SKKN Kỹ năng tạo liên hợp ngược để giải một số phương trình vô tỷ nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng h...

SKKN Kỹ năng tạo liên hợp ngược để giải một số phương trình vô tỷ nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi và thi thpt Quốc Gia SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU    SÁNG[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TR ƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU

ĐỀ TÀI: KỸ NĂNG TẠO LIÊN HỢP NGƯỢC ĐỂ GIẢI MỘT

SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ

Người thực hiện: TẠ THỊ VÂN Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Văn Hưu SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

Năm học: 2018 - 2019

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài.

Môn toán là một môn học có nhiều đơn vị kiến thức, do đó giáo viên phải tích cực trau dồi, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh Hiện nay cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia, đề thi học sinh giỏi có những câu hỏi phân loại rất khó, vì vậy mỗi giáo viên phải tìm tòi, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán khó này một cách hiệu quả nhất trong các đề thi

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn hay phương trình vô tỷ vốn dĩ được coi

là con át chủ bài trong chương trình giảng dạy THPT nói chung cũng như đánh giá năng lực học sinh trong các kỳ thi quan trọng về Toán học

Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc Gia, kỳ thi học sinh giỏi … thì các bài toán phương trình vô tỷ là bài toán mang tính phân loại cao Các bài tập thuộc dạng toán này đòi hỏi học sinh cần tư duy theo nhiều hướng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau mới có thể tìm được mấu chốt của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy, quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân tôi

đã tiếp cận sử dụng phương pháp “Sử dụng kỹ năng tạo liên hợp ngược” để giải một số bài toán phương trình vô tỷ

Đây là phương pháp không chỉ nhằm phát triển tư duy độc lập sáng tạo mà còn góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học, tự bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin cho học sinh trong quá trình giải toán

Song việc vận dụng nó cần có những kỹ năng và cách thức khác nhau Qua hoạt động giảng dạy và quá trình tự học, tự nghiên cứu, tôi đã phát hiện ra một

số “kỹ năng” và “cách thức” đó

Chính vì thế tôi chọn viết đề tài này, trong phạm vi đề tài tôi chủ yếu đưa ra các ví dụ về phương trình vô tỷ, phân tích định hướng cho học sinh tìm tòi lời giải bằng phương pháp sử dụng “kỹ năng tạo liên hợp ngược”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành cho các em thói quen tự học, tự nghiên cứu, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh

- Hình thành cho các em có thói quen phân tích, định hướng và từ đó tìm được hướng giải quyết bài toán

- Từng bước tạo ra đam mê và xóa bỏ dần tâm lý e ngại của các em học sinh khi gặp các bài toán phương trình vô tỷ

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh trung học phổ thông ( chú trọng học sinh khá, giỏi)

- Học sinh ôn thi vào các trường Đại học, cao đẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu tài liệu, tự nghiên cứu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lý luận.

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên hầu hết chúng

ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó

Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình Trong môn toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán kỹ năng tạo liên hợp ngược để giải một số phương trình vô tỷ cũng không phải là ngoại lệ

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

- Phương pháp này không giải quyết cho mọi phương trình vô tỷ mà chỉ thực sự rất hiệu quả với phương trình vô tỷ dạng một căn thức

- Trong quá trình giảng dạy nhận thấy đại đa số học sinh học theo lối mòn ghi nhớ mà không có thói quen đào sâu suy nghĩ đưa ra cách thức, con đường tìm kiếm lời giải và nhiều giáo viên chưa chú trọng điều này

2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề

2.3.1 Các hằng đẳng thức thường sử dụng:

2 2

A B  A B A B 

A B  A B A ABB

3 3 2 2

A B  A B A ABB

2.3.2 Biểu thức liên hợp:

A x( ) được gọi là biểu thức liên hợp của B x( ) nếu tích A x B x( ) ( ) trở thành một lượng mất căn thức (B x( ) là biểu thức chứa căn thức)

Các dạng biểu thức liên hợp thường gặp:

1) A B A B 2)

A B





2

A B

A B

A B





.

A B

A B

A A B B



.

A B

A B

A A B B



3 3

3

A B

A B

A A B B



3 3

3

A B

A B

A A B B



2.3.3 Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình (máy tính Casio fx-570ES và Casio fx- 570VN PLUS)

Bước 1: Nhập phương trình cần dò nghiệm vào

Bước 2: Bấm SHIFT SOLVE, lúc này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị khởi tạo của ẩn X Ta nhập vào một giá trị bất kỳ và bấm nút “=”

Nếu dò nghiệm thành công thì màn hình sẽ có ba dòng như sau:



Dòng 1: Phương trình đã nhập

Dòng 2: X Nghi mê  Đây chính là nghiệm của phương trình ( giá trị này có thể là nghiệm đúng hoặc nghiệm gần đúng)

Dòng 3: L R < sai lệch hai vế >.

Nếu việc dò nghiệm quá lâu, máy thể hiện lên màn hình hỏi có nên dò



nghiệm tiếp hay không Lúc này màn hình sẽ có ba dòng như sau:

Dòng 1: Continue:  

Nếu muốn tiếp tục dò nghiệm, ta bấm phím  

Dòng 2:Giá trị hiện tại của X

Dòng 3: L R < sai lệch hai vế >

Nếu không muốn tiếp tục việc dò nghiệm, ta bấm phím  AC

Nếu máy không thể dò được nghiệm thì màn hình sẽ hiện

Điều này có hai nguyên nhân Thứ nhất là phương trình đã nhập luôn vô nghiệm Thứ hai có thể là do giá trị khởi tạo không phù hợp

2.3.4 Các khái niệm nghiệm đơn, nghiệm bội của phương trình:

 Nghiệm đơn:

Nghiệm đơn xa là nghiệm mà tại đó phương trình f x( )  0được phân tích thành nhân tử có dạng (x a g x ) ( )  0 à ( )v g a  0

 Nghiệm kép:

Nghiệm kép xa là nghiệm mà tại đó phương trình f x( )  0được phân tích

(x a g x ) ( )  0 à ( )v g a  0

 Nghiệm bội ba:

Nghiệm bội ba xa là nghiệm mà tại đó phương trình f x( )  0được phân tích

(x a g x ) ( )  0 à ( )v g a  0

2.4 Bài toán mở đầu:

Giải phương trình: 2x 1 x2 3x 1 0.(1)

( Đề thi Đại Học khối D- năm 2006)

Đây là bài toán có nhiều cách giải như:

- Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa

- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn

Sau đây, tôi xin đưa ra một số cách giải khác:

Cách giải 1: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:

Đk: 1(*) Với đk(*), ta có:

2

x

(2)

2

(1)  ( 2x   1 1) x  3x  2 0

( 1)( 2) 0 ( ì 2 1 1 0; )

2

2 1 1

x

x



 

2

2 1 1

x

  1

2

2 0 (2)

2 1 1

x

x x









Đặt: t 2x 1 (t 0), khi đó pt(2) trở thành:

3 2 2

2

1 1

t t





                 

2 2

x x

t m x

x



 

  



Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2 2.

Cách giải 2:

Đk: 1(*) Với đk(*), ta có:

2

x

2

(1)  ( 2x   1 1) x  3x  2 0  ( 2x    1 1) (x 1)(x 2)  0

 2( 2x   1 1) 2(x 1)(x 2)  0  2( 2x   1 1) ( 2x  1 1)( 2x  1 1)(x 2)  0 ( 2x 1 1) (  x2) 2x 1 x0 2 1 1 0

x

   

 



(2 4) 2 1 2 0 (3)

x





 



Đặt: t 2x 1 (t 0), khi đó pt(3) trở thành:

2

1 1

t t





                 

2 2

x x

t m x

x



 

  



Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2 2.

Cách giải 3: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:

Đk: 1(*) Với đk(*), ta có:

2

x

(4)

2

(1)  ( 2x    1 x 1) x  4x  2 0

Nhận thấy x  2 2 không phải là nghiệm của phương trình

2

x

x

  







 2x   1 (x 1) 0

(4)

2

2

( 4 2)

4 2 0

2 1 ( 1)

x x

x x

x x

  

x x

x x

  

2

( ì )

2 1

2 1

v x x

x x

      



 



Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2 2.

Cách giải 4:

Đk: 1(*) Với đk(*), ta có:

2

x

(1)( 2x   1 x 1) ( 2x1)  (x 1) 0

 ( 2x    1 x 1) ( 2x   1 x 1)( 2x    1 x 1) 0

 ( 2x   1 x 1)(x 2x  1) 0

2

2

1 2 ( 1) 0

2 1

1

2

4 2 0

x x

x x

x x

 







  



   

 1

( / )

2 2

x

t m x





 

 



Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2 2.

Cách giải 5: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:

Đk: 1(*) Với đk(*), ta có do đó:

2

2

(1)  ( 2x   1 x) x  2x  1 0 ( 2 2 1) 2

2 1 0

2 1

x x

x x

x x

 

2 1

x x

x x

 

2

2

1

1 ( 1) 0

2 2

2 1 1

4 2 0

x

x x

x

x x









 



  



 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2 2.

Cách giải 6:

Đk: 1(*) Với đk(*), ta có:

2

x

2

(1)  ( 2x   1 x) x  2x  1 0 2 2

( 2x 1 x) x ( 2x 1)  0

 ( 2x    1 x) (x 2x 1)(x 2x  1) 0  (x 2x 1)(x  1 2x  1) 0

2

2

1 2 ( 1) 0

2 1

1

2 1 1

1 2

4 2 0

x x

x x

x

x x

 







  



   



1

( / )

2 2

x

t m x





 

 



Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2 2.

Nhận xét:

Tất cả 6 cách giải trên đều làm xuất hiện biểu thức liên hợp nhưng từng cặp cách giải ( cách giải 1 và cách giải 2 ; cách giải 3 và cách giải 4; cách giải 5 và cách giải 6) đều có cách thức ngược nhau Ở cách giải 2, cách giải 4, cách giải 6

sử dụng phương pháp tách liên hợp thông qua hằng đẳng thức:

2x  2 ( 2x 1)   1 ( 2x  1 1)( 2x  1 1)

2 2 2 (cách giải 4)

4 2 ( 1) ( 2 1) ( 2 1 1)( 2 1 1 )

x  x  x  x   x  x x  x

2 1 ( ) ( 2 1) ( 2 1 )( 2 1 )

x  x  x  x   x x x x

Kỹ năng dùng để tạo biểu thức liên hợp như trên gọi là “kỹ năng tạo liên hợp ngược”.

Đây là bài toán hội tụ nhiều yếu tố: Có nghiệm hữu tỷ, có nghiệm vô tỷ, có nghiệm đơn và có nghiệm kép

Để hiểu rõ hơn “kỹ năng” và “cách thức” của phương pháp này , sau đây tôi xét một số bài toán cụ thể

2.5 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm hữu tỉ đơn:

 Phương pháp chung:

Xét phương trình: g x( ) h x( )n f x( ) (n 2 hoặc n 3)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay), Từ đó tìm lượng liên hợp

Bước 3: Bằng cách thêm, bớt hằng số, biểu thức, hoặc tách nhóm …phân tích biến đổi g x( ) làm xuất hiện biểu thức liên hợp

Bước 4: Đưa phương trình về dạng tích rồi giải và kết luận

Các bài  tập áp dụng:

Bài tập 2.5.1: Giải phương trình: 2 2

2x 7x16(2x1) x 10x4

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x 6 nghiệm hữu

tỉ đơn của phương trình Như vậy phải làm xuất hiện đại lượng(x 6) để đặt làm thừa số chung, khi đó ta phải biến đổi căn thức x2 10x4 thành

, để ý thấy biểu thức cần xuất hiện là bậc nhất nên ta chọn A

2

x  x  A

có dạng A ax b Ta thay x 6 vào căn thức ta được:

, suy ra liên hợp cần tìm là:

2

x  x  x

Do đó ta có :

Đây là cách tạo liên hợp, cụ thể ta có lời giải như sau:

Lời giải:

Đk: x    ; 5 21    5 21; (*), với đk(*), ta có:

 

2

(2 1) 10 4 ( 4) (2 12) 0

Pt x  x  x  x  x 

(2x 1)  x 10x 4 (x 4)   x 10x 4 (x 4)   x 10x 4 (x 4)  0

           

2

2

10 4 3 5 ( ô ê )

x x x

x x x V nghi m







4

6( / ) 6

x

x t m x

 



     Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x 6.

Nhận xét: Nếu khi dự đoán được nghiệm duy nhất của phương trình là x 6

thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức 2 hằng số

6  10.6 4   10 liên hợp là: thì phải nhân hai vế với rồi sử dụng

kỹ năng tạo liên hợp ngược vẫn giải quyết được bài toán, nhưng đưa bài toán trở nên phức tạp hơn và dễ sai sót, cách giải trên tránh được điều này

Bài tập 2.5.2: Giải phương trình: 3 2 3 2

x  x  x x 

Phân tích:

Đây là bài toán chứa căn bậc ba nhưng hoàn toàn tương tự ta vẫn sử dụng được “kỹ năng tạo liên hợp ngược” để giải Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta thu được nghiệm hữu tỷ đơn x 1 Thay vào căn thức ta được

3 2

5x     3 2 x 1

Do đó ta có phân tích :

2 3 2 ( 1) (5 3) ( 1 5 3) ( 1) ( 1) 5 3 (5 3)

x  x  x  x  x    x x   x  x x   x  

và lời giải như sau:

Lời giải: Ta có:

(1)

Vì với mọi ta có:x

Do đó:

5x 3 x 1 x 2x 3x 2 0 x 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1

Bài tập 2.5.3: Giải phương trình: 3 2

5x  22x  22x  6 4x  3 0

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được hai nghiệm hữu tỉ đơn của phương trình là: x 1 và x 3 thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức

là với a,b là nghiệm của hệ phương trình:

4x 3 ax b

nên ta tìm được biểu thức liên hợp là:

0 4.3 3 (3 ) 0

b

a b



.Do đó ta có phân tích biến đổi

2

x x  x x x x x  x

biểu thức tạo liên hợp ngược như sau:

2

2 2

( 4 3)(5 2)

4 3 (5 2)

= x 4x 3x 4x 3 5  x  2 x

Lời giải:

Đk: 3(*) Với đk(*), ta có:

4

x

2

( 4 3)(5 2) ( 4 3) 0

Pt x  x x  x x 

x 4x 3x 4x 3 (5 x 2) (x 4x 3) 0

x 4x 3  x 4x 3 (5 x 2) 1  0

x 4x 3 0

3 4

x

 

2

3

1 4

3

4 3 0

x

x x



      



Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x 1;x 3

Nhận xét : Ta thấy biểu thức cần tìm để làm xuất hiện liên hợp là:

chưa có sẵn trong bài toán Đối với bài toán

2

(x 4x 3)(x 4x 3) x  4x 3

này thực hiện phân tích thành nhân tử 3 2 2

5x  22x  23x  6 (x  4x 3)(5x 2)

Bài tập 2.5.4: Giải phương trình: 2 2 3

4x 6x 6 (x 7 )x x

x

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được hai nghiệm hữu tỉ của phương trình là:x 1vàx 3nên ta tìm được biểu thức liên hợp là:

2x x  3x  (2x x  3 )(2x x x  3 )x  4x x  3x

có bậc bằng 3, nhưng biểu thức còn lại trong phương trình lại có bậc bằng 2.Do

đó ta phải nhân và chia biểu thức còn lại với một biểu thức để làm xuất hiện biểu thức cần tìm, cụ thể phân tích biến đổi 2 làm xuất hiện liên hợp:

4x  6x 6

2 2 2 3

4x 6x 6 4x (x 3 )x 2 (x x 7)

(2x x 3 )(2x x x 3 ) 2 (x x x 7)

x

Lời giải:

Đk: x 0(*), Với đk(*), ta có:

2

4x (x 3 )x (x 7)(2x x 3 )x 0

(2x x 3 )(x x 3 x 3 )x 0

x

3

0

3 2

0

x

x x x

x x x

x

x x x x

x x x x

  









1 3

x x





  

 t m/ Vậy phương trình có nghiệm là x 1;x 3

Nhận xét :

Nếu xét về tính chất nghiệm thì sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta nhận thấyx 1là nghiệm kép vàx 3là nghiệm đơn, nhưng cách tìm liên hợp vẫn sử dụng phương pháp tìm liên hợp của bài toán có hai nghiệm hữu tỷ đơn

2

5( 3)

1 2 4

2 18

x

x





Phân tích:

Ta có: x  1 2 4  x x  1 16 4  x và (x  1) (16 4 )  x  5(x 3)nên ta ghép hai căn thức với nhau và sử dụng phương pháp “ kỹ năng tạo liên hợp ngược”, bình phương hai vế để chuẩn hóa đưa phương trình về dạng một căn thức

Lời giải:

Đk:    1 x 4 (*).Với đk: (*), ta có:

2

2 18.( 1 16 4 ) ( 1 16 4 )( 1 16 4 )

Pt x  x   x  x   x x   x

2

1 16 4

 

3 ( / )

2 18 1 16 4 (1)

x t m





 



(1)  4  x 3x  4 2x  3x 1 2 2

(2x x 3) 4 (  x 1) x 3x 4 

(x 1) ( x 3x 4) 4 (x 1) x 3x 4 0

             

(x 5) x 3x 4 (x 1) x 3x 4 0

             

(x 1) x 3x 4 0

(x 5) x 3x 4 0; x 1; 4

         

2

2

1

1 4

2 3 0

2

x x

x

x x

 



  

       

 

  

  t / m

Vậy phương trình có ba nghiệm là: 3

2

x x  x

Bài tập tương tự:

3x  2x   1 (x 1) x   3 0 Bài 2: Giải phương trình: 3 2

8 1 2 10

x  x  x

(x 1)(x 1)  (2x 1) 3x  1 7xx

2.6 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm vô tỉ đơn:

Phương pháp chung:



Xét phương trình: g x( ) h x( )n f x( ) (n 2 hoặc n 3)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay), Từ đó tìm lượng liên hợp

Bước 3: Bằng cách thêm, bớt hằng số, biểu thức, hoặc tách nhóm …phân tích biến đổi g(x) làm xuất hiện biểu thức liên hợp

Bước 4: Đưa phương trình về dạng tích rồi giải và kết luận