Bài giảng xác suất và thống kê trong y dược chương 2 biến ngẫu nhiên

BIẾN NGẪU NHIÊNNỘI DUNG2-1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2-2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên 2-3 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên 2-4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập 2-5 Hàm của biến ngẫu nhiên 2

Bài giảng

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ

THỐNG KÊ TRONG Y DƯỢC

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Kênh video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TRONG Y DƯỢC

Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học

Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về, in ra và mangtheo khi học Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học

Điểm quá trình: 20%

Kiểm tra giữa kỳ: 20%

Thi cuối kỳ: 60%, thi trắc nghiệm 60 phút

1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

BIẾN NGẪU NHIÊNNỘI DUNG

2-1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

2-2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2-3 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên

2-4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

2-5 Hàm của biến ngẫu nhiên

2-6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Ví dụ 1

Thực hiện phép thử tung đồng xu 3 lần, gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số mặt sấp có đượctrong 3 lần tung

Ta có không gian mẫu của phép thửΩ = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}

Và biến ngẫu nhiênX : Ω →R có các giá trị như sau:

Như vậy về mặt xác suất của biến ngẫu nhiên ta có:

P(X =0) = 18;P(X =1) = 38;P(X =2) = 38;P(X =3) = 18

Lưu ý Ký hiệuP(X =2) = 38 có thể hiểu là xác suất tung đồng xu 3 lần 2 lần được sấp

là bằng 3/8

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Người ta thường dùng các chữ in X ; Y ; Z để ký hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữthường x; y; z để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên

Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x làX =x và xác suất đểX nhận giá trịx là

P(X =x)

Có hai loại biến ngẫu nhiên:

1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên rời rạc: nếu tập giá trị của biến ngẫu nhiên chỉ nhậnhữu hạn hoặc vô

x1,x2, ,xn

Biến ngẫu nhiên liên tục: là biến ngẫu nhiên mà các giá trị của nó lấp đầy một hoặc

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bảng phân phối xác suất

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 2

Biến ngẫu nhiên rời rạc X có luật phân phối xác suất như sau:

P 3/10 4/10 m 2/10Tìm

a) m =1− (3/10+4/10+2/10) =1/10

b) P( ≤X ≤3) =P(X =1) =4/10

c) P( <X <6) =P(X =4) =1/10

d) P(X2 ≤3) =P(X =0) +P(X =1) =3/10+4/10=7/10

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục - Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function)

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function)

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

F(x) =P(X ≤x) =

x Z

−∞

f(t)dt, ∀x ∈R

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Nếux <0 ta cóF(x) =Rx

−∞f(t)dt=Rx

−∞0dt=0Nếu0≤x <1ta có

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Hai biến ngẫu nhiên X , Y được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi xác suất biến ngẫunhiên này nhận giá trị không ảnh hưởng đến xác suất biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị Và theocông thức nhân xác suất ta có:

P[(X =xi) · (Y =yj)] =P(X =xi) ·P(Y =yj) =piqj ∀i, j

2.4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Ta có biến ngẫu nhiên X+Y có bảng phân phối xác suất dạng:

Bảng phân phối xác suất

2.4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

2.4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Tương tự trong một trường hợp khác nếu ta kết hợpX Y thì bảng phân phối xác suất cócấu trúc tương tự:

Bảng phân phối xác suất X.Y

2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên

2.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho biến ngẫu nhiên X và f(x) là một hàm số xác định tại mọi giá trị trong tập giá trịcủa biến ngẫu nhiên X, thì Y =f(X)là một biến ngẫu nhiên mới và là hàm theo biến ngẫunhiênX

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

X x1 x2 · · · xn

P(X =x) p1 p2 · · · pn

Và Y =f(X) là hàm theo biến ngẫn nhiênX

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y

Y =f(X) y1 y2 · · · yn

P(Y =y) P1 P2 · · · Pn

2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên

2.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 6

Cho biến ngẫu nhiên X rời rạc có bảng phân phối xác suất:

P(X =x) 0,4 0,3 0,2 0,1Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênY =X2 có dạng:

P(Y =y) 0,4 0,3 0,2 0,1

2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên

2.5.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục

Cho biến ngẫu nhiênX liên tục có hàm mật độ xác suấtf(x) VàY =h(X)là hàm theobiến ngẫn nhiên X

2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên

2.5.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục

Và hàm biến ngẫu nhiên Y =X3, lập hàm mật độ xác suất cho biến ngẫu nhiênY

Gọi G(y)là hàm phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên Y

2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên

2.5.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục

y <0⇒y <0 ta cóG(y) =R√3

y

−∞ 0dx =0Nếu0≤ √3

√

y

0 =y4Nếu1≤ √3

Xem bài giảng tại kênh Youtube

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6.1 Kỳ vọng

Định nghĩa

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạcX có bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất

X x1 x2 · · · xk · · · xn · · ·

P(X =x) p1 p2 · · · pk · · · pn · · ·

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiênX, kí hiệu làE(X), là giá trị trung bình (theo xác suất) củaBNN đó Nó là trung tâm điểm của phân phối mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanhđó

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6.1 Kỳ vọng

Ví dụ 8

P 0,1 0,3 0,4 0,2TínhE(X) = −2.0, 1+ (−1 0, 3+1.0, 4+3.0, 2=0, 5

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Var(X) = E X2

− (EX)2 = [(−2 2.0, 05+ (−1 2.0, 15+02.0, 25+22.0, 55)] −[−2.0, 05−1.0, 15+0.0, 25+2.0, 55]2 =1.8275

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6.2 Phương sai

Ý nghĩa

1 X −E(X)là sai lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó Do đó, phương saichính là trung bình của bình phương sai lệch giữa giá trị củaX so với trung bình của nó.Phương sai đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình,nghĩa là phương sai nhỏ thì độ phân tán thấp hay độ tập trung cao, ngược lại phương sailớn thì độ phân tán cao hay độ tập trung thấp

2 Trong kĩ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị Trong kinh doanh,

phương sai đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.6.4 Giá trị tin chắc nhất (Mode)

Biến ngẫu nhiên rời rạc

2.6.4 Giá trị tin chắc nhất (Mode)

Biến ngẫu nhiên liên tục

b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thìMod(X) là giá trị làm cho hàm mật độ đạt cựcđại

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6.5 Trung vị (Median)

Định nghĩa

Trung vị của biến ngẫu nhiênX, kí hiệu làMed(X), là giá trị của biến ngẫu nhiên

X chia phân phối thành hai phần có xác suất bằng nhau

1 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6.6 Các đặc trưng khác

1 Mômen cấp k đối vớia củaX(µk(a)):

µk(a) =E(X−a)k

2 Hệ số biến thiên(CV(X)): Dùng để so sánh mức độ phân tán của các BNN có kỳ vọng

và phương sai khác nhau

CV(X) =

σ(X)

E(X)

100%

3 Hệ số bất đối xứng (α3): Dùng để nhận dạng đồ thị của hàm phân phối của BNN

Xem bài giảng tại kênh Youtube

https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

4 LÝ THUYẾT MẪU

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

8 THỐNG KÊ MÔ TẢ

2< /small> BIẾN NGẪU NHIÊN

4 LÝ THUYẾT MẪU

2< /small> BIẾN NGẪU NHIÊN... THAM SỐ THỐNG KÊ

2< /small> BIẾN NGẪU NHIÊN

7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG...