SKKN Phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ O...

SKKN Phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ Oxy Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016 2017 GV Hoàng Thị Huệ 1 PHẦN I MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài Hì[.]

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học phẳng rất đa dạng và phong phú, nhất là đối với học sinh lớp 9 các

em đã làm quen với rất nhiều tính chất hình học và các loại hình cơ bản như:

tam giác, tứ giác, đường tròn, nhưng giải quyết các bài toán đó chỉ ở mức độ

hình học thuần túy Khi các em được tiếp cận với hình học giải tích thì các bài

toán giải đa dạng và gần gũi hơn, tác động tốt đến tư duy của người học hơn,

làm cho người học phát triển được tư duy sáng tạo, tìm tòi và dựa trên cái cũ mà

phát triển các điều mới đa dạng, sâu rộng và khoa học hơn

Đối với học sinh phổ thông hiện nay các bài toán về tìm tọa độ điểm hay viết

phương trình các đường trong hệ tọa độ oxy đang phổ biển và đa dạng, học sinh

trung bình thì ngại không tiếp cận cho rằng đây là dạng toán khó, đối với học

sinh khá và giỏi thì đam mê giải quyết hơn nhưng đôi khi thiếu định hướng để

bứt phá

Trong những năm gần đây các dạng toán này đều được đưa vào các kỳ thi: thi

đại học, thi học sinh giỏi và các yếu tố hình học ngày càng nhiều hơn, phức tạp

hơn trong khi đó chương trình ở sách giáo khoa chỉ cung cấp kiến thức cơ bản

và các công thức nên đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng, liên hệ những kiến

thức đã học về hình học phẳng để giải quyết Ngoài ra học sinh phải khéo trong

quá trình sử dụng các tính chất hình học liên quan với các biểu thức tọa độ

tương ứng Chính vì vậy học sinh cần phải được bổ trợ kiến thức, tổng hợp dạng

toán cụ thể có thể chuyên sâu một dạng nào đó để rèn kỹ năng và vận dụng các

dạng bài tập liên quan

Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinh

tôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần dần

Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưng phải đòi

hỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ

Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản hình học phẳng

và khai thác được bằng các biểu thức tọa độ để giải quyết các bài toán về hình

chữ nhật và hình vuông đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến

thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài:

“ Phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật

và hình vuông trong hệ Oxy ”.

Trong đề tài này, tôi trình bày một số bài để các em tham khảo, một số bài

hướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh nắm chắc kiến thức về biểu thức tọa độ, tổng hợp lại các kiến

thức về hình chữ nhật và hình vuông, vận dụng linh hoạt và phát huy tính sáng

tạo của học sinh, liên hệ và áp dụng được vào các dạng bài tập liên quan

- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng

nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà

trường và sở phát động

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh khá - giỏi môn toán và học sinh ôn

thi Đại học, nhất là học sinh khối 10 trường THPT Tĩnh Gia 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo,

các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng, các đề thi đại học, các đề thi học

sinh giỏi …

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh

Gia 2

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 10 sau đó

khảo sát các lớp dạy

PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học

sinh tôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần

dần Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưng

phải đòi hỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ

Trên thực tế các dạng toán trong hệ oxy rất nhiều và phong phú đòi hỏi

người học phải tự chọn cho mình học những dạng nào cho phù hợp, người dạy

phải dạy gì cho học sinh, giúp học sinh bổ trợ kiến thức có định hướng, khai

thác sâu và chắc chắn

Tôi chọn đề tài này, mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ

bản hình học phẳng và khai thác được bằng các biểu thức tọa độ để giải quyết

các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông đồng thời biết vận dụng một cách

linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ oxy không phải là bài

toán mới nhưng khai thác các tính chất hình học mới là khó nên học sinh lười

suy nghĩ và ngại tư duy, tuy ứng dụng thực tế của nó rất lớn và đó là một trong

những dạng toán được chọn trong các đề thi, các đợt thi nhưng nhiều học sinh

vẫn chưa làm được hoặc làm cũng không làm chọn vẹn Trong quá trình dạy

phụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này, dạy cho học

sinh hiểu tường tận lý thuyết, phân tích các tính chất cơ bản của giả thiết hình

học tìm mối liên quan với các biểu thức tọa độ

Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu cách vận

dụng và phân tích, sâu chuỗi vấn đề để đưa ra dạng bài toán liên quan, chưa khai

thác triệt để các tích chất của hình chữ nhật, hình vuông để áp dụng sang biểu

thức tọa độ Để giải quyết nhanh chóng và ngắn gọn dạng bài toán này các em

cần tổng hợp và nắm vững kiến thức về các hình này

2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề

2.3.1 Cơ sở lý thuyết

A VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1 Định nghĩa: Véctơ là một đoạn thẳng có định hướng

● Hai vectơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài

● Hai vectơ đối nhau: ngược hướng và cùng độ dài

2 Các phép toán của vectơ:

a Phép cộng vectơ:

Ta có: A,B,C: AC  AB  BC (quy tắc chèn điểm)

Nếu ABCD là hình bình hành thì : AC  AB  AD

b Phép trừ vectơ:

O,A,B:OB OA  AB

c Tích một số thực với một vectơ:

m

a n a m a n m b m a m b

a

m



























1

;

1

;

;

Điều kiện: cùng phương b a  kR:b  k a a  0

d Tích vô hướng: a b  a b cos a ,b

e Vectơ đồng phẳng:3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song

với một mặt phẳng

a,b,x đồng phẳng  h,kR:x  h a k b

f Phân tích một vectơ theo một vectơ không đồng phẳng:

V ới a,b,c không đồng phẳng và vectơ e , có duy nh ất 3 số thực x 1 , x 2 , x 3 :

c x b x a x

e  1  2  3

g Định lý: Với M là trung điểm AB và G là trọng tâm của ABC , O tùy ý thì:































OC OB

OA OG

GC GB

GA

MB MA

3 1

0 0

Và G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD OG  OA OB OC OD

4 1

B HỆ TỌA ĐỘ – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM

1 Định nghĩa:

a Hệ tọa độ:

Hai trục tọa độ x’Ox, y’Oy vuông góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đề–các

Oxy: O là gốc tọa độ, x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung Trong đó:

là các vec tơ đơn vị trên các trục Ta có: và

 1 ; 0 ,  0 ; 1

b Tọa độ của vectơ: u  ; x y u  x i y j

c Tọa độ của điểm: OM  x;y M x;y Trong đó x là hoành độ, y là tung

độ của M.

2 Các kết quả và tính chất:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho Ax A;y A ,B x B;y B và các vectơ a a1;a2,b b1;b2

Ta có :

● a b a1b1;a2 b2

● Tích giữa một véctơ với một số thực: k a k a ;k b,kR

● Tích vô hướng giữa hai véctơ: a b a1b1 a2b2

0

; cos

2 2 1 1

2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1 1

2 2 2 1



























b a b a b a

b b a a

b a b a b

a

a a a

● Hai véctơ bằng nhau:















2 2

1 1

b a

b a b a

● a , b cùng phương

2 2 1

1

:

a

b a

b a k b R





● Tọa độ của vec tơ AB x Bx A;y B y A

● Khoảng cách:   2 2

A B A

x AB

● Nếu M là trung điểm của AB, ta có:



















2

2

B A M

B A M

y y y

x x x

● Trọng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến) :

G là trọng tâm tam giác ABC :























3

3

C B A G

C B A G

y y y y

x x x x

4 Kiến thức về hình chữ nhật và hình vuông:

Cho Ax A;y A ,B x B;y B ,C x C;y C ,D x D;y D

a Hình chữ nhật (là tứ giác có 3 góc vuông) :

● I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD

● Nếu hình bình hành ABCD có một góc bằng 0 hay hai đường chéo AC =

90

BD thì là hình chữ nhật

● SAB.AD 2S ABC 2S ABD  4S ABI

● Luôn có một đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật với tâm là I

● Chú ý đến tính chất đối xứng qua tâm I (Ví dụ như trong hình vẽ nếu biết

tọa độ M và I ta tìm được toa độ N thuộc CD)

b Hình vuông (là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau) :

● HV mang đầy đủ các tính chất của hình chữ nhật

● Nếu hình thoi có một góc bằng 0 hay hai đường chéo AC và BD bằng

90

nhau thì là Hình vuông

● Nếu hình chữ nhật có hai cạnh bên bằng nhau hay hai đường chéo AC và

BD vuông góc nhau thì là Hình vuông

● Có đến hai đường tròn ẩn mình bên trong hình vuông ABCD )

● Chú ý đến tính chất đối xứng qua tâm I

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tổng quát của D:     0 , 2 2 0

0

x A

2 Phương trình tham số của :















bt y y

at x x

0 0

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 1 :A1xB1yC1 0 ,A12B12 0

 2 :A2xB2yC2 0 ,A22B22 0

● Nếu thì hai đường thẳng cắt nhau

2 1 2

1

B

B

A A 

● Nếu thì hai đường thẳng song song nhau

2 1 2 1 2

1

C

C B

B A

A





● Nếu thì hai đường thẳng trùng nhau

2 1 2 1 2

1

C

C B

B A

A





4 Góc giữa hai đường thẳng:  

2 2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1 2

1 , cos

B A B A

B B A A













5 Khoảng cách từ một điểm Mx0; y0 đến đường thẳng

  :AxByC 0 ,A2B2 0 là:

 

B A

C By Ax

d M









 ,

6 Đường tròn có tâm I a;b , bán kính R có phương trình :   2 2 2

R b x a

2.3.2 Các dạng bài tập minh họa

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

- Dựa vào tính chất vuông góc và độ dài các cạnh bằng nhau của hình vuông để

tìm ra độ dài cạnh hình vuông, từ đó tìm ra tọa độ các đỉnh hình vuông cũng như

phương trình các cạnh

- Vận dụng tính chất song song, vuông góc của đường thẳng

- Các điểm cùng thuộc một đường tròn, điểm đối xứng qua tâm, điểm đối xứng

qua đường chéo

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng kết hợp với góc và diện tích tam giác,

tứ giác

Chú ý:

- Đường cao bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và độ dài cạnh đáy

- Diện tích theo công thức sin: S ab C bc A acsinB

2

1 sin 2

1 sin 2

1







1 Phương pháp tính độ dài cạnh

Ta xét hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, với giả thiết bài toán cho hai điểm

trên các đường thẳng sinh bởi hình vuông (cạnh, đường chéo) ta hoàn toàn tính

dựa vào mối liên hệ giữa 2 điểm đó và tính được độ dài cạnh hình vuông đã cho

Từ đó tìm tọa độ các đỉnh hình vuông theo công thức độ dài đoạn thẳng nối 2

điểm

+ Tam giác vuông theo Pitago

+ Tam giác thường tính theo định lý hàm số Cosin

Dấu hiệu nhận biết: Khi giả thiết cho các điểm trên cạnh, đường chéo có tỷ lệ độ

dài

Ta xét ví dụ sau đây:

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I(0; -3), đỉnh

D(2;-4) Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hoành độ âm

Giải Phân tích tìm lời giải: Với hai điểm có tọa độ cho trước D và I ta xác định

đươc tọa độ điểm B Xác định tọa độ đỉnh A theo hệ phương trình:











AD AB

ID IA

Lời giải:

Do I là tâm hình vuông nên I là trung điểm của BD Suy ra: B(-2; -2)

Giả sử A(x; y) ta có hệ phương trình:











AD AB

ID IA

 

 





























































































tm y

x

l y x

x y

x y

x y

x

y

x

5 1 1 1

3 2

1 4

2 2

2

4 3 2

0

2 2

2 2

2 2

2 2

Vậy A(-1; -5)

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng

16 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC biết điểm M(-1; -1) Đường

thẳng AN có phương trình là : 3x + 5y + 4 = 0 Tìm tọa độ điểm A biết A có

hoành độ âm

Giải

3x + 5y + 4 = 0

M(-1; -1)

N

C

A

D

B

Đặt độ dài cạnh hình chữ nhật ABCD là AB = a, AD = b, a,b  0

Ta có: S ABCD  ab 16

8

16 8 2

2

2

1 4 4

1













S AMN ABCD BMN

34

4 5 3 4 2

1

2

2

Ta có hệ phương trình :



























2 2

2 4 34

4

16

2 2

b

a b

a ab

2 

a

5

3 4









d

x x

A



































l x

tm x

x x

AM

17 29

3 8

1 5

3 4 1

0

0 2

0 2

0

2

Vậy điểm A cần tìm là A(-3; 1)

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện

tích bằng 16, phương trình đường thẳng AB: x – y + 3 = 0,điểm I(1; 2) là giao

điểm của hai đường chéo Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết A có

hoành độ dương

Giải

x - y + 3 = 0

I(1; 2)

C

A

D

B

2

3 2 1 2



 BC d I AB

AD

S ABCD AB.AD 16  AB 4 2

2

1 2







IA

Gọi Aa;a 3.Ta có:     

























2

2 10

1 1

2

a

a a

a IA

Suy ra: A(2; 5); B(-2; 1)

Do I là trung điểm của AC, BD nên C(0; -1), D(4; 3)

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện

tích bằng 30 và điểm M (1;4),N(-4;-1) lần lượt nằm trên hai đường thẳng AB và

AD Phương trình đường chéo AC là 7x + 4y – 13 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C của

hình chữ nhật ABCD biết điểm A có hoành độ âm

Lời giải

4

7 13









a AC

a a

4

17 7 4

3 7 4



Phương trình đường thẳng AB đi qua A và M: x +2y -9 = 0

Phương trình đường thẳng AD đi qua A và N: 2x - y+7=0

Gọi I4x0 1 ; 5  7x0 là tâm hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật ABCD có thể tính theo các công thức sau :

  .  30

4

ABCD AB AD d d

S



























2 1 2 1 4

1 30

5

15

.

5

10

.

4

0

0 2

0 0

0

x

x x

x x

- Với ta được Suy ra

2

1

0 









 2

3

; 1

I C3 ;  2

2

1

0  











2

17

; 3

2 Phương pháp đối xứng qua tâm

Nhắc lại: Cho hình bình hành ABCD có tâm I gọi M là một điểm thuộc đường

thẳng chứa cạnh AB khi đó M’ là điểm đối xứng với M qua I thì M’ thuộc

đường thẳng CD

Tức điểm thuộc đường thẳng chứa một cạnh lấy đối xứng điểm đó qua tâm thì

điểm đối xứng thuộc đường thẳng chứa cạnh đối diện

Dấu hiệu nhận biết: Giả thiết bài toán cho tọa độ tâm và tọa độ một điểm trên

cạnh (có thể là tâm hoặc điểm thuộc một đường thẳng cho trước)

Bài 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, tâm I(1;1) Đường

thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M (- 1;2), đường thẳng chứa cạnh CD đi qua

điểm N(2;1) Viết phương trình đường thẳng BC

Giải

Gọi E là điểm đối xứng của M qua I ta có:  E 3 ; 0

CD E

Đường thẳng CD đi qua hai điểm E và N nên có phương trình: x + y - 3 = 0

Ta có  

2

1 2

3 1 1

,CD    

I

d

Phương trình đường thẳng BC CD xyc 0

Do ABCD là hình vuông nên:











































0 1 :

0 1 :

1

1 2

1 2

1 1

,

,

y x BC

y x BC c

c c

d

d I CD I CB

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là BC: x - y + 1 = 0 hoặc BC:

x - y – 1 = 0

Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6;2),

điểm M(11;-1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB và trung điểm E của cạnh

CD thuộc đường thẳng x - y – 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB

Giải

Phân tích tìm lời giải

Giả thiết bài toán gồm tọa độ tâm I(6;2), điểm M(11;-1) nằm trên đường thẳng

chứa cạnh AB Vì vậy ta lấy điểm N đối xứng với M qua I NCD

Kết hợp tính chất của hình chữ nhật có: IE CD IE NE  0

Từ đó dễ tìm được tọa độ điểm E và phương trình đường thẳng AB đi qua M và

nhận làm véc tơ pháp tuyến IE

Lời giải

Gọi N đối xứng với M qua I N 1 ; 5

Giả sự tọa độ điểm Ee;e 1d:xy 1  0

Ta có: IE e 6 ;e 3;NE e 1 ; e 6

Do E là trung điểm của CD nên :



































6

2 0

6 1

3 6 0

e

e e

e e

e NE

IE

NE

IE

Với e = 2 ta có:E 2 ; 1 IE  4 ;  1AB:x 4y 19  0

Với e = 6 ta có:E 6 ; 5 IE 0 ;  3AB:y 5

Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là AB: y – 5 = 0 hoặc

x – 4y + 19 = 0

Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên bạn đọc phần nào hiểu rõ được tính chất cơ bản đối

xứng qua tâm do vậy lưu ý quan trọng khi giả thiết liên quan đến tâm hình chữ

nhật, hình vuông các bạn lưu ý tính chất này.

B BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tọa độ đỉnh

A(1;1) và điểm M(5;3) là trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh D biết nó có

tung độ âm

Phân tích tìm lời giải: Với hai điểm có tọa độ cho trước A và M ta tính được

khoảng cách giữa chúng rồi suy ra độ dài cạnh hình vuông đã cho là a Xác

định tọa độ đỉnh D theo hệ phương trình:











a AD MD MA