin khảo sát ổn định cho vỏ thoải mặt bằng hình chữ nhật có tỷ số cạnh dài trên cạnh ngắn khác nhau và tìm nghiệm giải tích cho các trường hợp vỏ thoải mặt bằng hình chữ nhật liên kết ngàm và vừa ngàm vừa khớp
2 Hệ phương trình cân bằng trong bài toán ổn định của vỏ thoải 1, 2
h
D
4w =
2 2
x
2 2
y
w
+ 2 2
y
2 2
x
w
- 2
y x
w
2
+ kx
2 2
y
+ ky 2 2
x
+
h q
= L(, w) + kx
2 2
y
+ ky 2 2
x
+
h
q
= L(, w) + 2k +
h
q
(1)
E
1
4 = (
y x
w
2
)2 - 2 2
x
w
2 2
y
w
- kx 2 2
y
w
- ky 2 2
x
w
(2)
= -
2
1
L(w,w) - k2w
Với D là độ cứng trụ của vỏ: D =
) 1 (
3
Eh
3 Trường hợp vỏ thoải chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến q
Đây là trường hợp rất phổ biến (chịu trọng lượng bản thân, áp lực của chất lỏng ) Bài toán ổn định của
Trang 2vỏ thoải chịu uốn l à bài toán ổn định loại hai Khi tăng tải trọng, l úc này bi ến dạng của kết cấu phát triển như ng không thay đổi tính chất, không phân nhánh Giá trị của lực q tương ứng với
khi độ võng w tăng mà không cần tăng tải trọng gọi là lực tới hạn Khi q = qt h, sự cân bằng giữa nội lực và ngoại lực đạt đến trạng thái tời hạn Khi q > qth, sự cân bằng chỉ có thể xảy ra khi giảm tải trọng q Trạng thái tời hạn được xác định từ điều kiện:
dw
dq = 0
Xét vỏ thoải mặt bằng hình chữ nhật có kích thước chiều dài và chiều rộng là a, b Gọi kx, ky là
độ cong chính của vỏ theo hai phương x và y Chọn hàm độ võng w và ứng lực thỏa mãn các điều
kiện biên
Dùng phương trình (1), (2) và đặt:
X =
h
D
4w - L(, w) - kx
2 2
y
- ky 2 2
x
-h
q
0
2 2 4
4 4
4
4
2
y x
w y
w x
w h
D
-2 2
x
2 2
y
w
-2 2
y
2 2
x
w
+ 2
y x
w
2
- kx 2 2
y
- ky 2 2
x
-
h
q
0 (3)
Y =
E
1
4 +
2
1
L(w,w) + kx
2 2
y
w
+ ky 2 2
x
w
0
2 2 4
4 4
4
4
2 1
y x y
x E
+ 2 2
x
w
2 2
y
w
- (
y x
w
2
)2 + kx
2 2
y
w
+ ky 2 2
x
w
0 (4) Theo A.C.Volimip, dùng phương pháp Bouvnov - Galerkin và đặt phương trình:
b
y a
x
a b
sin sin
0 0
b
y a
x
a b
sin sin
0 0
= 0 (5)
Ở đây lấy n = 1 cho trường hợp liên kết khớp; n = 2 cho trường hợp liên kết ngàm
Thực hiện tích phân và đặt các thông số không đơn vị:
kx* =
h
a
kx 2
; ky* =
h
b
ky 2
; k* = kx* + ky* ; =
b
a
; = h
1
; q* =
E
2
h
ab
(6) Lấy = 0,3 được quan hệ giữa tải trọng và độ võng Khi hệ bị mất ổn định, trạng
thái tới hạn được xác định từ điều kiện:
d
dq *
= 0 và tìm được giá trị tương ứng
Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị quan hệ q - khi = 1; 1,5; 2; 2,5 với các giá trị k* = 0, 12, 24, 36,
48, 60 khác nhau
3.1 Ổn định của vỏ thoải liên kết khớp chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến
A.C.Volimip đã chọn hàm độ võng w và ứng lực , giải ra được q* và khảo sát đồ thị ứng với
trường hợp =
b
a
= 1 Ở đây tác giả khảo sát thêm một số trường hợp còn lại
w = 1
a
x
sin
b
y
sin ; = A1
a
x
sin
b
y
sin
q* =
2
2 6
2 2
2 2 2 2 3
2 2
1 192
1
* 1
1 16
* 1
1 1
1 9
32
k
=
32
3
k*
) 1 ( 2
)
1 (
* 3 32
1
2
4 4
2
k điều kiện: k*
) 1 ( 6
)
1 (
2
2 2
(8)
Trang 3k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6
q*
2 4 6 8 10
500
1000
1500
q q*
2 4 6 8 10 -250
250 500 750 1000 1250
Hình 1 Đồ thị quan hệ q* - đối với mặt bằng hình chữ nhật có a = b và 1,5b
1
k k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6
q*
2 4 6 8 10
200
400
600
800
1000
2 4 6 8 10 200
400 600 q*
Hình 2 Đồ thị quan hệ q* - đối với mặt bằng chữ nhật có a = 2b và a = 2,5b
Từ biểu đồ, ta nhận thấy ở đây dạng cân bằng bị phân nhánh, sau khi kết cấu bị mất ổn định ứng
với tải trọng tới hạn trên, nó chuyển qua trạng thái cân bằng khác, trạng thái tới hạn lúc này ứng với
tải trọng tới hạn dưới, nên để đạt đến kết quả chính xác hơn đặt hàm độ võng và ứng lực thỏa mãn
các điều kiện biên dạng:
w =
n
m
mn
b y n a x m
,
sin sin ; =
n m mn
b y n a x m A
,
sin sin
Tương tự như trên, ta đặt X , Y Áp dụng phương pháp Bouvnov - Galerkin và đặt phương trình:
a b
dxdy b
y j a
x i X
0 0
sin
= 0 ;
a b
dxdy b
y j a
x i Y
0 0
sin
= 0 Thực hiện tích phân:
h
q a
k m b
k n A n
m f A b a b
n a
m
mn mn
mn
2
2
2 4
2 2 2
2
4 2
2 2
2
2 6
16 3
2 ) (
16
= 0 (9)
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
a m
1 -1 3
16 1
b n a
k m b
k n f b
na a mb
A
E
y x
mn mn
mn
= 0 (10)
Trang 4Đặt: kx* =
h
a
kx 2
; ky* =
h
b
ky
; k* = kx* + ky* ; =
b
a
; mn =
h
mn
; q* =
E
q
2
h
ab
(11)
Từ (10) A1, thay vào (9), (11), lấy = 0,3 ta có:
q* =
2
2 6
2 2
2 2
2 2
3 2 2
1 192
1
* 1
1 16 1
1
* 1
1 9
k n
m n
m k
n m
mn mn
(12)
Xét trường hợp đặc biệt, vỏ có mặt bằng hình vuông =
b
a
= 1, m = n ta có:
q* =
mn mn
mn
m m k
m
m m
m k
m m
2
2 6
2 2
2 2
2 2
3 2 2
1 192
1
* 1 16 1
1
* 1
1 9
32
(13)
Lấy
mn
d
dq
*
= 0 được: mn =
32
3
k*
) 1 (
8
* 3 32
1
2
4 4 2
k (14) Xét trường hợp m = 1, từ (13): q* = 8,76413 - 2,1k*12 + (0,154k*2 + 21,943)1 (15)
Trường hợp m = 2, từ (13): q* = 8,76413 + 5,60923- 2,1k*12-1,578k*22
+ (0,154k*2 + 21,943)1+ (0,099k*2 + 4,288)2 (16)
Đặt: =
1
2
, đưa (16) về thành:
q* = 8,76413 + 5,609313- 2,1k*12 - 1,578k*212+ (0,154k*2 + 21,943)1
+ (0,099k*2 + 34,288) 1 (17)
Cân bằng (17), lấy đạo hàm và giải phương trình bậc 3 theo biến (1) có:
1= 0 ; 1 = 0,089(1,578 k2 1260) (18)
Từ (18), có nghiệm thực của (1 ) là: (1)= 0,089(1,578 k2 1260) với k 35,5
Thay giá trị của 1từ (18) vào (17) và khảo sát biểu đồ quan hệ q - 1
k1 k2 k3 k4 k5 k6
5 0 0
1 0 0 0
q *
Hình 3 Đồ thị quan hệ q* - đối với mặt bằng hình vuông
3.2 Ổn định của vỏ thoải liên kết ngàm chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến
Chọn hàm độ võng w và ứng lực thỏa mãn các điều kiện biên dạng:
Trang 5w =
b
y a
x
1sin sin ; =
b
y a
x
1sin sin
Ta có: q* =
2
2 4
2 2 2
2
2 3
2 4
1 8
1
* 1
1 8
3 1
8
9
* 1
1 4
3
k
Tìm được: = 2
2
9
) 1 ( 192
* 75 2
1
2
4 2
k điều kiện: k*
) 1 ( 192 75
)
1 (
2
2 2
(20)
k1 k2 k3 k4 k5 k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6
q *
2 4 6 8 1 0 1 2
1 0 0 0
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0
q *
2 4 6 8 1 0 1 2
1 0 0 0
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0
Hình 4 Đồ thị quan hệ q* - đối với mặt bằng hình chữ nhật có a = b và 1,5b
k1 k2
3
4
k k5 k6 k1 k2
3
4
k k5
6
k
q *
5 1 0 1 5
- 2 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
q *
2 4 6 8 1 0 1 2 1 4
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
Hình 5 Đồ thị quan hệ q* - đối với mặt bằng chữ nhật có a = 2b và a = 2,5b
3.3 Ổn định của vỏ thoải liên kết khớp ở hai biên đối diện (song song với trục Oy), hai biên
còn lại ngàm chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến
Chọn hàm độ võng w và ứng lực thỏa mãn điều kiện biên dạng:
w =
b
y a
x
1sin sin ; =
b
y a
x
1sin sin ;
Trang 6
2
2 2 5 2 2
2
2 2
2
3 2
2
1 12
2
1 2
1 16 3
* 2
1 2
1 16
3
1 16
* 2
1 2
1 16
3 3 2
1 2
1 16 3
1 3
*
k
k q
(21)
=
4
1
k*
) 1 (
2
1 2
1 16
3 12
* 7 12
1
2
2 2 2 2
2 2
) 1 ( 12 7
2
1 2
1 16 3
2
2 2 2
(22)
k1
2
k k3 k4 k5
6
k k1 k2 k3 k4 k5
6
k
q *
2 4 6 8 1 0
1 0 0 0
1 0 0 0
2 0 0 0
q *
2 4 6 8 1 0
- 5 0 0
5 0 0
1 0 0 0
1 5 0 0
Hình 6 Đồ thị quan hệ q* - đối với mặt bằng hình chữ nhật có a = b và 1,5b
k1 k2 k3 k4 k5k6 k1 k2 k3 k4 k5 k6
q*
2 4 6 8 1 0
- 2 0 0
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
1 2 0 0
2 4 6 8 1 0
5 0 0
1 0 0 0
1 5 0 0
2 0 0 0
q *
Hình 7 Đồ thị quan hệ q* - đối với mặt bằng chữ nhật có a = 2b và 2,5b
4 Nhận xét và kết luận
Từ các kết quả và biểu đồ tính giá trị lực tới hạn qth, q* cho các trường hợp vỏ có k* và khác
nhau, ta nhận thấy:
- Với cùng một giá trị : khi k* tăng, q*th cũng tăng theo
- Khi tăng: giá trị k* cần để q* có cực trị tăng, q*th giảm hay nói cách khác: đối với vỏ dài, độ cứng
giảm và giá trị của lực tới hạn q*th cũng giảm
Trang 7- Vỏ thoải liên kết ngàm và vừa liên kết ngàm vừa liên kết khớp cho giá trị lực tới hạn qth* lớn hơn
so với vỏ liên kết khớp khi chịu uốn do có độ cứng lớn hơn
- Đối với vỏ có độ cong bé, vỏ thoải liên kết ngàm có độ ổn định rất cao
- Giá trị của lực tới hạn không chỉ phụ thuộc vào các tham số hình học, vật lý, điều kiện biên mà còn phụ thuộc vào các yếu tố khác như điều kiện ban đầu
- Bằng cách áp dụng phương pháp Buovnov - Galerkin và cách xử lý như trong mục 3 ta có thể đưa bài toán phi tuyến về một hệ mà có thể cho ngay các nghiệm cần tìm là đơn trị
- Trong quá trình tính toán, nếu biết phối hợp với các phần mềm tin học ứng dụng trong lĩnh vực toán học (Mathematica, Matlab ) thì vẫn bằng các phương pháp cổ điển (phương pháp biến phân của Bouvnov - Galerkin, Ritz - Timosenko .) ta có thể tìm được nghiệm của bài toán phức tạp dưới dạng giải tích, từ đó dễ dàng khảo sát và rút ra những kết luận bổ ích tạo điều kiện giải các bài toán ổn định cả trong và ngoài miền đàn hồi bằng các phương pháp số như : phương pháp sai phân hữu hạn, phần tử biên, phần tử hữu hạn,
- Bài báo đã nêu ra được phương pháp xác định biểu thức của lực tới hạn trong trường hợp có kể đến các yếu tố phi tuyến hình học Từ đây, có thể định hướng cho bài toán phi tuyến vật lý
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Xtiphen P Timosenko, Jem M Gere Ổn định đàn hồi (bản dịch tiếng Việt) NXB Khoa học và Kỹ thuật.Hà Nội, 1976
2 A.C.Volimip Ổn định của hệ đàn hồi Nhà xuất bản Hayka Moscow, 1967
3 Phillip L.Gould Analysis of Shells and Plates - Springer – Verlag New York Inc, 1988
4 LÊ NGỌC HỒNG Cơ sở lý thuyết tấm và vỏ mỏng đàn hồi Tập bài giảng cho học viên cao học
Trường Đại học Xây dựng Hà Nội, 2001
